Límites de funciones. Continuidad

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1 Límites de funciones. Continuidad 1. Calcula los siguientes límites: a) f(x) = 1 x x 4 b) f(x) = 2x2 +x x 2 +1 c) f(x) = x2 +x +2x 4x 2 +1 d) f(x) = x +x +2x 4x Calcula los límites cuando x + de las siguientes funciones: a) f(x) = (2 + x) x b) f(x) = ( + 2+x 5 ) x c) f(x) = ( 2+x 2x 1 ) x d) f(x) = ( 2+x 2x 1 ) x. Calcula los límites cuando x + de las siguientes funciones: a) f(x) = (2 + x) x 5 b) f(x) = ( 2+x 5 )2x c) f(x) = ( 2+x 2x 1 )x2 1 x x d) f(x) = ( 2+x 2x 1 4. Calcula los límites cuando x + de las siguientes funciones: a) f(x) = ( 2+4x 1+x )x 5 b) f(x) = ( 2+x 5 x+ x 2 )2 c) f(x) = ( +x2 + 4 x2 2x 1 x ) d) f(x) = (2+x x x 5. Calcula los límites cuando x de las siguientes funciones: a) f(x) = x 4x 2 + b) f(x) = ( 2+x 5 x2 + 2x )2 c) f(x) = (1 + +x x x 2 1 x ) x d) f(x) = 1 2x 6. Calcula los límites cuando x + de las siguientes funciones: a) f(x) = ( 2+4x 1+4x )x 5 b) f(x) = ( 2+5x x+ 5 x 2 )2x2 c) f(x) = ( 1+2x2 x 2 )x2 x+1 d) f(x) = ( 2+x x x2 x 7. Calcula los límites cuando x + de las siguientes funciones: a) f(x) = x + x b) f(x) = 4x 2 2x + 1 2x c) f(x) = 2 x 9x 2 2x+ d) f(x) = x 2 x 7 8. Calcula los siguientes límites: a) 1 x2 x 2 b) x2 x 1 c) x2 x d) x 0 x 4 x 1 x+1 e) x x 2 x 1 2x+2 x+7 f) x 2 x 2 4 g) x x2 +x 1 x x h) 4x x x 1 x Dada la función f(x) = { x2 4x + 1 si x 1 x 1 si x > 1 gráficamente. estudia su continuidad y represéntala 10. Dada la función f(x) = { x2 4x + 1 si x 1 estudia su continuidad en x = 1 y represéntala x 5 si x > 1 gráficamente. 11. Se considera la función real de variable real f(x) = { x 2 4x + si x 1 x 2 + 4x si x > 1 a) Estúdiese la continuidad de la función f. b) Represéntese gráficamente la función f. a) x R x < 1, f(x) = x 2 4x + : continua por ser función polinómica.

2 x R x > 1, f(x) = x 2 + 4x : continua por ser función polinómica. Estudiamos la continuidad en x = 1 comprobando las condiciones: 1] f(1) = 0 2] f(x) { (x2 4x + ) = 0 de donde f(x) = 0 + ( x2 + 4x ) = 0 ] f(1) = f(x) Por tanto la función f es continua en el conjunto de los números reales. b) Representación gráfica 12. Estudia la continuidad de las siguientes funciones y clasifica los tipos de discontinuidad en los casos que proceda: a) f(x) = { x2 2 si x < 1 si x 1 x 2 (Sol. en x = 2 hay una discontinuidad de salto infinito (x = 2 A.V); en el resto de puntos la función es continua) b) f(x) = x+2 x 2 4 (Sol. en x = 2 hay una discontinuidad evitable; en x = 2 hay una discontinuidad de salto infinito (x = 2 A.V); en el resto de puntos la función es continua) c) f(x) = { x ex si x < 1 si x 1 x 2 4 (Sol. en x = 2 hay una discontinuidad de salto infinito (x = 2 A.V); en x = 1 hay una discontinuidad de salto finito; en el resto de puntos la función es continua) 1. Estudia y clasifica los puntos de discontinuidad de la función f(x) = 2x 1 x 2 +2x 14. Dada la función f(x) = { x2 4x + 1 si x 1 x 1 si x > 1 a) Estudia su continuidad. b) Represéntala gráficamente.

3 15. Estudia y representa las asíntotas de la función f(x) = x 2 x+4 (Sol. x = 4 A.V; y = 1 A.H) 16. Estudia y representa las asíntotas de la función f(x) = x x 2 2x+1 (Sol. y = x + 2 A.O; x = 1 A.V) 17. Se considera la función real de variable real definida por 2x 2 a si x 1 f(x) = { x 2 + b si 1 < x < 1 Lx + a si x 1 a) Calcúlense a y b, para que la función f sea continua en todos los puntos. b) Represéntese gráficamente. a) x R x < 1, f(x) = 2x 2 a: continua por ser función polinómica. x R 1 < x < 1, f(x) = x 2 + b: continua por ser función polinómica. x R x > 1, f(x) = Lx + a: continua porque la función logarítmica lo es. Para que la función sea continua en los puntos x = 1 y x = 1 tenemos: Caso 1 x = 1 1] f( 1) = 2 a 2] f(x) { x 1 (2x2 a) = 2 a x 1 ( x2 + b ) = + b (1) Caso 2 x = 1 x 1 + 1] f(1) = L1 + a = a de donde 2 a = + b, esto es, a + b = 5 2] f(x) { ( x2 + b) = + b (Lx + a) = a de donde a = + b o a b = (2) + Para que f(x) sea continua en R, las expresiones (1) y (2) han de verificarse a la vez. Tenemos así a + b = 5 el sistema de ecuaciones { que nos da la solución a = 1 y b = 4. a b = b) 18. Determina el valor del parámetro a para que f(x) = { (Sol. en a = 1/2) x 2 si x 2 2x sea continua en x = 2 ax 2 1 si x > 2

4 19. Se considera la función real de variable real f(x) = { e x si x < 0 si x 0 a+x x 2 4x+ Estúdiese la continuidad de f en x = 0 para los distintos valores del parámetro a. Selectividad: Madrid Junio 201 Opción B Estudiamos las condiciones de continuidad en x = 0 : 1] f(0) = a e x = 1 x 0 2] f(x) { a+x x 0 x 0 + x 2 4x+ = a de donde a = 1 y a =. a = f(x) es continua en x = 0 Por tanto: [ a R a f(x) no es continua en x = Se considera la función real de variable real definida por f(x) = { ax2 si x 1 ln(2x 1) si x > 1 a) Calcúlese a para que la función f sea continua en todo R. b) Represéntese gráficamente la función para el caso a =. Nota: ln x denota al logaritmo neperiano del número x. Selectividad: Madrid Septiembre 201 Opción B a) x R x < 1, f(x) = ax 2 : es continua por ser función polinómica. x R x > 1, f(x) = ln (2x 1) : es continua por ser composición de funciones continuas. [ f = goh siendo g(x) = ln(x) y h(x) = 2x 1] Para que f(x) sea continua en x = 1 se deben cumplir las condiciones de continuidad de una función en un punto: 1] f(1) = a 2] f(x) { (ax2 ) = a ln(2x 1) = ln1 = 0 + de donde a = 0; a = es el valor buscado. b) a = Representación gráfica de la función f(x) = { x2 si x 1 ln(2x 1) si x > 1

5 21. Se considera la función real de variable real x + b x 2 f(x) = { x 2 + 6x + 5 x 2 + 4x + si x 1 si x > 1 a) Determínese para qué valores del parámetro b la función f(x) es continua en x = 1. b) Calcúlense las asíntotas de f(x). Selectividad: Madrid Junio 2016 Opción B a) Las condiciones de continuidad en x = 1 son: 1] f( 1) = 1+b existe 2] x 1 f(x) = { x 1 x 2 x2 +6x+5 = x 1 + x 2 +4x+ = 1+b 0 0 (x+1) (x+5) = x 1 + (x+1) (x+) x+5 = 2 x 1 + x+ 1+b La existencia de f(x) obliga a que = 2, de donde b = 7. x 1 b) x R, x 1 la función es f(x) = x 2. Como = 1, f(x) tiene una asíntota horizontal, la recta y = 1. No hay oblicua. x x 2 El polinomio x 2 se anula en x = 2 que está en el dominio de la función. Como = b a R para todo valor real de x 1, f(x) no tiene asíntotas verticales. x a x 2 a 2 x R, x > 1 la función es f(x) = x2 +6x+5 x 2 +4x+. x Como 2 +6x+5 = 1, la función f(x) tiene una asíntota horizontal, la recta y = 1. x + x 2 +4x+ El polinomio x 2 + 4x + se anula en x = 1 y en x = que son valores del dominio de f(x). Por tanto se tiene que: x 2 +6x+5 = a2 +6a+5 x a x 2 +4x+ a 2 +4a+ R para todo valor real de a tal que a > 1