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1 Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a Ciencia Matemática El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!

2 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES CALCULO I Límites y continuidad

3 Una vista preinar Qué es el cálculo? Los dos problemas fundamentales El área del conocimiento que llamamos cálculo gira en torno a dos problemas geométricos fundamentales que las personas han estudiado desde hace más de 000 años. Cada problema está relacionado con la gráfica yf( de una función dada. El primer problema fundamental es éste. Qué entendemos por la recta tangente a la curva yf( en un punto dado?. La palabra tangente surge del latín tangents, tocar. Así, una recta tangente a una curva es aquella que sólo toca a la curva.

4 El problema de la tangente: Dado un punto P(,f( sobre la curva yf(. cómo calculamos la pendiente de la recta tangente en P? yf( L P(,f( El problema de la tangente es un problema geométrico. Pero su respuesta (en la forma de derivadas es la clave para la solución de diversos problemas de aplicación en muchas áreas científicas y técnicas. Los ejemplos siguientes sugieren las coneiones que son la clave para el papel fundamental del cálculo en la ciencia y tecnología

5 Ejemplo: Suponga que está manejando un automóvil a lo largo de un camino largo y recto. Si f(t denota la distancia (en millas que ha recorrido el auto hasta el tiempo t (en horas, entonces la pendiente de la recta tangente a la curva yf(t en el punto (t, f(t es la velocidad (en millas por hora del auto en el tiempo t. Distancia (t,f(t yf(t Inicio Distancia f(t Tiempo t Tiempo t 4

6 Ejemplo: Suponga que f(t denota el número de personas en un país que tienen una enfermedad grave en el instante t ( medido en días a partir del inicio del año. Entonces, la pendiente de la recta tangente a la curva yf(t en el punto (t,f(t es la tasa de crecimiento ( el número de personas que contraen la enfermedad por día de la población infectada en el instante t Población (t,f(t yf(t Tiempo t 5

7 El concepto de límite Los límites describen lo que sucede a una función a medida que su variable se aproima a un constante c. Supóngase que se desea conocer qué le sucede a la función f a medida que tiende a. f ( 6

8 Aunque f( no está definida en, la situación puede entenderse al calcular f( utilizando los valores de que se acercan cada vez más a por la izquierda y por la derecha. se aproima a se aproima a por la izquierda por la derecha 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999,00,0,05, f(,8,9,95,99,999,00,0,05, El límite de f(, a medida que tiende a es igual a 7

9 Definición: Se escribe c f ( L y se dice el límite de f( es igual a L cuando tiende a c si podemos acercar arbitrariamente los valores de f( a L aproimando a c pero sin igualar a c 8

10 Ejemplos Tres funciones para las que c f ( L 9

11 Ejemplos ( Dos funciones para las que no eiste c f 0

12 Ejercicio: Determine t 0 t 9 t Grafique la función en calculadora o MAPLE. Qué puede observar?. Grafique en distintas ventanas de visualización. t t 0 -, , , , , , , , , , t 9 t Conforme t tiende a cero, hacia dónde se acercan las imágenes de la función?

13 Ejercicio: Grafique la función sen(π/, en ventana [-,] ; y[-.5,.5]. Luego estime si eiste el límite siguiente: sen 0 π Ejercicio: Grafique la función sen(π/, en ventana [-,] ; y[-.5,.5]. Luego estime si eiste el límite siguiente: 0 sin π

14 Propiedades: k c k c c

15 Teorema de unicidad Sea A IR, f:a IR función. Si eiste el límite de f cuando tiende a a entonces f ( es único. Es decir: Si f a a ( L y f ( L entonces L L a Límites Laterales: Límite lateral izquierdo Se escribe a f ( L y se menciona que el límite lateral izquierdo de f( cuando tiende a a ( o límite de f( cuando tiende a a por la izquierda es igual a L si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f( aproimando a lo suficiente a a, con menor que a. 4

16 Límite lateral derecho Se escribe a f ( y se menciona que el límite lateral derecho de f( cuando tiende a a ( o límite de f( cuando tiende a a por la derecha es igual a L si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f( aproimando a lo suficiente a a, con mayor que a. Ejercicio: Calcule si es que eiste f ( L f ( 6 si si 5

17 6 Ejemplo: si si ( < f ( 5 ( f f

18 Teorema: f ( L si y sólo si f ( L f ( a a Ejercicio: Verifique que los siguientes límites no eisten Ejercicio Determine a de modo que el límite eista [[] ] a a a a a 7

19 Ejercicio Calcule, si es que eisten, los siguientes límites. a b a ( a a a (Analizarpara a 0 y a 0 c si < h( si f ( 0 si si > d t t t t e y 0 y y y f

20 9 Álgebra de límites Si k es una constante y eisten los límites [ ] [ ] [ ] [ ] 0 ( si ( ( ( ( 5 ( ( ( ( 4 ( ( ( ( ( ( ( ( ( (, ( y ( a a a g g f g f g f g f k f kf g f g f g f g f entonces g f a a a a a a a a a a a a a a

21 Ejercicio. Pruebe usando el álgebra de límites que a a ( ( n f ( f ( n a n a n Ejercicio; Calcule el siguiente límite f ( si -4 f ( si si > -4 < -4 Ejercicio: Analice porqué se produce la siguiente contradicción (. (. ( 0. 0

22 V o F Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.- Si eiste y g( no eiste entonces f a ( a ( f g( a no eiste.- 0 no eiste.- 0 no eiste

23 Ejercicio Grafique en la calculadora o MAPLE las funciones f ( g( sen(/ h( Notar que f( g( h( Puede determinar gráficamente g(? 0

24 Teorema: Si f( g( para toda en un intervalo abierto que contiene a ( ecepto quizá en a y eisten los límites de f y g cuando tiende a a, entonces f ( g( a a Teorema de Sandwich: Si f( g( h( para toda en un intervalo abierto que contiene a ( ecepto quizá en a y entonces f a ( h( a L g( a L

25 Ejercicio Sea a en IR. Observe gráficamente y demuestre utilizando el teorema del sandwich que 0 sen(/ 0 0 sen( a / 0 0 sen Obs: Una función se dice acotada en A si eiste k IR tal que I f( I k Ejercicio. Grafique las funciones siguientes en una ventana adecuada y verifique si son o no acotadas: ( k g ( sin( h ( tan( j( cos ( f ( 4

26 5

27 Ejercicio: Sea a IR. Observe gráficamente y demuestre utilizando el teorema del sandwich que a a Ejercicio: Calcule sen 0 4sen sen Ejercicio: Determine para qué valores de a IR eiste el 8 f ( a > < f ( 6

28 Teorema de Sustitución Sean X, Y IR y f : X IR, g : Y IR funciones tales que f(x Y. Supongamos que f ( b y que eiste I a Es decir Ia un intervalo abierto de a tal que f( b para todo { a}. Si g( u L entonces g( f ( L. g( f ( g( u L. a u b u b Ejercicio: Calcule los siguientes límites a a sen( π π π sen

29 8

30 Límites infinitos Ejercicio: Grafique en la calculadora la Función f ( / y observe hacia dónde tienden las imágenes de f cuando tiende a cero Definición Sea una función definida en f ( un intervalo abierto que contiene el número a, ecepto, posiblemente a, en a mismo. Entonces significa que para cada número positivo M hay un número correspondiente δ > 0 tal que f( > M siempre que 0 < -a < δ. 9

31 Definición: Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene el número a ecepto, quizás en a mismo. Entonces f a quiere decir que para todo número negativo N, hay un número δ > 0 correspondiente tal que f( < N siempre que 0 < -a < δ ( Ejercicio: Verifique que 5 ( 0 0

32 Definición: La recta a se llama asíntota vertical de la curva y f( si se cumple cuando menos una de las siguientes afirmaciones: a a f f ( ( a - a - f f ( ( a a f ( f ( Ejemplo: La recta es una asíntota vertical de la función f ( (

33 Ejercicio: Determine, si es que eisten, todas las asíntotas verticales de las funciones siguientes: f ( j( 9 sen ( g( k( a a h( sen( ( (analizar para a IR, a IR a 0 Ejercicio: Analice las siguientes afirmaciones. Justifique en cada caso si son verdaderas o falsas..- La gráfica de f(tan( tiene una infinidad de asíntotas verticales.- La gráfica de un cuociente siempre tiene una asíntota vertical al anularse el denominador o

34 Continuidad Definición: Una función f es continua en el número a si a f ( f ( a OBS: La definición anterior requiere, implícitamente tres cosas:.- Que f(a esté definida; esto es, que a esté en el dominio de f..- Que eista el límite f (, de modo que f debe estar definida en un intervalo abierto que contenga a a..- Que a Si f no es continua en a se dice que es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en a a f ( f ( a

35 Cómo se ven gráficamente una función continua y una función discontinua? Tres funciones continuas Tres funciones discontinuas a f(c no está definida b No eiste ( c f ( f ( c f c c 4

36 La gráfica de una función continua se puede trazar sin despegar el lápiz del papel. La gráfica de una función discontinua tiene algún salto o vacío Ejercicio: Analizar la continuidad de cada una de las funciones siguientes f ( g( si h( - si < a Continua para 0 b Continua para - c Continua para 5

37 Definición: Una función f es continua por la derecha en un número a si a f ( f ( a y f es continua por la izquierda en a si a f ( f ( a Ejemplo: En cada entero n, la función f([[]] es continua por la derecha, pero discontinua por la izquierda n n f ( f ( n n [[] ] n [[] ] n f ( n 6

38 Ejercicio: Einación de una discontinuidad Sea f 7 ( Determine el dominio de la función y grafique la función en la calculadora..- Estudie la gráfica de f en torno de.- Cómo debemos definir a f en para einar la discontinuidad? 4.- Calcule el límite de f cuando tiende a 5.- Muestre que la función etendida g es continua en. Grafique en la calculadora g / ( 7

39 Discontinuidades remediables e irremediables La figura muestra distintos tipos de discontinuidad. La primera gráfica muestra una discontinuidad infinita. La segunda muestra una discontinuidad de salto. En ambos casos el ite no eiste y no hay forma de mejorar la situación para hacer la función continua, se dice discontinuidades irremediables. La tercera discontinuidad es removible o remediable pues el límite de la función eiste en el punto de discontinuidad. Podemos remediar la discontinuidad haciendo f( c igual al valor del límite. a f(c no está definida b No eiste f ( c c c f ( f ( c 8

40 9 Ejercicio: Estudie la continuidad de la función en los puntos p indicados. Si eiste discontinuidad remediable redefina de modo que la función sea continua f( 0 cos 0 y p p ( < > y p p y p p - (f( f

41 Definición: Una función f es continua en un intervalo si es continua en todo número del intervalo. En el etremo del intervalo se entiende por continua cuando es continua por la derecha o por la izquierda Ejercicio: Demuestre que la función f ( 6 es continua en el intervalo [-4,4] Para comprobar la continuidad de una función muchas veces es más cómodo aplicar el siguiente teorema, que muestra cómo formar funciones continuas complicadas a partir de otras más simples 40

42 Teorema: Si f y g son continuas en a y c es una constante, las funciones siguientes también son continuas en a: fg f-g cf 4 fg 5 f/g si g(a 0 Observación; i Cada una de las cinco partes de este teorema es consecuencia del álgebra de límites. ii Como consecuencia del teorema y de la definición anterior, si f y g son continuas en un intervalo, también lo son las funciones fg, f-g, cf, fg y f/g ( si g nunca es cero Ejercicio: Utilizando álgebra de límites pruebe que f( sen es continua en IR 4

43 Teorema: a Todo polinomio es continuo siempre; o sea, es continuo en IR b Toda función racional es continua donde está definida; o sea, es continua en su dominio. Nota: Una función racional tiene la forma f(p(/q( en donde P y Q son polinomios Teorema: Si n es un entero positivo par, entonces f ( n es continua en [0, [. Si n es un entero positivo impar, entonces f es continua en IR Ejercicio: En qué intervalos es continua cada una de las siguientes funciones? f ( g( 4 4

44 Podemos simplemente mover el límite dentro del radical? Teorema: Si f es continua en b a y g( a f ( g( f ( b f ( g( a b, entonces Propiedad: n g( n g( a a 4

45 Teorema: Si g es continua en a y f es continua en g(a, entonces (fog(f(g( es continua en a El teorema anterior nos ayuda a mostrar que las siguientes funciones son continuas en todo IR.- sen ya que es la compuesta de sen y.- cos( 5 7 ya que es la compuesta de cos y 5 7 Ejercicio: Considere la función f: ]-,[ IR definida por f ( cos(/ 0 sen( si si si < 0 0 < 0 < Estudie la continuidad de f 44

46 Ejercicio: Hallar los valores de c y d para los que h es continua en IR V o F h( c 4 d si si si < > Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.- La función f([[]] es discontinua sólo en los enteros.- Si fg es continua en a y f es continua en a entonces g es continua en a.- Si f y g son discontinuas en a entonces fg es discontinua en a 45

47 Ejercicio 46

48 Teorema del valor Intermedio Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y L es cualquier número estrictamente entre f(a y f(b, entonces eiste un número c en (a,b tal que f( c L f(c L para algún valor c entre a y b OBS: La continuidad de f en el intervalo juega un papel esencial en el teorema. Si f fuese discontinua aún en un único punto del intervalo, no podría darse la conclusión del teorema 47

49 Obs: Puede haber más de un valor c tal que f(c L Ejemplo: L c c c En este caso, f(c f(c f(c L 48

50 Cómo demostrar la eistencia de?. Ejercicio: Con el teorema del valor intermedio demuestre que hay un número positivo c tal que c. Ejercicio: Eiste algún número real eactamente una unidad menor que su cubo? El problema equivale a demostrar la eistencia de un real que satisfaga la ecuación correspondiente 49

51 Corolario: Si f es continua en el intervalo [a,b] y si f(a y f(b tienen signos opuestos ( uno positivo y el otro negativo, entonces f( c0 para al menos un número c entre a y b. 50

52 Ejercicio: Demuestre que eiste una raíz de la ecuación en el intervalo dado. Resuelva gráficamente usando calculadora o MAPLE 5 4 0, (, (, Ejercicio: Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f(c c. a Trace la gráfica de una función continua cuyo dominio sea [0,] y cuyo recorrido también sea [0,]. Localiza un punto fijo de f. b Trate de trazar la gráfica de una función continua cuyo dominio y recorrido sean [0,], que no tenga un punto fijo. cuál es el obstáculo? C Con el teorema del valor intermedio demuestre que toda función continua cuyo dominio y recorrido sean [0,] debe tener un punto fijo. 5

53 V o F Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique a Sea f ( con f(- -0,5 y f(. Por teorema del valor intermedio, eiste al menos un valor c [-,] talque f(0. a Si g( 5, entonces eiste un valor c IR tal que g(c -. b Sea f ( - 0 < 0 4 El teorema del valor intermedio garantiza la eistencia de un punto c [-,4] tal que f(c 0. 5

54 Límites al Infinito Investiguemos el comportamiento de la función f definida por cuando crece f ( Qué ocurre con la gráfica de la función cuando tiende a infinito? 5

55 Definición: Sea f una función definida en algún intervalo (a,. Entonces f ( L significa que los valores de f( se pueden acercar arbitrariamente a L si se incrementa lo suficiente. Más precisamente significa que para todo ε>0 hay un número correspondiente N tal que I f(-li< ε siempre que >N En la figura anterior se tiene De la gráfica se puede observar además que para valores negativos numéricamente grandes de, los valores se acercan a - 54

56 Definición: Sea f una función definida en algún intervalo (,a. Entonces f ( L - indica que los valores de f( se pueden acercar arbitrariamente a L haciendo que sea lo bastante grande y negativa. Más precisamente significa que para todo ε>0 hay un número correspondiente N tal que I f(-li< ε siempre que <N Definición: La recta yl se llama asíntota horizontal de la curva yf( si se cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes. f ( L o - f ( L 55

57 La recta y es una asíntota horizontal de la curva f ( Ejercicio: Determina las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función f ( 5 56

58 OBS: El álgebra de límites vista anteriormente también es válida para los límites al infinito si se reemplaza a con o con - Teorema: Si r >0 es un número racional, entonces 0 r Si r >0 es un número racional tal que r toda, entonces 0 - r está definido para 57

59 Ejercicio: Grafique en la calculadora o MAPLE la función 6 5 f ( y evalúe su límite cuando Problema: Un tanque contiene 5000 litros de agua pura. Se le bombea una salmuera con 0 g de sal por litro, a una tasa de 5 l/min. Demuestre que la concentración de sal, pasados t minutos, en gramos por litro es C( t 0t 00 Qué sucede con la concentración cuando t? t 58

60 59 Determine cada uno de los límites siguientes: 4 4 Determine las asíntotas horizontales y verticales de cada curva. Comprueba tu trabajo graficando la curva y estimando las asíntotas y y y y y y

61 60 Límites Fundamentales IR a a IR k k sen IN IN, q, p IR k k k p/q 5 0 ( 4 0 k IR k k sen IR k e k e k 8 7 6

62 Ejercicio: Calcule los siguientes límites y verifique con la parte gráfica de la calculadora o MAPLE sen

63 Asíntotas Oblicuas Algunas curvas tienen asíntotas oblicuas; esto es, ni horizontales ni verticales Si ( f ( ( m b 0 La recta y m b se llama asíntota oblicua, porque la distancia vertical entre la curva y f( y la recta y m b tiende a 0. En las funciones racionales se tienen asíntotas inclinadas cuando el grado del numerador es el del denominador más uno.en este caso se puede llegar a la ecuación de la asíntota mediante división larga, como en el ejemplo siguiente: 6

64 Ejemplo: Para f ( ( hallar las posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Solución: ( f ( 0 f ( ( f ( Eisten otras asíntotas? (la recta y es asíntota oblicua 6

65 64 Representación Gráfica: Ejercicios: Hallar todas las asíntotas posibles para: 9 4 y y, y, y,