******* Enunciados de Problemas *******

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1 ******* Enunciados de Problemas ******* CÁLCULO ESCUELA SUPERIOR DE LA MARINA CIVIL DIPLOMADO EN MÁQUINAS NAVALES DIPLOMADO EN NAVEGACIÓN MARÍTIMA ISIDORO PONTE ESMC

2 EL NÚMERO REAL Sea o un número racional e y un número irracional i) Cómo es + y? ii) Cómo es y? i) Eisten dos números irracionales distintos cuya suma sea irracional y su producto racional? Por qué ii) Eisten dos números irracionales distintos cuya suma sea racional y su producto irracional? Por qué iii) Eisten dos números racionales distintos cuya suma o producto sea irracional? Por qué Sea un número real ; i) Puede ocurrir que sea irracional y 6 racional?por qué ii) Puede ocurrir que sea racional y 6 irracional?por qué 4 Probar que entre dos números racionales eiste siempre otro número racional 5 Sean a y b dos números enteros positivos Demuestra que está comprendido entre a b y a + b a + b 6 Demuestra que + es un número irracional 7 Sea r Q / r < Demuestra que siempre eiste un número racional mayor que r ; ( r + h ) / ( r + h ) < h >0 ISIDORO PONTE ESMC

3 8 Sea r Q / r > Demuestra que siempre eiste un número racional menor que r ; ( r h ) / ( r h ) > h >0 9 Sean e y números reales positivos, prueba que se verifica: + y y 0 Sean a, b,c y d Q, I Demuestra que a + b c + d irracional, indicando las ecepciones es Decir que resultados de los siguientes son ciertos: a) ( ) / = = / / b) ( ) = ( ) = ( ) = = Demuestra que: 4 / / / / 4 / / / / / ( a + a b ) + (b + a b ) = ( a + b ) con a > 0 y b > 0 Dados, y R prueba los siguientes resultados: i) Si > 0 / > 0 ii) Si y > > 0 / > / y 4 Sean, y R y + + y + con y prueba entonces que: 5 Usando el resultado del ejercicio anterior resuelve: ISIDORO PONTE ESMC

4 Sean, y y z 0 números reales, verificando que y z + y z, prueba entonces que: y + z 6 Resuelve la desigualdad: + 4 > 7 Calcula el conjunto de números reales, solución a la inecuación: 7 > 5 8 Sean, y R con 0 < < y prueba entonces que entre y e y se encuentran los números y + y Cuál de ellos + y es mayor? 9 Resuelve la ecuación: = 0 0 Desarrolla : ln 7 a c Resuelve la ecuación: log log 0 + = Resuelve el sistema: y y = y = Resuelve el sistema: ln y ln = ln y = y 4 ISIDORO PONTE ESMC 4

5 4 Dado el polinomio: P ( ) = ( a ) + ( a ) + ; calcula los valores de a en el campo real para los que P ( ) 0 R 5 Demuestra que dada una ecuación : n n a + a + L + a = 0 con coeficientes a Z, las raices 0 racionales y q primos entre sí ) n p q han de ser tales que a = p n i y a = q 0 ( p ISIDORO PONTE ESMC 5

6 EL NÚMERO COMPLEJO Sean z = + y i y z = + y i dos números complejos Comprueba que z mod z z z mod = = z mod z z z Demuestra que : z + z + z z = ( Z + Z ) Describir geométricamente el conjunto de los afijos de los números complejos z que cumplen las condiciones: a) z < b) z y parte real de z > c) z z = i d) z + z = z 4 a) Describir geométricamente el conjunto de puntos z del z plano complejo que verifican la ecuación: = z + b) Calcula el lugar geométrico de los afijos de los números complejos z que verifican : arg z π = z Encuentra los números complejos z que verifican : z z + arg z z + π = 4 = y ISIDORO PONTE ESMC 6

7 6 Calcula dos números complejos z y z tales que: z + z = i z z = i 7 Halla a y b para que unidad b ai 4 i sea real y de módulo 8 Dado el complejo z = ( i ), calcula su módulo y su argumento 9 Calcula: a) 5 + i 6 + i b) Halla las raíces : a) b) Calcula las raices de 5º grado de la unidad imaginaria,epresándolas en forma binómica ( con dos decimales ) a) Descompón en factores de primer grado : 5 b) Descompón en factores de primer y segundo grado con coeficientes reales : 5 Deterrmina los números complejos a + bi cuyo cuadrado es igual a su conjugado 4 Calcula los números complejos cuyo cuadrado coincide con el opuesto de su módulo 5 Calcula todos los números complejos que multiplicando su cubo por su conjugado se obtenga la unidad imaginaria ISIDORO PONTE ESMC 7

8 6 Sea z un número complejo que verifica z el máimo valor que puede tomar z? + = Cuál es z 6 7 Resuelve : z z + = 0 8 Resuelve la ecuación: z 6 + = z 9 Las soluciones del ejercicio anterior son aproimadas Se podrían calcular eactas? Cuales serían sus valores? 5 0 Calcula : a) + i b) 4 + i a) Simplifica la epresión: e 4 k + ( ) π + π i b) Comprueba que i = e k Z 4 4 e ( i + ) Calcula : a) ln i b) i i c) lg ( ) 0 Calcula : a) ln ( i ) b) ln + i i 4 Calcula: a) ln ( + i ) b) ( + i ) i c) ( ) i cos i d) i 5 Calcula las siguientes potencias complejas: a) e b) ( ) c) ( ) ( i + i ) d) ( ) i i i e) [ + i ] ( ) ( + i + π i 4 ISIDORO PONTE ESMC 8

9 6 Calcula: z = lg ( 4 4 i )( + i ) usando el logaritmo principal 7 Calcula: i ( + i ) usando el logaritmo principal + i ( i ) 8 Calcula: i usando el logaritmo principal 9 Epresa el siguiente complejo en forma binómica ( con cuatro + i decimales): ln ( + yi ) sabiendo que: ( 6 + i )( + yi ) = i, usando el logaritmo principal 0 Calcula el valor de a y b R para que se verifique la igualdad: e a + bi ln 4 + i = 7 π 4 Epresa en forma binómica el valor principal del complejo + yi con = i i, y = sen α siendo α = arg( + 4i ) 4 Resuelve la ecuación: z + z + z + z + = 0 nota: sabemos que ( n n + n ) ( ) = ( n + L ) Resuelve la ecuación: cos z = 4 4 Resuelve la ecuación: sen Z = i, epresando el resultado en forma binómica 5 Resuelve la ecuación: tg ( ) zi = Calcula el complejo z de menor módulo que verifica esta ecuación ISIDORO PONTE ESMC 9

10 6 Calcula, si tiene, las soluciones de la ecuación: (tg z ) i = 7 Resuelve la ecuación: z + i = z ln( i ), usando el logaritmo principal 8 a) Halla las soluciones de la ecuación: (tg z ) i = b) Resuelve la ecuación : tg z + i = 0 9 Sea z un número complejo, calcula el valor de sen z + cos z 40 Resuelve la ecuación: sen z + cos z = 4 Calcula : c tg i 4 Encuentra, si eiste, > 0 número real tal que ( ) ( ) imaginario puro, usando valores principales sea Calcula los valores del complejo: i i i i epresando los resultados en forma binómica 4, 44 Calcula, epresando los resultados en forma binómica,los valores del complejo: ( + i ) ( + i ) ( + i ) ( + i ), 45 Calcula cuanto vale el producto de las raíces n ésimas de la unidad (n > ) ISIDORO PONTE ESMC 0

11 46 Demuestra que la suma de de las raíces n ésimas de la unidad es 0 (n > ) 47 Calcula el valor de la suma de la suma de las raíces n ésimas de la unidad negativa (n > ) 48 Sabiendo que la suma de las raíces n ésimas de la unidad es 0 Calcula el valor de cos π cos 4 π cos (n ) π n n n 49 Sabiendo que la suma de las raíces n ésimas de la unidad es 0 Calcula el valor de sen π sen 4 π sen (n ) π n n n 50 Encontrar una condición necesaria y suficiente para que tres puntos del plano complejo z, z y z estén en linea recta ISIDORO PONTE ESMC

12 FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL LÍMITESCONTINUIDAD Dada la función f ( ) =, calcula : a) f( ) b) f( ) c) f ( a + ), f(a)+ d) f ( a ), [ f ( a )] + Dada la función: f ( ) =, calcula : a) f b) f ( ) 4 Dada la función: f ( ) =, calcula: + a) f b) f c) f c) f ( ) c) f ( ) 4 Sea f ( ) = ln + a + b, comprueba que f ( a ) + f (b) = f + a b 4 si < 0 5 Sea f ( ) = si =, calcula: si < a) f( ) b) f(0) c) ( ) f d) f(8) ISIDORO PONTE ESMC

13 6 Dada la función f( ), f( ), f(0), f ( π 4 ), f( ) + si < 0 tg si 0 < π si π < π, f( π ) y f(8), Calcula : 6 7 Calcula f ( ) = + para los puntos en los que 6 + = 4 8 Halla una función de la forma: f ( ) = a + b + c + d,verificando las condiciones: f( )= 4, f(0)=, f()= y f()=56 9 Halla una función de la forma : f a be ( ) = + + ce, verificando las condiciones: f(0)=5, f() = e(+e), f ( ) = e ( + e ) 0 Halla el dominio natural de definición de las funciones: a) y = + b) y = + 6 Halla el dominio de definición de las funciones: a) y = b)y = + + Halla el campo de definición de las siguientes funciones: a) y = cos b) y = ln sen Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = ln 5 b) y = ISIDORO PONTE ESMC

14 4 Halla el recorrido de las siguientes funciones: a) y = cos b) y = ln sen 5 Construir las gráficas de las siguientes funciones: a) y= + 5 b) y = + c) y = cos 4 6 Construir las gráficas de las siguientes funciones: a) y = b) y = + 7 Construir las gráficas de las siguientes funciones: a) y = lg b) y = lg con >0 8 Representa gráficamente la función: + si 0 f ( ) = 4 si < < 9 Representa la función: f ( ) = cos si π 0 si 0 < si < 5 0 Sean f ( ) = ln y g ( ) = +, calcula si se puede: a) ( f o g )( ) b) ( g o f )( 4 ) c) ( g o f )( 5 ) Halla las composiciones de las funciones: 4 a) f ( ) = sen b) g ( ) = ln ISIDORO PONTE ESMC 4

15 Halla la recíproca de las siguientes funciones: a) y = 4 ln b) y = y Dada una función en forma implícita e + e = a, calcula la función recíproca siendo a R Qué relación eiste entre ambas funciones? 4 Prueba que la función recíproca de f ( ) = + es ella misma 5 Dada la función f ( ) = con D = R { } : f a) Calcula una función g tal que ( g o f o f ) sea la identidad b) Dominio de ( g o f o f ) 6 Sabiendo que f (cos ) = e, calcula sen f ( ) 7 Estudia la simetría de las siguientes funciones: 4 a) f ( ) = ln ( ) b) f ( ) = ln 4 + c) f ( ) = Estudia la simetría de las siguientes funciones: 4 a) f ( ) = b) f ( ) = ( + ) 9 Demuestra utilizando la definición de límite de una función en un punto, que lim = 9 Halla un valor de δ cuando ε = 0, 0 0 Demuestra que : ISIDORO PONTE ESMC 5

16 a) lim = b) lim 4 + = 0 + Demuestra que: a) lim = b) lim = + Demuestra que: a) lim = 0 b) lim + = + + Demuestra que: lim = 4 Demuestra y comprueba que: lim = Calcula los siguientes límites: a) lim n b) lim + c) lim n + n 6 Calcula los siguientes límites: a) lim b) lim 7 Halla los siguientes límites: a) lim b) lim ( + ) + 8 Calcula: lim 5 ISIDORO PONTE ESMC 6

17 9 Calcula: lim 0 + ln( + ) ln( + ) 40 Calcula: lim 0 + ln( + ) ln( + ) 4 Calcula: lim 0 + ln( + ) ln( + ) 4 Calcula: lim 0 ln e ( + ) ln e Calcula: lim Halla los límites laterales cuando de : a) f ( ) = + si 6 si > b) f ( ) = n n t * + 45 Dada la función: f ( ) =, n N par t R fijo t Calcula: lim f() con + `y con ` 46 Dada la función : f ( ) eiste, lim f ( ) 0 = si 0 sen 0 si = 0 estudia, si ISIDORO PONTE ESMC 7

18 47 Calcula: lim con Calcula: lim con Dada la función: f ( ) = sen 5 4 Calcula, si eiste, lim f ( ) 0 50 Teniendo en cuenta que cada número real se obtiene como el límite de una sucesión de números racionales y también como el límite de una sucesión de números irracionales Demuestra si Q que la función: f ( ) = no tiene si Q I límite en ningún punto de R {0} no lim f ( ), a R { 0 } a 5 Demuestra que toda función polinómica, con coeficientes reales, es continua en todo R 5 Sea f() una función continua, demuestra que f ( ) también es una función continua 5 Demuestra que la función de DIRICHLET si Q f ( ) = es discontinua en todo R 0 si R Q ISIDORO PONTE ESMC 8

19 54 Dada la siguiente función de dominio todo R 0 si Q f ( ) = c si R Q calcula c para que f sea continua en todo R 55 Escribe una función que sólo sea continua en un punto en todo su dominio de definición 56 Sabemos que si: f es continua en R f es continua en R Al revés el resultado no es cierto, es más eisten funciones reales de variable real, tales que f es continua en R y f es discontinua en todo R, pon un ejemplo de una de ellas 57 Demuestra que dada una función continua, ésta puede ponerse como diferencia de dos funciones positivas y continuas 58 Estudia el intervalo de continuidad de la función: f ( ) = + si 59 Dada la función: f ( ) = si < < si 4 continuidad en los puntos = y = Estudia la + 4 si < 60 Sea la función: f ( ) = Calcula a para + a si que dicha función sea continua en R ISIDORO PONTE ESMC 9

20 si 6 Dada la función: f ( ) = a + b si < Calcula a y si < b para que dicha función sea continua en R 6 Dada la función f()=e() (parte entera de ), estudia su continuidad 6 Estudia la continuidad de la función: f ( ) = Estudia la continuidad de la función: f()=+ E() 65 Dada la función f()= E(), estudia su continuidad 66 Estudia si eisten puntos de discontinuidad y de que tipo en la + si 0 función: f ( ) = + si > 0 67 Estudia la continuidad de la función: ( 5 ) ln( 4 5 ) si 5, f ( ) = 0 si = 5 si = 68 Estudia la continuidad de la función: ( 5 ) ln( ) si 5, f ( ) = 0 si = 5 si = ISIDORO PONTE ESMC 0

21 69 Estudia la continuidad de la función: + si 0 f ( ) = 0 si = 0 70 Estudia la continuidad de la función: sen si 0 f ( ) = si = 0 7 Estudia la continuidad de: f ( ) = Estudia la continuidad de la función: cos si 0 f ( ) = + si 0 < < si 7 Estudia la continuidad de la función: sen si 0 f ( ) = 0 si = 0 ISIDORO PONTE ESMC

22 74 Calcula, si eiste, a para que la función siguiente sea continua tg e tg si π en = π, f e + ( ) = a si = π 75 Demuestra que la función: f ( ) = recta real si se define f( )= + es continua en toda la 4 76 Demuestra que la función: f ( ) = e recta real si se define f(0)= 0 es continua en toda la 77 Dadas las funciones: f()= ln y g ( ) = e +, estudia el intervalo de continuidad de ( g o f ) y de ( f o g ) 78 Estudia la continuidad de la función h ( ) = e como composición de funciones cos, obtenida 79 Estudia la continuidad de la función h ( ) = e como composición de funciones tg, obtenida 80 Corta la función f ( ) = al eje de abcisas? Y 4 la función f ( ) =? + 8 Demuestra que la siguiente ecuación admite al menos una raíz real: sen = 0 8 Resolver las ecuaciones siguientes, por aproimación: a) e + = 0 b) e = 0 ISIDORO PONTE ESMC

23 8 Resuelve, por aproimación, la ecuación: 4 = 0 84 Halla con un error menor que una diezmilésima una raiz de la ecuación e = 0 85 Dada la función: f ( ) = +, demuestra que corta al eje de abcisas en tres puntos Determina uno de esos puntos con un error menor que una décima 86 Estudia la continuidad de la función: si + e f ( ) = 0 si = 87 Estudia la continuidad de la función: + e si 0 e f ( ) = si = 0 88 Estudia la continuidad de la función: sen si 0 + e f ( ) = si = 0 ISIDORO PONTE ESMC

24 89 Sea f: [ 0, ] [ 0, ] definida y continua en [ 0 ] Demuestra que [ 0, ] / f ( ) = 90 Sea f: [ 0, ] [ 0, ] definida y continua en [ 0 ] Demuestra que [ 0, ] / f ( ) =,, 9 Sean f y g continuas en [ a, b ] tales que f(a)>g(a) y f(b)<g(b) α ( a, b ) / f ( α ) = g ( α )?Demuéstralo 9 Sean f y g continuas en ( a, b ) tales que f(a)>g(a) y f(b)<g(b) α ( a, b ) / f ( α ) = g ( α )?En caso afirmativo demuéstralo, y en caso negativo, escribe un ejemplo con el que se vea que no es cierto 9 Demuestra que para todo número real positivo eiste una única raiz n ésima positiva 94 Sea [ ] f: a, b R definida tal que f ( a ) f (b) y sólo toma una vez cada uno de los valores comprendidos entre a, b? f(a) y f(b) Implica esto que f es continua en [ ] 95 Sea la función: f ( ) = + + Se puede afirmar que toma 7,? todos los valores en el intervalo imagen [ ] 96 Toma la función: f 4 ( ) intervalo [, ]? el valor 7 dentro del 97 Sea f una función continua en todo R verficando que Im f Q Prueba que f es constante ISIDORO PONTE ESMC 4

25 98 Dada la función f ( ) = está acotada en el intervalo [ ] [ 0, ]? Se puede afirmar que +, 0? Y en el intervalo 99 Demuestra que la función f ( ) = 0, continua en ( ) es uniformemente 00 Demuestra que la función f ( ) = no es uniformemente continua en ( 0, ) ISIDORO PONTE ESMC 5