Límites y continuidad

Transcripción

1 Unidad Límites y continuidad Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Aplicará el álgebra de límites.

2

3 Matemáticas Introducción La noción de estar cada vez más cerca de algo pero sin llegar a tocarlo caracteriza al límite, que es el concepto fundamental sobre el cual se construye todo el cálculo. El concepto de límite describe en forma precisa el comportamiento de la función cuando los valores de están muy próimos a un valor a, pero sin ser igual a a. Esta situación la tenemos presente en problemas de administración y economía, por ejemplo, en la producción máima teórica de una máquina o proceso industrial, la que se calcula como un límite en el sentido de que es una producción no alcanzable, pero a la que se puede aproimar; también podemos percibirlo en el rendimiento por litro de gasolina de un auto, el fabricante nos indica que tiene cierto rendimiento, sin embargo es un valor no alcanzable pues este rendimiento se logra bajo ciertas condiciones que difícilmente se llegan a tener en el uso diario del automóvil, posiblemente se logrará acercarse a ese valor, pero nunca se alcanza. La continuidad de una función es el otro concepto que se estudiará en esta unidad, la cual, además de su importancia teórica, está presente en ciertos procesos productivos en los cuales se considera que eisten puntos en el proceso de producción en donde eisten discontinuidades, los costos asumen diferente estructura... Concepto de límite Los límites describen lo que le sucede a una función f() a medida que su variable independiente se aproima a una constante a. Para ilustrar este concepto, supongamos que se quiere conocer qué le sucede a la función: f ( ) a medida que va tomando valores cercanos a. Aunque f( =, el interés no es esta igualdad, ya que lo que se quiere es tomar valores cercanos a y observar el comportamiento de las imágenes. Ahora bien, para acercarnos a lo podemos hacer con valores más pequeños que o con valores mayores a. Haciendo referencia al eje, se dice que se realiza un acercamiento por la izquierda en el primer caso y por la derecha en el segundo. La tabla. muestra algunos valores de en las cercanías de junto con sus respectivas imágenes f(). 79

4 Unidad Al factorizar el numerador y cancelar los factores comunes se obtiene: ( )( ) f ( ), f() = + para todos los valores, lo que facilita los cálculos. Tabla.. Algunos valores de la función f()= + en las cercanías de f() En esta tabla los valores de la función f ( ) se acercan a cuando se acerca cada vez más a por cualquier lado. Este comportamiento puede describirse diciendo que el límite de f() a medida que se acerca a es igual a y se escribe simbólicamente de la forma: lim f ( ) f ( ) a través 80 Figura.. f ( ) en un valor a:

5 Matemáticas Si f() se aproima cada vez más a un número L a medida que se acerca a a por cualquier lado, se dice que L es el límite de f(), cuando toma valores a pero no igual a a, y se escribe: lim f ( ) L Agregar otros teoremas de límites a que completen las propiedades: El límite, cuando eiste, es único. Esto en particular significa que la función f() se acerca a L, tanto si se acerca a a por la izquierda como por la derecha. El límite de una función en un punto a L, que es el límite de la función, coincide con f(a la función eiste y f(a función f(a) no eiste, sin embargo el límite L sí eiste. f(a) f(a) Figura.. El límite L coincide con f(a). Figura.. El límite L es diferente a f(a). 8 Figura.4. El límite eiste en a = a.

6 Unidad límite en a porque f() se aproima a a medida que se acerca a a por la izquierda y a su vez se aproima a 5 cuando se acerca a a por la derecha. El círculo relleno indica que la imagen de a esta ahí, en tanto que el círculo vacío indica lo contrario. Figura.5. No eiste límite en a. no eiste, ya que los valores de la función f( que se acerca a a a Figura.6. El límite en el punto a. 8

7 Matemáticas Ejercicio. f (). f (). f () b (a, b) 4. f () 8

8 Unidad 5. f () a 6. f () 7. f () b (a, b) a 8. f () 84

9 Matemáticas.. Teoremas de límites Para calcular límites en funciones dadas en forma algebraica se requiere de los límites de las funciones constante e idéntica y de un teorema que enseña a calcular límites para funciones obtenidas como resultado de operaciones algebraicas entre funciones.... Límite de la función constante Si se tiene la función f()=, cuál es el límite de esta función si tiende al valor 5? Como la función no se mueve del valor, es natural pensar que su límite es también. En relación con este razonamiento, de manera general al calcular el límite de una constante c se tiene el siguiente resultado general: lim c c a Esto es, el límite de una constante es la constante misma. Ejemplo Cuál es el límite de la función f ()=5 cuando se acerca al valor 7? Solución: la función vale 5 para todos los valores de, luego su límite es 5, es decir: lim Límite de la función idéntica Dada la función idéntica f() =, cuál es el límite cuando el valor se acerca a a? El límite de esta función es el mismo valor de a, ya que los valores de la función son los mismos de, es decir, se tiene: 85 lim a a

10 Unidad Ejemplo Cuál es el límite de la función idéntica en 85? Solución: como las imágenes de la función idéntica son los mismos de 85, es decir: lim Álgebra de límites El siguiente teorema muestra la forma de hallar los límites de las distintas operaciones con funciones cuando se conocen los límites de las funciones que intervienen. Teorema 86 Si lim f ( ) L y lim g( ) M se tiene que: a a. lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) L M a a a. lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) LM a a a. lim a 4. lim f ( ) g( ) a a n n lim f ( ) a lim g( ) a L M siempre y cuando M 0 n n 5. lim a a En otras palabras, lo que el teorema dice es que el límite de una suma, diferencia, producto o cociente de funciones es igual a la suma, diferencia, producto o cociente de los límites. Para el cociente se ecluye el valor 0 para el límite M Así también, el límite de una potencia y raíz es la potencia o raíz del límite. Ejemplo Cuál es el límite de la función f() = + 5 cuando tiende a cualquier valor a?

11 Matemáticas Solución: de acuerdo con el teorema tenemos que la función es una suma, entonces basta calcular el límite de cada uno de los sumandos y sumar luego los resultados. Como los sumandos son el producto de funciones constantes e idénticas, es necesario hallar el límite de estas funciones y luego multiplicar los límites, esto es: lim lim a a (lim )(lim )(lim ) a a a a a Por los resultados conocidos para las funciones constante e idéntica, si hacemos lo propio con los demás sumandos se llega a que el límite es igual a a + a 5. Realizando un análisis como el del ejemplo se obtiene el siguiente resultado, al cual llamamos corolario para indicar que se deduce del teorema. Colorario. Si f() es un polinomio se tiene que lim f ( ) f ( a) a g( ). Si r( ) h( ) siempre y cuando h(a) es una función racional, se tiene que lim r( ) r( a) a Lo que el corolario dice es que para calcular el límite de un polinomio en un valor a basta calcular la imagen del polinomio en el valor a. Para las funciones racionales es igual, ecepto en los casos en que el denominador se haga 0 porque la división entre 0 no tiene sentido. Ejemplo 4 87 Utilizando los resultados anteriores calculamos los límites siguientes: a) lim 5 7 7

12 Unidad b) lim c) lim t d) lim 6 t ( ) 6 ( ) e) lim 0 0 f ) lim 7 4 Ahora bien, cómo se calcula un límite de una función racional cuando el denominador es cero? La respuesta depende del límite de la función que está en el numerador, en el sentido de que puede ser cero o diferente de cero. Para el caso en que el límite del numerador también sea cero, se obtiene una epresión de la forma 0 que es una epresión indeterminada 0 porque, puede ser cual qui er número real r ya que se sati sface l a i gual dad: cociente divisor = dividendo, esto es r 0 = 0. Para estos casos, aunque se puede dar una respuesta concreta diciendo que desaparezca la indeterminación producida por la presencia del 0, tanto en el numerador como en el denominador. Ejemplo 5 88 Cuál es el lim? Solución: cuando tiende a, tanto el numerador como el denominador se aproiman a cero, conduciéndonos a una epresión indeterminada de la forma 0 0. Si tanto el polinomio del numerador como el del denominador se hacen 0 en es porque el factor lineal + los divide, y por lo tanto lo podemos cancelar. Es decir, factorizando el numerador obtenemos:

13 Matemáticas ( ) ( ) ( ) Observemos que la cancelación del término + en el denominador se puede realizar si y solamente si, hecho que no afecta nuestro análisis porque precisamente el valor no pertenece al dominio de la función original, por lo tanto: lim lim Este ejemplo nos recuerda el hecho de que no obstante la función no esté Figura.7. y Ejemplo 6 Cuál es el lim 8? Solución: nuevamente tanto el numerador como el denominador se hacen 0 cuando de factorizar el numerador: 8 ( ) ( 4) ( ) 4 para valores 89 8 lim lim ( 4)

14 Unidad Figura.8. y 8 Ejemplo 7 Cuál es el lim? Solución: por la misma razón de los ejemplos anteriores procedemos primero = ( ) ( ) ( ) ( ) para Gracias a la nueva epresión podemos calcular el límite sin ningún problema sustituyendo el valor de por lim lim 90 Figura.9. y

15 Matemáticas Ejemplo 8 9 Cuál es el lim? 9 Solución: lim lim ( 9)( ) = lim 9 ( 9) lim 9 6 Figura.0. y 9 Ejercicio. lim ( 7 5 ) 6. lim 0 4. lim 0 7. lim 8. lim( ) 8. lim 4. lim 6 9. lim lim 0. lim

16 Unidad..4. Límites infinitos En los ejemplos anteriores se trabajó con indeterminaciones del tipo 0 que como 0 se vio se resuelven factorizando y cancelando el término lineal que las origina. Ahora, qué se hace si es sólo el denominador el que se anula en el valor en el que se quiere calcular el límite? Es decir, qué se hace en situaciones como la del siguiente ejemplo: Ejemplo 9 Cuál es el lim 0? Solución: si reemplazamos la por el valor 0 obtenemos la epresión 0 que no es número real, ya que no eiste ningún número que multiplicado por 0 dé como resultado el valor. Como estamos calculando un límite, observemos lo que ocurre con los valores de la función cuando nos acercamos al valor 0. En la tabla. aparecen algunos valores de con sus correspondientes imágenes: Tabla.. Valores de la función / en las cercanías de 0. / / que aparecen en la 9 los valores de la función se hacen más grandes y tan grandes como se quiera. Figura.. f ( ).

17 Matemáticas Para indicar este tipo de comportamiento usamos la notación: lim 0 Donde el símbolo la función crece ilimitadamente, es decir, podemos hacer deseemos, escogiendo una tan grande como simplemente símbolos que indican un crecimiento o decrecimiento de la función. En escritura simbólica se tiene: lim f ( ) a para indicar que los valores de f() se hacen cada vez más grandes cuando tiende a a, y lo leemos: El límite de f() cuando tiende a a cuando tiende a a. f( Ejemplo 0 Cuál es el lim? 0 Solución: igual que en el ejemplo anterior, si reemplazamos la por el valor 0 obtenemos la epresión que no es número real. Para tener una idea de 0 lo que ocurre en las cercanías de 0, calculamos la imagen de la función para algunos valores cercanos a 0. En la tabla. aparecen algunos valores de con sus correspondientes imágenes. Tabla.. Algunos valores de la función / en las cercanías de 0. / / En la tabla anterior podemos observar los siguientes hechos: 9

18 Unidad. Cuando se acerca a 0 con valores más pequeños (negativos) los valores de la función aunque negativos, se hacen muy grandes y cada vez más en valor absoluto.. Cuando se acerca a 0 con valores mayores (positivos) los valores de la función crecen y se hacen cada vez más grandes. Es decir, en este caso tenemos comportamientos diferentes para la función según el acercamiento a 0 sea por la derecha o por la izquierda. Cuando se acerca por la derecha (los valores positivos en la tabla), de acuerdo con el ejemplo anterior la función tiende a. En cambio, cuando se acerca por la izquierda (son los valores negativos en la tabla) la tendencia es a hacerse grandes pero negativos, razón por la cual decimos que tiende a. Esta circunstancia de tendencias diferentes, dependiendo del lado por el cual nos acerquemos, las evidenciamos simbólicamente de la siguiente forma: lim y lim 0 0 En donde los signos y + que aparecen posicionados como si se tratara de un eponente, indican por cuál lado se está acercando la a 0: El signo indica que el acercamiento es por la izquierda. El signo + indica que el acercamiento es por la derecha. 94 Figura.. f ( ).

19 Matemáticas Esta idea de diferentes tendencias en la función dependiendo de la forma de acercarse al punto en el cual se quiere calcular el límite, conduce al concepto de los límites laterales...5. Límites laterales = 0, sin embargo: f (), observemos que a) Si nos acercamos a cero por la derecha, es decir, tomando valores de mayores que cero, la función se acerca a. lim f ( ) b) Si nos acercamos a cero por la izquierda, es decir, tomando valores de menores que cero, la función se acerca a. lim f ( ) Figura.. Función con límites laterales distintos, cuando 0. Límites como éstos son llamados límites laterales y son muy útiles para saber si el límite de una función eiste. El límite eiste si y sólo si los límites laterales eisten y son iguales. Simbólicamente se escribe de la siguiente forma: lim f ( ) L lim f ( ) L y lim f ( ) L a a a 95 Donde el símbolo si y sólo si en el sentido de que la epresión del lado izquierdo es equivalente a la del lado derecho.

20 Unidad límites laterales en 0, no tiene límite en 0 porque éstos no son iguales. Ejemplo La función f ( ) si tiene límite en =? si Solución: calculemos los límites laterales: a) Para calcular el límite por la izquierda con valores más pequeños que, usamos la epresión + y obtenemos: lim f ( ) lim b) Por la derecha con valores más grandes que, obtenemos: lim f ( ) lim Como los límites laterales son diferentes, concluimos que la función no tiene límite en. 96 Ejemplo de. Figura.4. f ( ) Analicemos el comportamiento de la función f ( ) si si en las cercanías

21 Matemáticas Solución: cuando tiende a por la derecha (valores de tales como 0.9, 0.99, y así sucesivamente) + tiende a 0 pero siempre es positivo. Como el numerador es negativo el cociente es negativo y cada vez más grande en valor absoluto, tenemos: lim Cuando se acerca a por la izquierda (valores como.5,., etc.) + tiende a 0 pero con valores negativos. Como el numerador es negativo, se tiene que el cociente es positivo y por lo tanto obtenemos: lim Como los dos límites laterales son diferentes podemos concluir que la función dada no tiene límite en. Figura.5. y Ejemplo El costo de eliminar % de artículos defectuosos está dado por la siguiente función C( ) para a) Cuál es el costo de eliminar la mitad de producción defectuosa? b) Qué porcentaje de los productos defectuosos puede eliminarse con ? c) Evalúa el costo cuando tiende a Solución: a) Para encontrar el costo de el i minar l a mi tad de la producción defectuosa calculamos la imagen de la función cuando es 50, C(50)=

22 Unidad b) Para hallar el porcentaje correspondiente basta despejar en la ecuación para obtener = 8.% 00 c) Cuando decimos tiende a 00 debemos asumir que el acercamiento es con valores más pequeños que 00, ya que con valores mayores que 00 no tiene ningún sentido. Es decir, la idea es calcular el límite por la izquierda en 00. Como 00 es positivo tenemos que lim C( ). 00 error en la producción, lo que en términos reales nos podría llevar a conformarnos con aceptar ciertos límites razonables de errores en la producción o a revisar la función dada para el costo de eliminar esa producción...6. Límites en el infinito cuando la variable independiente se acercaba a un valor real a, no obstante, también es útil preguntarse por la tendencia de la función cuando el valor de la límite, se pretende estudiar límites de las siguientes formas: lim f ( )? lim f ( )? Para responder estas incógnitas, lo mejor es estudiar una situación real donde 98 Ejemplo 4 Una fábrica de muebles produce muebles para computadora. La fábrica en saber hasta cuánto puede reducir el costo promedio de la fabricación de cada Solución: la función de costos tiene la forma C() = siendo el número de muebles para computadora.

23 Matemáticas A su vez, el costo promedi o de cada escri tori o está dado por C( ) Lo que queremos calcular es el valor hacia el cual tiende el costo promedio trata de calcular el siguiente límite: C( ) lim lim 00 Como es el límite de una suma tenemos que calcular el límite de cada uno de los sumandos: lim () lim 00 () Para calcular el límite () basta observar que a medida que el valor de crece el cociente se hace más pequeño, lo que nos conduce a concluir que: lim Como el límite () es el límite de una constante y por lo tanto es la constante misma, tenemos que el costo promedio tiende al valor 00, lo que coincide con la intuición previa que hubiéramos podido tener antes de realizar los cálculos, debido a que los costos fijos deben dividirse entre todos los escritorios fabricados. Del ejemplo anterior podemos generalizar el lim lim n 0 donde n > 0 0 diciendo que Ejemplo 5 99 Cuál es el lim ( 5 7)? Solución: cuando también, por lo tanto, lim lo hace

24 Unidad Ejemplo 6 Cuál es el lim ( )? Solución: cuando lo hace también, sin embargo, la grandeza de los términos que participan. Para quitar la indeterminación procedemos algebraicamente sobre la función dada: para valores 0. Calculamos ahora el límite cuando como y tienden a cero, por lo tanto el límite es Figura.6. y Con el mismo procedimiento algebraico de los ejemplos 5 y 6 se puede deducir la siguiente proposición: 00 Proposición n n Dado el polinomio de grado n, p( ) an an a0 se tiene que: si an 0 lim p( ) si a 0 n

25 Matemáticas Demostración: igual que en el ejemplo 5, la idea es factorizar el polinomio dado: n n n an a0 p( ) an an a0 ( an ) n Al calcular ahora el límite obtenemos ± dependiendo del signo de a n tal En palabras, lo que la proposición dice es que en un polinomio el término que predomina es el término principal, es decir, el de la mayor potencia. Si el signo es + el polinomio va para ; si es el polinomio va hacia. Con los ajustes necesarios la proposición permite calcular el límite para un polinomio cuando o Ejemplo 7 Analicemos los siguiente límites: a) lim ( ). Como el coeficiente de mayor potencia es 5 el resultado es. 5 b) lim ( 0 ). Basta mirar el término de mayor potencia, 5, entonces el límite buscado es. Ejemplo 8 8 Cuál es el lim 5? Solución: dado que tanto el numerador como el denominador son polinomios, con a n > 0 obtenemos la indeterminación. Como siempre, para quitar la indeterminación procedemos algebraicamente: dividimos el numerador y el denominador por la mayor potencia de todos los términos que eisten, es decir, dividimos por y obtenemos: 0

26 Unidad Cuando, el límite pedido es de la forma, que por nuestra eperiencia 0 con la función / sabemos que es. Así obtenemos: 8 lim 5 Figura.7. y 8 5 Ejemplo 9 0 Hallemos los siguientes límites: a) lim lim

27 Matemáticas b) lim lim 5 lim c) lim Ejercicio En los ejercicios a 7 halla los límites indicados en el caso de que eistan: 0. lim ( 5 ). lim 5 5. lim 4. lim 5. lim lim 6. lim ( ) 8. El costo (en pesos) de eliminar % de la contaminación del agua en cierto río está dado por: C( ) para a) Halla el costo de eliminar la mitad de la contaminación. b) Qué porcentaje de la contaminación puede eliminarse con $90 000? c) Evalúa lim C( ). Realiza comentarios sobre los resultados. 00

28 Unidad 9. El costo en miles de pesos para producir unidades de un artículo está dado por C() = miles de pesos. C (). c) Qué le sucede a C m ( ) cuando? C Cm ( ) ( ) para 0 0. El efecto de reducción del dolor de oídos con ayuda de un medicamento puede medirse empleando la función: d( ) donde d () es el porcentaje de alivio del dolor que se espera cuando se utilicen unidades de medicamento. Qué le sucede a d() cuando?.. Continuidad Como se ha observado al calcular los límites de funciones, no siempre el límite coincide con el valor de la función en el punto hacia el cual se acerca la 04 un corte en la línea que la representa. Se dice precisamente que la función en este punto es discontinua; cuando este corte no se presenta se dice que la función es continua en ese valor. Desde el punto de vista económico se puede decir que la continuidad de un proceso hace referencia a la homogeneidad de éste, en el sentido de que no eisten momentos de ruptura donde las cosas se deban considerar diferentes a las demás. una función y se presentan las propiedades de las funciones continuas.

29 Matemáticas Figura.8. f () Figura.9. f () continua en =. discontinua en =. =. recta continua sin discontinuidad en =. Desde otro punto de vista, si se dibujan ambas rectas con un lápiz, se tendría =, pero no se tendría que continuas o discontinuas en un punto puede ser epresada por medio de límites. de la función f() = g( ) si si Además, lim f ( ) f ( ) y que lim g( ), que es diferente g() =. Es decir, en la recta continua eiste el límite en, y es igual a la imagen de la función en, en tanto que en la discontinua el límite eiste pero es diferente a la imagen de la función en. En forma general se tiene la siguiente definición de función continua en un punto: 05

30 Unidad condiciones: a eige que se cumplan tres. f = a; esto es, a está en el dominio de f.. El lim f ( ) eiste. a. lim f ( ) f ( a) a Con una sola de estas condiciones que no se dé, la función automáticamente es discontinua. Ejemplo 0 Demostrar que la función p() = + 5 es continua en =. Solución: como la función dada es un polinomio, eiste su límite. Éste se obtiene de sustituir = en la función. Ejemplo Es continua la función g( ) en =? Solución: como se trata de una función racional tal que su denominador no se anula en = concluimos que es continua en. De hecho es continua en todos los puntos ecepto en, dado que en = el denominador se anula. Ejemplo 06 Es la función g( ) si 0 si 0 Solución: las tres condiciones dadas anteriormente: continua en 0?. g g(0)= 0 + =

31 Matemáticas. Para saber si el límite eiste en 0 calculemos los dos límites laterales: lim g( ) lim, lim g( ) lim Como los dos límites laterales son diferentes, el límite de la función no eiste en el valor 0. Luego, al no cumplirse la condición la función no es continua en 0. Figura.0. g( ) si 0 si 0 Ejemplo En situaciones de oferta y demanda es habitual que el precio de venta varíe con la cantidad de artículos que se compran: a mayor cantidad de artículos menor valor. Las funciones que modelan este tipo de comportamiento presentan alguna discontinuidad. Un ejemplo de ello es el siguiente problema: cinco pesos le cuesta cinco pesos le vale. Un vendedor en el metro vende plumas a $5 cada una, pero si se le compran más de 6 plumas rebaja el precio a $4 cada bolígrafo. a) Si necesitas por lo menos 6 plumas, cuál es el número de plumas más recomendable a comprar? b) Qué consejo le darías al vendedor que le permita conservar su política de oferta para más de 6 plumas sin que se le presenten contradicciones como las que surgen en su propuesta actual? c) La función es continua en = 6? 07

32 Unidad Solución: a) El precio p() de plumas es la función de precio que está dada por: 5 si 6 p( ) 4 si 6 p() Figura.. es de $8. Por lo tanto, lo recomendable es comprar 7 plumas. b) Para evitar contradicciones, el precio de 7 plumas debe ser superior al de 6. Si llamamos p al precio de cada bolígrafo cuando se compra más de 6, se debe cumplir que 7p > 0, es decir, p Por lo tanto el vendedor debe asignar un valor superior a 4.9 para cada bolígrafo cuando se le compran más de 6. = 6. Ejercicio 4 08 Determina en los ejercicios a si la función dada es continua en el. si 0. f ( ) ; = 0 si 0. f ( ) 5; = 0 0. f ( ) ; 5 5

33 Matemáticas En los ejercicios de 4 a 6 halla los puntos de discontinuidad de la función 4. g( ) 5. t( ) 6. h( ) 6 4 si 6 si 8 7. Un almacén vende un artículo por mayoreo con precios diferentes de acuerdo con la siguiente lista en pesos: $9.50 cada uno, al comprar de a 5 unidades. $8 cada uno, al comprar de 5 a 60 unidades. $7.5 cada uno, al comprar más de 60 unidades. a) Cuál es la función p() del precio total de la cantidad de artículos? p(). c) Si necesitas comprar al menos 5 unidades, según la lista de precios, qué cantidad es recomendable comprar? Por qué? d) Es p() continua en = 5?.4. Operaciones con funciones continuas Al recordar que se pueden obtener funciones como resultado de realizar operaciones algebraicas sobre otras funciones, la pregunta obligada es, si las funciones que se operan son continuas, las funciones que resulten de estas operaciones también lo son? La respuesta es afirmativa y la suministra la siguiente proposición. Proposición 09 Si las funciones f y g son continuas en un punto a, entonces las funciones f. f g. f g. también son continuas en el punto a, siempre g y cuando g(a) 0 en el caso del cociente de funciones.

34 Unidad continua. Esta proposición generaliza el resultado: todos los polinomios son continuos y las funciones racionales también lo son para todos los valores en los cuales. Adicionalmente, se tiene que tanto la función eponencial como la función Qué se puede decir de la continuidad de la función f() = e? La función f es el resultado de la composición de dos funciones continuas: donde g() = e y h() = f ( ) e ( g h)( ) g( h( )) Por lo tanto, para resolver la pregunta de la continuidad de f se requiere saber cómo se relacionan la continuidad de las funciones g y h con la continuidad de la función compuesta (g h). Proposición 0 Si f es continua en a y g es continua en f (a), entonces la función compuesta (f g) es continua en a. Con este resultado se concluye que la función f () = e es continua siempre y cuando la eponencial y la función h() que es un polinomio, sean continuos. Qué se puede decir de la continuidad de las siguientes funciones: f ( ), g( ) y, en general, de la función raíz enésima dada por n h( ), donde n es un número natural y es tal que las raíces se puedan hallar? Como estas funciones son las inversas de las funciones polinómicas f ( ), g( ) y, en general, de h() = n que son funciones continuas, y dado que la función inversa de una función continua también es continua, se las funciones raíces son también continuas. Al aplicar la proposición a las funciones potencias n y a las funciones n raíz, se obtiene el siguiente resultado: las funciones de la forma m n f ( ) n m, donde m y n son enteros, son funciones continuas en todos. Este resultado sigue siendo válido si en lugar de un eponente racional se tiene un eponente que sea cualquier número real, es decir:

35 Matemáticas Toda función potencia de la forma f ( ) r donde r es un número real es una función continua. Ejemplo 4 Cuál es el lim 5? Solución: como la función raíz cuadrada es continua y el radicando es un polinomio que también es continuo, el límite es igual a la raíz cuadrada del límite del polinomio: lim 5 lim ( 5) 9 Ejemplo 5 Cuál es el lim ln ? Solución: como la funciones ln, las raíces y los polinomios son continuas, nos basta reemplazar la por el valor 8 para obtener que el límite es ln 5 =.6 Ejercicios resueltos 4. Cuál es el lim 4 ( ) 4? Solución: ( ) ( 4) ( ) ( 4) para 4,

36 Unidad ( )( 4) Luego lim ( )( 4) lim Cuál es el lim 5 5? Solución: al sustituir en la función el valor de por 5 se obtiene 8 0 que o a. Para responder, analizamos el comportamiento de la función al acercarnos a 5 por la izquierda y por la derecha: a) Por la izquierda, es decir, con valores tales que < 5, o sea 5 es positivo. Luego: lim 5 5 b) Por la derecha, es decir, con valores tales que > 5, o sea 5 es negativo y por lo tanto: lim 5 5 Por a) y b) como los límites laterales son distintos concluimos que el límite no eiste. Figura.. y 5

37 Matemáticas. Enumerar todos los valores de para los que la función dada no es continua: g( ) ( 5)( ) Solución: la función g es una función racional por lo que los únicos puntos de discontinuidad son los que no pertenecen al dominio de la función. En nuestro caso son los valores para los cuales (+5) ( ) = 0, es decir, = 5 y = 4. Cuál es el lim 9 9? Solución: cuando 9, tanto el numerador como el denominador se aproiman a cero, conduciéndonos a una epresión inderterminada de la forma 0 0. Al tener una raíz en el numerador, se racionalizará para lo cual multiplicaremos tanto el numerador como el denominador por el conjugado y una vez cancelada la raíz se obtiene el límite. lim 9 lim lim ( 9 )( ) lim Observemos que el valor = 9 no pertenece al dominio de la función.

38 Unidad Ejercicios propuestos En los ejercicios a 8 halla el límite indicado, si eiste: 5 4. lim( 6 7) 5. lim( ) 0 9. lim( ) ( ) 6. lim. lim 7. lim ( 5 ) 0 4. lim 8. lim ( )( ) 9. f ( ) ; 4 0. f ( ) ; 4. f ( ) 5 6. En los ejercicios a 5 enumera todos los valores de para los que la. f ( ). f ( ) 4. f ( ) 5. f ( ) ( ) 6 En los ejercicios 6 a halla el lim f ( ) : 4 6. f ( ) 0. f ( ) f ( ) 4 4. f ( ) 8. f ( ) ( )( 5). f ( ) ( ) 9. f ( ). f ( ) 7 si 9 si

39 Matemáticas 4. El costo promedio por disco (en pesos) para una compañía que produce discos compactos de audio está dado por la siguiente función: C( ) Cuál es el costo promedio de cada disco cuando la producción aumenta 5. La concentración en la sangre de un enfermo con cierto medicamento 0. 0t después de t horas de haberle colocado una inyección está dada por C( t) t miligramos por centímetro cúbico. Hacia qué valor tiende la concentración a medida que pasa el tiempo? 6. Supongamos que los ingresos logrados por una cierta película se pueden aproimar por la siguiente función: 85t I ( t) t 0 donde los ingresos están en millones de dólares y t son los meses que la película ha sido ehibida. Se pretende saber cuál es el tope de los ingresos que se pueden obtener con esta película. 7. Una compañía constructora está pensando en invertir en un área rural donde se ha calculado que la población dentro de t años está dada por la siguiente función: 0t 75t 50 P( t) t 4t 5 en miles de personas. La compañía ha estimado que, para que la inversión convenga, se requiere que la población sea al menos de personas en algún momento. Qué le puedes decir a la compañía constructora respecto a la viabilidad del proyecto? 5

40 Unidad Autoevaluación 6. Cuál es el lim? a) / b) / c) / d) /. Cuál es el lim ( ) 0? a) b) ¼ c) No eiste. d) 4 5. Cuál es el lim? a) / b) c) No eiste. d) 4. Cuál es el lim a) b) c) No eiste. d) / 6 4? 6 5. Cuál es el lim a) b) c) No eiste. d) 0 5 9?

41 Matemáticas 6. Cuál es el lim 5 a) b) c) d) 0? 7.. f ( ), 6 8. Enumera los valores de para los que la función dada no es continua. a) = y = 6 b) = c) = 5 y = 7 d) = 4 y = 5 f ( ) 6 9. Enumera los valores de para los que la función dada no es continua. f ( ) 5 a) y b) 5 7 y c) y 5 7 d) y 5 7 4

42 Unidad Respuestas a los ejercicios Ejercicio. lim f ( ) b a. El límite no eiste.. lim f ( ) b a 4. El límite no eiste. 5. El límite no eiste. 6. El límite no eiste. 7. lim f ( ) b a 8. lim ( ) a f b Ejercicio

43 Matemáticas Ejercicio No eiste a) $7 500 b).05% c) C() se vuelve arbitrariamente grande cuando crece sin límite. 9. a) b) c) C m 40 C() = y = C m () = 0

44 Unidad 0. d() 00 Ejercicio 4. No.. Sí.. No. 4. 6; 4 porque no pertenecen al dominio de la función. 5. En = porque no eiste el límite al ser diferentes los límites laterales. 0

45 Matemáticas a) p( ) b) c) Es conveniente comprar 6 unidades ya que su precio es $468 menor que el precio de 5 unidades que es $487.5 p() no es continua en = 5 Respuestas a los ejercicios propuestos No eiste.

46 Unidad No. 0. Sí.. No ;

47 Matemáticas Como el tope de la población es 0 en la zona. 6 personas, se puede invertir

48 Unidad Respuestas a la autoevaluación. a). c). b) 4. a) 5. d) 6. c) 7. No. 8. a) 9. a) 4