Cálculo I. Índice Límites Infinitos. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción Límites infinitos Límites en el infinito 9

Transcripción

1 2.3. Límites Infinitos Julio C. Carrillo E. * Índice. Introducción 2. Límites infinitos 3. Límites en el infinito 9 * Profesor Escuela de Matemáticas, UIS.

2 . Introducción En esta sección se discuten dos tipos de operaciones de ite: () ites que toman valores infinitos; y (2) ites en el infinito. Ambos tipos de esto tipos de ites tienen interpretaciones geométricas en cuanto a las asíntotas vertical y horizontal de la gráfica de una función, las cuales están definidas en términos de ites que implican el concepto de infinito. 2. Límites infinitos La expresión ites infinitos siempre se refiere a un ite que no existe porque la función tiene un comportamiento no acotado; es decir, sus valores f(x) crecen o decrecen sin ite cuando x tiende a a. Esto sucede cuando, 6= 0, h(x) =0 6= 0, h(x) =0 =) 6= 0, h(x) =0 =) + + =) no existe, h(x) no existe, h(x) no existe, + h(x) h(x) = ± h(x) = ± + h(x) = ± () Observe que estos ites tienen la forma indeterminada L 0 donde L 6= 0. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase /9

3 Ejemplo. Evalúe los siguientes ites: x, + x, Demostración. Mediante tablas de valores se tiene lo siguiente. x! 0 0, 0,0 0,00 0,000 x! 0 + 0, 0,0 0,00 0,000 x! x! En este caso se tiene una forma /0 en x =0. Se tiene que: x.. cuando x 0 y x<0 entonces x : x! 0 =) (! x! 0, x < 0 =) x = ; 2. cuando x 0 y x>0 entonces x : x! 0 + =) (! x! 0, x > 0 =) x =. Es decir, x =, + x =, x no existe. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 2/9

4 Ejercicio. Evalúe cada uno de los siguientes ites. 6. x x x 2. Definición (Límites infinitos). Sea Los siguientes son estos casos de ites infinitos: f(x) = h(x).. Si los valores de la función f(x) crecen sin ite cuando x tiende a a, se expresa simbólicamente como: f(x)!cuando x! a f(x) = c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 3/9

5 2. Si los valores de la función f(x) decrecen sin ite cuando x tiende a a, se expresa simbólicamente como: f(x)! cuando x! a f(x) = 3. Igual sentido se dan para los ites laterales: Si los valores de la función f(x) crecen sin ite cuando x tiende a a por la izquierda, se expresa simbólicamente como: f(x)!cuando x! a f(x) = c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 4/9

6 Si los valores de la función f(x) decrecen sin ite cuando x tiende a a por la derecha, se expresa simbólicamente como: f(x)! cuando x! a + + f(x) = 4. El caso f(x) = y f(x) =. + c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 5/9

7 Definición 2 (Asíntota vertical). Se dice que una recta x = a es una asíntota vertical para la gráfica de una función f si por lo menos uno de los siguientes ites: f(x) =±, f(x) =±, + f(x) =±. Ejercicio 2. Considere los siguientes casos de ites infinitos.. x a. 2. (x a) (x a) n, n un entero positivo par. Ejemplo 2. Sea f(x) = x +2. Puede mostrarse que los ites de f en a =0y a = x 2 (x +4) en el sentido que 4 no existen, Se deben analizar los ites, (x +2)=a +26= 0 y x2 (x +4)=a 2 (a +4)=0. x +2 x 2 (x +4), x +2 + x 2 (x +4), Observe que estos ites tienen la forma L/0, L 6= 0. x +2 x 2 (x +4). c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 6/9

8 En este caso tenemos lo siguiente. 8 >< x +2! 2 x! 4 =) x 2! 6 >: x +4! 0, x+4< 0 8 >< x +2! 2 x! 4 + =) x 2! 6 >: x +4! 0, x+4> 0 8 >< x +2! 2 x! 0 =) x 2! 0 >: x +4! 4 8 >< x +2! 0 x! 0 + =) x 2! 0 >: x +4! 4 Tenemos así que, y x! 4 x +2 x 2 (x +4) =, x +2 x 2 (x +4) =, x +2 x! 4 + x 2 (x +4) x +2 + x 2 (x +4) =, =) x! 4 x +2 x 2 (x +4) =, =) x! 4 + x +2 x 2 (x +4) =, =) x +2 x 2 (x +4) =, =) + x +2 x 2 (x +4) =. =, x! 4 x +2 x 2 (x +4) no existe, x +2 x 2 (x +4) =. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 7/9

9 Observe que si se tiene el ite 8 >< x! 0 =) >: x +2 x(x +4) entonces x +2! 2 x! 0, x < 0 x +4! 4 =) x +2 x(x +4) =. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 8/9

10 3. Límites en el infinito Si los valores f(x) de una función tienden a un valor constante L (f(x)! L) cuando x crece sin ite (x!) o cuando x decrece sin ite (x! ), entonces se escribe, respectivamente, y se dice que f posee un ite en el infinito. Posibilidades: f(x) =L o f(x) =L x!. Uno de los ites, f(x) o f(x), existe pero el otro no. x! 2. Los ites f(x) y f(x) existen y f(x) = f(x). x! x! 3. Los ites f(x) y f(x) existen y f(x) 6= f(x). x! x! 4. Ninguno de los ites, f(x) y f(x), existe. x! c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 9/9

11 Si por lo menos uno de los ites existe, por ejemplo, f(x) =L, entonces la gráfica de f puede hacerse arbitrariamente próxima a la recta y = L cuando x crece en la dirección positiva. Definición 3 (Asíntota horizontal). Se dice que la recta y = L es una asíntota horizontal para la gráfica de una función f si por lo menos una de los dos ites, f(x) =L o f(x) =L, x! se cumple. Un ite infinito en el infinito es cualquier ite de la forma f(x) =± o f(x) =±. x! Las propiedades algebraicas de los ites dadas anteriormente se cumplen al sustituir el símbolo a por o en el supuesto de que los ites existen. El siguiente es un resultado para el caso de. Teorema (álgebra de ites). Supongamos que f(x) y existen y que c un número real. Entonces,. c = c; 2. (f(x)+) = f(x)+ ; 3. (cf(x)) = c f(x); 4. f(x) = f(x) ; c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 0/9

12 f(x) 5. = f(x), si 6= 0. Teorema 2 (ite de la función compuesta). Si (f() = f x!± =L y f(y) =f(l) entonces x!± y!l x!± = f(l). Corolario (ite de la raíz n-ésima). Sea n un entero positivo dado. Si =L entonces x!± p q n = n = np L, x!± donde se debe considerar que L 0 cuando n es par. 3.. Cálculo de ites en el infinito del cociente de funciones Ahora se consideran ites en el infinito de la forma x! h(x) o x!+ h(x), L los cuales pueden tener la forma ±, ± L (L 6= 0)óL 0 posible que sea alguna de la indeterminaciones de la forma (L 6= 0), siendo L un número real. También es ± o ±. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase /9

13 Aunque en todos estos casos no aplica la regla del cociente de ites en el infinito, esto no quiere decir que algunos de estos ites no exista. De hecho, para las tres primeras formas de estos ites en el infinito se tienen los siguientes resultados. Forma Resultado Un resultado de este tipo es el siguiente. x!± x!± h(x) h(x) L ± ± L,L6= 0 L 0,L6= 0 0 ± ± Teorema 3 (de ite de potencias racionales negativas). Sean a un número real y r un número racional positivo tales que la expresión (x a) r está bien definida. Entonces x! =0 y (x a) r x! Ejemplo 3. Como el dominio de la función f(x) = f(x). Por el resultado anterior se tiene que x! f(x) = x! x! (x a) r =0. (2) p 2 x es el intervalo (, 2), no se puede encontrar 4 p 2 x =0. Entonces y =0es una asíntota vertical de la gráfica de f. Como además x =2es una asíntota vertical de la gráfica de f. x!2 f(x) no existe entonces c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 2/9

14 Definición 4 (Formas indeterminadas). Cuando alguno de los ites en el infinito x! tenga algunas de las formas ± o, se dice que tal ite es una forma indeterminada. ± h(x) o El hecho que un ite en el infinito sea una forma indeterminada no quiere decir que su ite sea infinito o que no exista. A continuación se analiza la forma de calcular el ite en el infinito de ciertas formas indeterminadas / ±o / ± Caso de funciones racionales Se considera el ite en el infinito de una función racional, h(x) p(x) x! q(x) o p(x) q(x), p(x), q(x) polinomios, c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 3/9

15 la cual es de forma natural alguna de las formas indeterminadas / ±o / ±. Una forma de evaluar el ite en el infinito de esta forma indeterminada es la siguiente. Como los valores de x crecen o decrecen sin ite, entonces se tiene que x 6= 0. Por tal razón, para obtener el ite de la función racional p(x) q(x) se dividen su numerador p(x) y su denominador q(x) por xk, donde k es el mayor grado de los polinomios p(x) y q(x). El objetivo es transformar el ite en una equivalente de tal manera que se pueda utilizar el Teorema (3), que se puedan aplicar las reglas de ite o aplicar (2). 6x 4 + x 2 + Ejemplo 4. Evaluar. 2x 4 x Solución. No se puede aplicar la regla del cociente de ites puesto que ( 6x 4 + x 2 +)= y (2x 4 x)=; es decir, se tiene una forma indeterminada /. No obstante, como x! entonces x 6= 0. En este caso el grado de los polinomios del numerador y del denominador es igual a 4. Al dividir numerador y denominador por x 4, que es diferente de cero, se tiene que Como apple 6x 4 + x 2 + 2x 4 x = 6x 4 + x 2 + x 4 2x 4 x x 4 6+ x + apple = 6, y 2 2 x 4 = 6+ 2 x + 2 x 4. x 3 x 3 =26= 0, c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 4/9

16 entonces 6x 4 + x 2 + 2x 4 x = 6+ 2 x + 2 x 4 = x 3 apple 6+ x + 2 x apple 4 2 x 3 = 6 2 = 3. Una forma alternativa de calcular este tipo de ites consiste en tomar en consideración que a nx n + a n x n + + a x + a 0 = a nx n x!± x!± Efectivamente, si x!entonces x > 0. Por lo tanto, (a nx n + a n x n + a n x n a x + a 0 )= x n a n + a n x + a n a x 2 x + a 0 n x n por el Teorema 3. Ejemplo 5. Evalúe los siguientes ites.. (2x 4 x 2 8x). 2. t! 3 t5 +2t 3 t Solución. En el primer caso se tiene que = a n x n, (2x4 x 2 8x) = 2x 4. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 5/9

17 Como 2=2y x 4 = entonces 2x 4 =. Porlotanto, De igual modo, dado que t! t5 =. t! (2x4 x 2 8x) =. 6x 4 + x 2 + Ejemplo 6. Para evaluar el ite 2x 4 x 6x 4 + x 2 + 2x 4 x 3 t5 +2t 3 t 2 +8 = t! 3 t5 =, 6x 4 = 2x 4 Ejercicio 3. Revise los siguientes problemas del texto. x 3. Evalúe 3x Grafique la función f(x) = x2 x 2. anteriormente considerado, se tiene que 6 = 2 = ( 3) = Casos que involucran otro tipo de formas indeterminadas Ahora se consideran ites en el infinito que pueden involucrar funciones del tipo, donde las h(x) funciones h(x) y pueden ser o no polinomios. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 6/9

18 Ejemplo 7. Evaluar r 2x 3 5x 2 +4x 6. 6x 3 +2x Ejemplo 8. Determine si la gráfica de f(x) = 5x p x2 +4 tiene asíntotas horizontales. Ejemplo 9. Evalúe (x 2 p x4 +7x 2 +). c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 7/9

19 Teorema 4. La función exponencial cumple con los siguientes ites: ex =, x! ex =0, e x =0, e x =. x! Ejemplo 0. Determine si la gráfica de la función f(x) = 6 +e x tiene alguna asíntota horizontal. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 8/9

20 Ejemplo. Se tiene que sen x no existe. No obstante, sen x existe: =sen0=0. x sen x =sen c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 9/9