Competencias a Lograr:

Transcripción

1 Competencias a Lograr:. Define el concepto de límite de una función.. Calcula el límite de una función aplicando las propiedades que correspondan.. Calcula los límites laterales, al infinito y en el infinito de una función. 4. Aplica el concepto de límite para determinar las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función. La teoría de límites fue construida gracias al aporte de muchos matemáticos y se desarrolló a través de los siglos. Las primeras nociones de límites la encontramos en los matemáticos griegos al tratar de resolver el célebre problema de la cuadratura del círculo, esto es, hallar un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado. Los griegos encontraron que un polígono de mayor número de lados se aproima más al área del círculo. Cuadrado inscrito Heágono inscrito Octágono inscrito La idea de límite surge con Benjamín Robins en el siglo XVII y con D Alembert quienes relacionaron el límite con variables, teoría poco entendida en esa época, lo cual provocó que esa noción tardara muchos años más. El estudio de límite como límite de variables, obligó a eplicar el concepto de infinito. En 784, la Academia de Berlín convocó a un concurso para aclarar el concepto de infinito. Simón Lhuilier fue el ganador del concurso en 786, quién acepto el concepto de límite de D Alembert y demostró el teorema del producto y el cociente. Agustín Louis Cauchy en su obra Cours d Analyse epone una teoría de límite más detallada y precisa. Para que se desarrollara el concepto moderno de límite hubo que esperar a que se desarrollara el concepto de función y el concepto de número real. El enfoque moderno de la definición de límite lo encontramos en los trabajos de Karl Weierstrass, de B. Bolzano y de George Cantor. Weierstrass fue el precursor de la definición de límite basada en (épsilon) y (delta); Bolzano aportó grandemente en la construcción de la teoría de funciones y Cantor aportó los principales fundamentos de la teoría de números reales. Benjamín Robins Agustin Louis Cauchy Jean le Rond D'Alembert Karl Wilhem Weierstrass George Cantor (707 75) ( ) (77 78) (85 897) (845 98)

2 De manera intuitiva podemos tener la noción de límite como aquello que se acerca a algo. Por ejemplo, si nuestras clases inician a las 5:0 p. m. y nuestro reloj marca las 5:5 p. m. sabemos que está próima la hora de inicio y que, conforme nuestro minutero avance, se acercará más aún. Veamos un ejemplo que nos permita aclarar la noción de límite de una función. Ejemplo. Sea la función f() = +. Nos preguntamos, qué pasa cuándo se aproima a? Para resolver esta pregunta construiremos una tabla de valores que nos permita comprender el comportamiento de la variable cuando los valores de se aproiman a. Tabla de valores:,5,6,7,8,9,95,99,00,0,,, y 4 4, 4,4 4,6 4,8 4,9 4,98 5 5,00 5,0 5, 5,4 5,6 Veamos la gráfica de esta función. y O La gráfica anterior nos muestra que si nos movemos a una distancia no mayor de alrededor de los valores correspondientes para f() se mueven alrededor de 5 con una distancia menor que. Podemos decir que el comportamiento alrededor de nos determina el comportamiento de la función f() alrededor de 5. Note que el límite de una función en un punto consiste en un proceso de acercamiento. f(m) f(a) f(n) n a m

3 Hallemos la distancia entre n y a y entre a y m. Denotemos con la letra griega (delta) la diferencia entre las componentes en y denotemos por la letra griega (con épsilon mayor que cero, > 0) la diferencia entre las componentes en y. Entonces. f(a) f(a) f(a) a a a Definición: El límite de una función en un punto = a es igual a L si para todo > 0, eiste un delta > 0 tal que y (L -, L ), toda vez que (a-, a ). El límite de una función se denota por f() = L. a Los límites de funciones cumplen con algunas propiedades. Sean f, g y h tres funciones cuyos límites cuando tiende a b son L, M y N, respectivamente.. Límite de una adición o suma: [f() + g()] = L + M a. Límite de una constante por una función: cf() = cl a. Límite de un producto: [f()g()] = LM a 4. Límite de un cociente: f() a g() M 5. Límite de una constante: c = 0, con c constante a 6. Límite de una potencia: [f()] = a n a 7. Límite de una raíz cuadrada: f() = a a Ejemplo. Utilice la definición de límite y encuentre 9. Sustituyamos = - en la función. 9 = ( ) 9 = 9 4 = 8 4 = Ejemplo. Utilice la definición de límite y encuentre 9. Primero determinemos el dominio y el codominio de la función f(). Domf = R {} Codf = y R. Por lo tanto, la función no está definida para =. Construyamos una tabla de valores con números muy cercanos a. Tabla de valores:,5,6,7,8,9,95,99,0,05,,,4,5 y 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 5,95 5,99 6,0 6,0 6, 6, 6,4 6,5

4 La tabla nos indica que conforme los valores de se aproiman a, los valores de y se aproiman a 6. Por lo tanto, 9 =6 Ejemplo 4. Halle el límite de la función. + + = ( ) + = + = 4 = Ejemplo 4. Halle el límite de la función + π sen 4 Solución El ángulo π está dado en la medida angular de radianes y equivale a 45 (en grados seagesimales) π sen = π ( π 4 4 4sen π 4 ) + = π 4 sen ( π 4 ) = = π + 6 π 6 + = π = 4 π + 6 = π + 6 En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan indeterminaciones del tipo: 0 0,, 0, El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser cero,, un número finito diferente de cero, o bien puede no eistir. Para resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación. Ejemplo. Halle 4 4 = 4 4 = 0 0 = 4 = ( )( + ) = + = + = 4

5 4 +5 Ejemplo = 04 (0) + 5(0) 0 = 0 0 = = ( ) = = 0 (0) + 5 = 5 Ejemplo. Determine Solución = + + = ( )( ) ( )( + ) = ( )( ) ( ) = ( )( ) ( ) + = + = + = Ejemplo 4. Calcule Solución = = = 0 0 = Si observamos la epresión 8 64 = ( ( ) 8 ( 64)( + no es factorizable. Pero sabemos que, (a b)(a + ab + b ) = a b ) (( ( + 4) = 8 ) + ( )() + ) ) = + ( )() + 8 ( 8)( + 8)( ( ) ( + 4) = ) ( + 8)( + + 4) = (8 + 8)( ) = (6)( ) = (6)() = 9

6 Antes de recordar la definición de las funciones trigonométricas se enunciaran algunos resultados matemáticos de gran utilidad. Teorema. Dadas las funciones f() y g(), si f() > g() para valores de (a -, a + ). Si f() = L y a g() = M, entonces L M. a Teorema. (Teorema del Emparedado). Dadas las funciones f(), g() y h(), si f() < h() < g() en un intervalo alrededor de a. Si f() = L = g(), entonces h() = L. a a a Teoremas. Relativos a funciones trigonométricas:. Lim a sen = sena. Lim a cos = cosa. Lim a tan = tana 4. Lim a cot = cota 5. Lim a sec = seca 6. Lim a csc = csca Teorema 4. Sea un número real. Se cumple que: sen. = 0 cos. = 0 0 sen Ejemplo 9. Utilice el método de aproimación y verifique que Lim =. El ángulo está dado en 0 radianes. Construyamos una tabla de valores con el ángulo dado en radianes. - -0,999-0,99-0,8-0,5-0, -0, -0,0 0,00 0,5 y 0,845 0,848 0,8445 0,8967 0,9589 0,99 0,998 0,9999 0,9999 0,9589 0,845 Si observamos el comportamiento de los valores de mientras de aproiman a 0 (cero) los valores de y se aproiman a. Identidades trigonométricas básicas.. sen ;csc ; sen csc csc sen. cos ;sec ;cos sec sec cos Identidades recíprocas. tan ;cot ;tan cot cot tan

7 4. sen cos 5. tan sec Identidades Pitagóricas 6. cot csc sen tan cos cos cot sen Identidades cocientes cos Ejemplo 0. Pruebe que = 0 0 Solución cos + cos = ( cos)( + cos) 0 ( + cos) cos cos = 0 sen. sen 0 + cos = () [ sen(0) + cos (0) ] = () [0 ] = 0 sen4 Ejemplo 8. Determine 0 tan sen4 0 tan = 0 4 sen4 4 sen cos = 4 sen sen cos 0 0 = 4 ( ) = 4 = 4 cos = 0 ( + cos) = sen 0 ( + cos) Ejemplo. Determine 0 cos Solución Por la identidad pitagórica que: sen + cos = cos = sen 0 cos = 0 sen ( = ) 0 0 sen = 0 0 sen = 0 0 sen = = = sen Ejemplo. Determine π ( π ) Solución Consideremos una nueva variable t tal que t = ( π ). Por lo tanto, t = ( π ) Luego, t = π. Así, = π t. Como tiende a π. Entonces, π t = π. Esto es, t = 0, lo cual indica que t 0

8 sen sen ( π π ( π = t) = t 0 t ) π sen t 0 cos t + sen tcos π t = t 0 ()cos t + sen t(0) t cos t = 0 t 0 t Definición: La función f tiende a más infinito cuando tiende al valor a si para cualquier número real positivo M eiste δ > 0 tal que si a < δ entonces f() > M. En adelante para representar a más infinito usaremos el símbolo + y menos infinito como. Definición: La función f tiende a menos infinito cuando tiende al valor a si para cualquier número real negativo N eiste δ > 0 tal que si a < δ entonces f() < N. Definición de Límites Laterales Infinitos. Veamos: f() = + a + f() = a + f() = + a f() = + a Teorema: 0 + Si para cualquier número real positivo M, eiste δ > 0 tal que si a < < + δ entonces f() > M Si para cualquier número real negativo N, eiste δ > 0 tal que si a < < + δ entonces f() < N Si para cualquier número real positivo M, eiste δ > 0 tal que si a δ < < a entonces f() > M Si para cualquier número real negativo N, eiste δ > 0 tal que si a δ < < a entonces f() > M Si k es cualquier entero positivo, entonces: k = +, si k es par k = { +, si k es impar 0 Ejemplo. Dada la función f() = ( ) grafique la función y determine el límite de f() cuando tiende a más infinito.

9 Veamos la gráfica de la función f(). f() ,9 0 0, 0 ( ) = = + Ejemplo 4. Encuentre Calculemos los límites laterales. + = + = = = + = = = = = 0 = 0 Ejemplo 5. Calcule + + = ( ) + = 4 0 =

10 Definición: Decimos que el límite de f() es L cuando tiende a +, si para cualquier ε > 0, eiste M > 0, tal que si > M, entonces f() L < ε. Se denota de la forma + f() = L Definición: Decimos que el límite de f() es L cuando tiende a -, si para cualquier ε > 0, eiste N < 0, tal que si < N, entonces f() L < ε. Se denota de la forma f() = L. Definición: Se dice que una recta, prolongada infinitamente, es una asíntota si al acercarse progresivamente a una curva f() jamás llegan a encontrarse. Veamos algunos ejemplos de funciones que tienen asíntotas. Teorema: + Si k es un entero positivo entonces, = 0 k k = 0 Si se cumple que, f() = k + ó f() = k Entonces, la recta y = k es una asíntota horizontal. Si se cumple que, f() = ± k Entonces, la recta = k es una asíntota vertical.

11 Ejemplo 6. Dada la función f() = +, determine las asíntotas verticales y horizontales, si éstas eisten. Veamos la gráfica de la función f(). Veamos las asíntotas horizontales. + + = = = = = + = + + = = = = Por tanto, la recta y = es una asíntota horizontal. Estudiemos las asíntotas verticales. + + = () + () = + = 5 0 = + = ( ) + ( ) = + = 5 0 = Por tanto, la recta = y la recta = son las asíntotas verticales. Ejemplo 7. Determine las asíntotas de la función f() =. Solución: Veamos la gráfica de la función f().

12 Calculemos la asíntota horizontal. + = = = 0 = = Por tanto, la recta y = es una asíntota horizontal. Calculemos la asíntota vertical. = () = 0 = Significa que la recta = es una asíntota vertical. Observación: Con frecuencia se tiene que una asíntota vertical es un punto en donde el denominador de la epresión cociente a, donde b es cero. b Ejemplo 8. Determine la eistencia de las asíntotas de la función f() = 4 ( ) Observe la gráfica de la función. Calculemos la asíntota horizontal. 4 ( ) = 4 ( + ) = = 4 + = = Por tanto, la recta y = es una asíntota horizontal. Calculemos la asíntota vertical = ( ) 4() () 4() + = = 0 = Significa que la recta = es una asíntota vertical.

13 Las asíntotas oblicuas tienen a forma y = m + b, en la cual m es la pendiente de la recta y b es la componente en la cual la recta corta al eje de las ordenadas. Observe el siguiente gráfico: Método para determinar la pendiente m y la componente b de las asíntotas oblicuas: f() m = b = [f() m] Observación: Si una función f() tiene asíntotas horizontales no tiene asíntotas oblicuas. Ejemplo 9. Calcule las asíntotas oblicuas, si eisten, de la función f() = + Observemos la gráfica de la función dada. Determinemos si eisten las asíntotas horizontales. + = + = + = = 0 =

14 No eiste la asíntota horizontal en la función f(). Determinemos las asíntotas verticales, si eisten. + = + = 4 + = = Por lo tanto, la recta = es una asíntota vertical. Calculemos las asíntotas oblicuas. + f() m = = + = = + + = = = = b = [f() m] = [ ( ) ()()] = [ ] = [ ] b = = = + = Luego, la asíntota oblicua tiene la forma y = +. + Ejemplo 0. Calcule las asíntotas oblicuas, si eisten, de la función f() = 5 + Observemos la gráfica de la función dada. 4 = = = Determinemos si eisten las asíntotas horizontales.

15 = = = No eiste la asíntota horizontal en la función f(). Determinemos las asíntotas verticales, si eisten = ()5 + () 4 = + = 5 0 = = ( )5 + ( ) ( ) 4 ( ) = = 5 0 = = (0)5 + (0) (0) 4 (0) = = 0 0 = = 0 = La función tiene como asíntotas horizontales las rectas y =, y =, y = 0 Calculemos las asíntotas oblicuas. 5 + f() m = = 4 m = 5 + = 5 = = + = = b = [f() m] = [ ()()] = [ ] = [ 5 + ( 4 ) 4 ] b = 4 = 4 = = + = = 0 b = 0 Luego, la asíntota oblicua tiene la forma y = +0, esto es, y = I. Para cada función, establezca el dominio de f. Determine el límite de cada función aplicando las reglas que correspondan.. R: 0 4

16 R: 9 R: 6 R: 5 60 R: R: II. Si al determinar el límite de la función f() resulta de la forma indeterminada, emplee los métodos algebraicos necesarios (división algebraica, factorización, racionalización, entre otros) y calcule el límite que corresponda.. Lim 8 4 R: R: R: + t 4. t 5. +t (+) ( 7) R: t R:4 R: 75 R: 0 R: R: R: 7 III.. Calcule los límites de las siguientes funciones trigonométricas. sen 5 0 tan5. 0 sen sen. π π Sugerencia: Considere t = π R:0 R: 5 R: 5 cos sen 4. π cos 4 R: +sen sen 5. 0 tan R: 6. sen sen β R: senβcosβ β β β

17 cos 7. 0 sen sin 8. 0 tan 9. 0 cos π sen( ) 0 Use sen(a + B) = senacosb + senbcosa R: 0 R: R: R: IV. Determine los límites infinitos. + ) ) ( ) 4) ) 4 6 5) 4 4 V. Determine los límites en el infinito. ) ) + + ) ( 4) 4) ) 4 + VI. Determinen las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si eisten, para cada función dada.. f() = 5 4. f() = +. f() = f() = 5. f() = + +