8. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

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1 8. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. En este tema comenzamos el análisis de funciones de varias variables reales. Comenzaremos estudiando el espacio euclídeo n-dimensional para continuar el estudio (sencillo) de ites y continuidad El espacio euclídeo R n En esta sección trataremos de dar un resumen acerca de R n, de su estructura de espacio vectorial euclídeo, con el producto escalar usual, destacando de entre ello, lo relativo a la distancia que se obtiene del referido producto escalar El espacio vectorial R n. Denición 8.1. Designamos por R n el conjunto R n = { x = (x 1, x 2,..., x n ), x i R, i = 1, 2,..., n}. El conjunto R se representa como los puntos de una recta, R 2 como los puntos del plano y R 3 como los puntos del espacio. A cada punto de R n se le asocia el vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en dicho punto, llamado vector de posición. Dos vectores x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n son iguales si y sólo si x i = y i, para todo i = 1,..., n. Si x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, al número x i se le llama coordenada i-ésima de x. Asimismo, a la aplicación π i : R n R : x π i ( x) = x i se le llama proyección i-ésima. Denición 8.2. En R n denimos las siguientes operaciones: Suma: (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ). Producto por un escalar: Si α R, α(x 1, x 2,..., x n ) = (αx 1, αx 2,..., αx n ). Proposición 8.3. La terna (R n, +, R) es un espacio vectorial. Departamento de Análisis Matemático 1 Análisis Matemático (Grado en Física)

2 Los vectores { e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1,, 0),, e n = (0, 0,, 1)} forman una base de R n llamada base canónica. Por tanto, cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n se expresa de manera única n como combinación lineal de los vectores de esta base en la forma x = x i e i. En el caso de dimensión 2, se suele escribir i = (1, 0) y j = (0, 1); mientras que en el caso de dimensión 3 se suele escribir i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1). i= Norma y distancia. Denición 8.4. Se dene el producto escalar entre vectores de R n como la aplicación: ( ) : R n R n R : x y = (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y n ) = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. Propiedades 8.5. x, y, z R n y α R se verica: (a) (c) ( x + y) z = x z + y z. x (α y) = (α x) y = α( x y). (b) x ( y + z) = x y + x z. (d) x y = y x. (e) x x 0 (f) x x = 0 x = 0. (g) Desigualdad de Cauchy-Schwarz: ( x y) 2 ( x x) ( y y). Denición 8.6. Llamamos espacio euclídeo R n al espacio vectorial (R n, +, R) dotado del producto escalar ( ). A continuación vamos a denir el equivalente n-dimensional al valor absoluto. Denición 8.7. Denimos la norma euclídea en R n como la aplicación : R n R, x = x x = x x x2 n. Propiedades 8.8. x, y, R n y α R se tiene: (a) x 0. (b) x = 0 x = 0. (c) (e) α x = α x. x y x y. (d) x + y x + y. Departamento de Análisis Matemático 2 Análisis Matemático (Grado en Física)

3 A partir de esta norma, igual que sucediera con el valor absoluto, podemos denir la distancia euclídea. Denición 8.9. Se llama distancia euclídea a la aplicación: d : R n R n [0, + ), d( x, y) = y x = (y 1 x 1 ) (y n x n ) 2. Propiedades x, y, z R se verica: (a) d( x, y) = 0 si y sólo si x = y. (b) d( x, y) = d( y, x). (c) Desigualdad triangular: d( x, z) d( x, y) + d( y, z) Conceptos topológicos. A continuación, introduciremos algunos conceptos topológicos, que ya fueron adelantados en el Tema 1. Denición Se llama bola abierta (o simplemente bola) de centro a R n y radio r > 0, al conjunto B( a, r) = { x R n : d( a, x) < r}. Se llama bola cerrada de centro a R n y radio r > 0, al conjunto B( a, r) = { x R n : d( a, x) r}. Se llama bola reducida de centro a R n y radio r > 0, al conjunto B ( a, r) = B( a, r) \ { a}. Las bolas en R 2 son círculos, mientras que en R 3 son esferas. Denición Dados un subconjunto A R n y a R n se dice que: a es un punto interior de A si existe r > 0 tal que B( a, r) A. El conjunto de los puntos interiores de A se llama interior de A y se denota A. Departamento de Análisis Matemático 3 Análisis Matemático (Grado en Física)

4 a es un punto adherente de A si para todo r > 0, B( a, r) A. El conjunto de los puntos de adherencia de A se llama clausura ó cierre de A y se denota Ā. a es un punto de acumulación de A si para todo r > 0 (B( a, r) \ { a}) A. El conjunto de los puntos de acumulación de A se llama derivado de A y se denota A. Los puntos de Ā que no están en A se llaman puntos aislados de A. Denición Dado un subconjunto A de R n se dice que: A es un conjunto abierto si coincide con su interior, es decir, A = A. A es un conjunto cerrado si su complementario es un conjunto abierto. A es un conjunto acotado si existe M > 0 tal que para cada x A, x < M, es decir, A B( 0, M). A es un conjunto compacto si es cerrado y acotado. Se llama entorno de un punto a R n a cualquier subconjunto de R n que contenga alguna bola abierta de centro a. En particular, cualquier abierto que contenga a a será un entorno suyo. Observemos que un conjunto A es cerrado si y sólo si coincide con su clausura. Ejemplos (a) En R los intervalos abiertos son conjuntos abiertos y los intervalos cerrados son conjuntos cerrados (acotados o no). (b) En R 2, el conjunto [1, 2] [3, 4] es un conjunto compacto. (c) En R 2 las rectas son conjuntos cerrados, no acotados y con interior vacío. (d) El conjunto A = {( 1 k, 1 k ) : k N} tiene interior vacío, (0, 0) es su único punto de acumulación y Ā = A {(0, 0)}, luego A no es un conjunto cerrado, pero Ā es un conjunto compacto. { } (x, y, z) R 3 : x2 + y2 + z2 1 a 2 b 2 c 2 (con a, b, c R\{0}) es un conjunto cerrado (e) En R 3 el conjunto y acotado que se llama elipsoide. (f) El conjunto B((0, 0), 2) (0, 1) es un conjunto abierto y acotado de R 3. Concretamente, es un cilindro cuya base es el círculo de centro el origen y radio 2 y se eleva una unidad. Departamento de Análisis Matemático 4 Análisis Matemático (Grado en Física)

5 8.2. Funciones de varias variables Deniciones y conceptos previos. Sean n, m N. En esta sección vamos a estudiar funciones de R n es R m, es decir, aplicaciones tales que a cada x A R n le hacen corresponder un único y = f( x) R m. Si m = 1, es decir, si estamos ante una función f : x A R n y = f( x) R, diremos que f es un campo o función escalar. Ejemplo Fijado i = 1,..., n, la proyección π i : x = (x 1,, x n ) R n x i R es un campo escalar. Si m > 1, es decir, si estamos ante una función f : x A R n y = f( x) R m, diremos que f es un campo o función vectorial. Un campo vectorial puede verse como m funciones escalares, llamadas funciones funciones componentes. Si f( x) = y = (y 1,, y m ), denotamos f = (f 1,, f m ), donde f i : A R es el campo escalar dado por f i ( x) = y i para cada i = 1,..., m, Ejemplo La aplicación identidad I n : x R n x R n es un campo vectorial, cuyas componentes son las proyecciones, es decir, I n = (π 1,, π n ). El conjunto A R n donde f está denida es el dominio de f.. El subconjunto de R m donde f toma valores, f(a), es el rango ó imagen de f. El grafo de f es el conjunto G(f) = {( x, f( x)) R n+m : x A}. En la práctica y por cuestiones obvias de visualización restringiremos nuestro estudio a funciones escalares para n = 2, 3. Observemos que las funciones reales de dos variables, caso n = 2, tienen como dominio un subconjunto del plano y su grafo es una supercie en el espacio R 3. Ejemplos (a) Consideremos f(x, y) = 25 x 2 y 2. Está denida siempre que 25 x 2 y 2 0 es decir A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 25}. De donde deducimos que f(a) = {z R : 0 z 5} = [0, 5]. El grafo de f es G(f) = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 5, z 0}, o sea, la semiesfera superior de centro (0, 0, 0) y radio 5. Departamento de Análisis Matemático 5 Análisis Matemático (Grado en Física)

6 (b) Sea f(x, y, z) = ln(xyz) cuyo dominio es A = {(x, y, z) R 3 : xyz > 0} y cuyo rango es todo R. Hay otra forma de representar campos y supercies, que ayuda a la visualización del conjunto anterior: los conjuntos de nivel. Denición Sea f : A R n R una función escalar y c R, llamamos conjunto de nivel de f para ese valor c al conjunto: { x A : f( x) = c}. En particular, si n = 2 el conjunto se llama curva de nivel y si n = 3 se denomina supercie de nivel. Las curvas de nivel aparecen habitualmente en cartografía, para denotar las alturas de los terrenos, y en meteorología, para describir curvas con idéntica temperatura (curvas isotermas) o de igual presión atmosférica (isobaras) Límite de campos escalares y vectoriales. En esa sección, si recordamos la denición de ite de una función real de variable real, vamos a poner de maniesto que, formalmente, son iguales De hecho, intuitivamente se trata de ver que los valores de la función están cerca de l R cuando x está próximo a a. Denición Sea f : A R n R un campo escalar y consideremos a A R n. Se dice que l R es el ite de f en el punto a si se verica: ε > 0, δ > 0 tal que si x A \ { a}, x a < δ = f( x) l < ε. La condición anterior se puede expresar, recurriendo a las bolas de R n y R: ε > 0, δ > 0 tal que si x B ( a, δ) A f( x) B(l, ε). El ite en un punto de una función escalar de dos variables se denomina ite doble, y si denotamos por x el punto (x, y) y por a, el punto (a, b), escribiremos Ejemplos (a) Si f(x, y) = x + y, entonces f(x, y) = a + b. (x,y) (a,b) f(x, y) = l. (x,y) (a,b) En efecto, dado ε > 0, tomando δ = ε/2, se tiene que si (x a) 2 + (y b) 2 < δ y dado que x + y a b x a + y b 2 (x a) 2 + (y b) 2, Departamento de Análisis Matemático 6 Análisis Matemático (Grado en Física)

7 entonces f(x, y) (a + b) = x + y a b < ε. (b) Los campos escalares proyecciones en R n denidos para cada i = 1, 2, n como π i : R n R donde π i ( x) = x i verican que π i ( x) = a i (c) Dada la función f(x, y) = 2xy x 2, probemos que + y f(x, y) = 0. 2 (x,y) (0,0) Dado ε > 0 tomamos δ = ε 2, entonces si x 2 + y 2 < δ tenemos: f(x, y) = 2 x y x 2 + y 2 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 2 x 2 + y 2 < ε. Al igual que en el caso de funciones de una variable, veamos ahora la deniciones de ite innito. Denición Sea f : A R n R un campo escalar y consideremos a A R n. Se dice que f tiene ite innito en a, si para cada K > 0 existe un δ > 0 tal que, para todo x B ( a, δ) A, se verica f( x) > K y lo denotaremos por f( x) =. Proposición Sean f, g : A R n R, a A y supongamos que f( x) = l 1 y g( x) = l 2, con l 1, l 2 R. Entonces (a) (f + g)( x) = l 1 + l 2. (c) (fg)( x) = l 1 l 2 (b) (λf)( x) = λ l 1 para todo λ R. ( ) f ( x) = l 1 (d), si l 2 0. g l 2 Denición 8.23 (Límites de campos vectoriales). Sea f : A R n R m, con m > 1, un campo vectorial tal que f = (f 1,, f m ), donde f i : A R. Entonces se dice que el ite de f en a R n es b = (b 1, b 2,, b m ) R m si f i ( x) = b i, para todo i = 1,, m Límites direccionales y reiterados en R 2 Por una curva en R 2 entenderemos una aplicación continua γ : I R R 2, donde I es un intervalo (que puede ser cerrado, abierto, acotado o no acotado). Usualmente, denotaremos γ(t) = (x(t), y(t)) para t I e identicaremos la imagen de γ con la propia aplicación γ. Denición 8.24 (Límites direccionales). Sean f : A R 2 R y a = (a, b) A. Sea γ(t) = (x(t), y(t)) una curva que pasa por el punto a, es decir, γ(t 0 ) = (a, b) para algún t 0 I. Se dice que Departamento de Análisis Matemático 7 Análisis Matemático (Grado en Física)

8 f tiene ite l R { } en a según la dirección γ, y lo denotaremos por (x,y) (a,b) (x,y) γ f(x, y) = l, si t t 0 f(x(t), y(t)) = l. A dicho ite se le conoce como ite direccional de f(x, y) a través de γ. Si la curva viene expresada de forma explícita (es decir, y = ϕ(x) con b = ϕ(a)), el ite direccional será = f(x, ϕ(x)). (x,y) (a,b) x a y=ϕ(x) Es habitual hallar los ites direccionales a través de rectas que pasan por a = (a, b): (x,y) (a,b) x=a f(x, y) = f(a, y) ó f(x, y) = f(x, b + m(x a)). y b (x,y) (a,b) x a y=b+m(x a) m R Es evidente que si f tiene ite l en a, entonces f tiene ite l en a según toda toda curva γ que pase por a. Por tanto, podemos probar que un ite doble no existe si encontramos dos ites direccionales con valores distintos. Ejemplos Vamos a comprobar que los siguientes limites dobles no existen. (a) (b) (x,y) (0,0) xy x 2 + y 2. Vamos a calcular los ites según las rectas y = mx que pasan por el origen: (x,y) (0,0) y=mx mx 2 f(x, y) = f(x, mx) = x 0 x 0 x 2 + m 2 x 2 = m 1 + m 2. Como dependen de m (si cambio de dirección -cambio de pendiente- cambia el valor del ite) el ite doble no existe. (x,y) (0,0) xy 2 x 2 + y 4. Se comprueba fácilmente que los ites direccionales a través de las rectas y = mx dan cero. Sin embargo al tomar la dirección a través de la parábola x = y 2 obtenemos: (x,y) (0,0) x=y 2 f(x, y) = f(y 2 y 4, y) = y 0 x 0 y 4 + y 4 = 1 2. Denición 8.26 (Límites reiterados). Sea f : A R 2 R y a = (a, b) A. Las expresiones ( ) ( ) l 1 = f(x, y), l 2 = f(x, y) y b x a x a y b signican: Departamento de Análisis Matemático 8 Análisis Matemático (Grado en Física)

9 Para cada y de un cierto entorno reducido de b, se considera la función x f(x, y). Se supone que esta función tiene ite cuando x a, al que llamaremos (por depender de y), φ(y) = x a f(x, y). La función y φ(y) tiene ite l 1 cuando y b. En tal caso, a l 1 se le llama ite reiterado de f cuando x tiende primero a a e y tiende, después, al punto b. Análogamente con l 2. A los ites x a f(x, y) y y b f(x, y) se les llama ites unidimensionales. Proposición Sea f : A R 2 R y a = (a, b) A. Si existe y vale l el ite de f en (a, b), y si, para cada y de un entorno reducido de b, existe el x a f(x, y), entonces existe y vale l el ite reiterado ( ) f(x, y). y b x a Para el otro ite reiterado se tiene un resultado análogo. Puede ocurrir: La función tiene ite en un punto, pero no existe en dicho punto alguno de los ites reiterados. Por ejemplo, f(x, y) = x 2 sen(1/y) tiene ite doble igual a cero en el origen, sin embargo si x 0, ocurre que y 0 f(x, y). La función tiene en un punto sus dos ites reiterados y son iguales, pero no existe su ite doble en dicho punto. Por ejemplo, f(x, y) = xy x 2 no tiene ite doble en el origen pero sus + y2 ites reiterados son nulos. La función tiene en un punto sus dos ites reiterados y son distintos. Por ejemplo, la función f(x, y) = x2 y 2 x 2 posee ites reiterados 1 y 1 en el origen. + y2 En este caso, el resultado anterior asegura la no existencia de ite doble Continuidad de campos escalares y vectoirales. Denición Sean f : A R n R un campo escalar y a A. Se dice que f es continua en a si f( x) = f( a), es decir si: ε > 0, existe un δ > 0 tal que si x A con x a < δ, entonces f( x) f( a) < ε. Departamento de Análisis Matemático 9 Análisis Matemático (Grado en Física)

10 Decimos que f : A R n R es continua en A si lo es en cada punto x A. Ejemplo La aplicación proyección π i es continua en todo R n, i = 1,, n. Denición Si la función f no es continua en un punto a de A, se dice que f es discontinua en a. En tal caso la discontinuidad será evitable o esencial según exista o no el ite de f en a. Ejemplo La función f(x, y) = xy x 2 si (x, y) (0, 0) y f(0, 0) = 0 tiene una discontinuidad + y2 esencial en el origen pues f(x, y). (x,y) (0,0) Estudiamos a continuación el álgebra de funciones continuas, propiedades que son consecuencia de las propiedades análogas de los ites, y la continuidad de la función compuesta de dos funciones continuas. Proposición Si f, g son dos campos escalares denidas en un mismo conjunto A R n, que son continuas en un punto a A y sea λ R. Entonces también son continuas en a la suma, f + g, el producto por el escalar λ f, el producto, f g y el cociente f/g (siempre que g( a) 0). Además, si h : f(a) R R es una función (de una variable real) continua en f( a), entonces la función h f : x A R n h(f( x)) R es continua en a. Ejemplos (a) Las funciones polinómicas son continuas en todo R n como consecuencia del álgebra de funciones continuas y de la continuidad de las aplicaciones proyección. Un campo escalar P : R n R es un polinomio si viene denido de la siguiente forma: con p 1 p n N {0}. P ( x) = p 1 k 1 =0 p n k n=0 a k1 k n x k 1 1 xkn n, (b) Las funciones racionales expresadas como cocientes de funciones polinómicas, son continuas en todo R n menos el conjunto de puntos que anulan el denominador. (c) La composición de funciones elementales reales con funciones escalares continuas en A R n es continua en A. Por ejemplo: f(x, y) = sen(x+y) es continua en R 2 y f(x, y) = ln(x 2 +y 2 ) continua en R 2 \ {(0, 0)}. Departamento de Análisis Matemático 10 Análisis Matemático (Grado en Física)

11 Denición Sea f : A R n R m, con m > 1, un campo vectorial y a A. Se dice que f es continua en a si cada f i es continua en a. Análogamente, f es continua en A si lo es en cada punto. Ejemplos (a) El campo vectorial f(x, y) = (x + y, x y) es continuo en todo R 2. (b) El campo vectorial f(x, y) = (x y, x/y) si y 0, f(x, 0) = 0 es continuo en R 2 \ OX y en el eje de abscisas presenta discontinuidades esenciales. (c) El campo vectorial f(x, y) = (y, x, ) xy x 2 +y 2 si (x, y) (0, 0), f(0, 0) = (0, 0, 1) es continuo en R 2 \ {(0, 0)} y en el origen de coordenadas presenta una discontinuidad evitable. Proposición Sea f : A R n R m un campo vectorial continuo en a y sea g : f(a) R m R k un campo vectorial continuo en f( a). Entonces el campo vectorial g f : x A R n g( f( x)) R k es continuo en a. Departamento de Análisis Matemático 11 Análisis Matemático (Grado en Física)