Ejercicio nº 1.- a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: 1. k 100. Solución: k 100. log. Ejercicio nº 2.-

Transcripción

1 Ejercicio nº.- a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: log 7 log log 8 b) Si,7 calcula k log k log. ) 7 7 a log log log k b) log log k log logk log logk log,7,,77 Ejercicio nº.- Obtén el término general de cada una de las siguientes sucesiones: a) ;,8;,6;,; b), 9, 8, 6, 6, a) Es una progresión geométrica con a r,. Por tanto: b) a n a n, n n ( )

2 Ejercicio nº.- Resuelve: a) 6 b) < a ) ± 9 6 ( ) 6 6 ( ) < 6 ( ) b ) < 6 ( ) ( ) ± (, ) < intervalo Ejercicio nº.- Resuelve el siguiente triángulo: b m, c 6 m, Cˆ

3 Aplicamos el teorema de los senos para hallar el ángulo Bˆ : b c 6 ˆ ˆ ˆ senb senc senb sen ˆ sen,7; ˆ senb B ' " 6 El ángulo Aˆ será : ˆ A 8 C ( ˆ ˆ B ) 9 ' 9" Para hallar el lado a, aplicamos de nuevo el teorema de los senos: a c a 6 a ˆ ˆ sena senc sen(9 '9") sen,8 m Por tanto, la solución es: a,9 m; Aˆ 9 ' 9" b m; Bˆ ' " c 6 m; Cˆ Ejercicio nº.- a) Demuestra la igualdad: ( cos sen ) ( cos sen ) cos b) Resuelve la ecuación: cos sen tg a) ( cos sen ) ( cos sen ) cos sen sen cos ( cos sen sen cos ) cos cos sen cos b) cos sen ( sen ) sen cos sen sen cos tg

4 cos sen sen sen sen sen sen sen sen sen ± 9 6 ± sen sen sen (no vale) sen π 6 k k π 6 con k π 6 k k π 6 Z Ejercicio nº 6.- a) Escribe en forma binómica z b) Halla su opuesto su conjugado en forma binómica polar. c ) Representa z, z z. a) z b) Opuesto: z i c) ( isen ) cos i i Conjugado: z i Z i i Z Z Ejercicio nº 7.- Halla: ( i ) 8 a) i i b) 7i

5 ( i ) 8 ( i ) ( i ) 6i i i i ( i ) ( i ) ( ) ( i ) a) 6i ( i ) 8i 6 8i i 9 i i i b) 7i 7 para n 9 Las tres raíces son: 9 6 n n,, i i i 7 i ( ) i i Ejercicio nº 8.- Halla el valor de k para que los puntos A (, ), B(, ) C(, k) estén alineados. Para que estén alineados, las coordenadas de AB de AC han de ser proporcionales : AB AC (, 7) ( 7, k ) k 7 9 ( k ) 9 k k 7 Ejercicio nº 9.- (, ) respecto a la recta. Halla las coordenadas del punto simétrico de P

6 M P (,) r : P' Hallamos la recta, s, perpendicular a r que pase por P: : s k k k Hallamos el punto de corte, M, de r s:, 9 9 M ( ) : entonces,, ' si Así,. punto medio de el es P PP' M, 9, , 8 ' tanto, Por P Ejercicio nº.- Halla la ecuación de la circunferencia cuo centro es el punto P (, ), que es tangente a la recta r :. El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro, P (, ), a la recta tangente, r : :

7 9 R dist ( P, r ) 6 9 La ecuación de la circunferencia será: ( ) ( ) ; es decir: 6 ( ) ( ) 6 6 Ejercicio nº.- Calcula los límites siguientes representa gráficamente los resultados que obtengas: a) lim b) lim c) lim a) lim b) lim c) lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hallamos los límites laterales: lim ; lim Representación: lim

8 Ejercicio nº.- Calcula f' ( ) en cada caso: a) f ( ) 8 ( ) ( ) e b) f c) f ( ) sen ( ) 6 a) f ' ( ) ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e b) f ' c) f ' ( ) cos cos ( ) ( ) ( ) cos Ejercicio nº.- a) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva b) Halla los tramos en los que f f ( ) en el punto de abscisa. ( ) es creciente en los que es decreciente. ( ) a) f ' 6

9 La pendiente de la recta es f Cuando, La recta será: 8. ' ( ). ( ) 8 8 b) Estudiamos el signo de la derivada: 6 > > 6 < 6 6 < < 6 > 6 < > Es creciente en, decreciente en,, tiene un máimo en. Ejercicio nº.- a) Estudia la continuidad de la siguiente función: f ( ) si si > b) Represéntala gráficamente. a) Si Si, : la función es continua. ( ) lim ( ) lim f Son distintos. La función es discontinua en lim f ( ) lim ( ). b) Si Si >,, La gráfica es: Y es un trozo de parábola. es un trozo de recta. X

10 Ejercicio nº.- a) Representa gráficamente la siguiente función: f ( ) 8 b) Audándote de la gráfica, estudia el dominio de f (), su continuidad los intervalos de crecimiento decrecimiento de la función. ( 8 ) ; lim ( 8 ) a) lim - Puntos de corte con los ejes: Con el eje X 8 Punto (,) 8,8 Punto (-,8; ) 8,8 Punto (,8; ) Con el eje Y Puntos singulares: f '( ) Gráfica: 6 ( ) ( 8) Punto (, ) Punto (,) Punto (, 6) Punto (, 6) Y X b) Dominio R Es una función continua. Es decreciente en,, creciente en,, ( ) ( ) ( ) ( ) Ejercicio nº 6.- a) Representa gráficamente la siguiente función:

11 ( ) f b) A partir de la gráfica, estudia la continuidad los intervalos de crecimiento de decrecimiento de f ( ). { } a) Dominio R, Puntos de corte con los ejes: Con Con el eje el eje X Y Punto (, ) Punto (, ) Asíntotas verticales:. lim lim f f ( ) ; lim f ( ) ( ) ; lim f ( ) Asíntota horizontal: lim f ( ) ; lim f ( ) Puntos singulares: f ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Gráfica: Punto (, ) Y X b) Continuidad: Si, es continua. En en es discontinua, pues tiene dos ramas infinitas (asíntotas verticales). Decreciente en (, ) (, ) creciente en (,) (, ).

12 Ejercicio nº 7.- Las estaturas los pesos de cinco personas vienen recogidas en la siguiente tabla: Estatura (cm) Peso (kg) 8 6 Halla el coeficiente de correlación la recta de regresión de esta distribución. Qué podemos afirmar acerca de la relación entre estas dos variables? Llamamos a la estatura e al peso. i i i i i i Medias: 79 8; 77, Desviaciones típicas: σ σ. 8.99, 6,6 7,8,6.8 Covarianza : σ 8,,8, 8 Coeficient e de correlación : r, 7, 8, 6 Recta de regresión: m,8,,, 6 ( 8), 9, 6

13 La relación entre las dos variables es positiva (a maor estatura, maor peso), pero débil. Ejercicio nº 8.- [ A] ; P ( B' ) P [ A' B' ] De dos sucesos, A B, sabemos que: P Calcula P [ A B], P [ A B] P [ B A' ]. [ A B' ] P [ ( A B' ) ] P[ A B] P [ A ] P ' B P [ B' ] P [ B] P [ ] [ A B] P A B P B P [ B A ] [ ] P [ B A' ] P ' P [ A' ] [ B] P [ A B] P [ A] 6 Ejercicio nº 9.- En una empresa, el % de los trabajadores son mujeres. El % de los hombres ocupa un puesto directivo el % de la mujeres también. Si elegimos una persona de la empresa al azar, calcula la probabilidad de que: a) Ocupe un puesto directivo. b) Sea una mujer, sabiendo que ocupa un puesto directivo. Hacemos un diagrama en árbol: [ D],,, 7 a) P

14 [ M D] P [ D] P, b ) P [ M D],7,7 Ejercicio nº.- Lanzamos un dado cinco veces seguidas. Calcula la probabilidad de obtener: a) Más de tres unos. b) Ningún uno. Se trata de una binomial B,. 6 a) P 6 6, b) P 6 6 [ > ] P [ ] P [ ] 6 [ ], Ejercicio nº.- El cociente intelectual es una variable cua distribución es N (, 6). Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un cociente intelectual: a) Superior a. b) Entre 9. es N (, 6) z es N (, ) a) P z 6 P z,,89 [ > ] P z > P [ >, ] [ ], 6 9 b) P [ 9 < < ] P < z < 6 6 P,6 < z <,6 P z <,6,77 [ ] [ ], 7

15 ,6,6 Ejercicio nº.- La probabilidad de que un determinado producto salga defectuoso es del,%. Si se han fabricado productos, cuál es la probabilidad de que haa menos de defectuosos? ( ;, ), tenemos que calcular P [ ]. Si llamamos B < Lo hacemos aproimando con una normal:. µ n P, ; σ npq, Entonces: es B Así: P ( ;, ) ' es N( ;, ) z es N (, ) 9,, [ < ] P [ ' 9, ] P z P [ z 6,]