UNIDAD 1 : ELEMENTOS ALGEBRAICOS

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1 UNIDAD 1 : ELEMENTOS ALGEBRAICOS 1.D FUNCIONES 1.D.1 Características de una función para graficarla Si necesitamos graficar una función f se pueden prescindir de las tablas de valores y reconocer ciertas características que darán una aproximación valiosa a la forma de la curva que representa a f. Si tenemos la forma analítica de la función podemos obtener: el dominio de definición ( los puntos de discontinuidad) la imagen los puntos de intersección con los ejes la positividad o negatividad la periodicidad la simetría Si analizamos los límites de la función podemos conocer: el tipo de discontinuidad las asíntotas Si calculamos las derivadas podemos saber: crecimiento y decrecimiento máximos y mínimos puntos de inflexión concavidad 1.D.1 Puntos de intersección con los ejes La curva intersecta al eje x cuando la función se anula, f(x)=0, así se hallan los ceros. La curva intersecta al eje y cuando la variable x se anula, f(0); sólo puede cortar una vez al eje. Ejemplo: Dada f tal que Los ceros son 1 y (-1), la curva corta al eje x en los puntos (1,0) y (-1,0) La curva corta al eje y cuando f(0)= -1, el punto de corte es (0,-1) Ejemplo: No existe corte con el eje x. Corta al eje y en (0,1) Prof. Liliana Collado Página 1

2 1.D.2 Positividad y negatividad A partir de conocer el dominio de definición y los cortes con el eje x se establecen los intervalos de estudio del comportamiento de la función. Ejemplo: Dada f tal que Si los ceros son -1 y 1, se establecen los intervalos positiva negativa positiva 1.D.3 Periodicidad Una función f es periódica si se verifica que, para todo x del dominio. La gráfica se repetirá de a tramos. La longitud de cada tramo es el menor valor de k para el cual se verifica la igualdad: k es el período de f(x) y siempre es positivo. Ejemplo: toda función trigonométrica es periódica. Para Se repiten los valores en un período de 2 Para 1.D.4 Simetría La función f es par si cumple simétrica respecto del eje y. La función f es impar si cumple simétrica respecto del origen de coordenadas. Ejemplo:,, f es una función par. para todo x del dominio. La gráfica es para todo x del dominio. La gráfica es Ejemplo:,, f es impar. Prof. Liliana Collado Página 2

3 1.D.5 Continuidad o discontinuidad Todas las funciones polinómicas son continuas. Las funciones racionales son discontinuas de acuerdo al denominador de la forma analítica, por ello hay que indicar las asíntotas. Las funciones exponenciales tienen la base positiva y mayor que 1, el dominio es R y la imagen es. También se pueden indicar las asíntotas. Las funciones logarítmicas son continuas, su dominio de definición es y su rango o imagen es R. Para analizar la continuidad de la función f en x=a habrá que tener en cuenta las tres condiciones: Tiene que existir f(a). Ha de existir también el límite de f cuando x tiende a a. Ambos valores deben ser iguales. 1.D.6 Asíntotas Definimos asíntota de una función a la recta a la que se aproxima la función en el infinito. Puede ocurrir esto en el infinito de la variable x o en el infinito de la imagen de la variable f(x). Existen asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Asíntota horizontal: la recta es una asíntota horizontal de la función f si : o Ejemplo: es discontinua en x=0, entonces la asíntota horizontal es y=1. Aclaración: una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales, una por cada límite. Asíntota vertical: la recta x=a es una asíntota vertical de la función f si: o o Ejemplo: es discontinua en x=1 y en x=-1, entonces Tiene dos asíntotas verticales x=1, x=-1 Aclaración: una función puede tener infinitas asíntotas verticales, como por ejemplo f(x)=tg(x) Asíntota oblicua: la recta es una asíntota oblicua de la función f si: el valor de la pendiente es el valor de la ordenada al origen es Ejemplo: Prof. Liliana Collado Página 3

4 tiene asíntota vertical y calcularemos la asíntota oblicua: La asíntota oblicua es y=x 1.D. 7Crecimiento y decrecimiento de una función Decimos que una función continua f es estrictamente creciente en un intervalo (a,b) si cumple para todo elemento x del intervalo: Geométricamente, la derivada de la función f en dicho punto x es la pendiente de la curva que representa a f en dicho punto. Entonces, si la derivada es positiva, la pendiente también lo es, y así se asegura que f es CRECIENTE. Decimos que una función continua f es estrictamente decreciente en un intervalo (a,b) si cumple para todo elemento x del intervalo: Geométricamente, la derivada de la función f en dicho punto x es la pendiente de la curva que representa a f en dicho punto. Entonces, si la derivada es negativa, la pendiente también lo es, y así se asegura que f es DECRECIENTE. 1.D.8 Puntos críticos de una función Se le llama punto crítico de una función f a: un punto singular, aquel en el que la derivada es nula un punto donde no exista la derivada un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función. Prof. Liliana Collado Página 4

5 Máximos y mínimos Recordando el Teorema (de los extremos absolutos de Weierstrass) Sea f(x) una función continua en [a,b]. Entonces f(x) alcanza un máximo y un mínimo absolutos sobre [a,b]. podremos analizar la existencia de estos puntos críticos: En el gráfico se observa que: para x=d, f(d) es un máximo dentro del intervalo [a,b]. para x=c, f(c) es un mínimo dentro del intervalo [a,b]. En este gráfico se observa que uno de los extremos del intervalo [a,b] es el máximo y un punto interior de dicho intervalo, c, es el mínimo. Y en este gráfico se observa que el extremo inferior del intervalo [a,b] es un mínimo pero que en dicho intervalo no existe máximo. Aclaración: pueden existir funciones que tienen máximo y/o mínimo en un intervalo determinado, pero eso no asegura que la función sea continua. Ejemplo: en el intervalo[-1,1] la función no es continua y sin embargo tiene máximo y mínimo. También puede suceder que la función no sea derivable en el punto y sin embargo tenga un mínimo en él, como es el caso de. Entonces para asegurar que se tiene un mínimo o un máximo dentro del intervalo de del dominio de la función f, se debe partir de la base de que la función f es derivable en el punto a en cuestión, que la derivada es nula (la tangente a la curva en dicho punto es horizontal) y que además si derivamos nuevamente: Prof. Liliana Collado Página 5

6 existe un mínimo en x=a existe un máximo en x=a Qué sucede si f (a)=0? Deberemos hallar la derivada tercera y con ella establecer si la función es creciente o decreciente. A partir de ello, hallar la derivada cuarta y comparar respecto de 0, entonces sabremos si hay un mínimo o hay un máximo. Y así sucesivamente, en caso de tener derivadas sucesivas nulas. Concavidad Una función es cóncava en un punto si a izquierda y a derecha de ese punto, en puntos muy próximos a él, los valores que toma la recta tangente en esos puntos son mayores que el valor de la función en x=a. Una función es convexa en un punto si a izquierda y a derecha de ese punto, en puntos muy próximos a él, los valores que toma la recta tangente en esos puntos son menores que el valor de la función en x=a. La concavidad o convexidad de una función puede estudiarse mediante la segunda derivada de la función en el punto x = a. Después de conocer máximo o mínimo de la función en el punto, se aplica la derivada segunda en el punto y si es positiva es cóncava. Si la derivada segunda en el punto es negativa, la curva es convexa en dicho punto. Ejemplo: para, hay un mínimo en x=0 porque y por lo tanto es cóncava en x=0 para, hay un máximo en x=0 porque y por lo tanto es convexa en x=0 Prof. Liliana Collado Página 6

7 Puntos de inflexión Se llama punto de inflexión de una curva que representa a la función f a aquel valor del dominio de f para el que la función cambia de concavidad, es decir: pasa de cóncava a convexa o viceversa. En este caso, analíticamente se expresa y se calcula. Si existe un punto de inflexión. Ejemplo : la función Tiene un punto de inflexión en x=0 porque: y entonces calculamos Prof. Liliana Collado Página 7

8 TRABAJO PRÁCTICO N 1.D : FUNCIONES Parte A: desarrollo en clase Teórica 1-Indicar si las siguientes funciones son pares o impares: a) b) 2- Expresar la función que describe el área de todos los rectángulos de perímetro 8 Y a partir de ella: a) Representarla gráficamente b) Hallar su derivada primera c) Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima. 3- Clasificar y representa gráficamente la función 4- Evaluar la función 5- Expresar la función que represente el área de un rectángulo inscripto en una circunferencia de 1 m de radio, en función del lado mayor, x. Hallar el dominio de definición de dicha función. Prof. Liliana Collado Página 8

9 TRABAJO PRÁCTICO N 1.D : FUNCIONES Parte B: desarrollo en clase Práctica 1-Se desea construir un recipiente con base rectangular. Para ello, sobre una hojalata rectangular se cortan en sus vértices cuatro cuadrados de lado x según se observa en la figura: a)expresar la función que calcula el volumen de la caja. b)hallar la derivada segunda de dicha función. c)expresar el dominio de definición. 2-Evaluar la función 3-Dada la función: Contestar: a) Tipo de función y Dominio: b) Rango o imagen: c) Periodicidad d) Simetrías e) Corte con los ejes f) Asíntotas g) Positividad y negatividad h) Máximos y mínimos i)puntos de inflexión i) Crecimiento y decrecimiento j) Concavidad 5-Indica si las siguientes funciones son pares e impares: a) b) c) d) Prof. Liliana Collado Página 9

10 6-Para la función: Indicar las discontinuidades y marcar verdadero o falso: a)en el intervalo (-,0) la función es decreciente b)en el dominio real, la función es impar c)(-2,f(-2)) es un máximo para el intervalo (-,6) d)el elemento del dominio x=1 tiene la misma imagen que x=-2 7- Dada la función f tal que Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones: a)f es par b)f es creciente en el intervalo [-2,0] contiene c)la inversa de f contiene al (0,0) d)existen tres cortes con el eje y e)tiene un máximo y un mínimo relativos f)tiene un punto de inflexión 8- Dadas las funciones: a- analizar dominio e imagen b- analizar concavidad c- analizar máximos y mínimos relativos d- analizar puntos de inflexión Prof. Liliana Collado Página 10

11 TRABAJO PRÁCTICO N 1.D : FUNCIONES Parte C: desarrollo individual del alumno para Carpeta de T. Prácticos Analizar las siguientes funciones f(x)= g(x)= h(x)= j(x)= m(x)= de acuerdo a todos y cada uno de los siguientes ítem: 1- Tipo de función 2- Dominio 3- Imagen 4- Continuidad 5- Periodicidad 6- Parida 7- Asíntotas 8- Cortes con los ejes 9- Positividad 10- Máximos y mínimos relativos 11- Intervalos de crecimiento 12- Puntos de inflexión 13- Intervalos de concavidad Prof. Liliana Collado Página 11

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