lim LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS.

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1 TEMA 6: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS. 6. Concepto de límite lateral. Límite de una función en un punto. 6. Cálculo de límites en un punto. 6. Continuidad de una función. 6. Cálculo de límites cuando ->. 6. Asíntotas: Verticales, horizontales y oblicuas. 6. Concepto de límite lateral. Límite de una función en un punto. Observa las guientes gráficas: f() = - g() = Calcula f() y g(), qué observas en los dibujos? Formalicemos el concepto de acercamiento: Se dice que un número real L es el límite de una función en el punto a por la derecha, al tomar valores de cada vez más próimos a a, con > a, sus imágenes correspondientes, f(), están más próimos a L. Y se escribe lim f() L Análogamente se dice que un número real L es el límite de una función en el punto a por la izquierda, al tomar valores de cada vez más próimos a a, con < a, sus imágenes correspondientes, f(), están más próimos a L. Y se denota por lim f() L Una función f tiene por límite L cuando tiende a a se verifican las tres condiciones guientes, eiste el límite por la derecha de f en =a, eiste el límite por la izquierda de f en =a y ambos límites coinciden y valen L. na Y se denota por lim f() L. Si eiste, el límite es único. na na 6. Cálculo del límite de una función en un punto. Sean f y g dos funciones convergentes en =a con limf() na podemos afirmar que:. lim(f() g()) = l + m. lim(kf()) k. l a. lim(f() g()) = l. m. a. lim f() l con l 0 a a f() lim ag() 6. limf() a = l y limg() = m entonces na g() = m l, m 0 = l m con l > 0

2 Ejercicio : Calcula los guientes límites de funciones en el punto indicado: a) lim( ) 0 c) lim ( ) e) lim g) lim i) lim( ) b) lim d) lim f) lim h) lim j) lim e k) lim l) lim 0 0 m) lim n) lim ñ) lim ( ) o) lim p) lim q) lim r) lim s) lim t) lim u) lim 0 6 v) lim 0 w) lim ) lim y) lim 6 z) lim aa) limlog bb) dd) 6 lim e cc) lim lim ee) lim ff) f(), 0,, 0 gg) f(), 0,, 0 Página 7, ejercicios 8, 9, 0,, 7, 8, 9, 0,, 6.

3 6. Continuidad de una función. Una función f es continua en un punto =a eiste el límite de f cuando tiende a = a, eiste la imagen de a mediante f y ambos coinciden, es decir, lim f() f(a) a Las funciones definidas por epreones analíticas elementales son continuas en su dominio ya que f y g son continuas entonces podemos afirmar que f+g, f-g, kf, f.g y f/g (con g(a) distinto de 0) son continuas. Si una función no es continua en =a se dice que es discontinua. Podemos hablar de tres tipos de discontinuidades:. La función f tiene una discontinuidad de tipo evitable en =a eiste el límite de f cuando tiende a = a, eiste la imagen de a mediante f pero no coinciden o no eiste la imagen de a.. La función f tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en = a eiste el límite de f cuando tiende a =a por la derecha y por la izquierda pero no coinciden.. La función f tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito en = a el límite de f cuando tiende a = a por la derecha y/o por la izquierda vale infinito. Ejercicio : Estudia la continuidad de la función f en el punto o puntos indicados: a) f() = + en =. b) f() en y en c) f() para =, = y =-. d) f() = e en = e) f() = Ln en =, = 0, = - i) f() en, f) f() / en, j) 8 f() 6 en 0 g) f() en, 0 h) f() en

4 Ejercicio : Estudia la continuidad de las guientes funciones, para ello debes tener en cuenta: ) Estudiar el dominio ) Estudiar la continuidad en los puntos problemáticos (los que no están en el dominio o los etremos de los intervalos de definición) ) Decir en qué conjunto la función es continua, como consecuencia de su construcción. a) f() b) 9 () 6 f c) f() = e + d) f() = Ln ( + ) e) f() = f) f() = g) f() = h) f() = i) f() = j() j) f() = 0 0 Ejercicio : Podrías definir una función, g(), cuyas imágenes coincidan con las de la función 9 f() = pero que además esté definida en = y sea continua en dicho punto? 6 Página 7, ejercicios: 7, 8, 9, 60 c, 6, 6, 6, prof 6 Ejercicio : (87) En un aparcamiento se cobran por la primera hora o fracción y por cada hora o fracción guiente, hasta llegar a un máimo de por un día. Dibuja una gráfica que refleje el precio en función del tiempo que permanece en el aparcamiento y estudia los puntos de discontinuidad de esta función (relacionado con su gnificado real). 6. Cálculo de límites cuando ->. En algunas gráficas hemos visto las rectas horizontales y verticales (líneas discontinuas) a las que le hemos llamado asíntotas. Las asíntotas verticales las hemos visto al estudiar la continuidad, cuando las discontinuidades son de salto infinito obtenemos una asíntota vertical. Las asíntotas horizontales representan lo que ocurre cuando es muy grande, para ello debemos primero aprender límites de funciones en el infinito.

5 Ejercicio 6: Calcula los guientes límites de funciones cuando : a) f() b) f() 7 c) f() d) f() = e) f() = f) f() = g) f() = h) f() = i) f() = j) f() = k) f() = l) f() = ) f() n) f() ñ) f() m o) f() = p) f() = q) f() = r) f() = s) f() = t) f() = u )f() v) f() w) f() ( )( ) ) f() = y) f() = z) f() = aa) f() = bb) f() = cc) f() = dd) f() = ee) f() = ff) f() = ojo, gg) f() = 6 hh) f() = e ii) f() = Ln jj) f() = e kk) f() = Ln ll) f() = mm) f() = nn) f() = 0 0 Página 7, ejercicios:,

6 0 grado P grado Q P() a Observaciones: Regla de los grados: j) f() = lim grado P grado Q Q() b grado P grado Q Siendo a y b los coeficientes principales de P y Q, respectivamente. 8. Asíntotas. Si en un punto = a la función f tiene uno o ambos límites laterales infinito se dice que f tiene una asíntota vertical en = a, es decir, lim f() entonces = a es una asíntota vertical. Por tanto, tendremos asíntotas verticales en los puntos que no están en el dominio, dónde se divide por 0 ó logaritmo de cero. a Ejercicio 7: Calcula las asíntotas verticales de las guientes funciones, es poble: a) f() = + b) f() c) f() d) f() = e e) f() = Ln (-) f ) f() Si el límite cuando tiende a de f es k, con k un número real, se dice que f tiene una asíntota horizontal en y = k, es decir, lim f() k entonces y = k es una asíntota horizontal. Si hay asíntota horizontal, no puede eistir asíntota oblicua. Ejercicio 8: Calcula las asíntotas horizontales de las guientes funciones, es poble: a) f() = + b) f() c) f() d) f() = e 6

7 e) f() = f ) f() lim f() Si no hay asíntota horizontal, tendremos lim f(). Si m n 0 calcular m y n tendremos en cuenta que: f() ) Primero calculamos lim m, se dice que la recta y = m + n es una asíntota oblicua de f. Para, m. Si m = 0 ó no hay asíntota oblicua. lim f() ) Una vez calculado m, lo utilizamos para calcular m n caso podemos tener n = 0., n. En este Ejercicio 9: Calcula las asíntotas de las guientes funciones: a) f() b) f() c) () g d) g) 7 () e) i() f) h g() g() Ejercicio 0: (89) Las concluones de un estudio demográfico establecen que el número de individuos de una determinada población de una especie protegida vendrá dado, en los 000t 0000 próimos años, por la guiente función: f() = endo t el número de años t transcurridos. Cuál es el tamaño actual de la población? Si esta función fuera empre válida, se estabilizaría el tamaño de la población? Ejercicio : (9) Se ha investigado el tiempo T, en minutos, que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento, en días, obteniéndose: T () 00 0 ( )( )

8 Demuestra que la función es continua. Se puede afirmar que cuánto más se entrene un deportista menor será el tiempo en realizar la prueba? Algún deportista tardará más de 0 minutos en realizar la prueba? Y menos de? Y menos de? Ejercicio : En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizados por un trabajador n eperiencia depende de los días de entrenamiento y gue la guiente 0t función M(t) =, endo t el número de días de entrenamiento. Cuántos montajes realiza t el primer día? Y el décimo? Representa la función correspondiente al primer mes. Qué ocurriría el número de días de entrenamiento aumentara constantemente? Ejercicio : El gasto mensual en alimentación de una familia depende de su renta,. Así g() donde los ingresos y los gastos en alimentación vienen dados en euros. Representa g() y estudia su continuidad. Calcula lim g( ) e interprétalo. Página 7, ejercicios: 6, 66, 67, 69, 70 (curioso el apartado d), 7, 7, 7, 90. Ejercicio : Estudia el dominio, continuidad y asíntotas de las guientes funciones, esboza sus gráficas: a) f() b) f() c) f() d) f() Ejercicio : Dibuja la gráfica de una función sabiendo que verifica las guientes condiciones (hay muchas soluciones): a) Domf = IR Imf = (-, + ) f() = lim f() b) Imf = (-,] lim f() y es estrictamente creciente en (-, ) lim f lim c) Domf = [0,] f() = () y f() lim f lim d) Tiene una asíntota vertical en 0, () f() 8