( ) Por ejemplo: RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UNO DE SUS PUNTOS. Unidad 9: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

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1 Unidad 9: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS INTRODUCCIÓN La obtención de la tangente a una curva en uno de sus puntos y el cálculo de la velocidad instantánea de un móvil son problemas históricos que dieron lugar, en su momento, a la noción de derivada. Sin embargo, fueron los problemas de optimización los que aportaron mayor impulso a la búsqueda de una teoría que diera generalidad a todos los problemas particulares que se habían planteado. La ciencia, la técnica, las propias matemáticas e, incluso, la vida cotidiana están plagadas de problemas de optimización (máximos y mínimos). Numerosas cuestiones se plantean de este modo: qué es lo óptimo en tales circunstancias RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UNO DE SUS PUNTOS La obtención de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos es la aplicación más inmediata de las derivadas. Pero relacionados con este hay otros casos menos triviales. Véamoslos: Caso elemental: Recordemos cuál era la ecuación de una recta en la forma punto-pendiente: Si tenemos una recta que pasa por el punto P ( x, y ) y cuya pendiente es m, su ecuación en la forma punto-pendiente es: y y = m x x La obtención de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos es la aplicación más inmediata de las derivadas, pues, como sabemos, f' ( x ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x. Si f es derivable en x, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de = en el punto ( ) y f(x) x, f x es: = y f' ( x )( x x ) y f x = La cubierta del estadio Olímpico de Munich utiliza superficies mínimas: minimizan la superficie (y, por tanto, el peso) además de equilibrar la tensión superficial. 1 Por ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a x =. y = x x x +, en

2 Sabemos que la ecuación de la recta tangente a f en ( ( )) x, f x es: f' ( x )( x x ) y f x = Por tanto, necesitamos calcular los valores de f( x ) y de f' ( x ): 1 x = y = f x = f = = = + 6 ( ) ( x + ) x x + x x f' ( x) = f' = = 6 1 La ecuación que nos piden será: y = ( x ) y = ( x ) + y = x y = x 1 4 Cuando la función se da implícitamente: φ (x,y) = La función y(x) viene dada implícitamente. Nos pueden dar las coordenadas del punto ( x, y ), o bien solo la abscisa. En este caso la ordenada se obtiene resolviendo la ecuación φ x,y =. ( ) La expresión de y' ( x,y ) o, mejor, el valor de ( ) obtiene mediante la derivación implícita en φ ( x,y) =. y' x,y se Ejemplo: Hallar las tangentes a x = 4. x y + = 1 en los puntos de abscisa 5 16 Obtención de las ordenadas correspondientes: 16 y = 1 y = ± 5 Para hallar la pendiente de la recta tangente a la función en esos puntos, derivamos implícitamente: RECTA TANGENTE EN P: 1 Pendiente: x yy' 16x + = y' = y y' 4, = = 5 5 1/ y = x RECTA TANGENTE EN P : Pendiente: y' 4, = = 5 5 1/ y + = x

3 Tangente a una curva y = f(x) conociendo su pendiente Conocemos la pendiente, m, de las rectas tangentes buscadas pero no sabemos cuáles son los puntos de tangencia. Las abscisas de estos se obtienen resolviendo la ecuación f'(x) = m. Tangente a una curva desde un punto exterior Conocemos el punto, P ( x, y ). Desconocemos el punto de tangencia T ( c, f(c) ). Por ejemplo: Hallar las rectas tangentes a y = senx, x π, π paralelas a la recta x + y =. Pendiente de la recta 1 1 y = x m = 1 1 π π Resolvemos f'(x) = cosx = x =, x = 1 Puntos de tangencia: π π sen =, π π sen =, y f(c) La pendiente del segmento PT es x c f'(c). y coincide con Se igualan y se resuelve la ecuación. Las soluciones son las abscisas de los puntos de tangencia. Por ejemplo: Hallar las rectas tangentes a punto P (, 7). y = x 5x + que pasan por el El punto T de tangencia es de la curva. Sus coordenadas son ( c, c 5c ) +. La pendiente de la recta PT debe ser igual a la derivada de f en c.: Rectas tangentes: f(c) y c x = f'(c) 1 π y = x 1 π y + = x + c 5c + ( 7) c = c 5 5 6

4 + = = = = c 5c 1 c c 5 c 4c c, c 4 1 Hay dos rectas tangentes: c =, f(c ) =, f'(c ) = 5 y = 5 x y = 5x + c = 4, f(c ) = 1, f'(c ) = y + 1 = x 4 y = x 1 Los puntos de tangencia son T1 (, ) y T ( 4, 1) Ejercicio propuesto 1 (pág. 71). Halla las rectas tangentes a cada curva que cumplen la condición que se indica: 5x + 7x 16x a) y = en los puntos de abscisa, 1,. x b) x + y x + 4y 4 = en los puntos de abscisa x =. x c) y = x + x 6 x d) y = x + x paralelas a la recta y x = 9. que pasan por el punto P (, ) CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO La idea gráfica de función creciente o decreciente en un punto es muy clara. Vamos a dar una definición que permita operar con ella: f creciente en x Existe ( x a, x a ) +, un entorno del punto x, tal que: x a < x < x f x < f x Si ( ) Si x < x < x + a f( x) > f( x ) Es decir, signode x x ( ) = signode f( x) f( x ) Análogamente se define f decreciente en x. Relación del crecimiento de una función con el valor de su derivada Demostración: f(x) derivable y creciente en f' x f creciente en signode f x f x = signo de x x Por tanto, x ( ) ( ) f( x) f( x ) > x x f x f x f' x = lim x x x x x x f(x) derivable y decreciente en f' x, pues el límite de una función que toma valores positivos es positivo o nulo. 8

5 f' ( x) > f' ( x) < f' ( x) > 4 FUNCIONES CRECIENTES Observa que una función puede ser creciente en un punto siendo cero su derivada Análogamente, se demostraría que, si f es decreciente en f' x. x, entonces Criterio para identificar tramos crecientes o decrecientes a partir del signo de la derivada f' ( x ) > f es creciente en x f' ( x ) < f es decreciente en x Ejemplo: Estudiemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = x 6x + 5. Hemos de buscar los puntos donde la primera derivada es positiva y los puntos donde es negativa. En definitiva, tendremos que estudiar el signo de la primera derivada. f(x) = x 6x + 5 f'(x) = x 1x Para estudiar el signo de f (x), es decir, del polinomio x 1x, procederemos de la manera siguiente: Calculamos las raíces del polinomio, troceamos la recta real por esos valores y vemos en cada uno de los trozos qué signo toma el polinomio. x 1x = x =, x = 4 Si x (, ) f' ( x) > f es creciente Si x (, 4) f' ( x) < f es decreciente Si x ( 4, + ) f' ( x) > f es creciente Ejercicio propuesto (pág. 7) Dada la función y = x x 9x + 5, averigua: a) Dónde crece. b) Dónde decrece MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN f tiene un máximo relativo en el punto de abscisa x La idea de máximo relativo en un punto es que la función, en ese punto, vale más que en los puntos que lo rodean. Existe un número a tal x x a, x + a, que si ( ) entonces f( x) < f( x ) Análogamente, se define mínimo relativo en x. Condición necesaria de máximo o mínimo relativo en funciones derivables Si f(x) es derivable en x y tiene un máximo o mínimo en él, entonces f' ( x) =. 9 1

6 Sin embargo, puede ocurrir que f' ( x) = y que no haya ni máximo ni mínimo en x. Los puntos de tangente horizontal, es decir, aquellos donde f' ( x) =, se llaman puntos singulares o puntos críticos. Un punto singular puede ser un máximo o mínimo relativo o un punto de inflexión. MÁXIMO MÍNIMO NO HAY MÁXIMO NI MÍNIMO. RELATIVO RELATIVO ES UN PUNTO DE INFLEXIÓN ) Aunque la derivada de la función y = x + 1 cuando x = es ( f'(x) = x, f'() = ), en dicho punto no tiene máximo ni mínimo. Es un punto de inflexión. Regla para identificar extremos relativos PUNTO DE INFLEXIÓN Para saber si un punto singular es máximo relativo, mínimo relativo o punto de inflexión, estudiaremos el signo de la derivada en las proximidades del punto, a su izquierda y a su derecha. MÁXIMO f' > a su izquierda f' < a su derecha Ejemplos: 1) La función y = x + tiene un mínimo relativo en el punto (,). Su derivada en ese punto es : f'(x) = x, f'() = ) La función y = x + tiene un máximo relativo en el punto (,). Su derivada en ese punto es : MÍNIMO RELATIVO f'(x) = x, f'() = MÁXIMO RELATIVO MÍNIMO f' < a su izquierda f' > a su derecha INFLEXIÓN f tiene el mismo signo a ambos lados del punto. Ejemplo: Para la función derivada, 5 f(x) = x 5x averiguamos que su 4 f'(x) = 15x 15x, se anula en x = 1, x =, x = 1. f' ( x) > f' ( x) < f' ( x) < f' ( x) > -1 1 En x = 1 hay un máximo relativo, en x = hay un punto de inflexión y en x = 1 hay un mínimo relativo. 11 1

7 Ejercicio 1 (pág. 9) Halla los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión de las siguientes funciones: ( ) x x 8 a) y = x 6x + 9x b) y = c) d) y = x + x e) y = x + 1 Ejercicio 11 (pág. 9) 4 y = x x f) y = e x ( x 1) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los máximos y mínimos de las siguientes funciones: 8 x a) y = x(x ) x x d) y = x x + 1 b) y = x 1 x 1 e) y = x x c) y = x 1 8 f) y = x x INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA Concavidad, convexidad y punto de inflexión Observemos la siguiente gráfica: cóncava a convexa, o viceversa, se llaman puntos de inflexión. La mejor forma de caracterizar matemáticamente el tipo de curvatura (concavidad, convexidad o inflexión) es comparar la curva con su tangente, como hacemos a continuación. Tenemos una curva y = f(x). Trazamos la recta tangente a ella en un punto P, cuya ecuación es y = t(x). Entonces: f(x) > t(x) f cóncava f(x) < t(x) f convexa P es un punto de inflexión Si en las cercanías de P es f(x) > t(x), la curva es cóncava en P. Si en las cercanías de P es f(x) < t(x), la curva es convexa en P. Si la tangente atraviesa la curva en P, es decir, si a la izquierda de P es f(x) < t(x), y a la derecha f(x) > t(x), o viceversa, P es un punto de inflexión. Relación de la curvatura con la segunda derivada Observa esta gráfica: Mirándola desde arriba, no es razonable que llamemos cóncavos a los tramos BC y DE y convexos a los tramos AB y CD? Los puntos B, C, D, en los que la curvatura pasa de 1 14

8 Fíjate que en el tramo AB las cuatro tangentes que hay representadas tienen su pendiente cada vez menor. Por tanto, la derivada de f es decreciente en ese intervalo. Lo mismo le ocurre al tramo CD. Y lo contrario ocurre en los tramos BC y DE: la pendiente de las tangentes aumenta y, por tanto, f es creciente. En general: Aplicación a la definición de máximos y mínimos Si f' ( x ) = y existe ( ) f" x, entonces: f" ( x ) > f tiene un mínimo relativo en x f" ( x ) < f tiene un máximo relativo en x Si f tiene segunda derivada en x, se cumple que: f cóncava en x f es creciente en ( ) f convexa en x f es decreciente en ( ) f tiene un punto de inflexión en x f" ( x ) = x f" x x f" x MÍNIMO MÁXIMO (cóncava) (convexa) Ejercicio resuelto 1 (pág. 75) Estudiar la curvatura de la función f(x) = x + x Criterio para detectar el tipo de curvatura Puesto que lo que suele interesarnos es obtener información sobre la forma de la curva a partir de su expresión analítica, vemos cómo son las implicaciones de sentido opuesto a las que acabamos de ver: f" ( x ) > f es cóncava en x f" ( x ) < f es convexa en x III f" ( x ) y f ( x ) = f tiene un punto de inflexión en x Hallamos la derivada segunda de la función: f(x) = x + x f'(x) = x + 6x f"(x) = 6x + 6 Buscamos los valores que anulan la derivada segunda: f"(x) = 6x + 6 = x = 1 Estudiamos el signo de la derivada segunda: f" ( x) < f" ( x) > Si x (, 1) f" ( x) < f es convexa Si x ( 1, + ) f" ( x) > f es cóncava El punto ( 1, f( 1) ) = ( 1,) es un punto de inflexión

9 Su gráfica es la siguiente: La dificultad de estos problemas, normalmente, no estriba en optimizar una función conocida, sino en encontrar la expresión analítica de la función que hemos de optimizar. Para familiarizarnos con la resolución de este tipo de problemas, tendremos que: Aprender la técnica de hallar, de la forma más eficaz posible, los extremos de una función que viene dada mediante su expresión analítica. Ejercitarnos en expresar analíticamente funciones que se describen mediante un enunciado. Empecemos dando unas orientaciones muy concretas para lo primero y, a continuación, propondremos una serie de ejemplos como entrenamiento para lo segundo. Ejercicio 1 (pág. 9) Estudia la concavidad, la convexidad y los puntos de inflexión de las siguientes funciones: a) d) y = x x + 4 b) x y = x e e) = c) y = ( x ) 4 4 y x 6x x y = x OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES f) y = ln( x + 1) Cálculo de los extremos de una función f(x) en un intervalo a,b En los problemas de optimización, lo que interesa no son los extremos relativos de la función sino los absolutos. Veamos algunas reglas para obtenerlos: a) Si f(x) es derivable en a,b, los máximos y los mínimos absolutos están entre los puntos singulares y los correspondientes a los extremos del intervalo: Con mucha frecuencia aparecen problemas físicos, geométricos, económicos, biológicos, en los que se trata de optimizar una función (hacer máximo un volumen, unos beneficios, una población; hacer mínimos unos costes o un área )

10 b) Si hay algún punto de a,b en el que la función no sea derivable, aunque sí continua, calcularemos, además, el valor de f en ese punto, pues podría ser un extremo. Tenemos que calcular el máximo absoluto de la función anterior en el intervalo,6. Empecemos calculando la derivada y los puntos que la anulan (los puntos singulares): V = x 6 x = x 196 7x + x = 196x 7x + x V' = x + x c) Si f no es continua en algún punto x de a, b, estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de x. Ejercicio resuelto (pág. 77) Con dos piezas cuadradas de 6 cm de lado hacemos la operación que aparece a continuación: V' = x + x = x = 1 x = 6 V" = x V"(1) = = 7 < En x = 1 la función V tiene un máximo relativo, que también será el máximo absoluto de V en el intervalo,6, puesto que en los extremos del intervalo se tiene que V =. Por tanto, el lado del cuadradito que debemos recortar para que el volumen de la caja sea máximo será de 1 cm. Para ese valor, el volumen de la caja será V = 1( 6 1) = 691 cm. Ejercicio resuelto 11 (pág. 91) Cuánto debe valer x, el lado del cuadradito que recortamos, para que el volumen de la caja resultante sea máximo? Las dimensiones de la caja serán: x, 6 x, 6 x. Por tanto, el volumen de la caja será: V = x( 6 x), < x < 6 En un jardín con forma de semicírculo de radio 1 m se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máxima. 19

11 Este máximo relativo también será máximo absoluto en el intervalo, 1, ya que en los extremos de este intervalo, la superficie del parterre sería. Las dimensiones del parterre serán, por tanto, 1 m y 5 m, y su área máxima será 1 m. Llamamos x a la base del parterre e y a su altura. El punto O es el centro de la circunferencia, entonces OP = 1 m y, por tanto: x + y = 1 y = 1 x El área del parterre es S = xy. Así pues, hay que maximizar = S'(x) = S(x) x 1 x ( ) S(x) = x 1 x, < x < 1 ( ) 1 x 1 x 1 x S'(x) = = ( 1 x ) = 1 x 1 x = x = 5 x = 5 En x = 5 hay, efectivamente, un máximo relativo, ya que: S' ( x) > 5 S' x < S crece S decrece Ejercicio 5 (pág. 95) Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 1 cm y de capacidad máxima. Cuál debe ser el radio de la base? Ejercicio 6 (pág. 96) Queremos hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y capacidad 8 cm. Para la tapa y la superficie lateral, usamos un determinado material, pero para la base, debemos emplear un material un 5% más caro. Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible. Ejercicio 6 (pág. 96) Dos postes de 1 m y 18 m de altura distan entre sí m. Se desea tender un cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los extremos de estos. Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea mínima? Ejercicio 65 (pág. 96) Calcula las dimensiones del triángulo isósceles de área máxima inscrito en una circunferencia de 4 m de radio. 1

12 9.6.- TRES IMPORTANTES TEOREMAS Teorema de Rolle La idea del teorema de Rolle es que una curva continua y sin puntos angulosos que toma los mismos valores en los extremos de un intervalo necesariamente tiene algún punto con tangente horizontal. II. f alcanza el máximo o el mínimo en un punto c distinto de los extremos del intervalo. Como f es derivable en c se cumple que f'(c) =. Ejercicio propuesto 1 (pág. 79) Sea f una función continua en a,b y derivable en ( a,b ). Si = f(a) f(b), existe algún punto Demostración: c a,b tal que f'(c) = Puesto que f es continua en a,b, alcanza en dicho intervalo un valor máximo y un valor mínimo (teorema de Weierstrass, unidad 7). Distingamos dos casos: I. El máximo y el mínimo están uno en a y otro en b. Como f(a) = f(b), el máximo y el mínimo coinciden. La función es constante en todo el intervalo y su derivada es cero no solo en algún punto, sino en todos. Comprueba que la función f(x) = senx cumple la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo,. Dónde cumple la tesis? Ejercicio propuesto 4 (pág. 79) Aplicando el teorema de Rolle, demuestra que la ecuación x x + k = no puede tener más de una raíz en el intervalo 1,1 cualquiera que sea el valor de k. Teorema de Cauchy Sean f y g dos funciones continuas en a,b en ( a,b ) y tales que g(a) g(b). Entonces, existe algún punto c ( a,b ) tal que π f'(c) = f(b) f(a) g'(c) g(b) g(a) y derivables 4

13 Demostración: Definimos la función: h(x) = f(x) g(b) g(a) g(x) f(b) f(a) Fácilmente se comprueba que esta función h verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo a,b. Por lo tanto, existe un punto c ( a,b ) tal que h'(c) =. h'(c) = f'(c) g(b) g(a) g'(c) f(b) f(a) = Teorema del valor medio f'(c) f(b) f(a) = g'(c) g(b) g(a) La idea del Teorema del valor medio (T.V.M.) es que en una curva continua y sin puntos angulosos que va de A a B habrá algún punto intermedio en el que su tangente sea paralela al segmento AB. Sea f una función continua en a,b y derivable en Entonces, existe algún punto c ( a,b ) tal que Demostración: f(b) f(a) f'(c) = b a a, b. 5 La demostración es trivial, pues se trata de una consecuencia inmediata del teorema de Cauchy sin más que considerar las funciones f(x) y g(x) = x. Ejercicio propuesto 6 (pág. 81) x + x + a si x Calcula a y b para que f(x) = x + bx si x > cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en,. Dónde cumple la tesis? Haz la gráfica. Ejercicio propuesto 6 (pág. 81) Aplica el teorema del valor medio, si es posible, en el intervalo, 1 a la función siguiente: f(x) = x x +. Calcula el valor correspondiente a c y comprueba gráficamente el resultado obtenido. 1A. (Examen de la PAEG en UCLM de septiembre de 16) Se quiere construir un depósito de chapa abierto superiormente con forma de prisma recto de base cuadrada, de 1 m de capacidad, lo más económico posible. Sabiendo que: El coste de la chapa usada para los laterales es de 1 euros el metro cuadrado. El coste de la chapa usada para la base es de euros el metro cuadrado. Qué dimensiones debe tener el depósito? Cuál es el precio de dicho depósito? 6

14 1A. (Examen de la PAEG en UCLM de junio de 16) Dada la función f(x) = x + x + ax 6, a R, se pide: a) Determinar el valor del parámetro a R para que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en su punto de inflexión sea. b) Para el valor del parámetro encontrado, calcular los extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). 1B. (Examen de la PAEG en UCLM de junio de 16) a) Enuncia los Teoremas de Bolzano y de Rolle. x 5 b) Razona que la ecuación e + x = tiene al menos una solución real. c) Razona que, de hecho, dicha solución es única. 1B. (Examen de la PAEG en UCLM de septiembre de 15) Determina cómo dividir un segmento de 9 cm en dos trozos, de forma que la suma del área del semicírculo cuyo diámetro es uno de ellos y el área de un triángulo rectángulo que tiene como base el otro trozo y cuya altura es π veces su base, sea mínima. 1A. (Examen de la PAEG en UCLM de junio de 15) senx Dada la función f(x) = e + x + ax + b, a, b R: b) Para los valores de los parámetros encontrados, estudia si dicho extremo relativo es un máximo o un mínimo. 1A. (Examen de la PAEG en UCLM de septiembre de 14) a) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de la x 1 función f(x) = x +. Estudia si tiene puntos de inflexión. b) En qué puntos de la gráfica de f(x) la recta tangente es paralela a la recta y = x? 1A. (Examen de la PAEG en UCLM de junio de 14) a) Calcula los valores de los parámetros a, b R para que la función x x + a si x f(x) = x x + be + si x > sea continua y derivable en x =. b) Para los valores encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x =. 1A. (Examen de la PAEG en UCLM. Reserva. 1) Si la media aritmética de dos números reales positivos es 4, calcula el valor de dichos números para que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. a) Determina los parámetros a, b R sabiendo que la gráfica de f(x) pasa por el punto (, ) y que en dicho punto tiene un extremo relativo. 7 8

15 1B. (Examen de la PAEG en UCLM. Reserva. 1) a) Enuncia el Teorema del valor medio de Lagrange. b) Calcula un punto del intervalo, en el que la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x + x + sea paralela a la recta que pasa por los puntos (, ) y 1A. (Examen de la PAEG en UCLM. Reserva 1. 1) a) Enuncia el Teorema de Rolle.,1. b) Razona que existe al menos un punto en el intervalo ( 1, ) donde la recta tangente a la gráfica de la función 5 4 f(x) = x + x 5x 15x + 4x + 1 tiene pendiente nula. 9