11 Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

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1 Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Página 7 A través de una lupa a) A = + d " A = " + d b) A = 0 d "+ Ruido y silencio I = + d " 0 I = 0 d "+ Página 7 a) Verdadero b) Verdadero c) Verdadero d) Verdadero e) Falso f) Falso g) Verdadero h) Verdadero i) Verdadero j) Falso a) Rama infinita en = (asíntota vertical). b) Discontinuidad evitable en = 0 (le falta ese punto). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Salto en =. a) Está definida y es continua en todo Á. b) Está definida y es continua en (, ]. c) Está definida y es continua en todo Á. d) La función es continua en el intervalo en el que está definida: [0, ). Página 76 Página 78 a) b) 0 c) d) Página 79 Hazlo tú. La función es continua en =. f () = " 0 f () = 7 " Hazlo tú. k = Página 8 Hazlo tú. a) = + " 0 = " + 0 b) = " 0 = " + 0,,9,99,999 f() f () = ",,9,99,999 f() f () = + ",,9,99,999 f(),66 7,6 7,9 7,99 f () = 8 " c) " ( ) = + " + ( ) = + 9

2 Hazlo tú. a) " 8 + = b) " 0 = Página 8 a) 0 b) c) 0 d) + Hazlo tú. a) El límite no eiste. a) b) 0 c) + d) b) El límite de esta función cuando 0 es +. Página 8 a) b) c) f () = + f () = + 0 = 0 f () = f () = + 0 = + d) El límite cuando tiende a no tiene sentido porque la función está definida para 8. Página 8 a) b) c) d) f () = f () = f () = + f () no eiste. Página 8 a) b) + c) d) 0 e) 0 f) Por ejemplo, para = 000, f () = # Por ejemplo, para = 000, f () = 0, = + e) No tiene sentido calcular ninguno de los dos límites porque el dominio de definición de la función es el intervalo =, G. f) a) b) c) d) = 0 f () = + = El límite cuando tiende a + no tiene sentido porque la función está definida solo cuando. f () = 0 f () = + f () = f () = 0 f () = f () = 9

3 Página 87 a) La recta = es una asíntota vertical. La recta y = es una asíntota horizontal. Cuando 8 +, la función está por encima de la asíntota. Cuando 8, la función está por debajo de la asíntota. No tiene asíntotas oblicuas. b) La recta = es una asíntota vertical. No tiene asíntotas horizontales. La recta y = + 6 es una asíntota oblicua. Cuando 8 +, la función está por encima de la asíntota oblicua. Cuando 8, la función está por debajo de la asíntota. c) La recta = 0 es una asíntota vertical. La recta y = 0 es una asíntota horizontal. Cuando 8 +, la función está por encima de la asíntota horizontal. Cuando 8, la función está por debajo de la asíntota. No tiene asíntotas oblicuas. d) La recta = 0 es una asíntota vertical. La recta y = 0 es una asíntota horizontal. La función está por debajo de la asíntota horizontal. No tiene asíntotas oblicuas. e) Las rectas = y = son asíntotas verticales. La recta y = 0 es una asíntota horizontal. La función queda por encima de la asíntota horizontal. No tiene asíntotas oblicuas. c) Tiene una rama parabólica cuando 8 y otra cuando 8 +. d) Asíntotas verticales: = 0, = Asíntota horizontal: y = e) Asíntotas horizontal: y = f) Asíntota oblicua: y = Página 89 a) Asíntota: y = 0 g) Asíntota vertical: =. Asíntota oblicua: y = + b) Asíntota: y = 0 9

4 h) No tiene asíntota vertical y las ramas en el infinito son parabólicas. Página 9 6 Hazlo tú. a) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = Página 90 a) Verdadero b) Verdadero Página 9 b) No tiene asíntotas verticales. y = es asíntota oblicua. Hazlo tú. En = 0, ( ) = " 0 En = no eiste el límite. Esta función es discontinua en =, porque el límite en ese punto no eiste. Tiene un salto finito en él. Para los demás valores de, la función es continua porque está formada por trozos de rectas. Hazlo tú. a) 0 b) Página 9 Hazlo tú. k = Hazlo tú. a) b) c) f ( ) = + f ( ) = + f ( ) = f ( ) = f ( ) = + f ( ) = d) f () = f () = Página 9 f () = f () = 0 El límite en = 0 no eiste. a) b) 0 c) + a =, b =, c = a) No tiene asíntotas verticales. y = 0 es una asíntota horizontal. Tiene una rama parabólica cuando

5 b) No tiene asíntotas verticales. y = 0 es una asíntota horizontal. Tiene una rama parabólica cuando 8. c) = es una asíntota vertical. Tiene una rama parabólica en el infinito. La función no tiene asíntotas, tiene dos ramas parabólicas hacia arriba cuando 8 y f () = = = g() Las gráficas de f ( ) y g () son iguales. Página 9 a) Discontinuidad de tipo IV en =, porque el valor de la función no coincide con el límite en el punto. b) Discontinuidad de salto finito (tipo II). La función eiste en =, pero los límites laterales, aunque eisten, son distintos. c) Discontinuidad de salto infinito (tipo I). Tiene un asíntota vertical por la izquierda en =. d) Continua. e) Discontinuidad de salto infinito (tipo I). Tiene una asíntota vertical en =. f) Discontinuidad de tipo III. La función no está definida en =, pero eiste el límite en dicho punto. a) Discontinuidad de tipo III en =. Discontinuidad de salto finito en = (tipo II). b) Discontinuidad de salto infinito en = (tipo I). Discontinuidad de tipo III en =. c) Discontinuidades de salto finito en = 0 y = (tipo II). d) Discontinuidades de salto infinito en = y = (tipo I). a) La función tiene una discontinuidad de tipo III. b) Tiene una discontinuidad de tipo IV. c) Esta función es continua. d) La función tiene una discontinuidad de salto infinito (tipo I). a) Continua en. b) La función es continua en su dominio de definición, es decir, en {, 0}. c) La función es continua en c, F. d) La función es continua en (, + ). e) La función es continua en. f) La función es continua en. a) + b) c) d) 0 e) f) 0 6 a) III b) I c) II Ninguna es continua en =. 7 a) b) 0 c) d) e) f) g) h) e 8 a) b) c) 9 a) La función es continua en =. b) La función tiene una discontinuidad de tipo III en =. c) La función tiene una discontinuidad de salto finito (tipo II) en = 0. d) La función es continua en =. e) La función es continua en =. Página 96 0 a) La función no es discontinua en ningún punto. a) 0 b) Esta función tiene una discontinuidad de tipo IV en =. c) La función no tiene discontinuidades. d) En el punto = hay una discontinuidad de salto finito (tipo II). b) f () no eiste. c) 8 " a) No eiste el límite. b) c) a) b) c) d) e) g) f ) h) 9

6 a) " = = ± 0 Si 8 8 f () 8 Si f () 8 + a) b) " 0 + = Si f () 8 Si f () 8 + b) + " = + Si 8 8 f () 8 + Si f () 8 c) " = = ± + 0 Si 8 8 f () 8 + Si f () 8 c) = ± " 0 + Si f () 8 + Si f () 8 d) + = ± " + + Si 8 8 f () 8 Si f () 8 + d) " 0 0 = 0 96

7 " e) = b) = + = + f) 8 = ± " + Si 8 8 f () 8 Si f () 8 + c) (7 ) = (7 ) = + 6 a) b) c) e d) 7 a) b) c) 8 a) f () = f () = + f () = + f () = 0 f () = f () = ( 0) = + ( 0) = d) e) ( ) = ( ) = [ ( ) ] = [ ( ) ] = 97

8 f) (7 ) = d) f () =0 (7 ) = + " f () = 0 e) f () = " f () = g) ( ) = + ( ) = + f ) f () = " f () = + g) f () = h) [( + ) ] = + [( + ) ] = " f () = h) f () = " f () = 9 Resuelto en el siguiente ejercicio 0. 0 a) " f () = 0 f () = 0 a) f () = + f ()= b) f () = + " f () = b) f () = c) " f () = 0 f () = 0 f () = 98

9 c) f () = 0 h) f () = f () = 0 f () = d) f () = f () = a) f () = b) f () = f () = 0 f () = + a) 0 b) 0 c) 0 d) Página 97 e) f () = 0 f () = 0 Asíntota vertical: = Si 8, f () 8 + Si 8 +, f () 8 Asíntota horizontal: y = Si 8, f () > 0 Si 8 +, f () < 0 f ) f () = 0 f () = 0 6 a) Asíntotas: = ; y = g) f () = f () = + b) Asíntotas: = ; y = 99

10 c) Asíntotas: = ; y = c) Asíntotas: = 0; y = d) Asíntotas: = ; y = 0 d) Asíntota: = e) Asíntotas: = ; y = 0 e) Asíntotas: = ; y = 0 f) Asíntotas: = ; y = f) Asíntotas: =, = ; y = 0 7 a) Asíntota: y = 8 a) y = b) y = + b) Asíntota: y = 0 c) y = d) y = + 00

11 e) y = f) y = a) El límite no eiste en el punto = y tiene una discontinuidad de salto finito (tipo II). 9 a) Asíntotas: = ; y= 6 8 b) La función es continua b) Asíntotas: y = 6 c) Asíntotas: y = ; =, = 6 d) Asíntotas: = ; y = 6 0 a) k = b) k = / c) k = a) Si k =, la función es continua en =. En = 0 tiene una discontinuidad de salto infinito (tipo I). En el resto de los puntos es continua. b) Si k =, la función es continua en =. En = tiene una discontinuidad de salto infinito (tipo I). En el resto de los puntos es continua. a = y b = 0 a) 0 b) c) d) 0 e) + f ) a) b) c) d) e) f) g) h) f () = + f () = + f () = + f () = f () = + f () = f () = + f () = + Página 98 f () = 0 f () = f () = f () = + +log f () = " f () = + f () = " + f () = + 6 a) f () = ± * f () =+ 8 0 " 0 f () = ; f () = " b) " c) " g () = h () = Las asíntotas verticales son: De f (), la recta = 0. De g(), la recta =. De h (), la recta = 0. g() = g () = ± 8 * " g() =+ 8 + h () = + h () = " 0 " 0

12 7 a) La recta = 0 es una asíntota vertical. Si 8 0, f () 8 + Si 8 0 +, f () 8 La recta y = es la asíntota oblicua. Si 8 +, f () va por debajo de la asíntota. Si 8, f () va por encima de la asíntota. b) La recta = es una asíntota vertical. Si 8, f () 8 Si 8 +, f () 8 + La recta y = + es la asíntota oblicua. Si 8 +, f () va por encima de la asíntota. Si 8, f () va por debajo de la asíntota. c) La recta = es una asíntota vertical. Si 8, f () 8 + Si 8 +, f () 8 La recta = es una asíntota vertical. Si 8, f () 8 Si 8 +, f () 8 + La recta y = + es la asíntota oblicua. Si 8 +, f () va por encima de la asíntota. Si 8, f () va por encima de la asíntota. d) La recta = es una asíntota vertical. 8 Si 8, f () 8 Si 8 +, f () 8 + Tiene ramas parabólicas de crecimiento cada vez más rápido y ambas son hacia arriba. + = = ± 0 La recta = 0 es una asíntota vertical. " 0 Si 8 0, f () 8 Si 8 0 +, f () =. La recta y = es una asíntota horizontal por la derecha. + horizontal por la izquierda. Si 8 +, f () = encima de la asíntota. Si 8, f () ( ) = está debajo de la asíntota. =. La recta y = es una asíntota + > 0, la función está + + < 0, la función 9 a) Realiza 6 montajes el primer día. b) 0 a) Realiza montajes el décimo día c) Se aproima a 0, pues t "+ 0t = 0. t + t 0 6 f(t) El número crece pero de una forma cada vez más lenta. b) El crecimiento tiende a estabilizarse. a =, b = No puede tener asíntota oblicua. a =, b = 0 a) Asíntotas verticales: = y =. Posición: Si 8, f () 8 Si 8 +, f () 8 + Si 8, f () 8 Si 8 +, f () 8 + Asíntota oblicua: y = Posición: Si 8 +, f () > Si 8, f () < b) Asíntotas verticales: = Si 8 +, f () 8 + Si 8, f () 8 Asíntota horizontal: = Si 8 +, f () > Rama parabólica hacia arriba de crecimiento cada vez más rápido en. 0

13 a) b) 6 a =, resultando ser el límite igual a 8. c) d) Solo tiene sentido el estudio de las asíntotas verticales. f () = en el intervalo [0, π]. sen = 0, = π, = π son asíntotas verticales. Posición: Si 8 0 +, f () 8 + Si 8 π, f () 8 + Si 8 π +, f () 8 Si 8 π, f () 8 g () = en el intervalo [0, π]. cos = π, = π Posición: Si 8 π, g () 8 + son asíntotas verticales. Si 8 π +, g () 8 Si 8 π, g () 8 Si 8 π +, g () 8 + h () = en el intervalo [0, π] cos = π, = π Posición: Si 8 π, h () 8 Si 8 π +, h () 8 + Si 8 π, h () 8 + Si 8 π +, h () 8 son asíntotas verticales. 7 a) 0 b) + c) + d) 0 e) + f ) 8 Si m =, + " 9 9 = La discontinuidad en = es evitable del tipo III. Para m =, en = hay una discontinuidad de salto infinito (tipo I) porque + 9 = ±. " 9 Si m =, = y tenemos una " 9 discontinuidad evitable de tipo III en =. Para m =, en = hay una discontinuidad de salto infinito (tipo I) porque = ± " 9 Si m y m, las discontinuidades en = y en = son de salto infinito (tipo I) porque el numerador de la función no se anula. Página 99 9 a) Falso. En una discontinuidad evitable de tipo III no eiste la función en un punto pero sí eiste el límite. b) Verdadero, ya que no se cumple una de las condiciones de la continuidad. c) Verdadero. Si tuviera tres o más asíntotas horizontales, dos de ellas coincidirían por uno de los etremos del eje O y esto es imposible porque la función no puede tender simultáneamente a dos resultados diferentes. d) Verdadero. Incluso puede tener infinitas asíntotas verticales, como ocurre con la función y = tg. e) Falso. Si f (a) = 0, puede ocurrir que la función tenga una discontinuidad evitable en = a. f) Falso. Porque = = 0 y la recta y = 0 es una asíntota horizontal cuando Son los puntos de la forma = k con k número entero. Como la función y = sen es periódica, los valores que toma y oscilan cuando 8 + y, además, lo hacen sin acercarse a ningún número concreto. Por tanto, el límite no puede eistir. El límite b), porque cuando 8 +, >. Entonces, < 0 y la raíz cuadrada no eiste. 0

14 a) Falso. a) f () = par y a > 0. b) Falso. f () = n impar y a > 0. c) Verdadero. f () = n par y a < 0. d) Verdadero. b) c) d) f () = impar y a < 0. + = + ( + ) = + ( + + ) = + ( + ) = a) Verticales: = Posición: Si 8, f () 8 + Si 8 +, f () 8 Horizontales: a n = + porque a n > 0 al ser n a n = porque a n < 0 al ser a n = porque a n < 0 al ser a n = + porque a n > 0 al ser n + = + ( + ) = ( + + ) = + ( + ) = La recta y = es una asíntota horizontal cuando 8 +. La recta y = es una asíntota horizontal cuando 8. b) Verticales: = Posición: Si 8, f () 8 Si 8 +, f () 8 + Horizontales: La recta y = es una asíntota horizontal cuando 8 +. La recta y = es una asíntota horizontal cuando 8. 6 " 0 + / = + = + " 7 No eiste el límite. " = 0 / = = 0 8 a) b) c) d) 0 e) 9 f ) 9 Las asíntotas verticales son las rectas = y =. Posición: = = + " + 0 No tiene asíntotas horizontales. Autoevaluación Página 99 f () = " 0 No tiene límite en =. f () = " " = = + 0 Es continua en = 0 y en =. No es continua en =, porque no tiene límite en ese punto. a) b) c) + a) No tiene límite en =. f () = " b) f () = 0 " No tiene límite en =. f () = f () = Asíntota vertical: = Z lm ] í = " Posición [ ] =+ " + \ Asíntota horizontal: y = a = 8 +, y> Posición: * 8, y< f () = 0 f () = + 0

15 6 f () = 9 " f () = f () = " " f () =+ " No tiene asíntotas verticales. No tiene asíntotas horizontales. Asíntota oblicua: y = f () = + f () = Posición 8 + curva< asíntota 8 curva > asíntota 7 0

16 Derivadas Página 0. La distancia que separa los puntos en los instantes t = y t =, es de, mm, luego la velocidad es: mm/s =, cm/s La distancia que separa los puntos en los instantes t = y t =, es de, mm, luego la velocidad es: mm/s =, cm/s. En el intervalo [;,] la velocidad es, cm/s. En el intervalo [;,] la velocidad es,77 cm/s.. En el primer intervalo la velocidad es,997 cm/s, y en el segundo, cm/s. Sí podemos considerar que esta última velocidad es muy parecida a la velocidad instantánea en t = s porque el intervalo de tiempo transcurrido es tan solo una millonésima de segundo. Página 0 Hazlo tú. T.V.M. [, ] = T.V.M. [, ] = T.V.M. [, 0] = a) Verdadero b) Verdadero c) Falso T.V.M. [, ] = T.V.M. [, ] = T.V.M. [, ] = T.V.M. [, ] = T.V.M. [, 6] = T.V.M. [, 7] = 0 T.V.M. [, 8] = T.V.M. [, + h] = h 6 Dando a h los valores,,,,, 6, 7 se obtienen los resultados del ejercicio anterior. Página 0 punto pendiente A f ' ( 8) = B f ' ( ) = 9 7 C f ' () = D f ' () = E f ' (0) = Página 0 Hazlo tú. f '() = f '( ) = f '() = Hazlo tú. f '(0) = 7 f '() = 8 f '() = 9 f '() = 0 f '() = f '() = a) Verdadero b) Verdadero. La pendiente de la recta tangente en = es cero, luego la recta es horizontal. c) Verdadero, debido a la inclinación de la recta tangente a f en ese punto. f '( ) = f ' ( ) = f ' (0) = f ' () = f ' (7) = Como la función es una línea recta, crece o decrece siempre de la misma forma y al ser la derivada una forma de medir el crecimiento de una función, esta debe valer lo mismo en todos los puntos. f ' ( ) = 7 f ' ( ) = f ' (0) = f ' () = f ' () = 7 f ' () = f ' () = 9 f ' () = f ' (6) = Página 06 Verdadero, porque al ser paralelas las rectas tangentes en cualquier punto, deben tener la misma pendiente en todos los puntos. f '() = ( ) f '() = f '() = f '() = f ' () = f ' () = + Página 07 f '( ) = f ' () = f ' (7) = a es la abscisa del punto en el que se halla la recta tangente. f (a) es la ordenada de dicho punto. f ' (a) es la pendiente de la recta tangente o, también, la derivada de la función en el punto de abscisa a. es la variable independiente de la recta tangente. y es la variable dependiente de dicha recta. 06

17 Página 08 a) b) Página 0 Hazlo tú. c) d) a) f ' () = 0 + b) g ' () = c) h' () = Hazlo tú. a) f '() = ln 6 6 b) g '() = 8+ 8 ( + ) c) h' () = + f '() = f '() = e c + m f '() e ( cos sen ln cos ) = f '() = tg ln tg + + cos ln log 6 f '() = ln 7 f '() = f '() = ( ) 9 f '() = + + arc sen cos+ ( arc sen sen ) 0 f '() = cos f '() = Página ln e) f ' () = sen ( π) 7 f ' () = f '() = e ( ) 9 f ' () = Página Hazlo tú. ( ) cos ( + ) + sen( + ) ( ) Los puntos singulares son (, 0) y (, 7). Los intervalos (, ) y (, + ) son intervalos de crecimiento. En el intervalo (, ) la función decrece. Página La recta tangente en = es y = 6. La recta tangente en = 0 es y =. La recta tangente en = es y = 0. = 0, =, = son las abscisas de los puntos en los que la pendiente es. = 0 8 La recta tangente es y =. = 8 La recta tangente es y =. = 8 La recta tangente es y =. En el intervalo [0, ], el máimo se encuentra en = y vale 9 y el mínimo se encuentra en = 0 y vale. En el intervalo [, ], el máimo se encuentra en = y vale 68 y el mínimo se encuentra en = y vale. a) b) 7 Página 6 a) b) c) f ' () = ( ) cos ( + 7) f ' () = 0 + f '() = sen6 f ' () = ( ln0 log ) ln0 c)

18 Página 8 8 Hazlo tú. a) b) 0 0 Base = 9 m, altura = 9 m 0 0 Página c) d) Hazlo tú. El punto (, ) es el único punto singular Hazlo tú. e) f) y = Asíntota vertical: = 0 Asíntota oblicua: y = Puntos singulares: (, 8) y (, 8) Página 9 Hazlo tú. f '() = ( + ) Hazlo tú. f '() = ( + ) Hazlo tú. y = π Página 0 Hazlo tú. y = Hazlo tú. Los puntos singulares son (0, 0) y (, ). (, ) es un mínimo. (0, 0) es un máimo. 6 Hazlo tú. c = 0; b = Página Página Hazlo tú. si < si < a) f '() = * b) g '() = * si si > Página Hazlo tú. a) a =, b = b) a = 9, b = Página a) f ' ( ) = 0; f ' () = 0; f ' (6) = b) f ' () < 0 en (, ) (, + ) 7 Hazlo tú. 08 f crece en (0, ) (, ) y decrece en (, 0) (, + ).

19 Supongamos que a y b son los catetos del triángulo rectángulo. Si a = 6 y b = 6, se obtiene el triángulo rectángulo de área máima. a) f ' (0) = y f ' () =. b) El punto = es un punto singular. c) La función es creciente en (, + ) y decreciente en (, ). La ecuación de la recta tangente es y = +. Página 6 a) 8 Decrece b) 8 Decrece c) 8 Crece d) 8 Crece a) Para la función f (): T.V.M. [, + h] = h Para la función g (): T.V.M. [, + h] = h + b) Para la función f (): T.V.M. [;,] =, Para la función g (): T.V.M. [;,] = Para f (): T.V.M. [, ] = 9 T.V.M. [, ] = 7 Para g (): T.V.M. [, ] = 8 T.V.M. [, ] = En [, ] crece más f (). En [, ] crece más g (). El crecimiento medio es mayor entre las semanas 0 y 0. a) f ' () = 6 b) f ' () = c) f ' () = d) f ' () = 7 6 f '() = ( h) = 0 g' () = h " 0 h " 0 h 7 a) f ' ( ) = f ' (0) = b) En = y =. f ' () = = c) En = la derivada es positiva y en = es negativa. 8 a) f '() = = h " 0 b) f '() = ( + h + 7) = + 7 h " 0 c) f '() = ( + h + h ) = h " 0 d) f '() = = h " 0 ( h + ) 9 a) f ' () = + b) f ' () = 6sen c) f '() = + d) f '() = + ( + ) e) f '() = 7 ( 7 + ) g) f '() = ( ) i) f ' () = j) f ' () = + tg 0 a) f ' () = ( ) + f ) f '() = sen + cos 6 o también f ' () = h) f '() = e cos ( )( ) b) f '() = + 8 c) f '() = d) f '() = e 6 e) f ' () = ( ) + f) f '() = e ( + ) 8 g) f '() = [ cos sen 6] h) f '() = 6tg ( + tg ) i) f ' () = a) f ' () = b) f ' () = 7 ln e arccos e( e ) ( + ) c) f ' () = sen sen e cos d) f '() = ln + sen + e) f '() = e ccos ln tg f ) f ' () = sen( ln ) h) f '() = + i) f ' () = j) f '() = e ( + e ) j) f '() = + 9 m sencos g) f ' () = ln 7 7 sen + cos

20 a) f '() = b) f '() = + c) f ' () = d) f ' () = e) f ' () = 6 + ln0( ) ( + tg ) tg ln0 f) f ' () = ln + Página 7 a) Recta tangente 8 y = + Recta normal 8 y = b) Recta tangente 8 y = + Recta normal 8 y = + c) Recta tangente 8 y = 8 Recta normal 8 y = 8 8 d) Recta tangente 8 y = + e Recta normal 8 y = e + e e) Recta tangente 8 y= b π l+ Recta normal 8 y= b π l+ a) = b) =, = c) = d) = a) En =, la recta es y = ( + ). b) La recta tangente en = es y = 6( + ) y en = es y = 6( ). c) La recta tangente en = es y = ( + ) y en = es y = ( + ) Los puntos de corte con el eje de abscisas son = y =. La recta tangente en = es y = ( + ) y en = es y = ( ). La recta normal en = es y = ( + ) y en = es y = ( ). 7 Los puntos donde la recta tangente es horizontal son aquellos en los que f ' () = 0. a) En = la recta tangente es y = b) La ecuación de la recta tangente en = 0 es y = 0. La ecuación de la recta tangente en = es y = 0. c) La ecuación de la recta tangente en = 0 es y = 0. La ecuación de la recta tangente en = es y = 7. d) La ecuación de la recta tangente en = es y = 6. La ecuación de la recta tangente en = es y =. e) La ecuación de la recta tangente en = es y =. La ecuación de la recta tangente en = es y =. f) La ecuación de la recta tangente en = 0 es y = 0. 8 a) (, ) es un punto singular. Intervalo de crecimiento, (, + ). Intervalo de decrecimiento, (, ). b) (, ) es un punto singular. Intervalo de crecimiento, (, ). Intervalo de decrecimiento, (, + ). c) (0, 0) y (6, ) son puntos singulares. Intervalos de crecimiento, (, 0) (6, + ). Intervalo de decrecimiento, (0, 6). d) (, 8) es un punto singular. Intervalo de crecimiento,. e) (0, 0) y (, ) son puntos singulares. Intervalos de crecimiento, (, 0) (, + ). Intervalos de decrecimiento, (0, ) (, ) f) No tiene puntos singulares. Los intervalos de crecimiento son (, ) (, + ). 9 a) f ' () = = 0 no tiene solución. Por tanto, no tiene puntos singulares. La función es creciente en todo. b) f '() = 0 8 = 0 no tiene solución. Por tanto, no tiene puntos singulares. Los intervalos de decrecimiento son: (, 0) (0, + ) c) f '() = 0 8 = 0 no tiene solución. Por tanto, no tiene puntos singulares. El intervalo de crecimiento es [0, + ). d) f ' () = 0 8 = 0 no tiene solución. Por tanto, no tiene puntos singulares. El intervalo de crecimiento es (0, + ). 0

21 0 a) Los puntos c, 8 m y (, ) son puntos singulares. 7 c, 8 m es un máimo y (, ) es un mínimo. 7 b) Los puntos (0, 0) y (, ) son puntos singulares. (0, 0) es un mínimo y (, ) es un máimo. c) Los puntos (, 6), (0, 0) y (, 6) son puntos singulares. (, 6) y (, 6) son mínimos. El punto (0, 0) debe ser un máimo porque está entre dos mínimos. d) El punto (, 9) es un punto singular. (, 9) es un máimo. e) El punto (0, ) es un punto singular. (0, ) es un máimo. f) El punto `, j es un punto singular. `, j es un mínimo. a) f ' > 0 si < f ' < 0 si > b) f ' > 0 si < 0 f ' < 0 si > 0 c) f ' > 0 si é (, ) (, + ) f ' < 0 si é (, ) (, ) es un mínimo. (, ) es un máimo. f ' () = ( ) : f (0) = 8 pasa por (0, ) f ' () = 0 f () = 0 8 pasa por (, 0) f () = 8 pasa por (, ) El punto (, 0) no es ni máimo ni mínimo. 6 f ' () = 0 8 =, = Puntos (, ) y (, ). Asíntota vertical en = 0. Asíntota oblicua en y =. Página 8 7 a) Función I Tiene una rama parabólica cuando 8. La recta y = 0 es una asíntota horizontal cuando 8 + y la función queda por encima de la asíntota. Función II La recta y = es una asíntota oblicua cuando 8 y cuando 8 +. En ambos casos, la función queda por debajo de la asíntota. La recta = 0 es una asíntota vertical y la función tiende a por los dos lados. b) Función I El punto (, ) es un mínimo. El punto (, ) es un máimo. Hay otro punto singular, (0,; ), pero no es ni máimo ni mínimo. Función II Solo tiene un punto singular, el máimo (, ). 8 f ( 0) = 0 8 La derivada en (0, 0) es nula. f ' ( 0) = 0 = = + + La recta y = es una asíntota horizontal. f () = = + + Como la diferencia siempre es negativa, la función queda por debajo de la asíntota y =.

22 9 9 a) Máimo en (, ). Mínimo en (, 0). y = b) Máimo en (, 0). Mínimo en (, ). y = a) (, ) b) = b es la abscisa del vértice. a b + ac es la ordenada de vértice. a f () = Para f () = + la tangente en = es y = 0 7. Para g () = + 6 la tangente en = es y = 0. a = 6, b = 6, c = 6 6 f ' () = f () = 7 f () = + 8 a) b) c) Máimo en (, ). Mínimo en (, ). y = d) Máimo en (0, ). Mínimos en (, ) y en (, ) 0 c) d) 6 8 y =

23 0 a) f '() = 0 ( + ) Los puntos de corte son: c0, m, (, 0). y = b) f '() = 0 Los puntos de corte son: (, 0), (, 0). y = 6 a) Asíntotas verticales: =, = Asíntota horizontal: y = 0 No hay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente horizontal. y = b) Asíntotas verticales: =, = Asíntota horizontal: y = 0 No hay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente horizontal. 6 y = c) f '() = + 0 El punto de corte es (0, 0). y = + c) Asíntotas verticales: =, = Asíntota horizontal: y = 0 No hay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente horizontal son, aproimadamente, (,8; 0,0), (,8;,97). d) f '() = 0 ( ) El punto de corte es c0, m., + y = 6 + 0, y = ( ) 0, 6 6,

24 d) Asíntota vertical: = Asíntota oblicua: y = No hay asíntotas horizontales. Sus puntos de tangente horizontal son: (, 0), (, ) ( ) y = + 0 f) Asíntotas verticales: =, = Asíntota horizontal: y = No hay asíntotas oblicuas. Punto de tangente horizontal: (0, 0) y = 6 6 y = 0 0 e) Asíntota vertical: = Asíntota oblicua: y = No hay asíntotas horizontales. Sus puntos de tangente horizontal son, aproimadamente: ( 0,6; 0,), (,7; 7,6) Página 9 a) Asíntotas verticales: =, = Asíntota horizontal: y = No hay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente horizontal son: (0, 0), c, m y = y = + 6 b) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 6 No hay asíntotas oblicuas. Punto de tangente horizontal: (0, 0) y = y = ( ) 6 6

25 c) Asíntota horizontal: y = No hay asíntotas verticales ni oblicuas. Sus puntos de tangente horizontal son: c, m, (, ) y = d) Asíntota vertical: = 6 Asíntota oblicua: y = + No hay asíntotas horizontales ni puntos de tangente horizontal. 6 y = b) El beneficio máimo se obtiene a los años. El beneficio sería de 0 miles de euros. c) No perderá dinero ni llegará un momento en que no obtenga beneficios ni pérdidas, pues f () = 0 y f () > 0 para todo > 0. 0 a) b) c) 0 d) + e) 0 f ) a) b) a=, b= a) El máimo se encuentra en = 0 y vale. El mínimo se encuentra en = y vale. b) El máimo se encuentra en = y vale 8. El mínimo se encuentra en = y vale. c) El máimo se encuentra en = y vale 6. El mínimo se encuentra en = y vale 0. d) El máimo se encuentra en = y vale. El mínimo se encuentra en = 0 y vale 0. a = 6 y = sen El máimo se encuentra en = π y vale. El mínimo se encuentra en = π y vale. y = cos Los máimos se encuentran en = 0 y = π y valen. El mínimo se encuentra en = π y vale. a = 6, b = a) c, m es un máimo. (, e ) es un mínimo. e k = 6 (0, 0) y (, ) 7 y = c m+ 9 8 a) Se deben fabricar unidades. 9 a) b) C () = 7; M () = Intervalos de crecimiento: (, ) (, + ). Intervalos de decrecimiento: (, ). b) (0, 0) es un mínimo. e, e o es un máimo. Intervalos de crecimiento: (0, ). Intervalos de decrecimiento: (, 0) (, + ). c) (0, 0) es un mínimo. Intervalos de crecimiento: (0, + ). Intervalos de decrecimiento: (, 0). d) (e, e ) es un mínimo. Intervalos de crecimiento: (e, + ). Intervalos de decrecimiento: (0, e ).

26 6 f '() = f '() = 8 = 0 + En el punto b0, π l la tangente a la curva es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. 7 a) La función f () es continua en todo. La función f () no es derivable en =. si < f '() = * si > b) La función g () es continua en todo. La función g () no es derivable en =. g ' () = si < si > * c) La función h () es continua en todo. La función h () es derivable en. h ' () = e si * + si > 8 a) m = 8, n = b) m =, n = c) m =, n = d) m =, n = Página 0 9 f () = + 6 f ' () = f '' () = 0 f ''' () = f iv () = f v () = 0 y, desde esta, todas las derivadas sucesivas siguientes. f () = e f ' () = e f '' () = e f ''' () = 8 e f iv () = 6 e La fórmula general, teniendo en cuenta que los coeficientes son potencias de base, es: f n) () = n e 60 = y = 0 6 =, y = 6 = 0, y = 0 6 La base mide 0 cm, la altura mide h = cm y el área máima es A = cm. 6 Llamamos a los lados del rectángulo perpendiculares a la pared e y al lado paralelo a ella. El área máima se da si = m, y = 0 m y es A = 0 m. 6 Los lados = 6 cm, y = 6 cm nos dan el rectángulo de área máima, que es A = 7 cm. 66 Las medidas son r = 7 dm, h = 7 dm. π π 67 es el lado de la base cuadrada e y es la altura del ortoedro. = 0, y = 0 El volumen máimo es V = 0 0 cm. 68 Sean e y la semibase y la altura del rectángulo, respectivamente. 69 = cm, y = cm y el área máima es A = 0 cm. 70 Eisten infinitas. f () = + k, donde es cualquier número. 7 a) El punto (0, 0) tiene tangente horizontal. Este es el único punto singular. b) La función es creciente en = 0. c) La recta tangente en = 0 es y = 0. 7 Punto c, m 7 f ' () = a + b = 0 8 = 7 La correcta es la b). 7 a) Sí, en =. b a b) Si <, es creciente, y si >, es decreciente. 76 Debe ser g () = f (), es decir, sería la misma gráfica que la de f () pero desplazada dos unidades hacia abajo. 6

27 77 a) D f [ g ()] = b) D f [ g ()] = c) No es posible porque no se puede determinar f (). 78 Se corresponde con b). 79 La gráfica del apartado b), porque f ' () = a) Verdadero b) Falso. Hay funciones con puntos singulares donde la función es creciente. Por ejemplo, f () = es creciente en el punto singular (0, 0). c) Falso. La función f () = siempre es decreciente y f ' (0) = 0. Página 8 La gráfica del apartado c), porque f ' ( ) = f ' () = 0 al ser = y = puntos singulares de f (). 8 I 8 c II 8 a III 8 b 86 El dominio de definición de f () es el intervalo (0, + ), por tanto, solo podemos calcular el límite por la derecha. f( 0+ h ) f( 0) 0+ h 0h = = " 0 + h " 0 + h = " 0 + h h = lm í " 0 + h = + Como el límite anterior no eiste, la función f () = no es derivable en = a =, b =, c = 0 si 0 f () = * ln ( + ) si > 0 Autoevaluación a) T.V.M. [0, ] = T.V.M. [, ] = b) Sí, P (, ) c) Si <, f ' () > 0 d) f ' (0) = 8 f () f( + h ) f( ) f '( ) = h " 0 h = 0 h h h h " 7 = = h 7 = 7 h " 0 a) f '() = b) f '() = 8 c) f ' () = π cos π sen π d) f ' () = ( ) ( ) y = 8 Cuando 8 +, la asíntota oblicua es y =. Cuando 8, la asíntota oblicua es y =. El único punto singular es (0, ). Punto singular: (, ). El punto singular no es máimo ni mínimo. 6 a) Asíntota vertical: = izquierda: f () 8 + derecha: f () 8 La recta y = es la asíntota oblicua. Si 8, la función está encima de la asíntota. Si 8 +, la función está debajo de la asíntota. b) Los puntos (0, ) y (, 6) son puntos singulares, donde el primero es un mínimo y el segundo es un máimo. 7

28 c) Asíntota horizontal: y =. 8 +, f( ) < Posición 8, f( ) < No tiene puntos singulares. 7 f () = + f () = Los puntos singulares son (, 0) y (, ). 8 Dominio de definición: {0} Asíntota vertical: = 0. 80, f( ) 8 Posición 80+, f( ) 8 9 Intervalos de crecimiento de f : (, ) (, + ) Intervalos de decrecimiento de f : (, ) La función tiene un máimo en = y un mínimo en =. 0 b =, c = Los números son = 7, y = 7 y el producto máimo es 89. 8

29 IV Análisis Página 6 p () = sen 8 p () = g [h()] 8 p = g h a) Su dominio es el intervalo (, ]. Su recorrido es (, 0]. q () = e sen 8 q () = f [g()] 8 q = f g r () = e 8 r () = h [f()] 8 r = h f b) c) y = f ( + ) 7 a) 0 b) 0 c) 0 8 a) b = b) f () f () f () no es continua en =. " y = f () + f ( + h ) f () 9 f '() = h " 0 h f () = y = f () a) b) y = + ( + h ) f ( + h) = f ( + h) f () = + h + = h f ( + h ) f () = h : h = h f '() = = h " 0 0 y = 9 Los puntos singulares son (0, ), (, ) y (, ). a = 0, c = 80 La función es N (t ) = 0t + 680t N(t) t Ramas infinitas: * ( + 8 ) = 8 + ( + 8 ) = 8 Máimos: (, ) y (, ) Mínimo: (0, ) 0 f () = log( + ) + log ( / ) a) Población inicial: 00 insectos b) = 7, 8 Tarda entre 7 y 8 días. a) f '() = c) f '() = e) f '() = g) f '() = + tg tg + b) f '() = ln d) f '() = 0 + f) f '() = + e h) f '() = 6 ( + ) 9

30 a) f crece en (, ) (, + ). f decrece en (, ). b) f es creciente en todo su dominio: Á {0} a) Asíntotas verticales: =, = Asíntota horizontal: y = b) Mínimo: (0, 0); Máimo: c, m Tiene asíntota oblicua y = La asíntota es y =. Si +, curva > asíntota Si, curva < asíntota 6 a =, b = 7 + = +. 7 a) f es creciente cuando f ' > 0 8 f crece si < y decrece si >. b) Tiene un punto de tangente horizontal en =, porque en ese punto f ' = 0. 8 La función es continua en todo Á. La función no es derivable en =. + si < f '() = * si > 9 e 0 Supongamos que e y son la base y la altura del rectángulo, respectivamente. Las medidas son = m, y = m y el perímetro mínimo es 8 m. 0

31 Distribuciones bidimensionales Página 7 Relación funcional y relación estadística a) Relación estadística. Correlación positiva. b) Relación estadística. Correlación negativa. c) Relación estadística. Correlación negativa. d) Relación funcional. Relación Estadística. Correlación positiva. e) Relación estadística. Correlación negativa. Relación estadística. Correlación positiva. Ejemplo de relación estadística a) Guillermo y Gabriel están representados mediante los puntos (60, 7) y (60; 77,). b) Sergio está representado con el punto (9,; 7,). c) Sí; en general, cuanto más alto sea el padre, más altos son los hijos. Página 9 a) Falso b) Falso c) Verdadero Página a) Verdadero b) Verdadero c) Verdadero La correlación es negativa y moderadamente alta ( 0,6). I.N Página R.P.C. a) Verdadero b) Falso c) Verdadero a) r = 0,907 b) r = 0,68 c) r = 0,809 Página a) Verdadero b) Falso c) Verdadero Página 6 a) Verdadero b) Verdadero c) Verdadero Página 7 = 9,7 q = 8,6 Moda = Deportes. Página 8 =,88 q = 8,7 y i f i inf 0 doc 0 ent 0 dep pel 6 otr Se observa que las frecuencias relativas varían según la edad. 6 i f i i f i i f i, 0,,0 8,0 7, , 0, 78,0 690,0 00,0 897, 97676, 069,00 006, , ,0 6097,0 = 9,07 q = = 8,7 La media es similar; sin embargo, la desviación típica es mayor si consideramos los datos de las personas que no ven deportes. Página 0 7 r = 0,67 Página Hazlo tú. a) Es una distribución bidimensional en la que se relacionan las variables : horas de sol e y : temperatura media en Almería, correspondientes a un año. b) TEMPERATURA MEDIA HORAS DE SOL c) Es una relación estadística, el número de horas de sol no determina la temperatura media.

32 Hazlo tú. : Nota y : Nota del año pasado NOTA DEL AÑO PASADO NOTA a) A 0 C 0 0 B D 0 Hay una correlación positiva bastante fuerte. 0 0 : Nota y : Cociente intelectual COCIENTE INTELECTUAL Hay una correlación positiva bastante fuerte. NOTA 0 0 b) B y C tienen correlación positiva; A y D, negativa. c) A 8 ; B 8 0,9; C 8 0,6; D 8 0,76 d) La A es relación funcional: y =. Página a) Recta de regresión de sobre : y 8, = 7,(,) Recta de regresión de sobre : y 8, = 7,7(,) b) ^y (,) =,7 c) y =,6; r = 0,97 I 8 0,6 II 8 0, III 8 0,9 IV 8 0, V 8 0,99 VI 8 0, a) El número medio de discos vendidos es b) r = 0,8 c) y =,78( 9,) d) 6 conciertos. Página a) Renta ( ), gasto ( ). Correlación positiva. b) Relación funcional. c) Relación estadística. Seguramente muy débil. Positiva. d) Aunque lo parezca a priori, seguramente la relación no es funcional. Es una correlación positiva fuerte. e) Correlación positiva. f) Correlación negativa. g) Correlación positiva. c) r = 0, r = porque están alineados.

33 6 a) r = 0,9 b) r = 0, a) ^y () =, ^y (0) = 7, ^y (0) = 06, c) r = 0, ^y (00) = 0, b) Son fiables ^y () e ^y (0), porque y 0 están en el intervalo de valores utilizados para obtener la recta de regresión. ^y (0) es menos fiable, pues 0 está fuera del intervalo, aunque cerca de él. ^y (00) es una estimación nada fiable, pues 00 está muy lejos del intervalo [, ]. a) y La correlación es positiva y fuerte. Página 8 a) =,9 y =,9 q =,0 q y =,87 q y = 8, b) r = 0,9. Se trata de una correlación fuerte y positiva. c) Recta de regresión de sobre : y =,9 + 0,9(,9) Recta de regresión de sobre : y =,9 + 0,99(,9) 9 a) Representada en el ejercicio. b) Se comprueba. c) Recta de regresión de sobre : y = 0,8 +,79 Recta de regresión de sobre : y =,,8 9 9 sobre sobre b) n = 0 S = 9 =,9 S y = 0 y = S = 0 q =,7 S y = 0 q y =, S y = 99 q y =,6 r = 0,76 c) Recta de regresión de sobre : y = 8,67 0,7 0 0 d) ^y (,) =,6 ^y () =,0 ^y (0) =,9 Como r = 0,76, la estimación para, la podemos considerar fiable, pero las de y 0, que no están en el intervalo de datos, no se pueden considerar muy fiables. a) r = 0,97 b) r = 0,6 c) r = 0, a) r = 0,6 b) y =,0 +,0 Cabe esperar que se recauden 0, millones de euros.

34 a) r = 0,99 Recta de regresión: y = 0, Hay casi una relación funcional entre la altura de un lugar y su presión atmosférica. Además, cuando aumenta la altura, disminuye la presión. b) r = 0,8 Recta de regresión: y = 6,87 + 7,8 Hay una correlación fuerte entre la altura de un lugar y el número de pulsaciones, en reposo, de una persona. Además, cuando aumenta la altura, aumentan las pulsaciones en reposo. r = 0,6 6 a) r es negativo, luego cuantos más goles a favor tiene un equipo, menos goles en contra tiene. La correlación no es muy fuerte, por lo que no es demasiado fiable estimar los goles en contra sabiendo los goles a favor. DENSIDAD r = 0, y =, + 0,9 7 N.º ATÓMICO b) La densidad del cromo se estima en, aproimadamente,,86. Su valor real es 7,. c) La densidad del escandio se estima en, aproimadamente,,0. Su valor real es,9. Página 6 7 a) La correlación entre las variables -y es r = 0,68. entre las variables -z es r = 0,8. b) La correlación es mayor en valor absoluto en el segundo caso, luego la renta per cápita es más determinante de la epectativa de vida al nacer que del índice de natalidad. 8 a) Los dos signos son negativos; es decir, si aumentan las horas por día que ven la televisión, disminuye la nota media obtenida en la última evaluación b) r = 0,87 c) y =,67 + 8,70 d) Si ve la televisión tres horas y media diarias, cabe esperar que saque un,86. Si ve la televisión cinco horas, cabe esperar que saque un 0,. 9 a) =, q =,96 y = 6,7 q y = 6,7 b) r = 0,8 Es positiva; es decir, si aumenta la antigüedad, aumentan los kilómetros recorridos. La correlación es fuerte porque r está próimo a. c) y d) Se estima que recorre 00 km en años. Se estima que recorre 7 00 km en años. Se estima que recorre 000 km en 0 años. 0 El mismo, puesto que r no depende de las unidades; es adimensional. qy r = q q y Como q y q y son positivas, el signo de r es el mismo que el de q y, luego si la covarianza es negativa, r también lo es. q y m y =, cuyo signo es el mismo que el signo de qy. m y = q q y q y cuyo signo es el mismo que el signo de q y. Luego si la covarianza es negativa, m y y m y son negativas. El centro de gravedad de la distribución, (, y ). r debe estar próimo a. q q y qy = f p = r qq y q q y y (, y ) son las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas de regresión. y= 87, 076, * 8 =,99 y=, 6, y =,96 =, 99 y =, 96

35 qy 6 r = q q m y m y y q y q y qy = = q q = r y q qy Luego r = m y m y En el ejercicio anterior: m y = 0,76; m y =, r = 0,766 7 a) 0 kg b) El signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura es el mismo que el de la pendiente de la recta de regresión, luego es positivo. 8 a) Falso. b) Verdadero. c) Verdadero. d) Verdadero. Página 7 9 a) r = 0,76 Recta de regresión de sobre : y,7 =,6(,) b) Se estima que tendrá entre 9 y 0 fallos en la primera tanda. 7 fallos en la segunda tanda. Entre y fallos en la cuarta tanda. 0 a) = 78,8; y = 0 r = 0,99 b) Se estima que el operario produzca unas 7 unidades trabajando 70 horas. Como r es muy próimo a y, además, 70 está en el intervalo de horas empleadas, la estimación es muy fiable. c) Se estima que ha trabajado entre 77 y 78 horas. Autoevaluación Página 7 a) 8 0,6 b) 8 0,7 c) 8 0,9 d) 8 0, a) =, y = 6 q =,8 q y =,7 q y = 7, b) r = 0,9 c) y = 0,9 +, d) ^y () = 6, ^y (0) = 0, Las estimaciones son muy fiables porque r = 0,9 es un valor muy alto. a) y = b) ^y () = 6, ^y (0) = 77 La primera estimación es aceptable por ser próimo a = 0. c) y = 6 +,( ) a) y = 0,80 + 0, b) r = 0,9 c) Se le estima un consumo de energía de,9 miles de kwh por habitante. d) Se estima una renta per cápita de e) La primera estimación (apartado c), es razonablemente fiable. En la segunda estimación (apartado d), la estimación es poco fiable.