2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

Transcripción

1 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

2 ESQUEMA LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Límites. Límite de una función. Tipos de límites. Álgebra de límites. Asíntotas. Continuidad. Continuidad. Tipos de discontinuidad. Teoremas de continuidad.

3 Matemáticas Tema 2 ESQUEMA LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Límites. Continuidad.

4 Límites Definición.- Dada una función f:d IR IR y a IR se dice que f tiene límite L cuando x tiende a a, si ε>0, δ>0 / x D, 0<Ix-aI<δ f(x) L < ε (o equiv.: ε>0, δ>0 / x D, 0<d(x,a)<δ d(f(x), L) < ε) (o equiv.: ε>0, δ>0 / x (a-δ, a+δ),x D, x a f(x) (L-ε,L+ ε) ) Escribiremos: lim ff xx = LL Teorema.- El límite si existe es único.

5 Límites ε>0 δ>0 / x (a-δ, a+δ),x D, x a f(x) (L-ε,L+ε) δ' δ a ε' L ε D= f

6 Límites Qué ocurre si el límite no es L? ε>0 / δ>0 x (a-δ, a+δ),x D, x a, f(x) (L-ε,L+ε) δ' δ a δ'' ε L D= f

7 Límites Definición.- Dada una función f:d IR IR y a IR se dice que f tiene límite L cuando x tiende a a por la derecha, si Escribiremos: ε>0, δ>0 : x D, x (a, a+δ) f(x) L < ε lim ff xx = LL + Definición.- Dada una función f:d IR IR y a IR se dice que f tiene límite L cuando x tiende a a por la izquierda, si Escribiremos: ε>0, δ>0 : x D, x (a-δ, a) f(x) L < ε lim ff xx = LL

8 Límites Teorema.- lim ff xx = LL lim ff xx, lim ff xx yy lim ff xx = lim ff xx = LL + + Definición (límites infinitos).- lim ff xx = + M>0, δ>0 / x D, 0<Ix-aI<δ f(x) >M lim ff xx = m<0, δ>0 / x D, 0<Ix-aI<δ f(x) <m

9 Límites Definición (límites en infinito).- lim ff xx = LL xx + lim ff xx = LL xx ε>0, K>0 : x >K f(x)-l < ε ε>0, k<0 : x < k f(x)-l < ε Definición (límites infinitos en infinito).- lim ff xx = + M>0, K>0 : x >K f(x) >M xx + lim ff xx = m<0, K>0 : x >K f(x) <m xx + lim ff xx = + M>0, k<0 : x <k f(x) >M xx lim ff xx = m<0, k<0 : x <k f(x) <m xx

10 Límites Algebra de límites.- Sean las funciones f, g :D IR IR. Supongamos que lim ff xx = LL y lim gg xx = MM. Entonces : lim ff xx ± gg(xx) = L ± M lim ff xx. gg(xx) = L. M lim α gg(xx) = α M, α IR lim ff(xx) gg(xx) = LL MM, si M 0 L=0 y g(x) es un función acotada lim ff xx. gg(xx) = 0 lim ff(xx) gg(xx) = LL MM lim ff xx = LL gg yy = MM lim lim yy LL ff gg)(xx = M

11 Límites Suma: lim f(x) x a lim g(x) x a ALGEBRA DE LIMITES - M IND L - L + M + + IND + +

12 Producto: lim f(x) x a lim g(x) x a ALGEBRA DE LIMITES - M < 0 0 M > IND - - L < 0 + L. M 0 L. M - 0 IND IND L > 0 - L. M 0 L. M IND + +

13 Cociente: lim g(x) x a lim f(x) x a ALGEBRA DE LIMITES - M < 0 0 M > IND + ± - IND L < 0 0 L ± L 0 M M IND 0 0 L > 0 0 L ± L 0 M + IND - ± + IND M

14 Potencias: lim g(x) x a lim f(x) x a ALGEBRA DE LIMITES - M < 0 0 M > IND 0 0 M M L (0,1) L L 1 IND IND M M L (1,+ ) 0 L 1 L IND + +

15 Límites Asíntotas.- Una función f(x) puede tener 3 tipos de asíntotas: Horizontales: aquella recta de la forma y=b que cumple: ff(xx) = b (asíntota horizontal por derecha), o lim xx + lim xx ff(xx) = b (asíntota horizontal por izquierda) Verticales: aquella recta de la forma x=a que cumple: lim lim ff(xx) = o lim ff xx = (asíntota vertical por derecha), o + + ff(xx) = o lim ff xx = (asíntota vertical por izquierda) Oblicuas: aquella recta de la forma y=ax+b que cumple: (ff xx aaaa + bb ) = 0 (asíntota oblicua por derecha), o lim xx lim xx (ff xx aaaa + bb ) =0 (asíntota oblicua por izquierda)

16 Límites Nota.- Para calcular los parámetros de una asíntota oblicua por la derecha tenemos que resolver los límites siguientes: ff(xx) a= lim xx xx b= lim xx (si no es finito o no existe ya no hay asíntota) ff xx aaaa Para las oblicuas por la izquierda los límites serán en -

17 ESQUEMA LÍMITES Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Límites. Continuidad.

18 Continuidad Definición.- Sea na función f:d IR IR y a D. Se dice que f es continua en el punto a si existe lim ff xx y además coincide con el valor de la función en el punto: lim ff xx = ff(aa) Esto es lo mismo que: ε>0, δ>0 : x D, Ix-aI<δ f(x) f(a) < ε (o equiv.: ε>0, δ>0 : x D, d(x,a)<δ d(f(x), f(a)) < ε) Definición.- f es continua por la derecha en a si lim ff xx = ff(aa) + f es continua por la izquierda en a si lim ff xx = ff(aa) Nota.- f es continua en a si y sólo si lo es por la derecha y por la izquierda.

19 Continuidad Definición.- f:d IR IR se dice continua si es continua en cada uno de los puntos de D. Proposición.- Si f y g son dos funciones continuas en un punto a, entonces f+g, f-g, f.g, f/g, si están bien definidas, son continuas en a. Proposición.- Si f es una función continua en a y g es continua en f(a), entonces g f es continua en a. Definición.- Una función que no sea continua en un punto del dominio diremos que es discontinua en ese punto.

20 Continuidad Tipos de discontinuidades en un punto a: - De primera especie: - Evitable: lim ff xx IR, pero lim ff xx ff(aa) - De salto finito: lim ff xx IR, lim ff xx IR, pero lim ff xx lim ff xx De salto infinito: lim ff xx, lim ff xx, pero al menos uno de + ellos no es finito - De segunda especie: lim ff xx o lim ff xx +

21 Continuidad Teorema de Weierstrass: Sea f:[a,b] IR una función continua. Entonces f alcanza el máximo global y el mínimo global en el intervalo [a,b], es decir, O, dicho de otro modo, x 1,x 2 [a,b] / f(x 1 )= mín(f), f(x 2 )= máx(f) x 1,x 2 [a,b] / f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) x [a,b] f(x 2 ) f(a) f(b) f(x 1 ) a x 2 x 1 b

22 a b a x c Continuidad y b Incumplimiento de las hipótesis sup f función no continua intervalo no acotado sup f = + a c b a sup f intervalo no cerrado máx f no es condición necesaria mín f

23 Continuidad Teorema de Bolzano: Sea f:[a,b] IR IR una función continua. Si f(a).f(b)<0 entonces c (a,b) / f(c)= 0 Es decir, si una función continua en un intervalo [a,b] es tal que f(a) y f(b) tienen signos distintos, entonces existe algún punto del interior del intervalo donde la función se anula.

24 Continuidad Teorema de Darboux (o del valor intermedio): Sea f:[a,b] IR IR una función continua y sea M=máx(f) y m=min(f). Si m k M, entonces existe c [a,b] / f(c)= k.