PRACTICO: : LÍMITES DE FUNCIONES

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1 APUNTE TEORICO-PRACTICO PRACTICO: : LÍMITES DE FUNCIONES UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 1 Carreras: Lic. en Economía Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 1ero Año: 15 Introducción a los límites Consideremos la siguiente función cuyo Dominio es el conjunto de todos los números reales, Dom = R. ecepto el. Es decir: { } 7 f ( ) = si si < > Tomemos el punto de abcisa. Sea entonces =. Vamos a acercarnos a este valor por derecha e izquierda, es decir, tomando valores mayores que y menores que. De cada valor que tomamos, hallamos su imagen. Obtenemos las siguientes tablas: f(),8 4,,9 4,1,99 4,1,999 4,1,9999 4,1 f(), 4,4,1 4,,1 4,,1 4,,1 4, Vemos que si nos acercamos por la derecha o por la izquierda a = las imágenes se acercan a un único valor que es el 4. Cuanto más nos acerquemos en el eje X al, más nos acercaremos en el eje Y al 4. Si esto se cumple siempre, concluimos que el valor 4 es el límite de la función dada en el punto =. Es decir, L = 4. (Compara los valores de la tabla con el gráfico de la función) Se dice entonces que eiste el límite de la función f() en el punto = y es L = 4. Daremos entonces una primera definición de límite de una función en un punto de la siguiente manera: El límite de una función f() en el punto es el valor L al cual se acercan las imágenes (los valores de y) cuando las preimágenes (los valores de ) se acercan (por derecha y por izquierd al valor de. Observemos que no nos interesa qué sucede en el punto =, es decir, no importa si eiste o no su imagen (es decir, si eiste f() ), y en caso de que eistiera tampoco importa cuál es. Para analizar la eistencia o no del límite sólo nos importa lo que sucede en las cercanías del punto =. Por lo tanto, si las imágenes de los valores cercanos a se acercan cada vez más a un único valor L cuánto más cerca estén los valores del valor, entonces L es el límite de la función f() cuando los valores de se acercan a. Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 1

2 Esto se escribe así: f ( ) = L Y se lee: el límite de la función f() cuando tiene a es L. A continuación se muestra la gráfica de la función que analizamos: y = -7; -5. <= <=. y Ejercicio Nro. 1 De cada una de las siguientes funciones, indica su dominio. Luego, grafica cada función. d) 8 si < f ( ) = si 4 si > 5 s ( ) = 7 si = 5 1 si < 5 5 si m ( ) = c) si = g ( ) = 1 e) h ( ) = ln( 1) f) si t ( ) = si si 1 si > 1 = Ejercicio Nro. Analiza cada función del ejercicio anterior en los siguientes puntos: = ; = ; c) = 1 ; d) = 5 ; e) = 1 ; f) =. En cada caso, debes armar las tablas con valores menores y mayores que. Debes concluir si eiste el límite de la función en el punto analizado o no. Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15

3 Definición rigurosa del límite De lo visto recién podemos concluir que la definición informal de límites dice que: Si f() se acerca arbitrariamente a un único número L cuando tiende a por los dos lados, decimos que el límite de f() cuando tiende a es L, y se escribe: f ( ) = L Esta definición es informal, ya que debemos dar un significado preciso a las dos frases siguientes: f() se acerca arbitrariamente a un único número L y tiende a Es decir, debemos escribirlas de manera simbólica utilizando un lenguaje matemático riguroso. El primero en hacer esto fue Augustin-Louis Cauchy ( ). Su definición es la que actualmente se utiliza. Antes de enunciar la definición de Cauchy debemos conocer algunos conceptos que se utilizarán en la misma. Conceptos previos (I) Valor absoluto de un número El valor absoluto de un número real a se define como: De esta manera, por ejemplo, 7 = 7 y = ( ) =. Las propiedades principales que verifica el valor absoluto son: a a = a si a si a < 1. a, a R.. a = a =.. a b = a b, a, b R. 4. a b a b, a, b R. (esta propiedad se llama Desigualdad Triangular) Otras propiedades del valor absoluto: 5. a = a, a R. 6. a b = a = b, a, b R. 7. a b = b a, a, b R. a a 8. =, a, b R, b. b b 9. a b b a b, a, b R. 1. a b a b a b, a, b R. Ejercicio Nro. Elige distintos números reales y verifica todas las propiedades del valor absoluto. Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15

4 Ejercicio Nro. 4 Utiliza las propiedades de valor absoluto para resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones. En el caso de las inecuaciones, escribe como intervalos las soluciones y represéntalas en la recta real. = 6 = 8 c) 4 = 1 d) e) 1 f) 7 < 1 g) 1 h) < 8 i) < 1 j) 1 k) 1 6 > (II) Distancia entre dos números Consideremos dos números reales a y b distintos. Queremos hallar la distancia entre ambos números. Observemos que pueden suceder dos situaciones: a > b ó a < b. En el primer caso, la distancia entre a y b será: En el segundo caso será: d( a; = b a. d( a; = a b. Vemos que siempre d ( a; >. Podemos generalizar la definición de distancia, sin importar si a > b ó a < b de la siguiente manera: d( a; = a b Se lee la distancia entre a y b es el valor absoluto de la diferencia entre a y b. Observemos que en el caso particular de ser a = b la distancia será d ( a; = a b = a a =. La definición de distancia cumple las siguientes propiedades: 1. d ( a;, a, b R. Si a = b entonces d( a; =.. d( a; = d( b;, a, b R.. d( a; d( b; c) d( a; c), a, b, c R. (Desigualdad Triangular) Ejercicio Nro. 5 Elige tres números reales distintos (no todos positivos) y verifica que se cumplen las tres propiedades de distancia. Representa en la recta de los números reales. (III) Entorno Ahora veremos la definición de entorno, en la cual utilizaremos las nociones de distancia y valor absoluto vistas anteriormente. Dados a R y un número real ε >, llamamos entorno de centro a y radio ε al conjunto de los números reales cuya distancia al punto a es menor que ε. En símbolos: E ( a; ε ) = { R / d( a, ) < ε} O bien (utilizando valor absoluto): E ( a; ε ) = { R / a < ε} Tomando esta última epresión, y aplicando la propiedad 9 de valor absoluto, tenemos que: a < ε ε < a < ε ε < < a ε a ( a ε ; a ε ) Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 4

5 Esta última epresión nos permite realizar la representación gráfica en la recta real. Vamos a definir a continuación entorno reducido: Dados a R y un número real ε >, llamamos entorno reducido de centro a y radio ε al conjunto de los números reales cuya distancia al punto a es menor que ε y distinta de cero. Es decir, se quita del conjunto de puntos al centro a. En símbolos: ( a; ε ) = { R / < d( a, ) < ε} O bien (utilizando valor absoluto): E R ( a; ε ) = { R / < a < ε} Es decir, ( a ε a ε ) E R ; con a. La representación gráfica es la siguiente: Ejercicio Nro. 6 Escribe como conjunto y representa los siguientes entornos: E (;1 ) E ( 4;,5) c) E (;,1 ) d) E R (5;,4) e) E R (,5;,) f) E R (;1 ) Ejercicio Nro. 7 Escribe n cada caso de qué entorno se trata y represéntalo: E ( ; ) = { R / 7 < } E ( ; ) = { R / < 7 < } c) E ( ; ) = { R / d(, ) < 1} d) E ( ; ) = { R / d(, ) < 1 } e) E ( ; ) = { R / 1< < 1} f) E ( ; ) = { R / 9 < < 1} g) E ( ; ) = { R / (1;9) } h) E ( ; ) = { R / ( 7;7) } Definición formal de límite Volvamos ahora a la definición informal de límite. Vamos a darle un significado matemático a cada una de las dos frases: f() se acerca arbitrariamente a un único número L y tiende a. La frase f() se acerca arbitrariamente a un único número L nos dice que la distancia entre f() y L es cada vez más pequeña. O bien, que si tomamos un valor fijo positivo, la distancia entre f() y L será siempre menor que este valor. Llamemos ε a este valor fijo. Entonces: ( ) ε d f ( ); L <. Usando valor absoluto: f ( ) L < ε. (1) Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 5

6 La frase tiende a significa por un lado que la distancia entre y es cada vez menor. Otra vez, si tomamos un valor fijo positivo, la distancia entre y será siempre menor que este valor. Llamemos δ a este valor fijo. Entonces ( ) < δ d ;. Usando valor absoluto: < δ. () Por otro lado, nunca será igual a, o sea,. En términos de distancia significa que d ( ; ) >, o bien, >. () Juntando las epresiones () y () nos queda: < δ. (4) < Ahora ya podemos escribir la definición formal de límite de una función en un punto, utilizando las epresiones (1) y (4), la cual nos queda así: Sea f una función definida en un entorno de un punto y sea L un número real. La afirmación que: f ( ) = L (el límite de la función f () cuando tiende a es L ) significa ε >, δ > / si < < δ entonces f ( ) L < ε (5) Ahora veremos ejemplos que nos ayudarán a comprender mejor esta definición. Ejemplo Nro. 1 Dado ( 5) = 1 observemos que: f ( ) = 5 ; = ; L = 1. Escribamos la definición (5) formal de límite para este caso: ε >, δ > / si < < δ entonces 5 1 < ε. Supongamos que ε =, 1. Tenemos que encontrar el valor de δ apropiado. Entonces: dado ε debemos encontrar el δ tal que si < < δ entonces 5 1 <, 1. Como 5 1 <, 1 6 <, 1 ( ) <, 1 <, 1,1 <,1 < <, 5. Es decir que δ =, 5. En este ejemplo hemos visto que dado un valor de ε, podemos hallar el valor de δ correspondiente, a fin de que se cumpla la definición de límite. Podemos afirmar entonces que: si < <,5 entonces 5 1 <,1. Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 6

7 A continuación se muestra la gráfica de la función del ejemplo anterior. En el rectángulo se grafican los valores de ε y δ que cumplen que: si < <,5 entonces 5 1 <, 1. Concluyendo, en este ejemplo hemos hallado un valor de δ para un ε dado. Esto no demuestra la eistencia de límite. Para demostrar eso, hay que probar que es posible encontrar unδ para cualquier valor de ε. Ejercicio Nro. 8 En el siguiente gráfico se muestra la eistencia del límite en un punto para cierta función f(). Completa: f () = Cuánto vale en este caso? c) Cuánto vale en este caso? d) Cuál es la relación que vincula a con? e) Escribe la definición del límite de esta función según lo respondido en los incisos anteriores. Ejercicio Nro. 9 Repetir lo visto en el ejemplo Nro. 1 siendo ( 7) = 1 y ε =, 4 Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 7

8 Ejercicio Nro. 1 Usar las gráficas para hallar el límite solicitado en cada caso. Si no eiste el límite, eplicar la razón. Ejemplo Nro. Demostrar que ( 5) = 1 A diferencia del ejemplo Nro. 1, vamos ahora a probar que, según lo visto en (5): f ( ) = L ε >, δ > / si < < δ entonces f ( ) L < ε Aplicada esta definición a este ejemplo, nos queda: ( 5) = 1 ε >, δ > / si < < δ entonces ( 5) 1 < ε 5 1 < 6 < ε ( ) < ε < ε Como ( ) ε < ε ε ε <. Es decir que tomando un δ = se cumplirá la definición. De esta manera, para cada valor de ε podremos hallar fácilmente el valor de δ. Por ejemplo, si,4,1 ε =,4 entonces δ = =,. Si ε =, 1 entonces δ = =, 5, que es el resultado al que habíamos llegado en el ejemplo Nro. 1. Ejercicio Nro. 11 Repetir lo visto en el ejemplo Nro. y demostrar que ( 7) = 1 Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 8

9 Límites laterales Vamos a considerar ahora casos en los que tiende a pero sólo con valores mayores que él, o sólo con valores menores que él. Límite lateral izquierdo Si f() se acerca arbitrariamente a un único número L cuando tiende a por la izquierda (es decir, con valores menores que ), decimos que L es el límite lateral izquierdo de f() cuando tiende a por la izquierda, y se escribe: f ( ) = L Por lo tanto, la definición (5) nos queda así: Límite lateral derecho ( δ ; ) entonces f ( L ε ε >, δ > / si ) < Si f() se acerca arbitrariamente a un único número L cuando tiende a por la derecha (es decir, con valores mayores que ), decimos que L es el límite lateral derecho de f() cuando tiende a por la derecha, y se escribe: f ( ) = L Por lo tanto, la definición (5) nos queda así: ( ; δ ) entonces f ( L ε ε >, δ > / si ) < Teorema de la eistencia del límite Sea una función f, y y L valores reales. Entonces el f () eiste y es L si y sólo si f ( ) = L y f ( ) = L. Es decir, el límite de una función en un punto eiste si y solamente si sus límites laterales eisten y son iguales. Ejercicio Nro. 1 En base al gráfico responde: Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 9

10 Ejercicio Nro. 1 Graficar en cada caso una función f con dominio R tal que: f()=1 4 f()= c) 1 f()= y f()=5 d) Cumpla con y a la vez. e) Cumpla con y a la vez, y que f(4)= y f( 1)= f) f()=1/ y 1 f(5)= f() no eista g) 5 f()= 1 y 5 f() = y Cálculo analítico de límites Propiedades de los límites 1) El límite de una constante es la constante, es decir: k = k ) = ) n n = 4) Si f ( ) = L y k R entonces 5) Si f ( ) = L1 y g ( ) = L entonces f ( ) ± g( ) ] = L1 ± L 6) Si f ( ) = L1 y g ( ) = L entonces f ( ) g( ) ] = L1 L 7) Si f ( ) = L1 y g ( ) = L entonces f ( ) / g( ) ] = L1 / L ( L ) 8) Si f ( ) = L entonces n n f ( ) = L ( n N ) n 9) Si n N entonces n = es válido R si n es impar, y R si n es par. 1) Si f y g son funciones tales que g ( ) = L y L f ( ) = f ( L) entonces f ( g() ) = f (L) Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 1

11 Ejercicio Nro. 14 Resolver utilizando propiedades, aplicando sustitución directa: 1 ( ) 1 4 c) ln 1 8 Ejercicio Nro. 15 Calcular los siguientes límites usando límites laterales. Luego, graficar las funciones. f ( ) 5 si f ( ) si > 5 donde f ( ) = donde f ( ) = 4 si > 5 si < 5 Ejercicio Nro. 16 si 1 Si f ( ) = si -1 < < 1 hallar los siguientes límites y luego graficar la función: 1 si 1 i) f (1) ii) f ( ) iii) f ( ) iv) f ( ) v) f ( 1) 1 vi) 1 Límites indeterminados f ( ) 1 vii) 1 f ( ) 1 viii) f ( ) No siempre es posible resolver un límite por sustitución directa, ya que en algunos casos, al sustituir en la función por el valor al que tiende, queda lo que llamamos una indeterminación. Por ejemplo, si debemos calcular: f ( ) Vemos que si reemplazamos por, se llega a = = La epresión / es una de las siete indeterminaciones eistentes. No significa que el límite no eista, sino que debemos buscar otra manera de resolverlo. 1 En este caso, debemos previamente factorizar la función, aplicando diferencia de cuadrados. Entonces: f ( ) 4 f ( ) = ( )( ) f ( ) = ( ) = 4 Luego, el límite eiste y es 4. Ejercicio Nro. 17 Resolver: e) f) ( ) 9 c) 1 g) 1 1 d) h) 1 1 Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 11

12 Límites de funciones trigonométricas Sea un número real perteneciente al dominio de la función trigonométrica considerada. Entonces: sen ( ) = sen( ) ; cos( ) = cos( ) ; tg ( ) = tg( ) ctg ( ) = ctg( ) ; sec( ) = sec( ) ; cosec ( ) = cosec( ) Ejercicio Nro. 18 Resolver: tg () = ( ) = cos c) π sen ( ) = d) π π sen cos = 1 Límites infinitos Observemos la gráfica de la función racional f ( ) =, cuyo dominio es 1 Dom = R { 1; 1} Vamos a hallar el usando 1 1 los límites laterales. Tomamos valores por derecha y por izquierda cada vez más próimos a 1, obteniendo las siguientes tablas: f() f(),1 -,1 1,5 1,,5 -,67 1,1 5,4,9-4,74 1,1 5,5,99-49,75 1,1 5,5, ,75 1,1 5,5, ,75 1,1 5,5, ,75 1,1 5,5, ,75 1,1 5,5 Vemos que a medida que nos acercamos por izquierda al 1, la función decrece cada vez más, es decir, tiende a, y a medida que nos acercamos por derecha al 1, la función crece cada vez más, es decir, tiende a. Se dice entonces que los límites laterales de la función cuando 1son infinitos. Por lo tanto escribimos que: 1 1 = y 1 1 = Aclaración: si el límite de una función cuando da infinito entonces significa que NO EXISTE EL LIMITE de la función en ese punto. Para que el límite eista debe ser un valor FINITO. Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 1

13 Ejercicio Nro. 19 Utilizando una planilla de cálculo para armar las tablas de valores, y un graficador de funciones, confirma que los siguientes límites son infinitos: c) 4 Límites en el infinito (o límites para tendiendo a infinito) Vamos a calcular ahora límites para los cuales en vez de tender a un número finito, tiende a Veamos las siguientes gráficas de ciertas funciones: ±. c) d) Para cada caso hallaremos f () y f (). Es decir, veremos dónde se acerca la función cuando tiende a ±. En vemos que cuando crece o decrece indefinidamente la función se acerca al. Es decir, f ( ) = y f ( ) =. En vemos que f ( ) = y f ( ) =. Completa: En c) f () = y f () = En d) f () = y f () = Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 1

14 k Vamos a analizar el siguiente límite: n donde k R y n N. Veamos las gráficas de esta familia de funciones. Sea k = 1 y n =1,,,4,... Vemos que 1 = ; 1 = ; 1 = ; 1 4 = En general, podemos afirmar que: k n = Ejercicio Nro. Dada la siguiente función, responde basándote en el gráfico: El Dominio es.. El Conjunto Imagen es. c) La raíz es. d) Es una función par o impar? e) Es biyectiva? Por qué? f) f () = g) f () = Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 14

15 Límites especiales A la derecha se muestra la gráfica de la sen función f ( ) = cuyo Dominio es R { }. sen Puede demostrarse que: = 1 (Observemos que por sustitución directa este límite tiene una indeterminación /) Ejercicio Nro. 1 Resolver utilizando el límite anterior: sen8 sen sen5 c) 1 cos d) tg Otro límite especial es el siguiente: 1 1 = ( 1 ) 1 = e (Observemos que por sustitución directa este límite tiene una indeterminación Ejercicio Nro. Resolver utilizando el límite anterior: 1 ) c) 4 ( 1 8) Ejercicio Nro. Inventa el gráfico de una función que cumpla lo siguiente: f() =, y f() =. Luego indica el dominio de dicha función. 1 f() = 1 Límites con indeterminación / Supongamos que queremos calcular el siguiente límite: 8 6 Por sustitución directa obtenemos la indeterminación /. En este caso procedemos de la siguiente manera: primero se divide numerador y denominador por la mayor potencia de que tenga la función, en este caso,. Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 15

16 Nos queda: 8 6 = 8 6 = 8 6 Simplificamos en cada cociente: = Recordando que: k n = nos queda: = = 1 Ejercicio Nro. 4 Calcular los siguientes límites: c) Límites con indeterminación Para resolver estos límites debemos multiplicar y dividir por el conjugado de la función dada. Ejercicio Nro. 5 Calcular los siguientes límites: ( ) 1 ( ) 5 Ejercicio Nro. 6 Calcular los siguientes límites: c) 4 4 d) e) ( 1) 1 f) tg( ) 9 g) h) i) e j) 1 k) 1 4 l) m) sen( ) n) 4 1 ñ) o) Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemática I (Lic. en Economí UNRN Año 15 16