Cálculo Diferencial e Integral - Límite y continuidad. Farith J. Briceño N.

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1 Cálculo Diferencial e Integral - Límite y continuidad. Farith J. Briceño N. Objetivos a cubrir Código : MAT-CDI.5 Límites laterales. Cálculo de límites. Límites en el infinito. Límites infinitos Límites notables. Teorema del emparedado. Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo. Funciones continuas en un intervalo. Discontinuidad. Tipos de discontinuidades. Ejercicios resueltos Ejemplo : Calcular el siguiente límite, si es que eiste 5 + Solución : Observemos que se tiene una no definición de la función en =, así, 5 + = ó, entonces, 5 + = 5 ( + = 5 ( 5 = (, observemos que la epresión 5 infinito cuando, por lo tanto, es negativa si, mientras que la epresión ( tiende a 5 = ( = + Ejemplo : Calcular el siguiente límite, si es que eiste π π sen Solución : Indeterminación 0. Hagamos el cambio de variable 0 puesto que π, se tiene que el límite se transforma en como, u = π = = π u, u π (π = u 0 π π sen = u 0 u sen (π u, sen (π u = sen π cos u cos π sen u = (0 cos u ( sen u = sen u,

2 tenemos, Luego, u 0 u sen (π u = u 0 π u sen u = u 0 π sen = sen u u =. Ejemplo : Calcular el siguiente límite, si es que eiste sen sen cos Solución : Indeterminación 0, escribimos el límite de la siguiente forma, 0 sen sen cos = sen sen ( cos sen sen =, }{{ cos } Sólo si los límites eisten donde, mientras que, sen = Límite notable, sen ( cos = sen ( + cos ( cos ( + cos = sen ( + cos cos = sen ( + cos sen Luego ( sen cos ( + cos = sen = 4 sen ( + cos cos sen = 4 ( + cos cos = 8. sen sen cos = ( (8 = 8. Ejemplo 4 : Estudie la continuidad de la función f en los puntos = 0 y = y clasifique las discontinuidades en caso de eistir. < 0 f ( = 0 < + > Solución : Tenemos que + 0 Estudiemos la continuidad en = 0, para ello verificamos las tres condiciones

3 . f (0 = (0 = 0, eiste.. Para calcular f (, observemos que debemos utilizar los límites laterales 0 f ( = = 0, y f ( = + = 0 + como los límites laterales son iguales, entonces f ( = 0 eiste. Puesto que, el valor obtenido en la parte es igual al valor del límite obtenido en la parte, es decir concluimos que la función f es continua en = 0. f ( = f (0 = 0 Estudiemos la continuidad en =, procederemos de la misma manera. f ( no está definido, por lo tanto, f no es continua en =. Para conocer que tipo de discontinuidad tiene f en = calculamos f (, observemos que debemos utilizar los límites laterales + f ( = = 4, y f ( = ( + = como los límites laterales son iguales, entonces f ( = 4 eiste como el límite eiste la función f tiene una discontinuidad evitable en =. Ejemplo 5 : Encuentre los valores de las constantes de modo que la función dada sea continua Solución : Tenemos que m n, < y = 5, = m + n, > m n 5 m + n Para que la función f sea continua en = se debe cumplir las tres condiciones

4 . f ( = 5, eiste. f ( eista, así f ( = f ( = (m n = (m + n + +. Adicionalmente f ( = 5 = m n = 5 m + n = 5 = m = 0 = m = 0 luego, de m n = 5, se tiene 0 n = 5 = n = 0 5 = n = 5. Por lo tanto, m = 0 y n = 5 Ejemplo 6 : Calcular el siguiente límite, si es que eiste ( sen + 4 arctan Solución : Como la función arctan ( es continua, entonces ( ( sen + 4 arctan sen + = 4 arctan ( sen estudiamos el límite + como, como así, ( sen + sen = + }{{} Sólo si los límites eisten ( = 4 arctan sen = sen Dividimos por como, se tiene < 0 (la desigualdad cambia = 0, se tiene, por el teorema del emparedado, que sen = 0, ( sen + = + 0 =, 4 sen = +, ( sen +

5 luego ( sen + 4 arctan ( π = 4 arctan ( = 4 = π 4 Ejercicios. Demuestre los siguientes límites 5. + = 5. 0 = = = 5. = =. Escriba la definición de cada uno de los límites. =. ( + = 0. ( = 4. ( = 5. ( = =. Escriba la epresión límite para cada una de las siguientes definiciones (a Para todo M > 0, eiste K M, tal que, < K M, implica que, + > M. (b Para todo ε > 0, eiste K ε, tal que, > K ε implica que, 4 < ε. (c Para todo ε > 0, eiste K ε, tal que, > K ε implica que, 4 < ε. (d Para todo M > 0, eiste δ M > 0, tal que, 4 < δ M y > 4 implica que, (e Para todo M < 0, eiste δ M > 0, tal que, 4 < δ M y < 4 implica que, 4. Calcular los siguientes límites, si es que eisten 4 > M. 4 < M. 8 t. t 5t + t ( t + t t 8. t 7 t + t t t 6t 4 5t 4 9t 4 + 6t + t t 5. t t t 4 t. 9 5

6 ( 5. t + 8t t t ( 7. (sec tan 8. π/ ( 9 6. t 8 t 4 t ( 9. + sen (. csc cos 0 5. cos 6. sen α sen β 7. sen 5 cos cos sen ( sen (π 7 4t t t t 4 cos + sen ( sen 45. sen sen ( a sen sen 4 sen cos sen cos t tan t 0 t 5. cos 5. cos cos cos 55. a b sen + sen 56. t 0 tan t sen t t tan t 57. π 4 sen cos sen cos 58. π π/ cos sen cos ( 6. + sen sen tan 6. + tan tan sen 6. a a 6 6 sen ( a 64. π 4 sen cos tan 65. π cos sen cos 5. Trazar la gráfica de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes f ( = ; f ( = ; f (0 = ; f ( = ; + f ( = 0 6. Trazar la gráfica de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes f ( = ; f ( = ; f ( = ; f ( = 0 ; f ( = 7. Trazar la gráfica de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes f ( = ; f ( = ; f ( = ; + f ( = ; f (0 = + 8. Trazar la gráfica de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes f ( = ; f ( = ; f ( = ; f ( = ; f (0 No eiste 6

7 9. Trazar la gráfica de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes f ( = ; f ( No eiste ; f (0 = ; f ( = ; f ( = 5 0. Si f ( + + para todo, encuentre f (. Si f ( + para todo 0, evalúe f ( (. Demuestre que sen = 0. Demuestre que ( sen = 0 4. Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de las funciones indicadas.. f ( = + 5. f ( = f ( = + +. f ( = 6. f ( = ( +. f ( = f ( = + 7. f ( = + 4. f ( = 4. f ( = 9 8. f ( = + 4 ( +. f ( = La recta y = a + b se llama asíntota oblicua de la gráfica de la función y = f ( si [f ( (a + b] = 0 ó [f ( (a + b] = 0 de aquí, se tiene que f ( m = Encuentre la asíntota oblicua de 6. Encuentre la asíntota oblicua de y f ( = f ( = b = (f ( m. 7. Estudie la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican y clasifique las discontinuidades en caso de eistir.. Continuidad en =. Continuidad en = 4. Continuidad en = 5 f ( = + + < f ( = f ( = 5 4 > 4 0 = 5 4. Continuidad en = 0 5. Continuidad en = 0 6. Continuidad en = ; = sen ( π 0 f ( = f ( = sen 5, 0 tan f ( = 4 < = 0, = 0 7

8 7. Continuidad en = 0 8. Continuidad en = ; = 9. Continuidad en = 0 5, 0 h ( = 5 sen + f ( = f ( =, < 0, < 0 >, 0 0. Continuidad en =. Continuidad en = 0; =. Continuidad en = ; =, < f ( =, =, > < 0 f ( = 0 < > +, f ( = 5 4, < < 4, =. Continuidad en = 4 4. Continuidad en = 0 5. Continuidad en =, < 4 + +, 0 f ( = f ( = f ( = + 7, 6, > 4, = 0 7, = 6. Continuidad en = 0 7. Continuidad en = 0 8. Continuidad en = ; = sen, 0 0 f ( = f ( = f ( = +, > 0 = 0 > 9. Continuidad en = ; = 5 0. Continuidad en = ; = < < 5 f ( = 5 > 5 f ( = > 0 = 5 8. Dadas las funciones, determinar la continuidad para todo y si no es continua, localizar la discontinuidad. f ( = f ( = 4. f ( = 8 = 4 6 = 4. f ( = = f ( = = g ( = = 8

9 9. Encuentre los valores de las constantes de modo que la función dada sea continua +, m + 5, a,. f ( =. f ( =. f ( = c + 6, <, >, > 4. f ( =, a + b, < < 5 7, 5 b, < 4 5. f ( = 6 +, 4 mt, t < 4 6. f (t = t, t 4 c (, < 0 7. y = cos, f ( =, m, = 9. y = m, < n, = + 9, >, 0. f ( = a, <. y = m n, < 5, = m + n, >. y =, a + b, < <, a. f ( =, > 4. f ( =, + < < + b + a 0. Determinar, si los hay, los valores reales en los que la función dada es discontinua y clasificar dicha discontinuidad.. f ( = f ( = tan + 9. f ( =. f ( = 6. f ( = 9. f ( = + + sen ( π csc 6. f ( = sen 6. f ( = +. f ( = 4 7. f ( = 4 4. f ( = f ( = ( f ( =. f ( = +. f ( = < 0 4. f ( = 5. f ( = > = 0 > + < 7. f ( = 8. y = + sen 9

10 . Teorema : Si a g ( = L y f es continua en L, entonces ( f (g ( = f g ( = f (L a a Si g es continua en a y f es continua en g (a, entonces se observa que ( = f (g (a a a Use el Teorema antes enunciado para evaluar el límite dado. cos. ( sen + π π π/6 5. ( + cos (cos 6. π/ t π cos 8. π + cos π arcsen arctan cos ( sen ( sen + 8 ( 5. arctan + ( sen +. sen (cos 4. (4t + sen t π/ t π ( t π ( πt 7. tan t π t π t + t ( ( sen (π sen (π/ 0. sen. cos sen (8 tan sen ( cos 6. tan. Cómo debería definirse f ( = 9 punto? en = 9 para que la función resultante fuese continua en ese. Considere las funciones + < 0 f ( = y g ( = 0 Trace las gráficas de f g y g f. Determine si f g y g f son continuas en = Sean f y g funciones continuas en = c, y sea k una constante cualquiera. Demostrar que (a La función F ( = f ( + g ( es continua. (b La función F ( = f ( g ( es continua. (c La función F ( = kf ( es continua. (d La función F ( = f ( g ( es continua, siempre que g (c 0. Respuestas: Ejercicios A.H.: Asíntota horizontal; A.V.: Asíntota vertical; C.: Continua; D.E.: Discontinuidad evitable; D.N.E.: Discontinuidad no evitable ; 4.. 0; 4.. ; 4.4. ; ; ; 4.7. ; 4.8. ; 4.9. ; 4.0. ; 0

11 4.. ; 4.. 0; 4.. ; 4.4. ; 4.5. ; 4.6. ; 4.7. ; 4.8. No eiste; 4.9. ; 4.0. ; 4.. No eiste; 4.. No eiste; 4.. ; 4.4. ; ; 4.6. ; ; ; 4.9. ; ; 4.. 0; 4.. ; 4.. ; 4.4. ; ; 4.6. α ; 4.7. ; β 4.8. ; ; ; ; 4.4. No eiste; ; ; ; ; a; No eiste; ; ; ; ; 4.5. ; ; a b ; ; ; ; ; ; 4.6. ; 4.6. ; 4.6. a4 ; ; No eiste; 0. ;. ; 4.. A.H.: 0 y A.V.: ; 4.. A.H.: 0 y A.V.: ; 4.. A.H.: y A.V.: ; 4.4. A.H.: 0 y A.V.: ±; 4.5. A.H.: 0 y A.V.: No tiene; 4.6. A.H.: y A.V.: No tiene; 4.7. A.H.: y A.V.: 4; 4.8. A.H.: y A.V.: ±; 4.9. A.H.: y A.V.: 0; 4.0. A.H.: y A.V.: ; 4.. A.H.: 0 y A.V.: ; 4.. A.H.: No tiene y A.V.: 5; ; 5. y = + ; 6. y = + 4; 7.. C. = ; 7.. D.N.E. = 4; 7.. C. = 5; 7.4. D.N.E. = 0; 7.5. D.E. = 0; 7.6. C. = ±; 7.7. C. = 0; 7.8. D.N.E. = y = ; 7.9. D.N.E. = 0; 7.0. C. = ; 7.. C. = 0; D.N.E. = ; 7.. D.N.E. = ; C. = ; 7.. D.E. = 4; 7.4. D.E. = 0; 7.5. D.E. = ; 7.6. D.N.E. = 0; 7.7. D.E. = 0; 7.8. D.N.E. = ; C. = ; 7.9. D.N.E. = ; D.E. = 5; 7.0. D.N.E. = y = 5; 8.. D.N.E. = y = ; 8.. C.; 8.. D.N.E. = ; 8.4. C.; 8.5. D.E. = 0; 8.6. C.; 9.. c = 5 ; 9.. m = ; 9.. a = ; 9.4. a =, b = 8; 9.5. b = 64 ; 9.6. m = 4; 9.7. c = ; 9.8. m = 4; 9.9. m =, n = ; 9.0. a = ; 9.. m = 0, n = 5 ; 9.. a =, b = 4; 9.. a = ; 9.4. b =, c = 4; 0.. No tiene; 0.. = nπ, n N, D.N.E.; 0.. = ±, D.E.; 0.4. No tiene; 0.5. =, = (n π, n N, D.N.E.; 0.6. =, D.E.; 0.7. = ±, D.N.E.; 0.8. =, = 6, D.N.E.; 0.9. No tiene; 0.0. No tiene; 0.. =, D.N.E.; 0.. =, = 5, D.E. = ; D.N.E. = 5; 0.. =, D.N.E.; 0.4. No tiene; 0.5. No tiene; 0.6. = 0, D.N.E.; 0.7. No tiene; 0.8. No tiene; 0.9. =, = 5, = 6n, n N, D.N.E.;.. ;.. ( ;.. 0;.4. 64π ;.5. ;.6. ;.7. tan π ;.8. ;.9. ; π+.0. ;.. ;.. π;.. ;.4. ;.5. π;.6. 0;.7. π; Bibliografía. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: Cálculo. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.. Stewart, J.: Cálculo. Grupo Editorial Iberoamericano. Cálculo Diferencial e Integral - Límite y continuidad. Última actualizacón: Septiembre 00 Farith Briceño farith 7@hotmail.com