Límite de una función

Transcripción

1 CAPÍTULO 3 Límite de una función OBJETIVOS PARTICULARES. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que eista, el límite de una función mediante la aplicación de reglas procedimientos algebraicos. 3. Comprender la noción de límites laterales (de una función en un punto) su relación con el concepto de límite (de una función). 4. Determinar la eistencia o la no eistencia del límite de una función, vía la eistencia la comparación de los límites laterales. 5. Comprender la noción de límites infinitos de una función. 6. Determinar los limites infinitos de una función, mediante la aplicación de reglas procedimientos algebraicos. 7. Comprender la noción de asíntota vertical de una función. 8. Calcular las asíntotas verticales de una función. 9. Comprender la noción de límites en infinito de una función. 0. Determinar los límites en infinito de una función, mediante la aplicación de reglas procedimientos algebraicos.. Comprender la noción de asíntota horizontal de una función. 2. Calcular las asíntotas horizontales de una función. canek.azc.uam.m: 22/ 5/ 2008

2 2 2 Cálculo Diferencial e Integral I 3. Bosquejar la gráfica de una función considerando su comportamiento asintótico. 4. Determinar el límite de una función de ciertos puntos a partir de su gráfica. 3. Introducción Supongamos que 0 2.a; b/ que tenemos una función f tal que su dominio D f contiene al intervalo.a; b/ con ecepción posiblemente de 0 ; el hecho de que la función f./ esté o no definida en 0 es irrelevante. Decimos que el límite de la función D f./, cuando tiende a 0, es el número real si para números 2.a; b/ suficientemente próimos a 0 las imágenes correspondientes f./ están tan próimas a como queramos. Si esto sucede, se dice que el límite de f./ en 0 eiste es igual a. Esto lo denotamos así: lím f./ D! 0 lo que se lee como: el límite de f./ cuando tiende a 0 es. Algunos autores escriben: f./! cuando! 0 : Es bastante claro que, en caso de eistir, el límite de una función f es único. f./ próimo a f. 0 / no definido f./ próimo a f. 0 / f./ próimo a f. 0 / D f. 0 / f. 0 / próimo a 0 0 próimo a 0 próimo a 0 a 0 b a 0 b a 0 b Ejemplo 3.. La función f./ D 32 7 C 2 2 lím f./?!2 no está definida en 0 D 2. Qué se puede decir acerca de H Observemos que D 2 es raíz del numerador, por tanto 2 es factor de C 2, efectuando la división, obtenemos C 2 D.3 /. 2/. f./ D 32 7 C 2 2 D.3 /. 2/ 2 D 3 : Podemos cancelar el factor 2 a que 2 0 (pues 2). Luego, damos valores a cada vez más cerca de 0 D 2 (pero sin llegar a D 2) obtenemos las imágenes f./ correspondientes.

3 3 3. Introducción 3 f./ D 3 :8 4:4 :9 4:7 :99 4:97 :999 4:997 :9999 4:9997 : :99997 # # 2 5 f./ D 3 2:2 5:6 2: 5:3 2:0 5:03 2:00 5:003 2:000 5:0003 2:0000 5:00003 # # 2 5 Finalmente observamos que a medida que la variable toma valores cada vez más cercanos al número 0 D 2, las imágenes correspondientes tienen valores cada vez más cerca al número D 5. Podemos decir entonces que lím!2 f./ D 5. Nótese que jf./ 5j! 0 cuando j 2j! 0. Gráficamente se tiene: D 5 D f./ D 3 0 D 2 Ejemplo 3..2 Dada la función g./ D qué se puede decir acerca de lím!2 g./? { 3 si 2I 4 si D 2I H En este caso se tiene que 0 D 2 debemos ver el comportamiento de las imágenes g./ cuando! 2; es decir, cuando toma valores cada vez más cercanos al número 0 D 2.

4 4 4 Cálculo Diferencial e Integral I D 5 D g./ 4 0 D 2 Notamos que para 2, la función g./ D 3 coincide con la función f./ D 32 7 C 2 del 2 ejemplo 3.. anterior, donde vimos que lím f./ D 5. Podemos afirmar entonces que lím g./ D 5.!2!2 El límite eiste. Cómo influe el hecho de que g.2/ D 4? En nada influe! Por qué? Porque al indagar por el lím g./ lo que importa es el comportamiento de las imágenes!2 g./ cuando toma valores cerca del número 0 D 2, pero siempre distintos del número 2. Ejemplo 3..3 Dada la función f./ D j j qué se puede decir acerca de lím f./?!0 Para ver el comportamiento de las imágenes f./ cuando! 0 D 0, debemos dar a la variable valores cercanos a 0. Debido a que aparece j j, debemos considerar dos acercamientos por separado.. Si < 0, entonces j j D & f./ D j j D D. Es decir, para < 0 se tiene que f./ D. 2. Si > 0, entonces j j D & f./ D j j D D. Es decir, para > 0 se tiene que f./ D. H Geométricamente tenemos D f./ D D

5 5 3. Introducción 5 Ahora bien, qué decir acerca de lím f./?!0 Es claro que no se puede afirmar que lím f./ D a que esto sucede sólo cuando < 0 no!0 sucede cuando > 0. Así también no se puede afirmar que lím f./ D a que esto sucede!0 solamente cuando > 0 no cuando < 0. Entonces lím f./ lím f./.!0!0 Vemos entonces que no ha argumentos para asegurar la eistencia de algún número que j j permita afirmar que lím!0 D. j j En esta situación decimos que lím!0 no eiste. Ejercicios 3.. Soluciones en la página 6. Sean f./ D así como 0 D 3. 3 Qué se puede decir acerca de lím f./?!0 { 2 si I 2. Dada f./ D si D : Eiste lím! f./? 3. Sean g./ D 4 j 4 j así como 0 D 4. Qué puede decir acerca de lím!0 g./? 4. Sean./ D 2 también a D C. Eiste lím./?!a 2 si 2 < < 0I 5. Dada h./ D si D 0I 3 si 0 < < : Eiste lím!0 h./? 6. Qué se puede decir acerca de lím!0?

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I Ejercicios 3.. Introducción, página 5. lím!3 f./ D lím! f./ D No eiste lím!4 g./. 4. lím!./ D lím!0 h./ D lím no eiste.!0