82 Matemáticas I. Parte III. Cálculo diferencial en IR. I.T.I. en Electricidad. Prof: José Antonio Abia Vian

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1 8 Matemáticas I Parte III Cálculo diferencial en IR

2 83 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 8 Funciones reales de variable real 8. Los números reales Los números reales son de sobra conocidos, sus operaciones básicas así como su identificación con los puntos de la recta real, por lo que sólo vamos a mencionar aquí algunas de sus propiedades la mayoría conocidas) que son imprescindibles en el desarrollo de este tema. Propiedades de orden 73.- Denotaremos por IR + = IR : > } y IR = IR : < }.- Antisimétrica: Si y e y = = y..- Transitiva: Si y e y z = z. 3.- Total: Para cualesquiera, y IR: o bien y, o bien y. 4.- Si y, entonces + z y + z para todo z IR si < y = + z < y + z ). 5.- Si y, entonces z y z para todo z IR + si < y = z < y z ). 6.- Si y, entonces z y z para todo z IR si < y = z > y z ). 7.- Si < < y, entonces < y <. Las propiedades de acotación siguientes garantizan que los números reales llenan la recta real, lo que nos permite decir que recorremos de manera continua un subconjunto de IR. Definición 74.- Sea A IR, diremos que el conjunto A está acotado superiormente si eiste algún K IR tal que K, para todo A; es decir, todos los elementos de A son menores que K. Del valor K diremos que es una cota superior de A. Análogamente, A está acotado inferiormente si eiste k IR tal que k, para todo A y diremos que k es una cota inferior de A. Diremos que A está acotado si lo está superior e inferiormente. Propiedad del etremo superior 75.- Todo subconjunto no vacío A IR y acotado superiormente admite una cota superior mínima, es decir, Γ IR tal que: a) Γ; A b) Si K < Γ, entonces A verificando que K < Γ. Se dice que Γ es el etremo superior o supremo de A y se denota por sup A ó et sup A. Si Γ pertenece a A, se dice que Γ es el máimo de A, y escribiremos má A = Γ. Propiedad del etremo inferior 76.- Todo subconjunto no vacío A IR acotado inferiormente admite una cota inferior máima, es decir, γ IR tal que: a) γ ; A b) Si γ < k, entonces A verificando que γ < k. Se dice que γ es el etremo inferior o ínfimo de A y se denota por inf A ó et inf A. Si γ pertenece a A, se dice que γ es el mínimo de A, y escribiremos mín A = γ. Nota: Que Γ = sup A es equivalente a que para cada ε > eiste A con Γ ε < Γ. Es decir, que para cualquier valor más pequeño que el superior hay algún elemento del conjunto más grande que él. Análogamente, γ = inf A para cada ε > eiste A con γ < γ + ε. Ejemplo El conjunto A = } n : n IN} =,, 3, 4,... está acotado superior e inferiormente.

3 84 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8. Los números reales En efecto, n < para todo n, luego es una cota superior del conjunto de hecho, cualquier número mayor o igual a lo es). También está acotado inferiormente, pues n es positivo luego < n para todo n y es una cota inferior de A cualquier número negativo es también una cota inferior). Luego A es un conjunto acotado y tiene supremo e ínfimo: como el supremo es la mínima cota superior, sup A =, pues es una cota superior y si K <, eiste el A tal que K < sup A = luego K no es una cota y es la más pequeña. Como el ínfimo es la máima cota inferior, inf A =, pues es una cota y para cualquier k >, puedo encontrar un n suficientemente grande para que < n < k por ejemplo, para k =., se tiene que < < = k ). Además, sup A = A luego má A = ; lo que no ocurre con el ínfimo, pues inf A = / A, luego mín A. 8.. Valor absoluto de un número real Definición 77.- Sea a IR, se llama valor absoluto de a, y se representa por a, al número real dado por a = + a, si a a = a, si a < Propiedades del valor absoluto 78.- a) a, a y a = a = b) ab = a b c) a = a d) a k k a k e) a + b a + b f) a b a b El valor absoluto y su uso como distancia es clave en las definiciones de conjuntos y conceptos como el ite y la continudad, la derivación e integración. Nota: Con el valor absoluto, diremos que A es acotado eiste K > tal que K, A. } Ejemplo El conjunto A =,, 3, 4,... del ejemplo anterior está acotado pues para todo n. n 8.. Intervalos y entornos en IR Los subconjuntos de IR, están formados por puntos separados o por intervalos trozos ) de la recta real o por uniones de ellos; pero no sólo eso, sino que la validez de algunos resultados depende del tipo de intervalo usado. Pero además, los intervalos centrados en un punto que llamaremos entornos) son básicos en la construcción de la mayoría de los conceptos del Cálculo. Definición 79.- Dados los números reales a y b con a b, se llama intervalo abierto de etremos a y b, y se representa por a, b), al conjunto: a, b) = IR : a < < b}. Se llama intervalo cerrado de etremos a y b, y se representa por [a, b], al conjunto: [a, b] = IR : a b}. Análogamente se definen: a, b] = IR : a < b} y [a, b) = IR : a < b} y los intervalos no acotados: a, + ) = IR : a < } y [a, + ) = IR : a }, b) = IR : < b} y, b] = IR : b} En los intervalos cerrados, inf[a, b] = mín[a, b] = a y sup[a, b] = má[a, b] = b, mientras que en los abiertos infa, b)} = a y supa, b)} = b pero no tiene ni máimo ni mínimo. En los no acotados, como [a, + ), se tiene inf[a, + ) = mín[a, + ) = a pero no eiste el superior a veces se escribe sup A = +, para indicar que el conjunto no está acotado superiomente). Naturalmente, IR es también un intervalo IR =, + ). Y, [a, a] = a} pero a, a) = a, a] = [a, a) =. Definición 8.- Llamaremos entorno de centro a y radio ε >, y escribiremos Ea, ε), al conjunto: Ea, ε) = IR : a < ε} = IR : a ε < < a + ε} = a ε, a + ε). Llamaremos entorno reducido de centro a y radio ε >, E a, ε), al conjunto E a, ε) = Ea, ε) a} = IR : < a < ε}.

4 85 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8. Funciones reales de variable real 8..3 Algunas operaciones con números reales Potencias racionales y reales de un número real Las potencias racionales, r, se definen paulatinamente a partir de las potencias naturales: para n IN y IR, definimos n = n). para z Z y IR }, definimos = y si z <, z = ) z. para n IN y IR +, definimos n = n como el α IR tal que α n = para r = z n, con z Z y n IN, y IR+, definimos z n = n z. y se verifican las siguientes propiedades: ) r y r = y) r ) r s = r+s 3) r ) s = rs 4) Si < < y, entonces < r < y r si r > y < y r < r si r < 5) Si r < s se tiene que r < s cuando > y s > r cuando < <. n Antes de terminar, un pequeño apunte sobre las raices n-ésimas, para : si n es impar, eiste un único número real α > tal que α n = ; y si n es par, eiste un único número real α > tal que α n = y α) n =. Por ello, si n es par siempre se escribe n > y n < para distinguir entre el valor positivo y el negativo. Potencias reales.- Las potencias reales de un número real, α, con > y α IR se etienden de las racionales aunque no de manera sencilla) y verifican las mismas propiedades de ) a 5) que las potencias racionales Eponencial real de base e La eponencial de base e que a cada IR le asigna el número real e. Las propiedades de las potencias, establecen la validez de: ) e +y = e e y ) Si < y se tiene que e < e y 3) e > Genéricamente, tenemos eponenciales de base a, para cualquier a >, con propiedades similares.) Logaritmo neperiano real Para cada, + ), se define el logaritmo neperiano, ln como el valor real α tal que e α = ; es decir, la operación recíproca a la eponencial. ) lny) = ln + ln y ) ln y ) = y ln 3) Si < < y se tiene ln < ln y Genéricamente, para cada eponencial a, tenemos el logaritmo en base a, log a.) 8. Funciones reales de variable real Definición 8.- Llamaremos función real de variable real, a cualquier aplicación f: A IR, donde A IR. Al conjunto A lo denominaremos dominio de f y escribiremos A = Domf). Si A escribiremos y = f) para indicar que y IR es la imagen de por medio de f. El recorrido o conjunto imagen de f, que suele denotarse por fa), será: fa) = f) IR : A } = y IR : A con y = f) } = Img f Nota: Si la función viene dada sólo por la epresión y = f), sobreentenderemos que el dominio es el máimo subconjunto de IR para el cual f) IR, es decir, Domf) = IR : f) IR} Ejemplo Sea f: [, ] IR dada por f) =. Se tiene que: Domf) = [, ]: pues [, ] = = = = f) IR.

5 86 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8. Funciones reales de variable real f[, ]) [, ], ya que [, ] = = = = y, si k [, ], se tiene k = f k ) ; luego f[, ]) = [, ]. Para f dada por f) =, su dominio se obtendrá de: f) IR IR ± luego Domf) = IR, } =, ), ), + ). Además, Imgf) = IR [, ). Definición 8.- Llamaremos gráfica de la función dada por y = f), y lo denotaremos por graff), al subconjunto de IR } graff) =, y) IR : Domf) e y =f) } =, f)) IR : Domf) fa) fc) fb) y graff) a, fa)) c, fc)) b, fb)) a b c Definición 83 Operaciones con funciones).- Sea f y g funciones reales de variable real. Entonces son funciones reales de variable real las siguientes:.- Suma) f +g)) = f) + g).- Producto) fg)) = f) g) ) 3.- Cociente) f g ) = f) g) 4.- Composición) g f)) = gf)) en los conjunto donde tenga sentido. Es decir: Domf +g) = Domf) Domg) Domf/g) = Domfg) = Domf) Domg) Domg f) = ) Domf) Domg) : g) = } } Domf) : f) Domg) Ejemplo Sean f) = y g) =. Se tiene que Dom f = IR : } = IR : } =, ] Dom g = IR : } = IR : } =, ] [, + ) = IR, ) Luego el dominio de f + g)) = + es Domf + g) = Dom f Dom g =, ] ), ] [, + ) =, ] [, ] que coincide con el de fg)) =. Para el dominio de f g )) =, como g) = si =, es decir, si = ±, ) ) Dom f g = Dom f Dom g), } =, ] [, ], } =, ), ] y, finalmente el dominio de g f)) = ) = será Domg f) =, ] : Dom g } ) =, ] : } =, ] : } =, ] : } =, ] ) como, se tiene Dom g si [, + ), es decir, si. Dominio de algunas funciones elementales 84.- Raíz: f) = n y Dom f = [, + ). Con n = =. Potencia real: f) = α y Dom f =, + ). Con α > para todo. Eponencial: f) = e y Dom f = IR. Con e > para todo. Logaritmo neperiano: f) = ln) y Dom f =, + ). Con ln = =.

6 87 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8. Funciones reales de variable real Seno: f) = sen) y Dom f = IR. Con sen = = kπ con k Z, Coseno: f) = cos) y Dom f = IR. Con cos = = π + kπ con k Z. Tangente: f) = tg) = sen cos y Dom f = IR π + kπ : k Z} = π k Z + kπ, π + kπ). Seno hiperbólico: Coseno hiperbólico: Tangente hiperbólica: f) = sh) = e e y Dom f = IR. Con sh = =. f) = ch) = e +e y Dom f = IR. Con ch para todo. f) = th) = sh ch y Dom f = IR. α < α > f) = α < α < < α < α = f) = e f) = ln) ch) sh) th) π π sen) cos) tg) Fig. 8.. Gráficas de algunas funciones elementales. Definición 85.- Sea f: A IR, con A IR. Diremos que f es una función acotada si el conjunto imagen fa) está acotado. Es decir, si eiste K > tal que f) K para todo A. Ejemplo El seno y el coseno están acotadas en IR, pues sen y cos para todo IR. La función f: IR } IR, con f) =, está acotada en su dominio pues para todo IR, se tiene, y para todo,. De hecho, f) =,.) La función th) está acotada en IR. En efecto, si, se cumple que e e = e, luego e e < e + e y entonces e e e +e <. Como th ) = th) comprobarlo), cuando <, se tiene < th) <, por lo que th) <, para todo IR. 8.. Monotonía. Funciones inversas Definición 86.- Sea f: A IR diremos que f es creciente o monótona creciente en el conjunto A, si para cualesquiera, y A, con < y, se verifica que f) fy). Diremos que f es decreciente o monótona decreciente en el conjunto A, si para cualesquiera, y A, con < y, se verifica que f) fy). Diremos que f es creciente resp. decreciente) en el punto a A, si eiste un entorno Ea, δ) tal que, y Ea, δ) con < a < y se cumple f) fa) fy) resp. f) fa) fy)). Nota: Si las desigualdades son estrictas, diremos estrictamente creciente y estrictamente decreciente. Ejemplo Por las propiedades enunciadas anteriormente, las funciones e, ln y α con α > son estrictamente crecientes en sus dominios; y si α <, α decrece estrictamente en, + ) ver gráficas arriba). La función f) = es estrictamente decreciente en cada punto de su dominio IR }, pero no es monótona decreciente en el conjunto ya que < pero f ) = < f) =.) Definición 87.- Se dice que f: A IR es inyectiva en A si f) fy) para todo, y A, con y. Ejemplo Las funciones estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes en un conjunto son inyectivas. La función f) = es inyectiva en [, ] y también en [, ], pero no lo es en el conjunto [, ] puesto que f ) = = f) con.

7 88 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8.3 Límite y continuidad de una función en un punto Definición 88.- Sean f: A IR y B = fa). Si f es inyectiva en A, llamaremos función inversa de f en A, y la denotaremos por f, a la función f : B A tal que f f)) =, para todo A. Ejemplo La función f: [, ) IR con f) =, tiene inversa en ese conjunto es estrictamente creciente en él) y es f : [, ) [, ) dada por f y) = y. [ f f)) = = = ] La función f:, ] IR con f) =, tiene inversa en ese conjunto es estrictamente decreciente en él), que es f : [, ), ] dada por f y) = y. [ f f)) = = = ] La función f:, + ) IR con f) = α, tiene inversa en el conjunto es estr. creciente si α > y decreciente si α < ), que es f :, ) IR dada por f y) = y α. [ f f)) = α ) α = = ] La función f: IR IR con f) = e, tiene inversa en IR es estrictamente creciente en él), que es f :, ) IR dada por f y) = ln y. [ f f)) = lne ) = lne) = ] La función f) = sen, tiene inversa en el conjunto [ π, π ] es estrictamente creciente en él), la función f : [, ] [ π, π ] que llamaremos arcoseno y denotaremos f y) = arcsen y. El seno no tiene inversa en [, π], pues no es inyectiva en ese conjunto) La función f) = cos, tiene inversa en el conjunto [, π] es estrictamente decreciente en él), la función f : [, ] [, π] que llamaremos arcocoseno y denotaremos f y) = arccos y. La función f) = tg, tiene inversa en el conjunto [ π, π ] es estrictamente creciente en él), la función f : IR [ π, π ] que llamaremos arcotangente y denotaremos f y) = arctg y. Nota: La gráfica de f es simétrica, respecto de la bisectriz del primer cuadrante, a la gráfica de f. En efecto, si, y) graff) con y = f), entonces, el punto y, f y)) graff ) es de la forma y, f y)) = y, f f))) = y, ). Puede observarse esto en la figura 8. de la página 87, para e y su inversa ln) y α y su inversa α. 8.3 Límite y continuidad de una función en un punto Definición 89.- Un punto IR se dice punto de acumulación de un conjunto A si, y sólo si, para cada ε > se tiene que E, ε) A. Es decir, es un punto de acumulación de un conjunto A si en cada entorno de hay otros puntos de A. De los puntos de A que no son de acumulación, se dice que son puntos aislados de A. Nota: Es decir, es punto de acumulación de A si cerca de siempre hay otros) puntos de A, por pequeño que hagamos el círculo de cercanía; en consecuencia, a un punto de acumulación de un conjunto siempre podremos acercarnos con puntos del conjunto. Sólo así tiene sentido la definición del ite siguiente. Definición 9.- Sea f: A IR y sea IR un punto de acumulación de A. Se dice que el ite de la función f) cuando tiende a es L, y se representa por f) = L, también con f L, cuando ) si, y sólo si, para cada ε > eiste δ > tal que si A y < < δ, entonces f) L < ε. El significado de esta farragosa definición sería lo siguiente: el ite en de f es L si la imagen de cada cercano a está cerca de L. Puede quedar un poco más claro epresando esta crecanía mediante entornos: La definición anterior es, evidentemente, equivalente a: Diremos que el ite de la función f cuando tiende a es L si, y sólo si, para cada entorno de L, EL, ε), eiste un entorno reducido de, E, δ) tal que si A E, δ), entonces f) EL, ε). En la figura de la derecha vemos que, en efecto, para los puntos cercanos a en fondo rojo) sus imágenes en fondo rojo) están dentro de la cercanía de L fijada en fondo verde). L+ε L L ε δ +δ

8 89 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8.3 Límite y continuidad de una función en un punto Ejemplo Para f: [, + ) IR dada por f) =, se tiene que f) =. Para cada ε >, tomamos δ = ε >, si [, + ) y < < δ, es decir, si < < ε se verifica que < ε = ε, pero esto es lo mismo que = = < ε. Nota: Para el ite no importa la función en el punto sino su valor en puntos cercanos ponemos < < δ en la definición).,, = Así, f) = tiene f) = aunque f) =, ya que si y, la función toma los valores f) = en esos puntos y entonces f) = =. Y también la función g) = tiene por g) = =. f g El valor de la función en el punto es primordial sin embargo para el concepto de continuidad: Definición 9.- Sea f: A IR, se dice que f es continua en el punto A si, y sólo si, para cada ε > eiste δ > tal que si A y < δ entonces f) f ) < ε. Observación: Si el punto no está aislado, la definición es equivalente a que f) = f ). Ejemplo La función de la nota anterior f) =,, = no es continua en, pues f) = f); mientras que la función g) = sí lo es pues g) = = g). También es continua en la función f) = del ejemplo anterior, pues = =. Ejemplo 9 La función f) = e es continua en. En efecto, por ser e estrictamente creciente: si < < δ, es < e < e δ, luego < e = e < e δ si δ < < es e δ < e <, luego < e = e < e δ = eδ < e δ. e δ Entonces, para cada ε > tomamos δ = ln + ε) y si < < δ, se tiene que e < e δ = e ln+ε) = + ε) = ε Luego se cumple que e = = e y e es continua en Algunos resultados interesantes Proposición 93.- Sea f: A IR y un punto de acumulación de A. Entonces a) f) = L f) L) = b) f) = c) Si h =, entonces f) = L h f + h) = L f) = Demostración: Basta observar que la definición de ite para el segundo término de la a equivalencia: para cada ε >, eiste δ > tal que si < < δ = f) L) = f) L < ε para el segundo término de la a equivalencia: para cada ε >, eiste δ > tal que si < < δ = f) = f) < ε y para el segundo término de la 3 a equivalencia: para cada ε >, eiste δ > tal que si < h = < δ = f + h) L = f) L < ε coinciden con la definición de los ites para los respectivos primeros términos de la equivalencias. Los resultados a) y c) anteriores deben considerarse definiciones equivalentes de la definición de ite y nos permiten transformar un ite en un ite de valor o a un ite en el punto. Con el apartado b) cambiamos la función por otra acotable, lo que cobra interés tras los resultados siguientes:

9 9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8.3 Límite y continuidad de una función en un punto Proposición 94.- Sean f, g, h: A IR y un punto de acumulación de A..- Si f) g) h) en A y f) = L = h), entonces.- Si g está acotada en A y f) =, entonces g) f) = g) = L Ejemplo El sen =, pues = y el seno está acotado sen y, para cualquier y IR) Límites y continuidad con las operaciones básicas El cálculo de los ites y, por tanto el estudio de la continuidad, se etiende ampliamente y de manera sencilla mediante las operaciones básicas de las funciones: Propiedades 95.- Si f) = L IR y a) [f) + g)] = f) + g) = L + L. b) [f) g)] = f) g) = L L. g) = L IR, entonces: f) f) c) g) = g) = L L, siempre que L. Corolario 96.- Sean f y g funciones continuas en un punto A, entonces:.- f + g es continua en el punto..- fg es continua en el punto. 3.- f g es continua en el punto siempre que g ). Ejemplos La función f) = n es continua en IR: En general, si P X) es un polinomio, n = ) n) n ) = ) = n P ) = P ), luego continuo en todo IR. Y una función racional, f) = P ) Q), será continua en los puntos de su dominio salvo en aquellos a con P ) Qa) =, pero esos no pertenecen al dominio) y en todos ellos Q) = P ) Q. ) f) = e es continua en IR, pues lo es en Ejemplo 9) y se tiene e = e e = e e = e e = e e = e Teorema 97.- Sean f: A IR y g: fa) IR. Si a f) = b y g es continua en b, entonces gf)) = gb) = g ). f) a a Corolario 98.- Si f es continua en a y g continua en fa), entonces g f es continua en a. Ejemplo La función f) = es continua en por ser polinómica; la función g) = es continua en = f), pues = = = = ; y h) = es continua en = g). Entonces, la composición h g f)) = hgf))) = es continua en. Además, = = ) = =. Imponiendo condiciones sobre la función f, podemos dar una variante del teorema 97 anterior que prescinde de la condición de continuidad de g :

10 9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8.3 Límite y continuidad de una función en un punto Proposición 99 Convergencia propia).- Sean f: A IR y g: fa) IR. Si a f) = b, con f) b para todos los de un entorno reducido E a, δ ) de a, entonces g f)) = gf)) = gy). a f) b y b Ejemplo Sea gy) = y, si y, y g) =, no continua en. Para f) = e se cumple la condición pedida, pues f) = e = f) si es est. creciente), luego gf)) = gy) =. En y efecto, como gf)) = ge ) = e si e, se tiene gf)) = e = ). Sin embargo, para la función f) = si y f) =, que no verifica la condición de la proposición f) = = f) si ), se tiene que: gf)) = g) = gy) =. y Límites laterales Definición.- Sean a < c < b y f: a, c) c, b) IR. Diremos que L es el ite por la izquierda de f en c, si para cada ε > eiste δ > tal que cuando < c y < c < δ, se tiene que f) L < ε. Diremos que L es el ite por la derecha de f en c, si para cada ε > eiste δ > tal que cuando > c y < c < δ, se tiene que f) L < ε. Los representaremos, respectivamente, por f) = f) = L c y c c <c >c f) = c + f) = L Proposición Límites laterales).- Sean a < c < b y f: a, c) c, b) IR. Entonces c f) = L f) = f) = L c c + Ejemplo Sea f) = =, si, si <. Entonces = = y = = = = + + Nota: Si sólo hay función en un lado, el ite coincide con el ite lateral. Por ejemplo, = +, pues en los puntos a la izquierda de no está definida la función. Definición.- Si f no es continua en un punto, pero se cumple que f) = f ) ó que f) = f ), se dice que f es continua por la izquierda o continua por la derecha en. + Ejemplo Todas son funciones no continuas en, la tercera es continua por la derecha y las dos últimas son continuas por la izquierda. La discontinuidad de la primera función suele denominarse evitable basta rellenar el hueco par hacerla continua), de la quinta se dice de salto infinito y de las tres restantes de salto finito Límites con infinito De manera similar a como se definen los limites para valores reales, podemos definir ites donde la variable se acerca a + ó a, o que sea la función la que pueda tomar valores cércanos a ellos valores, tan grandes que superan cualquier cota K >, o tan pequeños que rebasan cualquier cota por abajo K < ). Las definiciones son análogas, sin más que cambiar la aproimaciones a puntos reales por aproimaciones a :

11 9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8.3 Límite y continuidad de una función en un punto Definición 3.- Si f es una función real de variable real, se tienen las siguientes definiciones: f) = + f) = L f) = si, para cada K >, eiste δ > tal que si < < δ = f) > K si, para cada ε >, eiste M > tal que si < M = f) L < ε si, para cada K >, eiste M > tal que si > M = f) < K Análogamente: f) =, f) = L, f) = +, Ejemplo Para a >, a = + y =. f) = + y En efecto: para cada K > tomamos M = K a > y si > M, entonces f) = a > am = a K a = K para cada K > tomamos δ = K > y si δ < <, entonces f) = < δ = K f) =. Las operaciones del resultado Propiedades 95 son válidas también cuando tenemos ites en el infinito o con valor infinito, aunque aparecen situaciones cuyo resultado no puede determinarse usando las reglas generales. Si f) = a y g) = b, donde tanto como a y b pueden ser ±, el valor del ite para las funciones f + g, f g, f g y f g, se obtiene de: f + g b = b IR b = + a = a IR a + b + a = f g b = b < b = b = b = + b > b = + a = + + [ ] a a b a < + [ ] b a = a a a > [ ] + b b a = + [ ] + + f g b = b < b = b > b = + a = + + a < + ab ab a = a > ab ab + a = [ ] En estos casos, no se garantiza la eistencia del ite, pero sí se cumple que f g b = b < b = b > b = + a = + + < a < + a b a b a = a > a b a b + a = f g +. Hay siete indeterminaciones clásicas, indicadas con que en el fondo se reducen a dos i) e ii)): i) ii) iii) iv) v) vi) vii) Nota: Teniendo en cuenta que a b = e b ln a, las indeterminaciones v), vi) y vii) se reducen a. Ejemplo 4 Ejemplo = + ) = = = ) = = = + + = 3 + ) 3 + = 3 = ) 3 = 3 + = 3 = 3 Ejemplo = + = ) =. + + = + + = + + = ++ = teniendo en cuenta que cuando +, será > y por tanto = =.

12 93 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8.3 Límite y continuidad de una función en un punto Ejemplo 7 + = ) =. + = = + ) + + ) = = + ) = Ejemplo 8 Por definición, e = n+ < n + ) = e n + + n )n de donde + n+ + < + n + ) n + ) < + ) n+ + = n+ )n+ n + n + y para cada >, eiste n IN con n < n +, luego con. De esta desigualdad y de n < n +, tenemos que: = n + n + n+ + n + + ) < + ) + ) n n n ) n+ + si +, entonces n y n+ +, por lo que se cumple que e + ) e. ) n + < + ) n n n Nota: La Proposición 99 de convergencia propia cobra nuevo interés con los ites con infinitos para los que también es válida), pues la condición de continuidad no es aplicable en muchos de estos casos. Además, la condición de convergencia propia, que cuando f) sea f) se cumple de manera obvia. Ejemplo Consideremos y = en ), y z = hy) = y en ) entonces + ) ) = y + y ) y = y y + y ) y = y y + y )y = + y + y )y = + y + y ) + ) y )y = + y + y ) + z + z )z = e = e Continuidad de algunas funciones elementales 9.- Ver sus gráficas en la figura 8. de la página 87.) f) = e es continua en IR y f) = ln es continua en, + ) y f) = α continua en, ) y f) = sh es continua en IR y f) = ch es continua en IR y f) = th es continua en IR y e = y e = +. ln = y + = y +α sh = y ch = y th = y ln = +. α = si α> resp. y si α<). sh = +. ch = +. th =. f) = sen es periódica de periodo π, continua en IR y f) = cos es de periodo π, continua en IR y f) = tg es de periodo π, continua en su dominio y cos. ± π sen. ± + tg = y tg =. π Infinitésimos e infinitos equivalentes Definición.- Se dice que una función f es un infinitésimo en si f) =. Una función f) se dice que es un infinito en si f) = + o ). Definición.- Dos infinitésimos en, f y g, se dicen equivalentes en si Dos infinitos en, f y g, se dicen equivalentes en si f) g) =. f) g) =.

13 94 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8.4 Teoremas del ĺımite y de continuidad Proposición.- Si g) y h) son infinitésimos o infinitos) equivalentes en, entonces g)f) = h)f) y f) g) = f) h), siempre que los segundos ites eistan. Demostración: Si eiste f)h) y g) h) =, entonces: h)f) = h) h)f) = Análogamente para el otro caso. g) g)h)f) h) = g)f) Algunos infinitos e infinitésimos conocidos 3.- Usaremos la notación f g para indicar que f y g son infinitos o infinitésimos equivalentes: a n n + + a + a a n n cuando ± a n n + + a a cuando sen) cuando tg) cuando sen cuando ± cos) cuando ln + ) cuando e cuando sh) cuando ch) cuando Ejemplos sen ) e sen ) = ln) ln) =. En efecto, = ln) = ln+t) t t = } sen ) } = = e e = + } sen ) = = t = t t = = Nota: La hipótesis de la Proposición, en el sentido de que los infinitésimos o infinitos) sean factores o divisores de la función, deben tenerse muy presentes pues sólo así garantizaremos el resultado. El ejemplo siguiente muestra cómo al sustituir un sumando por otro se falsea el resultado. Sabemos que sen y son infinitésimos equivalentes en =, pero sen no puede ser sustituido por en el ite: sen 3, pues si lo hacemos obtendríamos como ite cuando su valor correcto es 6. Los infinitésimos o infinitos equivalentes son funciones que tienen un comportamiento similar en el ite, pero no igual. Por ello, si los usamos en sumas o restas podemos eliminar esa diferencia como ocurre en el ite anterior) y dejar sin sentido el ite. Al sustituir sen por en la resta de arriba estamos asumiendo que son iguales, pues sutituimos sen por, lo que no es cierto es sen si ); de hecho, el seno es más parecido a sen 3 6 con lo que la deferencia es más parecida a sen 3 6 que a. 8.4 Teoremas del ite y de continuidad Teorema 4 de acotación y del signo para ites).- Sean f: A IR IR y un punto de acumulación de A. Si f) = L IR, eiste un entorno E, δ) tal que f está acotada en E, δ) A. Además, si L, el valor de f) tiene el mismo signo que L. Demostración: Sea ε > fijo, entonces eiste E, δ) tal que f) L < ε, luego L ε < f) < L + ε, para todo E, δ). En consecuencia, f está acotada en dicho entorno reducido. Para la segunda parte, basta tomar ε tal que <L ε<f) si L>, o tal que f)<l+ε<, si L<. Corolario 5.- Si f: A IR es continua en, entonces f está acotada en algún entorno de. Además, si f ), el valor de f) tiene el mismo signo que f ).

14 95 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8.5 Ejercicios 8.4. Teoremas de continuidad en intervalos cerrados Teorema de Bolzano 6.- Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y que toma valores de signo opuesto en a y b es decir, fa)fb) < ) entonces c a, b) tal que fc) =. Teorema de los valores intermedios 7.- Si f: [a, b] IR es continua en [a, b] y fa) fb), entonces para cada k entre fa) y fb), eiste c a, b) tal que fc) = k. Demostración: Supongamos fa)<fb), y sea fa)<k <fb). La función g: [a, b] IR dada por g)=f) k es continua en [a, b] y verifica que ga) = fa) k < y gb) = fb) k >, luego por el Teorema de Bolzano 6) eiste c a, b) tal que gc) = fc) k =, es decir, con fc) = k. Análogamente si fb) < fa). Corolario 8.- Sea I un intervalo de IR y f: I IR continua en I, entonces fi) es un intervalo de IR. Teorema de acotación 9.- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo. Es decir, eiste M > tal que f) M, para todo [a, b]. Teorema de Weierstrass.- Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces f alcanza un máimo y un mínimo en [a, b]. Es decir, α, β [a, b] tal que fα) f) fβ), [a, b]. Corolario.- Si f es continua en a, b) y f) = l IR y f) = l IR, la función f está a + b acotada en a, b). También es cierto cuando a es y cuando b es +.) 8.5 Ejercicios 8.9 Probar que a) si < < y, entonces < < y b) si y < <, entonces < < y c) si < < y, entonces < < y d) si y < <, entonces < < y e) si < <, entonces < < f) si <, entonces < < g) si y < <, entonces < y < h) si y < <, entonces < y < i) si < < y, entonces < < y j) si < < y, entonces y < < 8.9 Hallar el dominio de las funciones reales de variable real dadas por: a) f ) = b) f ) = c) f 3 ) = + d) f 4 ) = ln e) f 5 ) = ln f) f 6 ) = ln ) g) f ) + f ) h) f 3 ) f ) i) f ) + f 3 ) j) f 7 ) = + k) f 8 ) = lnf 6 )) l) f 9 ) = + m) f 3 ) f 3 ) n) f 9 ) f 7 ) o) p) f 6) f ) + f) f 6 ) f 4)+f 5) f 8 ) q) f 5 f 8 )) r) f f 4 f )) 8.9 Sean f y g dos funciones reales de variable real monótonas. Probar que: a) Si f es estrictamente) creciente, las funciones f ) y f) son estric.) decrecientes. b) Si f es estrictamente) decreciente, las funciones f ) y f) son estric.) crecientes. c) Si f es estric.) creciente y positiva, la función f) es estric.) decreciente. d) Si f es estric.) decreciente y positiva, la función f) es estric.) creciente. Qué ocurrirá en este caso y en el anterior si la función f es negativa? e) Si f y g son crecientes decrecientes), f + g es creciente decreciente). f) Buscar una función f creciente y una g decreciente tales que f + g sea creciente; y otras para que f + g sea decreciente.

15 96 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8.5 Ejercicios g) Si g es creciente y f es creciente decreciente), g f es creciente decreciente). h) Si g es decreciente y f es creciente decreciente), g f es decreciente creciente). Que ocurrira si la monotonía de g es estricta? Y si lo es la de f? Y si lo son ambas? i) Probar que f) = + es creciente en, ) y decreciente en, + ). j) Sabiendo que e es creciente y que = e ln, probar que sh) y ln) son crecientes. k) Probar que f) = + es creciente en, + ) y usarlo para probar que th) es creciente en IR Sea f: IR IR, se dice que f es par si f ) = f), y que es impar si f ) = f). a) Comprobar si sen, cos, tg, sh, ch, th y n, para n =, ±, ±,..., son pares o impares. b) Si f es par y creciente en, + ), será también creciente en, )? c) Si f es impar y creciente en, + ), será también creciente en, )? d) Que característica especial cumplen las gráficas de las funciones pares? Y las de las impares impares? Justificar la respuesta 8.94 Calcular los siguientes ites: 7 a) b) 3 d) 4 +) e) g) j) + 3 h) k) c) f) ) i) sen + ) + + l) ) 8.95 Usar ites laterales para verificar la eistencia o no de los siguientes ites: ) a) b) c) ) d) ) 8.96 Probar, razonadamente, que los siguientes ites valen : a) ) e + b) sen a) c) a a 8.97 Usar la continuidad de las funciones, para hallar: a) ln 3 + ) + b) tglncose ))) c) + cos π th π π )) 8.98 Encontrar infinitésimos e infinitos equivalentes a: 8.99 Calcular, si eiste, el valor de: a) sen, cuando + b) + + 4, cuando c) cos ) ), cuando d) ln ), cuando e) 3 3 +, cuando f) cos), cuando π g) ln ), cuando h) e 5, cuando i) sen), cuando π j) tg 6 ), cuando lncos ) sen a) b) +e th) c) 3 7 tg sen 3 + ) d) 3 5 ) cos) ) 8. a) Si f y g son ifinitésimos cuando a y infinitésimos equivalentes cuando a. f) a g) = L, probar que f) y L g) son b) Si β es una raíz de multiplicidad m del polinomio P ) = a n n + + a + a, probar que P ) y k β) m son infinitésimos equivalentes cuando β, para algún valor k.

16 97 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR 8.5 Ejercicios 8. Usar el resultado a f) = h fa + h) para calcular ln ) a) b) c) π 8. Usar el logaritmo neperiano, para probar que + ) = e y que 8.3 Calcular, si eiste, el valor de: 3 senπ+) cos π) d) π cos π + ) = e. a) 3 ) b) ) c) + ) 3 d) π + cos ) 3 cos 8.4 Considerar las funciones reales de variable real dadas por f) = 3 + y g) = 3. Estudiar la continuidad de f y g en sus dominios de definición indíquese también la continuidad lateral, si ha lugar). 8.5 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en su dominio: a) f) = c) f) = sen, si, si = b) f) = +, si 3 4, si = d) f) = a +, si < Para que valores de las constantes a y b, f) = a + b, si = 3 b, si > Sean las funciones f, g, h: IR IR, definidas a trozos mediante: f) =, si, si > ; g) =, si, si < < 3 +, si 4 +), si, si =, si > 3, si ; h) = es continua en IR? 3 +, si , si + > a) Estudiar la continuidad de cada una de ellas indíquese también la continuidad lateral). b) Hallar las epresiones de f, g, f +g y f h, como funciones definidas a trozos. c) Estudiar la continuidad de las funciones anteriores. Qué ocurre en los casos donde no puede aplicarse la regla general? d) Realizar lo pedido en los apartados b) y c) para la función g f. 8.8 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones según los valores del parámetro a: a, si a a a +, si < a a) f a ) = a ) b) f a ) = a +, si > a, si = a a si > a a +, 8.9 Probar que las gráficas de las funciones f) = e y g) = 3, se cortan al menos en dos puntos del intervalo [, ]. 8. Estudiar si las funciones del ejercicio 8.5 están acotadas superior e inferiormente.