2. FUNCIONES CONTINUAS.

Transcripción

1 . FUNCIONES CONTINUAS. En este capítulo nos centraremos en el estudio de las funciones continuas. Para ello, necesitamos estudiar el concepto de ite y algunas de sus propiedades..1. Límites de una función.1.1. Concepto de ite Denición.1 (Límite nito). Sea f : A R una función y x 0 A. Se dice que l R es el ite de f(x) cuando x tiende a x 0 y se denota por si f(x) = l, ε > 0, δ > 0 tal que x A : 0 < x x 0 < δ f(x) l < ε. Interpretación geométrica: Que el ite de f(x) cuando x tiende x 0 sea l R signica que los valores de f(x) se aproximan a l tanto como queramos, tomando x lo sucientemente cerca de x 0. y f x l Ε f x l l Ε x 0 x 0 x x 0 Fig. 1: Interpretación geométrica del ite. Departamento de Análisis Matemático 1 Análisis Matemático (Grado en Física)

2 Observación.. x 0 no pertenece necesariamente a A, sino a A, por lo que sabemos que r > 0 B(x 0, r) A \ {x 0 }, es decir, que existen números de A tan cerca a x 0 como queramos. Si x 0 A, f(x 0 ) no es necesariamente el ite de f(x) cuando x tiende a x 0. Por ejemplo, basta considerar la función x si x 0 f(x) = 1 si x = 0. El ite, si existe, es único. Ejemplo.3. (a) Veamos, usando la denición de ite, que x 4 (3x 7) = 5. En efecto, dado cualquier ε > 0, buscamos un número δ > 0 tal que si 0 < x 4 < δ entonces 3x 7 5 < ε. Pero como tenemos que 3x 7 5 = 3x 1 = 3 x 4, podemos elegir δ = ε/3, y se tiene que para todo x tal que 0 < x 4 < δ: 3x 7 5 = 3 x 4 < 3δ = ε. Obsérvese que, en realidad, podemos elegir cualquier δ < ε/3. (b) (1 + x ) = 1. En efecto, dado ε > 0, buscamos δ > 0 tal que si 0 < x < δ entonces (1 + x ) 1 < ε. Pero como (1 + x ) 1 = x = x, basta tomar δ = ε para que (1 + x ) 1 = x < δ = ε. Denición.4 (Límite innito). Sea f : A R una función y x 0 A. Se dice que f(x) tiende o diverge a + cuando x tiende a x 0 y se denota: si f(x) = +, M > 0, δ > 0 tal que x A : 0 < x x 0 < δ f(x) > M. Departamento de Análisis Matemático Análisis Matemático (Grado en Física)

3 si Se dice que f(x) tiende o diverge a cuando x tiende a x 0 y se denota: f(x) =, M > 0, δ > 0 tal que x A : 0 < x x 0 < δ f(x) < M. En ambos casos decimos que f(x) tiene una asíntota vertical en la recta x = x 0. Recordemos que + o no son números, sino símbolos que en este caso indican crecimiento o decrecimiento no acotado de los valores de la función: Si f(x) = +, f crece de manera no acotada. Si f(x) =, f decrece de manera no acotada. 1 Ejemplo.5. x = +. Denición.6 (Límite en el innito: dominios no acotados). Sea f : A R una función con A no acotado superiormente. Se dice que l es el ite de f(x) cuando x tiende a + y se denota: si f(x) = l, x + ε > 0, M > 0 tal que x A con x > M f(x) l < ε. Análogamente, si A no está acotado inferiormente, se dice que l es el ite de f(x) cuando x tiende a y se denota: f(x) = l, x si si ε > 0, M > 0 tal que x A con x < M f(x) l < ε. En estos casos decimos que f(x) tiene una asíntota horizontal en la recta y = l. Departamento de Análisis Matemático 3 Análisis Matemático (Grado en Física)

4 Los ites en el innito pueden ser innito: f(x) = +, si M > 0, K > 0 tal que x A : x > K f(x) > M. x + f(x) =, si M > 0, K > 0 tal que x A : x > K f(x) < M. x + Y análogamente cuando x tiende a. Ejemplo.7. 1 x + x = 0. En la denición de ite en un punto x 0, tomamos valores de x próximos a ambos lados de x 0, pero puede ocurrir que el ite exista condicionado a tomar valores sólo a un lado de x 0. Así denimos los ites laterales. Denición.8 (Límites laterales). Dada una función f : A R con x 0 A tal que para algún δ > 0, A (x 0, x 0 + δ), decimos que l es el ite de f(x) cuando x tiende a x 0 por la derecha y se denota: si f(x) = l, x x + 0 ε > 0, δ > 0 tal que x A : x (x 0, x 0 + δ) f(x) l < ε. Y si x 0 A es tal que para algún δ > 0, A (x 0 δ, x 0 ), decimos que l es el ite de f(x) cuando x tiende a x 0 A por la izquierda y se denota: si f(x) = l, x x 0 ε > 0, δ > 0 tal que x A : x 0 < x < x 0 + δ f(x) l < ε. Teorema.9. Si x 0 A tal que para algún δ > 0, A (x 0 δ, x 0 ) y A (x 0, x 0 + δ), existe el ite f(x) = l si y sólo si existen los dos ites laterales y son iguales a l. Departamento de Análisis Matemático 4 Análisis Matemático (Grado en Física)

5 Ejemplos x. Existen ambos ites laterales, pero como no son iguales, el ite no existe. x si x < 0. f(x) = x + 1 si x 0. 1 x = 1 + x = +. Los ites laterales en x 0 = 0 existen: f(x) = 0 f(x) = 1 + pero al ser distintos el ite f(x) no existe. Observación.11. Puede ser que no tenga sentido el ite lateral de una función, por ejemplo, si A (x 0 δ, x 0 ) = no tiene sentido x x 0 f(x). En ese caso es suciente que exista el otro ite lateral para hablar del ite de la función. Sería el caso de f(x) = ln x, cuyo dominio es R +, y por tanto ln x = ln x =. + Observación.1. Es posible que no existan ninguno de los ites laterales y por tanto no exista el ite de la función Fig. : Gráca de la función sen(1/x) cerca de x = 0. Departamento de Análisis Matemático 5 Análisis Matemático (Grado en Física)

6 Por ejemplo: sen(1/x), porque cuando x tiende a 0, los valores de f(x) no se aproximan a ningún número, sino que oscilan en el intervalo [ 1, 1], ya que x = (1+4k)π, con k Z, f(x) = 1 (observemos que al crecer los valores de k, x se aproxima a 0), y x = (3+4k)π, con k Z, f(x) = 1. Este tipo de comportamiento se llama divergencia por oscilación. Propiedades.13 (Álgebra de ites). Sean f(x) y g(x) funciones tales que existe g(x) R y sea α R. Entonces αf(x) = α f(x). (f(x) ± g(x)) = f(x) ± g(x). (f(x) g(x)) = f(x) g(x). Si Si f(x) g(x) 0, entonces g(x) = f(x) x x0 g(x). f(x) 0 y g(x) 0, entonces Se tienen resultados similares para ites en el innito. ( ) g(x) (f(x)) g(x) x x = f(x) 0. f(x) R y Proposición.14 (Regla del Sandwich). Sean f(x), g(x) y h(x) tres funciones tales que para cada x A se cumple que f(x) g(x) h(x). Si x 0 A, y f(x) = g(x) = l. El resultado también es válido para ites innitos y ites en el innito. Proposición.15. Si f(x) es una función tal que de x 0 ), entonces f(x) g(x) = 0. h(x) = l, entonces f(x) = 0 y g(x) está acotada (en un entorno Ejemplo.16. x sen (1/x) = 0. Es consecuencia de la propiedad anterior porque aunque sen ( 1 x), sabemos que la función sen ( ( 1 x) está acotada en un entorno del 0 (de hecho, sen 1 x) [ 1, 1], x 0), y x = 0. Ver Figura 3. Departamento de Análisis Matemático 6 Análisis Matemático (Grado en Física)

7 Fig. 3: Gráca de la función f(x) = x sen 1/x cerca de x = 0. Proposición.17. Sea f(x) tal que f(x) = 0. Entonces (1 + f(x)) 1/f(x) = e. Los dos últimos resultados también son ciertos para ites en ±..1.. Indeterminaciones En general, la forma más simple de calcular un ite es la sustitución directa. Recordemos que, bajo el signo de ite, podemos suponer que 1/ = 0 y que 1/0 =. En este último caso (y siempre dentro del cálculo de ites) tendremos que estudiar el signo del innito y, posiblemente, recurrir a los ites laterales para ello. Sin embargo, en algunos casos, por sustitución directa, y a pesar de las reglas anteriores, no podemos obtener el valor del ite pues obtenemos un cálculo que no se puede realizar. Son estas situaciones las que se conocen como Indeterminaciones, pues dependiendo de cada ite el resultado será uno u otro. En total son siete: Indeterminación de la suma/resta: [ ]. Indeterminación del producto: [0 ]. [ ] 0 Indeterminaciones del cociente: y 0 [ ]. Indeterminaciones de la exponenciación: [1 ], [ 0 0] y [ 0]. y para resolverlas hay que utilizar diversas herramientas que se suponen conocidas. Aún así, ilustramos algunas con varios ejemplos. Departamento de Análisis Matemático 7 Análisis Matemático (Grado en Física)

8 Ejemplos.18. (a) Simplicación de fracciones: x + x 6 = x x [ 0 0 (b) División entre la potencia mayor grado: x + (c) Racionalización: ] x + 3x x 3 x + 4 = [ x + (x + 3)(x ) = = x + 3 = 5. x x x ] x + 1 x = x = + 3 x x x + 4 = = 0 1 = 0. x 3 [ ] = x + ( x x) = = +. x + 1 ( x x) ( x + 1 x)( x x) (d) Uso del número e y la Proposición.17 ([1 ]). ( ) x x ( = [1 ] = x + x 1 x + x 1 (e) Uso de la exponencial y logaritmo ( [ 0 0], [ 0], [1 ]): ) x = x + [ ( ) ] x x 1 x 1 x 1 = e 1 = e. x ( 3 ln x ) 3 ln x = [ 0 0] = e ln x( 3 ln x) ln x = e ( ) 3 = e ln x 1 = e = 1 e. = e ln x 3 ln x = e [ ].1.3. Innitésimos. Denición.19 (Innitésimos). Una función f(x) se dice que es un innitésimo en x 0 (o ± ) si f(x) = 0. Dados dos innitésimos en x 0, f(x) y g(x), decimos que f(x) es de menor orden que g(x) (o que es despreciable frente a g(x) cerca de x 0 ) y se denota f(x) = o[g(x)] si f(x) g(x) = 0. Departamento de Análisis Matemático 8 Análisis Matemático (Grado en Física)

9 Dos innitésimos en x 0, f(x) y g(x), se dicen innitésimos equivalentes en x 0 y lo denotaremos f(x) g(x) si sen x Ejemplo.0. = 1. x f(x) g(x) = 1. La utilidad de los innitésimos en el cálculo efectivo de ites se puede apreciar en la siguiente propiedad. Proposición.1. Principio de sustitución: Si f(x) g(x) y h(x) está denida en un entorno de x 0, entonces: f(x) h(x) = g(x) h(x) h(x) f(x) = h(x) g(x). Propiedades.. Algunos innitésimos equivalentes útiles: Si f(x) es un innitésimo en x 0, es decir, f(x) = 0, entonces f(x) sen f(x) tan f(x) arc sen f(x) senh f(x). f(x) e f(x) 1 ln(1 + f(x)). f(x) x x 0 x x 1 cos f(x) 0 cosh f(x) 1. (1 + f(x)) α 1 αf(x), (α > 0). Observación.3. El principio de sustitución nos permite calcular el ite de una función cuando x tiende a x 0, cambiando un innitésimo en x 0, f(x), por cualquiera de sus innitésimos equivalentes siempre que f(x) aparezca multiplicando o dividiendo. El próximo ejemplo ilustra esta estrategia. Ejemplo.4. Veamos que x π/ (sen x) tan x = e 1. En efecto, como tenemos una indeterminación del tipo [1 ], primero hacemos uso de la exponencial y su inversa: x π/ (sen x) tan x = e x π/ tan x ln(sen x). Departamento de Análisis Matemático 9 Análisis Matemático (Grado en Física)

10 Como x π/ tan x ln(sen x) = [0 ], y x π/ sen x = 1, utilizamos la equivalencia de los innitésimos ln(sen x) = ln(1 + (sen x 1)) y sen x 1, y el principio de sustitución para obtener x π/ (sen x) tan x = e x π/ tan x (sen x 1) x π/ tan x ( cos x) x π/ sen x = e = e = e 1... Continuidad de una función..1. Denición de continuidad y clasicación de discontinuidades Denición.5 (Continuidad en un punto). Una función f(x) es continua en x 0 Dom(f) si x x0 f(x) = f(x 0 ). Es decir, f(x) es continua en x 0 si ε > 0, δ > 0 tal que x Dom(f) : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. Podemos hablar de continuidad lateral: Una función f(x) es continua por la derecha en x 0 R si f(x) = f(x 0 ). x x + 0 Una función f(x) es continua por la izquierda en x 0 R si f(x) = f(x 0 ). x x 0 Claramente, f(x) es continua en x 0 si lo es por la derecha y por la izquierda (siempre que tengan sentido los ites laterales). Ejemplo.6. La función parte entera E[x], que asocia a x R su parte entera, es una función escalonada que en todo x = p Z es continua por la derecha pero no por la izquierda (ver Figura 4). En efecto, para todo x = p Z, E[x] = p 1 y E[x] = p = E[p]. x p x p + Departamento de Análisis Matemático 10 Análisis Matemático (Grado en Física)

11 Fig. 4: Gráca de la función parte entera. Denición.7 (Continuidad en un subconjunto). Una función f(x) es emcontinua en un subconjunto A Dom(f) si es continua en todo punto x A. Observación.8. Recordemos que para que f(x) sea continua en x 0 es necesario que lo sea por la derecha y por la izquierda, siempre que tengan sentido los ites laterales. Si tomamos A = [a, b], f(x) será continua en A si lo es en todo x A, de forma que en los extremos a y b tan sólo tendremos que comprobar que f(x) es continua por el interior de A, es decir, por la derecha para a y por la izquierda para b. Por ejemplo, E[x] es continua en [p, p + 1) para todo p Z. Propiedades.9 (Álgebra de funciones continuas). Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x 0 y α R; entonces (αf)(x) es continua en x 0. (f/g)(x) es continua en x 0, si g(x 0 ) 0. (f ± g)(x) es continua en x 0. f(x) es continua en x 0. Si, además, f(x) es continua en g(x 0 ), entonces (f g)(x) es continua en x 0. (f g)(x) es continua en x 0. Observación.30. Todas las funciones elementales estudiadas anteriormente son continuas en su dominio. Denición.31 (Discontinuidades). Sea f(x) una función y x 0 un punto de forma que f está denida Departamento de Análisis Matemático 11 Análisis Matemático (Grado en Física)

12 en un entorno de x 0 (quizás no en dicho punto). Si f(x) no es continua en x 0, entonces se dice que x 0 es una discontinuidad de f(x). Las discontinuidades de una función pueden clasicarse del siguiente modo: (a) Discontinuidad evitable: f(x) = l R pero l f(x 0 ). f(x) = l R pero x 0 / Dom(f). (b) Discontinuidad de salto nito f(x) = l 1 R y f(x) = l R, pero l 1 l. x x 0 x x + 0 Al valor l 1 l se le llama salto. (c) Discontinuidad de salto innito f(x) = l 1 R y f(x) = ± (o viceversa). x x 0 x x + 0 (d) Discontinuidad asintótica f(x) = ±. f(x) = + y f(x) = (o viceversa). x x 0 x x + 0 (e) Discontinuidad esencial Alguno de los ites laterales (posiblemente ambos) no existen. Ejemplos.3. (a) La función f(x) = ln(x+1) x presenta una discontinuidad evitable en x = 0 porque Dom(f) = ( 1, 0) (0, + ) y f(x) = 1 (recordemos que son innitésimos equivalentes en x = 0). (b) La función parte entera E[x] es continua en R \ Z y todos los puntos p Z son discontinuidades de salto nito porque E[x] = p 1 x p E[x] = p. x p + En todos los casos, el salto es 1. Departamento de Análisis Matemático 1 Análisis Matemático (Grado en Física)

13 (c) La función f(x) = e 1/x presenta una discontinuidad de salto innito en x = 0 porque f(x) = + + f(x) = 0. (d) Las funciones f(x) = 1 x y g(x) = 1 x presentan una discontinuidad asintótica en x = 0 pues f(x) = +, + f(x) =, g(x) = +. (e) La función f(x) = sen(1/x) tiene en x = 0 una discontinuidad esencial porque ya hemos visto que f(x). (f) La función de Dirichlet 1 x Q f(x) = 0 x / Q, no es continua en ningún punto porque tanto Q como R \ Q son densos en R, luego para cada x 0 R, se tiene que f(x) y tampoco existen los ites laterales. Por este último motivo, la función f(x) presenta una discontinuidad esencial en cada punto x 0 R.... Propiedades de las funciones continuas Proposición.33 (Conservación del signo). Si f(x) es continua en x 0 entonces δ > 0 tal que f(x) f(x 0 ) 0, x (x 0 δ, x 0 + δ) Dom(f). Proposición.34 (Acotación local). Si f(x) es continua en x 0 entonces δ > 0 tal que f(x) está acotada en (x 0 δ, x 0 + δ). Para los siguientes resultados necesitamos establecer los conceptos de máximo y mínimo de una función. Denición.35 (Máximo y mínimo absoluto). Sea f : A R R, y sea x 0 A. Se dice que f(x 0 ) es el máximo absoluto de f en A si f(x) f(x 0 ) para todo x A. Análogamente, se dice que f(x 0 ) es el mínimo absoluto de f en A si f(x) f(x 0 ) para todo x A. Teorema.36 (Teorema de Weierstrass). Si f(x) es continua en [a, b], entonces f(x) está acotada en [a, b] y tiene máximo y mínimo absoluto en [a, b]. Departamento de Análisis Matemático 13 Análisis Matemático (Grado en Física)

14 Teorema.37 (Teorema de Bolzano). Si f(x) es continua en [a, b] y f(a) f(b) < 0, entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que f(c) = 0. Corolario.38 (Propiedad de Darboux). Si f(x) es continua en [a, b], entonces alcanza todos los valores entre su máximo y su mínimo absoluto. En particular, f(x) alcanza cualquier valor entre f(a) y f(b). Departamento de Análisis Matemático 14 Análisis Matemático (Grado en Física)