1. Nociones básicas. Oct, 2007

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1 Cálculo 1. Nociones básicas Oct, 2007

2 Nociones básicas Números complejos Funciones reales de variable real Valor absoluto Funciones polinómicas y racionales Función exponencial y logarítmica Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Límites Continuidad Derivación de funciones reales de variable real

3 Conjuntos de números IN Z Q IR C Densidad de Q en IR: dados a,b IR, a < b, existe q Q t.q. a < q < b Sea un subconjunto A IR, A φ. Definición Decimos que s IR es cota superior de A si: x s, x A En este caso, decimos que A está acotado superiormente De manera análoga, se dice que i IR es cota inferior del conjunto A si i x, x A, y decimos que A está acotado inferiormente Si un subconjunto de IR está acotado superior e inferiormente, lo llamamos acotado Las cotas superior e inferior no son necesariamente únicas

4 Conjuntos de números Definición Decimos que s IR es supremo de A si s es cota superior de A y cualquier otra cota superior, s, de A verifica: s s. Decimos que i IR es ínfimo de A si i es cota inferior de A y cualquier otra cota inferior, i, de A verifica: i i El supremo e ínfimo de A se representan por sup(a) e ínf(a), resp. Si, además, pertenecen al propio conjunto A, se les llama máximo y mínimo: sup(a) A = sup(a) = máx(a) ínf(a) A = ínf(a) = mín(a) Axioma del supremo. Sea A un subconjunto de IR no vacío y acotado superiormente. Entonces existe sup(a)

5 Números complejos Definición El conjunto de los números complejos es C = {a + bi / a,b IR}, donde i = 1 es la unidad imaginaria. En C operaremos de la siguiente manera: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Distintas representaciones de un número complejo z: Propiedades: a + ib = (a,b) = z θ z = a 2 + b 2 es el módulo, o distancia al origen θ [0,2π) se denomina argumento Sea a IR; entonces a = a + 0i C. Podemos considerar IR C Todo polinomio p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 (a i C) tiene n raíces en C

6 Función real de variable real Sea A IR Definición La correspondencia f : A IR es una función si a cada x A le corresponde una única imagen f (x) IR Llamamos: dominio: D(f ) = {x/ existe f (x)} = {x/f (x) IR} imagen: Im (f ) = {y IR/y = f (x) para algún x IR} Definición Decimos que f es una función acotada si su imagen es un conjunto acotado (respectivamente, hablaremos de función acotada inferiormente y/o acotada superiormente).

7 Función real de variable real Sea f : A IR una función real de variable real. Definición Sea B A. f es creciente en B si x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ), x 1,x 2 B Análogamente se define función estrictamente creciente, decreciente y estrictamente decreciente Definición Decimos que f es inyectiva si: x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 )

8 Función real de variable real. Simetrías Definición Decimos que una función f es par si f (x) = f ( x), y decimos que es impar si f (x) = f ( x) Función par Función impar Nota El nombre proviene de los monomios fundamentales. Los monomios con exponente par (x 2, x 4, x 6,...) tienen simetría par y los monomios con exponente impar (x, x 3, x 5,...) tienen simetría impar.

9 Función real de variable real. Periodicidad Definición Sea f : R R. Diremos que f es periódica, con período T si f (x) = f (x + T), x R. El ejemplo más clásico de funciones periódicas son las funciones trigonométricas. Si sabemos que una función tiene un período T nos será suficiente con representarla en [0,T]. Después se repetirá. T

10 Composición de funciones Definición Sean f : A R R, g : B R R, con f (A) B. Definimos la función compuesta g f (se lee f compuesta con g ) a la función g f : A R R x A (g f )(x) := g(f (x)). f x A f (x) g(f (x)). g

11 Función inversa Definición Sea f : A R R una función inyectiva. Existe una única función h : imf R tal que h(f (x)) = x, x A. Esta función se denomina inversa de f y suele denotarse como f 1. Es decir, f 1 f = Id. Además, en este caso se verifica que la composición es conmutativa, es decir, que f f 1 = Id (la función Id es la función identidad, es decir, Id(x) = x, x R). x y = f 1 (x) No se debe pensar que f 1 = 1 f! La forma práctica de calcular una función inversa es despejar la x en función de la y (es decir, de f (x)) e intercambiar sus papeles.

12 Valor absoluto Sea x IR Definición Llamamos valor absoluto de x a la cantidad: x = { x, si x < 0, x, si x 0. Definición Sean x, y R. Definimos la distancia entre estos dos puntos como d(x,y) := x y.

13 Valor absoluto Propiedad Sean x,y IR x 0 x = 0 x = 0 x + y x + y (desigualdad triangular) xy = x y, x y = x y. Si C > 0, x C C x x x C

14 Funciones polinómicas Las funciones polinómicas son funciones del tipo p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, con a 0, a 1,..., a n R, y a n 0. Diremos que grado del polinomio es n, coeficiente principal es a n. Ejemplos de polinomios son 1. p 1 (x) = 5x 3 4x + 2, 2. p 2 (x) = 8x 3 2, 3. p 3 (x) = πx 4 + 2x 3 3x. El dominio de una función polinómica es siempre R, mientras que su imagen varía en cada caso.

15 Funciones racionales Las funciones racionales son cocientes de funciones polinómicas, es decir, Ejemplos de funciones racionales son 1. f 1 (x) = 5x3 4x + 2 8x 3 2, 2. f 2 (x) = 1 x f (x) = p(x) q(x). El dominio de estas funciones son todos los reales, excepto aquéllos que anulen el denominador, Domf = R {x R : q(x) = 0}, mientras que su imagen varía en cada caso.

16 Función exponencial Sea a > 0. Definimos la función exponencial de base a como Siempre que a 1, Domf = R, Imf = (0,+ ), f (0) = a 0 = 1. f (x) = a x. 1. a < 1. En este caso, f (x) = a x es una función estrictamente decreciente, x < y a x > a y, lím x ax = +, lím x + ax = a > 1. En este caso, f (x) = a x es una función estrictamente creciente, lím x ax = 0, lím x + ay = +. x < y a x < a y,

17 Función exponencial x 0.5 x El caso más importante es la función f (x) = e x (recordemos que e = 2, ). A esta función es a la que se suele conocer, por defecto, como función exponencial. Propiedad i) a x+y = a x a y, x,y R, ii) (a x ) y = a xy, x,y R, iii) a x = 1 a x x R (consecuencia de la anterior propiedad).

18 Función logarítmica Es la inversa de la función exponencial. Definición Dado a > 0, a 1, decimos que y es el logaritmo en base a de x si a y = x, Propiedad Para cualquier valor de a, y = log a (x) : a y = x. el dominio de la función logaritmo lo forman los números positivos (Dom log = (0,+ )), la imagen es todo R, log a (1) = 0. Propiedad i) log a (xy) = log a (x) + log a (y), x,y R, ii) log a (x y ) = ylog a (x), x,y R, ( ) x iii) log a = log y a (x) log a (y) x,y R, y 0.

19 Función logarítmica 1. a < 1. En este caso, f (x) = loga (x) es una función estrictamente decreciente, x < y log a (x) > log a (y), lím log x 0 + a (x) = +, lím log x + a (x) =. 2. a > 1. En este caso, f (x) = loga (x) es una función estrictamente creciente, lím log x 0 + a (x) =, lím log x + a (y) = x < y log a (x) < log a (y), log 2 (x) log 0.5 (x)

20 Función logarítmica 6 4 log 2 (x) log 0.5 (x) El logaritmo más importante es el que tiene como base el número e, f (x) = log e (x). Se denomina logaritmo neperiano, y suele denotarse por ln(x) o, simplemente, log(x). Cualquier otro logaritmo se puede expresar en función del ln mediante la fórmula log a (x) = ln(x) ln(a).

21 Funciones trigonométricas Función seno La función f (x) = sin(x), verifica su dominio es todo R, su imagen es [ 1,1], es una función impar, es una función periódica con período 2π sen(x)

22 Funciones trigonométricas Función coseno La función f (x) = cos(x), verifica su dominio es todo R, su imagen es [ 1,1], es una función par, es una función periódica con período 2π cos(x)

23 Funciones trigonométricas El seno y el coseno pueden entenderse como las longitudes de las proyecciones sobre los ejes del ángulo, en radianes, dibujado sobre la circunferencia de radio unidad. 1 x cos(x) sin(x) Propiedad sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 x, sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y), cos(x + y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y).

24 Funciones trigonométricas Definimos la función tangente como tan(x) := sin(x) cos(x). El dominio de esta función lo forman todos los puntos de R en los que el coseno no se anule, es decir, { π } Dom tan = R 2 + kπ : k Z, mientras que su imagen es todo R. Además, es una función impar y periódica, con período π tan(x)

25 Funciones trigonométricas Otras funciones trigonométricas Cosecante, cosec(x) := 1 sin(x), Secante, sec(x) := 1 cos(x), Cotangente, cotan(x) := 1 tan(x).

26 Funciones trigonométricas inversas Función arco-seno Es la inversa de la función seno. Como ésta no es una función inyectiva, restringimos su dominio, quedándonos con el seno definido sólo en el intervalo [ π 2, π 2 ]. Definimos entonces la función arco-seno, arcsin(x), como la función que, dado un x [ 1,1], le asocia el único y en [ π 2, π 2 ]. x y = asin(x)

27 Funciones trigonométricas inversas Función arco-seno Por tanto la función arcsin(x) tiene como dominio el intervalo [ 1,1] y como imagen el [ π 2, π 2 ]. Es una función impar asin(x)

28 Funciones trigonométricas inversas Función arco-coseno Es la inversa de la función coseno. En este caso, restringimos el dominio para quedarnos con el coseno definido en el intervalo [0,π]. Definimos entonces la función arco-coseno, arccos(x), como la función que, dado un x [ 1,1], le asocia el único y en [0,π] tal que x = cos(y). 3 acos(x)

29 Funciones trigonométricas inversas Función arco-tangente ( Es la inversa de la función tangente. Restringimos su dominio al intervalo π 2, π ) 2. Definimos entonces la función arco-tangente, arctan(x), como la función que, dado un x R, le asocia el único y en ( π 2, π 2 ) tal que x = tan(y). y = arctan(x) x

30 Funciones trigonométricas inversas Función arco-tangente Por tanto la función arctan(x) tiene como dominio todo R y como imagen el intervalo ( π 2, π 2 ). Es una función impar atan(x)

31 Definición de límite. Introducción ε δ Figura: Eligiendo x en el intervalo azul, f (x) estará en el verde Figura: Si x está en el intervalo azul, f (x) está dentro del rectángulo verde

32 Límite de una función en un punto Sea f : (a,b) IR Definición Decimos que l IR es límite de f en x 0 (a,b) si: ε > 0, δ > 0 tal que 0 < x x 0 < δ = f (x) l < ε Se representa por lím x x0 f (x) = l

33 Propiedad El límite de una aplicación en un punto, si existe, es único. Propiedad Supongamos que lím x x0 f (x) = l 1 y lím x x0 g(x) = l 2. Entonces, lím x x0 (f (x) + g(x)) = l 1 + l 2 lím (f (x)g(x)) = l 1 l 2 x x0 ( ) f (x) lím = l 1 si l 2 0 x x0 g(x) l 2

34 Límites laterales Definición Diremos que el límite de f, cuando x se acerca a x 0 por la derecha, es l si [ / ] lím f (x) = l : x x 0 + ε > 0, δ > 0 0 < x x 0 < δ = f (x) l < ε. Diremos que el límite de f, cuando x se acerca a x 0 por la izquierda, es l si [ / ] lím f (x) = l : x x0 ε > 0, δ > 0 0 < x 0 x < δ = f (x) l < ε.

35 Límites laterales x 0 x 0 Límite por la derecha Límite por la izquierda Propiedad Existe lím f (x) si y sólo si existen lím f (x) y lím f (x) y son iguales. x x0 x x 0 + x x0

36 Límites infinitos Definición [ / ] lím f (x) = + : M > 0, δ > 0 0 < x x 0 < δ f (x) > M, x x0 lím f (x) = : x x0 [ / ] M > 0, δ > 0 0 < x x 0 < δ f (x) < M. M M lím f (x) = + x x 0 lím f (x) = x x 0

37 Límites en el infinito Definición [ lím f (x) = l : x + / ε > 0, M > 0 / [ lím f (x) = l : ε > 0, M > 0 x ] x > M f (x) l < ε, x < M f (x) l < ε ]. l l M M lím f (x) = l x + lím f (x) = l x

38 Decimos que la función f tiene: una asíntota horizontal en y = l si: lím x ± f (x) = l una asíntota vertical en x = x 0 si: lím x x0 f (x) = ± una asíntota oblicua si lím (f (x) (mx + n)) = 0. x ± f (x) Para calcular m y n: m = lím y n = lím (f (x) mx); x ± x x ± la ecuación de la asíntota es: y = mx + n

39 Continuidad Sea f : (a,b) IR, x 0 (a,b) Definición Decimos que la aplicación f es continua en x 0 si y sólo si: ε > 0, δ > 0 tal que x 0 x < δ = f (x 0 ) f (x) < ε o bien, teniendo en cuenta la definición de límite, si lím x x0 f (x) = f (x 0 )

40 En caso de no cumplir la condición anterior, decimos que f es discontinua en x 0. Las discontinuidades pueden ser de varios tipos: evitable: lím x x0 f (x) f (x 0 ) esencial: no existe el límite de f en x 0, porque: lím f (x) lím f (x) x x0 x x 0 + alguno de los límites laterales (o ambos) no existe

41 Propiedad Si f,g : (a,b) IR son funciones continuas en x 0 (a,b), λf es continua en x 0, λ R, (f ± g) y (f g) son continuas en x 0, si g(x 0 ) 0, entonces f g es continua en x 0. Propiedad La composición de funciones continuas es una función continua. Además, si f y g son funciones tales que lím x x0 f (x) = l y g es continua en l, entonces lím g(f (x)) = g(l) x x 0 Propiedad El límite conmuta con las funciones continuas. Es decir, sean f y g funciones tales que existe lím f (x) = l R y g es una función continua en l. Entonces x x0 lím g(f (x)) = g x x 0 ( lím x x 0 f (x) ) = g(l).

42 Continuidad en intervalos Definición Sea f : (a,b) R R. Diremos que f es continua en (a,b) si es continua en todos los puntos de (a,b). Definición Sea f : [a,b] R R. Diremos que f es continua en [a,b] si 1. f es continua en (a,b), 2. f es continua en a por la derecha, 3. f es continua en b por la izquierda.

43 Teorema de Bolzano Teorema (de Bolzano) Sea f : [a, b] IR continua. Supongamos que f (a)f (b) < 0. Entonces x 0 (a,b) tal que f (x 0 ) = 0

44 Teorema de Bolzano. Comentarios 1. Pueden existir varias raíces, a b 2. Si se suprime alguna de las hipótesis, el teorema no es válido (en general), a b a b f (a)f (b) > 0 f no continua en [a,b]

45 Teorema de Weierstrass Teorema (de Weierstrass) Si f : [a,b] IR es continua, entonces f alcanza el máximo y el mínimo en el intervalo [a,b], es decir, existen x 1,x 2 [a,b] tales que: f (x 1 ) f (x) f (x 2 ), x [a,b]

46 Derivada. Introducción Recordemos la definición de pendiente de una recta: α y 1 y0 x 0 x 1 Pendiente= m = tanα = y 1 y 0 x 1 x 0 Y ahora consideremos las pendientes de las rectas secantes a una función, lo que, en el límite, será la definición de derivada: α f (x) f (x 0 ) α f (x 0 + h) f (x 0 ) x 0 x x 0 x 0 + h x x 0 h 0 tanα = f (x 1) f (x 0 ) tanα = f (x 0 + h) f (x 0 ) x 1 x 0 h

47 Definición de derivada Sea f : (a,b) IR Definición Se dice que f es derivable en el punto x 0 (a,b) si existe el siguiente límite: f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) lím = lím x x 0 x x 0 h 0 h en cuyo caso dicho límite se representa por f (x 0 ).

48 Definición de derivada. Observaciones 1. Vemos la utilidad de no incluir el punto x 0 (en este caso, el punto h = 0) f (x 0 + h) f (x 0 ) en la definición de límite. En la expresión lím no h 0 h podemos hacer nada si h = 0, ya que tendríamos una división entre El cociente f (x) f (x 0) x x 0 mide la variación de la función respecto a la variación de la variable. Por ese motivo a f (x 0 ) se le denomina, en ocasiones, coeficiente de variación de f, o razón de cambio de la función f, en el punto x Ahora ya podemos calcular la ecuación de la recta tangente utilizando la fórmula punto-pendiente, y y 0 = m(x x 0 ) = y = y 0 + m(x x 0 ). En este caso, (x 0,y 0 ) = (x 0,f (x 0 )), m = f (x 0 ). Y la recta tangente, y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ).

49 Derivadas laterales Definición Sea f : (a,b) R, x 0 (a,b). Definimos derivada por la izquierda de f en x 0 como f (x0 f (x 0 + h) f (x 0 ) ) := lím, h 0 h derivada por la derecha de f en x 0 como f (x 0 + f (x 0 + h) f (x 0 ) ) := lím. h 0 + h Propiedad Sea f : (a,b) R, x 0 (a,b). f es derivable en x 0 si y sólo si es derivable por la izquierda y por la derecha en x 0 y ambas derivadas coinciden.

50 Derivable continua Propiedad Si f es derivable en x 0, entonces f es continua en x 0. El recíproco no siempre es cierto. Consecuencia: Si f no es continua en x 0 entonces f no puede ser derivable en x 0. Recuerda: Derivable en x 0 continua en x 0 No continua en x 0 no derivable en x 0

51 Derivadas elementales d dx xn = nx n 1, d dx logx = 1 x, d dx ex = e x, d d sinx = cosx, dx d dx tanx = 1 cos 2 x, d dx log a x = 1 x log a e, d dx ax = a x loga, cosx = sinx, dx d dx arcsinx = 1 1, arccosx =, 1 x 2 1 x 2 d dx arctanx = x 2.

52 Propiedades aritméticas de la derivada Propiedad Sean f,g : (a,b) R, dos funciones derivables en un punto x 0 (a,b). Entonces para cualquier λ R, la función λf es derivable en x 0 y f ± g es derivable en x 0 y fg es derivable en x 0 y (λf ) (x 0 ) = λf (x 0 ), (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ), (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ), si g(x 0 ) 0, entonces f g es derivable en x 0 y ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) g g(x 0 ) 2.

53 Regla de la cadena Sean f y g dos funciones tales que f es derivable en x 0 y g es derivable en f (x 0 ). Entonces (g f ) es derivable en x 0 y (g f ) (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 ) Derivación implícita Se trata de calcular el valor de dy dx a partir de expresiones de la forma F(x,y) = 0. Para hacerlo debemos tener en cuenta que al derivar una expresión que dependa de y debemos derivar de la forma ordinaria y añadir al final dy dx = y. Derivación logarítmica Para obtener la expresión de y a partir de fórmulas como y = f (x) g(x), tomaremos logaritmos, log y = g(x) log(f (x)), y después aplicaremos derivación implícita para obtener ( y = f (x) g(x) g (x)log(f (x)) + g(x)f ) (x). f (x)