Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales. , y decreciente en (1, 3). Tiene un máximo relativo en el punto (1, 4) y un mínimo relativo en (0, 3).

Transcripción

1 UNIDAD 11: Introducción a las derivadas y sus aplicaciones ACTIVIDADES-PÁG Las soluciones aparecen en la tabla. [0, ] [, 6] a) f 1 () = b) f () = + c) f () = 9 d) f () = 7, 56 18, 67 f ( h) f (). El valor del límite es: lím 16 h 0 h. La función y = f () es creciente en 1,, y decreciente en (1, ). Tiene un máimo relativo en el punto (1, ) y un mínimo relativo en (0, ). La función y = g () es creciente en 0 1, en el punto (1, e)., y decreciente en (0, 1). Tiene un mínimo relativo ACTIVIDADES-PÁG Organizamos los datos en una tabla: Recibe Marca Lunes X M Martes X M 1 Miércoles X + 1 M Jueves M 10 Viernes X Sábado 0 Los discos que recibe menos los que marca son los 0 discos que le quedaron para el sábado: X + X M + X M + (M M X) = 0 El lunes recibió 1 discos. X + M + 18 M X = 0 X = X = 1. Sea v la velocidad del camión y w la velocidad del tractor. La epresión queda: v + w = (v w), es decir, v = w. La velocidad del camión es el triple que la velocidad del tractor. 161

2 . Llamamos R al reloj que mide minutos y R 9 al que mide 9 minutos. Para medir 1 minuto: ponemos ambos relojes a cero. Cuando pasan minutos, damos la vuelta a R y al pasar otros minutos, lo que queda de R 9 es 1 minuto. Para medir minutos: conseguimos 1 minuto por el procedimiento anterior. A la vez que logramos 1 minuto, el reloj R lo ponemos y quedan en él minutos. En este momento ponemos a funcionar R 9y al terminar, quedan en éste 6 minutos; ponemos a funcionar R y al terminar éste último, quedan en el anterior minutos. Para medir minutos: está eplicado en el procedimiento anterior. Para medir minutos: con el reloj R. Para medir 5 minutos: ponemos R y R 9; al terminar R, quedan en R 9 5 minutos. Para medir 6 minutos: esta situación se eplica en el procedimiento para medir minutos. Para medir 7 minutos: conseguimos minutos por el procedimiento dado anteriormente. Los minutos los tenemos en R 9. Ponemos a funcionar R y al pasar minutos en R 9 quedan otros minutos en R. Ponemos a funcionar R 9 y, al pasar los dos minutos en R quedarán 7 minutos en R 9. Para medir 8 minutos: ponemos dos veces R. Para medir 9 minutos: ponemos a funcionar R 9. Para medir minutos: conseguimos que queden 6 minutos en R 9 por los procedimientos descritos ya vistos anteriormente y, cuando pasan esos 6 minutos, ponemos a funcionar R obteniendo así los 10 minutos.. En esta figura podemos encontrar los siguientes tipos de triángulos: En cada figura podemos encontrar 5 triángulos iguales al rayado en la misma; por tanto, en total hay 5 6 = 0 triángulos. 16

3 ACTIVIDADES-PÁG Las derivadas de estas funciones podemos verlas en la imagen.. El valor de las derivadas de estas funciones en los puntos indicados podemos verlas en la imagen ACTIVIDADES-PÁG a) En la imagen vemos la gráfica de la función f () = 8 +. Los puntos de corte con los ejes son: E (-,78; 0); F (- 0,51; 0); G (0,51; 0); H (,78; 0) e I (0, ). 16

4 b) En la imagen vemos la gráfica de la función f () = Los puntos de corte con los ejes son: A (-,7; 0); B (- 1; 0); C (0,7; 0) y D (0, ).. a) En la imagen vemos la gráfica de la función f () = Los etremos son: máimo A (1, 5) y mínimo B (, 1). Es creciente en (, 1) (, ) y decreciente en (1, ). 16

5 b) En la imagen vemos la gráfica de la función f () = 1 1 Los etremos son: máimos en A (- 1;,5) y C (1;,5) y mínimo en B (0, ). Es creciente en (, 1) (0, 1) y decreciente en ( 1, 0) (1, ). ACTIVIDADES-PÁG La tabla queda del siguiente modo: [-, ] [0, ] [, 5] a) f () = + b) g () = c) h ( ) 6 0, , ,16 1 d) t ( ) 0, , 5 0,

6 . Las soluciones son: a) La gráfica la podemos ver en el dibujo. b) Las tasas de variación medias son: TVM [1; 1,5] = 0 m/s TVM [1; = m/s TVM [1; 5] = 16 m/s c) Los valores anteriores son las velocidades medias que alcanza el balón en cada uno de los intervalos citados.. Los resultados son: a) f () f (1) [ 1, ] 6 1, 1 1, 1, m 1 t vm año Indica la velocidad de crecimiento de la cantidad de madera del bosque. b) t vi f (1,5 h) f (1,5) 1,5 ( 1,5) lím D [ f (1,5)] 6 1, ln 1, 1, m h 0 f año Indica la velocidad de crecimiento de la cantidad de madera en ese momento del bosque.. La velocidad media entre los instantes,5 y 6 vale 1 m/s. La velocidad instantánea en el instante,5 vale 6 m/s. La velocidad instantánea en el instante 6 vale 0 m/s. 5. El valor de las derivadas es: 1 a) f (-1) = - 6 b) f () = c) f (7) = 5 6. Los resultados podemos verlos en la tabla siguiente: Función Tangente Pendiente a) f() = 8 + y = b) g () = y = 0 c) t () = 1 y =

7 7. La ecuación de la recta tangente en el punto (0, 5) es y = Los puntos son (1,5) y (5,5). Las rectas tangente y normal en el punto (1, 5) son: 8 + y = 1 e - 8y = - 9. Las rectas tangente y normal en el punto (5, 5) son: 8 y = 5 e + 8y = La pendiente es tg 5º = 1. El punto es (1, ) 10. Si es paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante su pendiente es -1. El punto es (- 1, - /) Si es paralela al eje de abscisas su pendiente es 0. El punto es (0, - 1) ACTIVIDADES-PÁG En la gráfica observamos que f () = 0 y f (- 1/) = -, Quedan: a) D[ 8 ] = 8 7 b) c) D[ ]= 10 + d) 5 e) D = 5 5 f) D = 6 D D g) D 1 5 h) D[( - ) ] = ( - ) ( 1) i) 6 D j) D 8 ( ) k) D 1 / l) ( ) D =

8 1. Las derivadas quedan: a) D = b) D c) D = d) D 5 = (9/) + 5 e) D = g) D = f) 5 D = h) D = i) D = Las derivadas quedan: 1 a) 5 5 ln 5 5 D d) D 5 = 5 ln ln 5 +1 b) D[ ] = ln e) e D e D e e e e f) D[(e + 1) ] = 8 e (e + 1) c) ACTIVIDADES-PÁG Las derivadas quedan: a) D[ln (7-1)] = b) D[ln ( + ) ] = c) ln D = 6 9

9 d) D[log ( - 1)] = ( 1) ln e) D[ln (e )] = D[ + ln ( )] = 1 + 1/ 5 D ln D 5 ln ( 5 ) ln ( 5 ) h) 16. Las derivadas quedan: a) D[sen ] = cos b) D[ sen ] = cos D sen cos c) d) D[sen ] = sen cos e) D[cos - ] = - 5 sen - f) D[ cos ] = - sen g) D[cos ] = - 8 cos sen h) cos D = sen ( cos i) D[tg ( -)] = ( 1 + tg (-)) j) Dtg 1 cos k) D[tg ( )] = tg ( ) [1 + tg ( )] +1 ln l) D[ tg ] = tg + (1 + tg ) ) 17. a) D D b) 5 5 ( 5 ) 1 8 c) D 1 ( 1) 169

10 d) D[(7 - ).(5 - ) 5 ] = ( ) (5 ) e) D[( + 1) e ] = ( + 1) e ( + 1) f) D[ln 6 6 ] = ln 6 6 g) D 8 5 h) 1 D = 8 1 i) D[ a a e a ] = a 1 a e a [a + ln a + a] j) D[sen 7 7 ] = 7 [7 cos (7) + ln 7 sen (7)] k) ln D e e ( l) D 1) 18. Las respuestas son: a) f () = - ; por tanto, f () es decreciente en todo R. b) f () = ; por tanto, f () es creciente en, y decreciente en, c) f () = 1 + 9; por tanto, f () es creciente en, 1 (, ) d) f ( ) por tanto, f () es decreciente en R- {0}. y decreciente en (1, ). e) f () = 16 - ; por tanto, f () es creciente en, 0,, 0,. f) ( ) ( 0,, ) y decreciente en f ; por tanto, f () es creciente en 0 8,, y decreciente en 170

11 19. Al ser C (t) = 15 1, t, el ozono aumenta desde el año 0 al 1,5. Disminuye del año 1,5 en adelante. Todo puede verse en la gráfica adjunta. 0. El beneficio es nulo para los valores de que satisfagan la ecuación 0 60, es decir = 5 o = millones de euros. La empresa tiene pérdidas para B () = 8 < 0 es decir para > millones de euros. El beneficio aumenta para valores de en el intervalo (0, ) 1. N (h) = h 96 h El número de visitantes aumenta cuando N (h) > 0, es decir desde las 10 a las 1 horas y desde las 18 a las horas. El número de visitantes disminuye de 1 a 18 horas. ACTIVIDADES-PÁG. 6. Los etremos son: a) f () = -1-6 = 0 en = -. f (-) = -6 < 0, por tanto, f () tiene un máimo en ( -, ). b) f () = 0 0 = 0 en = 0, = 1 y = -1. f ( ) 60 0 f f f (0) (1) 0 0 ( 1) 0 f ( ) tiene máimo en (0, ) un mínimo en (1, ) mínimo en 1, ) c) f () = = 0 en = -1 y =. 171

12 f ( ) 1 1 f f ( 1) 0 () 0 f ( ) tiene máimo en ( 1, 11 ) un mínimo en (, 5). Los números son y. La solución queda: a) Función beneficio: B (t) = I (t) G (t), es decir: B (t) = ( t - t ) (t 8t + 105) = - 5t + 50 t b) La derivada B (t) = se anula en t = 5. B (5) = - 10 < 0. El beneficio es máimo al vender 5 unidades de producto. c) Para t = 5, el beneficio máimo es: B (5) = euros. 5. Los lados del recinto medirán y (55 ) metros. El área es A() = 55. A () = 55 = 0 ; = 7,5 m. A (7,5) = - < 0. Por tanto el área es máima cuando los lados midan 7,5 m cada uno, es decir es un cuadrado y su área es 756,5 m. 6. La anulación de la primera derivada: C ( ) = 00 1 = 0; = 0 trabajadores. En la segunda obtenemos: C ( ) = 00 ; C (0) > 0. El coste es mínimo para 0 trabajadores El coste mínimo es: C (0) = euros. 7. Observando el dibujo adjunto tenemos: y = 660 y 66 5 El área será A( ) Esta función alcanza un mínimo para =

13 Las dimensiones de las pistas serán 05 metros por 18 metros. 8. Las dimensiones serán 0 0 cm y cm. 9. f () = + K ; f () = 0 ; K = Llamamos al lado de la base del prisma e y a la altura. Imponiendo las condiciones del enunciado obtenemos: V = y = Coste : C () = 95 ; C ( ) = dm C (0) > 0. Luego las dimensiones que hacen mínimo el coste son: base 0 dm y altura 7,5 dm 1. La solución es: N (t) = t 6t = 0 ; = ; = 0 N (t) = 1 1t ; N () > 0 y N (0)< 0. Por tanto: El máimo número de personas conectadas a Internet se produce a las 0 horas y es de 800 personas. El mínimo número se produce a las de la mañana y es de 10 personas.. Las gráficas son: a) b) 17 y = y = Máimo (1, 1) Máimo (0, 16) Mínimo (0, 0) Mínimos (-, 0) y (, 0) Cortes (0, 0) y (1, 5; 0) Cortes (-, 0); (, 0) y (0, 16) Simétrica respecto de OY

14 c) d) y = y Máimo (- 1, ) y (1, ) Mínimo (0, 0) Asíntotas = e y = 0 Cortes (- 1, ; 0) (1, ; 0) y (0; 0) Simétrica respecto de OY e) f) y y = 1 1 Asíntotas = - 1 e y = - Asíntota y = 0 Cortes (0; 0) Cortes (0, ) Máimo (0, ) Simétrica respecto de OY 17

15 g) h) y 1 y Asíntotas = - 1 e y = - 1 Asíntotas =, = - e y = 0 Cortes (0, 0) Cortes (0, -1) Simétrica respecto al eje OY i) y y ( 1) Asíntotas = e y = 1 Cortes (0, 0) Máimo (0, 0) y mínimo (, ) 1 y 1 Asíntotas = 1 e y = 1/ Cortes (0, 0) 175

16 ACTIVIDADES-PÁG. 6. La producción aumenta cuando P (T) = T T > 0. P (T) = T T = 0 ; T = 0º ; T = -º. Aumenta la producción cuando T º, 0º El máimo número de kilos se consigue para T = 0º 1. Las asíntotas de la función son las rectas = - 1, = 1 e y., La función es creciente en, y decreciente en,. Tiene un máimo relativo en el punto, y un mínimo relativo en el punto,. Es cóncava hacia las y positivas en, 0 1,, 1 0, 1. Tiene un punto de infleión en (0, 0). Todo lo anterior puede verse en la gráfica. 1 y cóncava hacia las y negativas en 176

17 5. Las gráficas son: a) Máimo (1,5; - ) Mínimo (0, - 1) Cortes (/; 0) y (0, -1) Asíntotas = ; = 1; y = 0 b) Máimo (1, ) Mínimo (- 1, - ) Cortes (0, 0) Asíntotas y = 0 Simétrica respecto al origen de coordenadas c) Máimo (0, 0) Mínimo (6, 1) Cortes (0, 0) Asíntotas = ; y = + 177

18 6. La función que muestra el ingreso es: I() = ( ) = Para que este ingreso sea máimo ha de vender a 5000 la pieza. 7. Llamaos e y a las dimensiones del cartel. La función a minimizar es A (, y) = y. La relación entre las variables e y es: ( 8) ( y 5) 100 Sustituyendo en la función anterior, obtenemos: 5 60 A ( ) y La primera derivada, A ( ), se anula para = 0,65. ( 8) Por tanto las dimensiones del cartel serán = 0,65 cm e y = 1,91 cm. 8. a) El radio inicial es R (0) = 0,5 cm. Para que el radio sea de,5 cm han de pasar,1 minutos. b) La tasa de variación del radio respecto al tiempo viene dada por dr dt 16 t t 1. c) El área de la mancha es A (t) = π R y da dt minutos y la tasa de variación del área de la mancha es 8,79 m /min. 6 5t 16 t y para R = ; t =,8 t 1 t 1 9. En el dibujo está representada gráficamente la función dada. Sólo consideramos la parte positiva de la gráfica (desde t = 0), ya que el resto no tiene sentido en el conteto. En el año 1980 (t = 0) había 000 ejemplares de lince ibérico, éstos van disminuyendo con los años tendiendo hacia 1000 ejemplares. 178

19 0. Llamamos e y a las dimensiones del rectángulo y al radio de la semicircunferencia como puede verse en la imagen. El perímetro de la ventana mide: y 16 8 y La superficie de la ventana, en función de la variable, es: A ( ) 8 ( ) A ( ) 8 16 El valor que hace máima a la función anterior es,. Por tanto, las dimensiones de la ventana serán =, m e y = 1,1 m. ACTIVIDADES-PÁG. 65 Las propiedades de esta gráfica son: No está definida en el origen. No tiene simetrías ni es periódica. No tiene cortes con los ejes coordenadas. Las asíntotas son las rectas = 0 (eje OY) e y = + 1. Tiene un mínimo relativo y no tiene máimos relativos ni puntos de infleión. Las gráficas de las funciones pedidas son las que están dibujadas en trazo continuo de color azul. Van acompañadas de la gráfica de la función y = f () en trazo discontinuo de color rojo 179

20 a) y = 1/f () Se dibuja teniendo en cuenta que donde la f() crece esta decrece y donde decrece esta crece. Además los cortes con OX de f() son asíntotas verticales de esta otra. b) y = f (- ) Se dibuja teniendo en cuenta que esta gráfica es la simétrica de f() respecto al eje de ordenadas. 180

21 c) y = - f () Se dibuja teniendo en cuenta que esta gráfica es la simétrica de f() respecto al eje de abscisas. d) y = f() Se dibuja teniendo en cuenta que esta gráfica se obtiene de f() manteniendo la parte de ordenadas positivas y las ramas de ordenadas negativas se hace su simétrica respecto al eje de abscisas. 181