Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica Esquivel

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1 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Tema 1 FUNCION RAL D VARIABL RAL. CONTINUIDAD. DRIVABILIDAD 1.1. Funciones reales de variable real: generalidades I V R Primeros conceptos Una función (real de variable real) es una aplicación f : D R R x f(x) AP R A x se le llama variable independiente, a f(x) imagen de x y al conjunto D se le llama dominio de definición, que denotaremos por Dom(f). e denomina recorrido o rango o imagen de una función f, y se denota Im(f), al conjunto formado por las imágenes de los elementos del dominio D: Im(f) = {f(x) : x D} 1

2 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel e llama gráfica de f a la curva resultante de representar en el plano el conjunto {(x, y) R 2 : x D, y = f(x)} Algunas características sobre funciones e dice que f es creciente en el intervalo I D si, cualesquiera que sean x 1, x 2 I verificando x 1 < x 2, se cumple que f(x 1 ) f(x 2 ). e dice que f es decreciente en el intervalo I D si, cualesquiera que sean x 1, x 2 I verificando x 1 < x 2, se cumple que f(x 1 ) f(x 2 ). I V R Cuando se verifica la desigualdad estricta se dice que el crecimiento o decrecimiento es estricto. Una función f tiene un máximo relativo en x si para todos los x de un intervalo abierto que contiene a x se tiene que f(x) f(x ). AP R Una función f tiene un mínimo relativo en x si para todos los x de un intervalo abierto que contiene a x se tiene que f(x) f(x ). e dice que f está acotada superiormente en el intervalo I D si existe M tal que f(x) M cualquiera que sea x I. e dice que f está acotada inferiormente en el intervalo I D si existe m tal que f(x) m cualquiera que sea x I. 2

3 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel e dice que f está acotada en el intervalo I D si está acotada superior e inferiormente. e dice que f es par si f( x) = f(x). La gráfica de una función par es simétrica respecto del eje OY. e dice que f es impar si f( x) = f(x). La gráfica de una función impar es simétrica respecto del origen de coordenadas. e dice que f es periódica si existe un número T > cumpliendo que f(x + T ) = f(x). A la menor de las cantidades T se le llama periodo de f. Gráficamente, una función periódica consta de un trozo fundamental, de longitud igual al periodo, que se va repitiendo a lo largo de todo el eje OX. I V R Operaciones entre funciones. Inversa de una función ean f y g dos funciones y sea D = Dom(f) Dom(g). e definen las siguientes funciones: Función suma f + g : D R : x (f + g)(x) = f(x) + g(x). Función producto f g : D R : x (f g)(x) = f(x) g(x). Función cociente f/g : {x D g(x) } R : x (f/g)(x) = f(x)/g(x). AP R 3

4 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel e define la composición de las funciones f y g (y se representa g f) como la función que a cada x le asigna (g f)(x) = g ( f(x) ). s decir, g f es la función resultante de aplicar f y g sucesivamente y responde al siguiente esquema: x f f(x) g g ( f(x) ) l dominio de g f viene dado por Dom(g f) = {x Dom(f) : f(x) Dom(g)} Inversa de una función Una función f : D R es inyectiva si, dados x 1, x 2 D distintos, entonces f(x 1 ) f(x 2 ). I V R Dada una función inyectiva f : D R, la función inversa f 1 es la que tiene por dominio Im(f) y que a cada y Im(f) le asocia el único x D tal que f(x) = y. AP R Propiedades: Una función y su inversa tienen gráficas simétricas respecto a la recta y = x. e verifica que f 1 f = id D, f f 1 = id Im (f). donde id es la función identidad definida por f(x) = x. 4

5 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel studio de las funciones elementales Función polinómica Una función polinómica de grado n es una función de la forma f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a, siendo n N, a n, a n 1,..., a 1, a R. l dominio de estas funciones es R. Algunos casos particulares: Función afín: f(x) = ax + b. Gráfica recta I V R AP R Función afín con a > Función afín con a < Función afín con a = 5

6 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Funciones cuadráticas: f(x) = ax 2 + bx + c (a ). La gráfica es una parábola Función cuadrática con a > Función cuadrática con a < Función racional I V R Una función racional es una función de la forma f(x) siendo f y g funciones polinómicas. l dominio g(x) de estas funciones es el conjunto de todos los números reales que no anulan el denominador. AP R Caso particular: función de proporcionalidad inversa f(x) = 1, cuya gráfica es una hipérbola. x f(x)=1/x

7 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Función irracional Una función irracional es una función de la forma f(x) = n g(x) siendo n N (n 2) y g una función racional. i n es impar, el dominio de la función irracional f coincide con el dominio de g. i n es par, el dominio de la función irracional f es el conjunto formado por los puntos x del dominio de g en los que g(x). Función exponencial I V R Una función exponencial es una función de la forma f(x) = a x siendo a R +. l dominio de estas funciones es R y su imagen es R +. La gráfica de este tipo de funciones depende de si a > 1 o a (, 1). AP R Función exponencial con a > 1 Función exponencial con a (, 1) La función exponencial más utilizada es f(x) = e x ; al ser e > 1, su gráfica es como la superior izquierda. 7

8 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Función logarítmica La función logaritmo en base a es una función de la forma f(x) = log a x, siendo a > y a 1. l dominio de estas funciones es R + y su imagen es R. La función logaritmo en base a es la función inversa de la función exponencial de base a definida anteriormente. Al igual que ocurría con la exponencial, la gráfica de la función logarítmica depende de si la base es mayor que 1 o es un valor entre y I V R AP R Función logaritmo con a > 1 Función logaritmo con a (, 1) La función logaritmo más utilizada es la de base e (logaritmo neperiano) y se denota f(x) = ln x o simplemente f(x) = log x; al ser e > 1, su gráfica es como la superior izquierda. 8

9 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Funciones trigonométricas Función seno: viene dada por f(x) = sen x. u dominio es R y su imagen, el intervalo [ 1, 1]. f(x)=sen(x) l seno es una función periódica de periodo 2π y, puesto que sen ( x) = sen x, es una función impar. I V R Función coseno: viene dada por f(x) = cos x. u dominio es R y su imagen, el intervalo [ 1, 1]. AP R f(x)=cos(x) l coseno es una función periódica de periodo 2π y, puesto que cos ( x) = cos x, es una función par. 9

10 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Función tangente: viene dada por f(x) = tan x. Teniendo en cuenta que tan x = sen x, su dominio cos x es R quitando los puntos en los que se anula la función coseno. Por tanto, el dominio de la función tangente es R\{(2k + 1) π : k Z}. u imagen es R. 2 f(x)=tan(x) I V R La tangente es una función periódica de periodo π y, puesto que tan ( x) = tan x, es una función impar. AP R Funciones trigonométricas inversas Función arco seno: viene dada por f(x) = arcsen x. La función arco seno es la inversa de la función seno cuando esta última se considera definida en el intervalo [ π/2, π/2] (para que sea inyectiva y podamos considerar su función inversa). u dominio es el intervalo [ 1, 1] y su imagen, el intervalo [ π/2, π/2]. 1

11 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel f(x)=arcsen(x) Función arco coseno: viene dada por f(x) = arccos x. La función arco coseno es la inversa de la función coseno cuando esta última se considera definida en el intervalo [, π]. u dominio es el intervalo [ 1, 1] y su imagen, el intervalo [, π]. I V R 3 f(x)=arccos(x) AP R xiste la siguiente relación entre las funciones arco seno y arco coseno arcsen x + arccos x = π, x [ 1, 1]. 2 11

12 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Función arco tangente: viene dada por f(x) = arctan x. La función arco tangente es la inversa de la función tangente cuando esta última se considera definida en el intervalo ( π/2, π/2). u dominio es R y su imagen, el intervalo ( π/2, π/2). f(x)=arctan(x) I V R Otras funciones interesantes son la función valor absoluto, la función logística, las funciones hiperbólicas,... AP R 12

13 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel 1.2. Límites y continuidad de funciones Límite de una función en un punto ea A R. e dice que a R es un punto de acumulación de A si en todo intervalo abierto que contenga al punto a hay puntos de A distintos del propio a. ea f : D R y sea a un punto de acumulación de D. e dice que el límite de f(x) en a es l, y se denota lím f(x) = l, si para todo ε >, por muy pequeño que sea, existe un valor δ(ε) > tal que si < x a < δ entonces se satisface que f(x) l < ε. I V R e dice que existe el límite lateral por la derecha, y se denota lím f(x) = l, si + ε >, δ(ε) > tal que si < x a < δ f(x) l < ε AP R Análogamente, se dice que existe el límite lateral por la izquierda, y se denota lím f(x) = l, si ε >, δ(ε) > tal que si < a x < δ f(x) l < ε De las definiciones se deduce que cuando los límites laterales en un punto existen y coinciden, la función tiene límite en ese punto y recíprocamente. 13

14 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Límites infinitos e dice que lím f(x) = + si para todo valor M >, por muy grande que sea, existe un valor δ(m) > tal que si < x a < δ, entonces f(x) > M. Análogamente, lím f(x) = si M >, δ(m) > tal que si < x a < δ f(x) < M. De forma similar se define límites laterales infinitos. i el límite (o límite lateral) de una función en a es + o, se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de f. I V R Límites en el infinito e dice que lím x + f(x) = l si para todo ε > existe un valor K(ε) > tal que para todos los elementos x > K(ε), se tiene que f(x) l < ε. AP R Las definiciones para lím f(x) = l y lím f(x) = x x ± ± son obvias a partir de las anteriores. i el límite de una función en + o es un número real l, se dice que la recta y = l es una asíntota horizontal de f. 14

15 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel f(x) i m = lím, la función tiene asíntota oblicua, de ecuación y = mx + n, donde n = x ± x [f(x) mx]. lím x ± Propiedades: ean a, l R {+, }. l límite de una función en a, si existe, es único. i f tiene límite finito en a, entonces f está acotada en algún intervalo alrededor a. i lím f(x) = lím g(x) = l y además f(x) h(x) g(x) alrededor de a, entonces lím h(x) = l. lím f(x) = lím f(x). I V R i f está acotada en un intervalo alrededor de a y lím g(x) = entonces lím f(x)g(x) =. lím(f(x) + g(x)) = lím f(x) + lím g(x). lím(f(x) g(x)) = lím f(x) lím g(x). lím lím f(x) lím f(x) g(x) = lím g(x). ) (f(x) g(x) = lím f(x) lím g(x). i lím f(x) = l, entonces lím g(f(x)) = lím x l g(x). AP R 15

16 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Hay casos en los que el límite no se puede calcular, dando lugar a indeterminaciones:,,,, 1, y Resolución de algunas indeterminaciones Límites de funciones racionales. Indeterminaciones del tipo. P (x) Para calcular lím, con P (x), Q(x) funciones x Q(x) polinómicas, dividimos en el numerador y denominador de la fracción por x n, con n = máx{gr P (x), gr Q(x) }, obteniéndose: I V R P (x) i gr P (x) =gr Q(x) lím x Q(x) = a n, donde b n a n y b n son los coeficientes del término de mayor grado de P (x) y Q(x), respectivamente. P (x) i gr P (x) <gr Q(x) lím x Q(x) =. i gr P (x) >gr Q(x) lím x P (x) Q(x) = ±. Límite de una diferencia. Indeterminaciones del tipo. Para calcular lím x x [f(x) g(x)] =, se trata de descomponer f(x) g(x) como un producto o un cociente. Cuando aparecen radicales, se multiplica y se divide por la expresión conjugada de la que contiene al radical. AP R 16

17 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Límites de funciones racionales. Indeterminaciones del tipo. l caso de cocientes polinómicos de nuevo permite resolver fácilmente el caso de indeterminación del tipo, ya que el valor al que tiende x es un cero de ambos polinomios, y por tanto un factor que se puede simplificar en la expresión original. Límites de potencias. Indeterminaciones del tipo 1. Para resolver las indeterminaciones del tipo 1, se ( hace uso del número e = lím ) f(x) con f(x) f(x) =, donde a R {+, }. lím I V R l resto de indeterminaciones se pueden reducir a alguna de las anteriores. iguiendo estrategias similares a las descritas anteriormente, podemos resolver algunas indeterminaciones con funciones cuyas expresiones son más complejas. Por ejemplo, si en la expresión de f hay radicales que intervienen en la indeterminación, se suele utilizar la expresión conjugada; si aparecen exponenciales, se suele utilizar la de mayor base,... AP R La regla de L Hopital, que veremos más adelante, es también una herramienta útil para resolver indeterminaciones. Otra herramienta para el cálculo de límites es el uso de los llamados infinitésimos equivalentes. 17

18 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Continuidad f : D R R se dice continua en a D si a es un punto aislado o lím f(x) existe y coincide con el valor f(a). Tipos de discontinuidades: Discontinuidad evitable. xiste el límite, pero no coincide con el valor que la función tiene asignado en ese punto. Discontinuidad de salto finito. xisten los límites laterales, y son finitos, pero no iguales. I V R Discontinuidad de salto infinito. xisten los límites laterales, pero alguno de ellos (o ambos) es infinito. Discontinuidad por oscilación. No existe algún límite lateral. AP R Propiedades: i f, g son funciones continuas, entonces las funciones suma, producto, cociente y composición también lo son (donde tengan sentido). Todas las funciones elementales estudiadas en la sección anterior son continuas en sus respectivos dominios de definición. 18

19 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel ea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. ntonces: (Teorema de Bolzano) i f(a) y f(b) tienen distinto signo, existe un valor c (a, b) tal que f(c) =. (Teorema de los valores intermedios de Darboux) f toma todos los valores entre f(a) y f(b) al menos una vez en (a, b). (Teorema de Weiestrass) f tiene mínimo y máximo en [a, b], es decir, existen x 1, x 2 [a, b] tales que f(x 1 ) f(x) f(x 2 ), para todo x [a, b]. I V R i f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en [a, b], entonces f 1 es continua en [f(a), f(b)]. AP R 19

20 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel 1.3. Concepto y cálculo de derivadas Derivada de una función en un punto ea f : D R y sea a un punto de acumulación de D. e dice que f es derivable en x = a si existe y es finito el siguiente límite: lím f(x) f(a) x a = lím h f(a + h) f(a) h Al valor de dicho límite se le llama derivada de f en a y se denota por f (a). Las derivadas laterales de f por la izquierda y por la derecha de x = a se definen y denotan como: f (a ) = lím f(x) f(a) x a I V R f (a + f(x) f(a) ) = lím + x a l cociente de incrementos (f(x) f(a))/(x a) corresponde a la variación media de la variable dependiente en el intervalo [a, x] (o [x, a]) de variación de la variable independiente. La derivada f (a) corresponde a la variación instantánea de la variable dependiente. n las proximidades de x = a tenemos que: f(x) f(a) f (a)(x a) s decir, la variación de f es aproximadamente proporcional a la variación de su variable independiente, donde la constante de proporcionalidad es la derivada en el punto en cuestión. AP R 2

21 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel e define el diferencial de f en a, con respecto al incremento h = (x a), y se denota por df, a df(a) = f (a)h i f(x) = x entonces df = dx = 1 h = h. Por tanto, la diferencial se puede definir como df(a) = f (a)dx. n consecuencia, la derivada se puede considerar también como un cociente de diferenciales: f (a) = df dx (a). Interpretación geométrica La derivada de f(x) en x = a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (a, f(a)). La ecuación de dicha recta tangente será entonces: y = f(a) + f (a)(x a) I V R Derivabilidad y continuidad Teorema: i f es derivable en x = a, entonces es continua en x = a. AP R Función derivada i una función es derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I, se puede definir la función derivada de f en I como: f : I R R x f (x) 21

22 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Propiedades: Linealidad de la derivación. (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) (kf(x)) = kf (x) Derivada del producto. (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Derivada del cociente. (donde g no se anule) ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) (g(x)) 2 n particular ( ) 1 = g (x) g(x) (g(x)) 2 I V R Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena. i f es derivable en x y g es derivable en f(x), entonces (f g) es derivable en x y además (f g) (x) = g (f(x))f (x) Derivada de la función inversa. i f es derivable e inyectiva en I con derivada no nula en I, entonces la función inversa es derivable en f(i) y (f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)) AP R 22

23 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Derivada de las funciones elementales (k) = con k R. (x r ) = rx r 1 con r racional. (a x ) = a x ln a. n particular (e x ) = e x. (log a x) = 1 (ln a)x. n particular (ln x) = 1 x. (sen x) = cos x. (cos x) = sen x. (tan x) = 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x. (arcsen x) = 1. 1 x 2 (arccos x) = 1 1 x 2. (arctan x) = 1 1+x 2. I V R Derivación logarítmica ste método se utiliza sobre todo para el cálculo de la derivada de las funciones de la forma f(x) = [h(x)] g(x). Tomando logaritmos en ambos miembros resulta: ln f(x) = ln (h(x)) g(x) = g(x) ln(h(x)) Derivando obtenemos: f (x) f(x) = g (x) ln(h(x)) + g(x) h (x) h(x) de donde se deduce que: [ ] f (x) = [h(x)] g(x) g (x) ln(h(x)) + g(x) h (x). h(x) AP R 23

24 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Derivación implícita i y = f(x)viene dada de forma implícita, es decir como F (x, y) =, para obtener su derivada respecto a x se procede a derivar F (x, y) respecto a x aplicando la regla de la cadena. Posteriormente, se puede despejar y df (x,y) en la ecuación dx =. Derivadas de orden superior i f es derivable en I, su derivada se llama derivada segunda o derivada de orden dos, y se denota por f. n general, la derivada n-ésima de f se denota f (n), y se define como la derivada de f (n 1) (si existe). Cuando existe la derivada de cualquier orden de una función f en I, ésta se dice que es infinitamente derivable y se escribe f C (I). I V R AP R 24

25 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel 1.4. Teoremas fundamentales del cálculo diferencial. Aplicaciones Crecimiento y decrecimiento de una función ea f una función derivable en un intervalo abierto I. e verifica: i f (x) (f (x) > ) x I, entonces f es creciente (estrictamente creciente) en I. i f (x) (f (x) < ) x I, entonces f es decreciente (estrictamente decreciente) en I xtremos relativos de una función I V R i existe f (a) y f tiene un extremo relativo en x = a entonces f (a) =. i f y f son derivables en x = a y f (a) =, entonces i f (a) > entonces f tiene un mínimo relativo en x = a. i f (a) < entonces f tiene un máximo relativo en x = a. AP R Concavidad y convexidad de una función ea f una función derivable en x = a. Diremos que f es convexa (resp. cóncava) en x = a si alrededor de dicho punto la gráfica de f está por encima (resp. debajo) de la recta tangente en x = a. 25

26 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel i f es una función dos veces derivable en un intervalo abierto I, se verifica: i f (x) > x I, entonces f en convexa en I. i f (x) < x I, entonces f en cóncava en I Puntos de inflexión Los puntos donde una función cambia de cóncava a convexa o viceversa se denominan puntos de inflexión. i x = a es un punto de inflexión de f y existe f (a), entonces f (a) = Teoremas sobre funciones derivables I V R ean f y g funciones continuas en un intervalo [a, b] y derivables en todo punto de (a, b). e verifican las siguientes propiedades: (Teorema de Rolle) i f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que f (c) =. (Teorema del valor medio de Lagrange) xiste c (a, b) tal que = f (c). f(b) f(a) b a (Teorema del valor medio generalizado de Cauchy) xiste un punto c (a, b) tal que [f(b) f(a)]g (c) = [g(b) g(a)]f (c) AP R 26

27 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Regla de L Hopital ean f y g funciones definidas en un intervalo I y sea a R {, + } un punto de acumulación de I. upongamos que f y g son derivables en I \ {a}, g (x) en I \ {a} y se verifica alguna de las tres condiciones siguientes: lím f(x) = lím g(x) =. lím g(x) = +. lím g(x) =. i existe lím f (x) g (x) existe lím f(x) g(x) I V R = l R {, + } entonces y coincide con el anterior. s decir, lím f(x) g(x) = lím f (x) g (x) AP R Observación: l resultado también es cierto si se consideran límites laterales. La regla de L Hopital se utiliza para resolver indeterminaciones en el cálculo de límites. 27

28 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel 1.5. Fórmula de Taylor. Aplicaciones Objetivo: aproximar una función f en un entorno del punto x = a por un polinomio de grado menor o igual que n de forma que en x = a coincidan el valor de la función y de sus n primeras derivadas con los del polinomio. Fórmula de Taylor: ean f : I R R derivable hasta el orden n en x = a I (n N). ntonces, para cualquier x I se verifica la siguiente igualdad denominada desarrollo de Taylor de orden n en un entorno de x = a: I V R f(x) =f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 + 2! f (n) (a) (x a) n + f (n+1) (ξ) n! (n + 1)! (x a)n+1 = n f (k) (a) = (x a) k + f (n+1) (ξ) (x a)n+1, k! (n + 1)! k= }{{}}{{} Resto de Lagrange T f,a,n (x) donde ξ es un punto intermedio entre x y a. xisten otras expresiones del resto que no detallamos aquí. AP R Al polinomio T f,a,n (x) se la llama polinomio de Taylor. i el desarrollo anterior se realiza en un entorno de a =, éste se denomina desarrollo de McLaurin. 28

29 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Las funciones que son infinitamente derivables en un punto a se pueden expresar por su desarrollo de Taylor infinito en un intervalo que contiene al punto. n general se tiene el siguiente resultado: Desarrollo en serie de Taylor: ean f : I R infinitamente derivable (esto es, f C (I)) y a I, entonces, para cualquier x (a R, a + R) se verifica f(x) = k= f (k) (a) (x a) k, k! donde R se denomina radio de convergencia de la serie de Taylor cuya expresión no detallamos aquí. Desarrollo de algunas funciones elementales: e x = ln(1 + x) = sen x = k= k=1 x k k! 1 1 x = cos x = k= x R ( 1) k+1 x k x < 1 k k= x k x < 1 ( 1) k (2k + 1)! x2k+1 x R k= ( 1) k (2k)! x2k x R I V R AP R 29

30 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Propiedades del polinomio de Taylor ean f y g funciones con derivadas hasta de orden n en el punto a, entonces se cumplen las siguientes propiedades: i A y B son constantes, se verifica T (Af+Bg),a,n = A T f,a,n + B T g,a,n l polinomio de Taylor de grado n de la función (f g) en el punto a es el polinomio que se obtiene al suprimir en el polinomio producto (T f,a,n T g,a,n ) los términos de grado mayor o igual que n + 1. i g(a), entonces el polinomio de Taylor de grado n de la función f/g en el punto a es el polinomio cociente que se obtiene al dividir los desarrollos de Taylor de f y g en a hasta grado n inclusive. I V R La derivada del polinomio de Taylor grado n de f es el polinomio de Taylor de grado n 1 de f ; es decir, se tiene que: AP R (T f,a,n ) = T f,a,n 1 ean f : I R R, con a I, g : f(i) R con b = f(a) f(i), donde f y g son funciones con derivada hasta el orden n en el punto a para f y en el punto b para g. ntonces el polinomio de Taylor de orden n de la función (g f)(x) en el punto a, es el polinomio que se obtiene al suprimir en la composición de los desarrollos de g y f los términos de grado mayor o igual que n

31 Fundamentos de Matemáticas - Grado en Ingeniería Agrícola - Profª. Mónica squivel Otras aplicaciones del desarrollo de Taylor Cálculo de límites: l desarrollo de Taylor también se puede aplicar al cálculo de límites sustituyendo la función o funciones en cuestión por su desarrollo. Cálculo de extremos relativos: i f es n veces derivable en a con f (a) = f (a) = = f (n 1) (a) = y f (n) (a), entonces: i n es par y f (n) (a) >, entonces en x = a hay un mínimo relativo. i n es par y f (n) (a) <, entonces en x = a hay un máximo relativo. I V R i n es impar, entonces en x = a hay un punto de inflexión. AP R 31