b) Calcula el valor de x, aplicando las propiedades de los logaritmos: b) Obtén el criterio de formación de la siguiente sucesión recurrente:

Transcripción

1 Ejercicio nº.- a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: log log log 9 b) Calcula el valor de, aplicando las propiedades de los logaritmos: 8 log log log4 Ejercicio nº.- a) Halla el término general de la sucesión: ; 4,; 8,8; 8,; b) Obtén el criterio de formación de la siguiente sucesión recurrente:, -, 4,, 7, Ejercicio nº.- Resuelve: a) 7 b) c)

2 Ejercicio nº 4.- Calcula los lados y los ángulos del triángulo ABC: Ejercicio nº.- a) Demuestra la siguiente igualdad: cos cos sen sen cos tg b) Resuelve: sen cos Ejercicio nº 6.- Representa z i, su opuesto y su conjugado, y eprésalos en forma polar. Ejercicio nº 7.- Calcula: a) ( 7 i ) i i 4 b) 4 4 i Ejercicio nº 8.- Las coordenadas del punto medio del segmento Halla B, sabiendo que A(6, ). AB son (, ).

3 Ejercicio nº 9.- Las coordenadas de tres de los cuatro vértices del paralelogramo a) Halla las coordenadas del vértice D. b) Halla el área del paralelogramo. ABCD son A(, ), B(6, ) y C(, ). Ejercicio nº.- a) Identifica la siguiente cónica y represéntala: 4y 4 b) Cuáles son sus focos? Ejercicio nº.- Halla los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: a) lim 6 b) lim 6 c) lim 6 Ejercicio nº.- Halla la función derivada de cada una de las siguientes funciones: 4 9 a) f ( ) b) f ( ) ( ) e c) f Ejercicio nº.- Dada la función : f ( ) a) Escribe la ecuación de la recta tangente a la función en. b) Halla los tramos en los que la función crece y en los que decrece.

4 Ejercicio nº 4.- Dada la función: f ( ) si si > a) Estudia su continuidad. b) Dibuja su gráfica. Ejercicio nº.- a) Dibuja la gráfica de la función: f ( ) b) Ayúdate de la gráfica para estudiar los siguientes aspectos de de crecimiento y de decrecimiento. f ( ) : dominio, continuidad e intervalos Ejercicio nº 6.- a) Dibuja la gráfica de la función: f ( ) b) Sobre la gráfica anterior, estudia la continuidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f ( ). Ejercicio nº 7.- Hemos medido la longitud del palmo de cinco alumnos y alumnas de un instituto y hemos anotado el número de calzado que usan, obteniendo los siguientes resultados: Longitud del palmo (cm) 6 N.º Calzado Halla el coeficiente de correlación y la recta de regresión para esta distribución. Qué podemos decir acerca de la relación entre las dos variables?

5 Ejercicio nº 8.- Sabiendo que: P [ A' B' ], ; P [ A],; P [ A B], Calcula P [ B], P [ A/B] y P [ A B] Ejercicio nº 9.- Una urna, I, contiene bolas rojas y blancas. Otra urna, II, tiene bolas rojas y blancas. Se etrae una bola de la urna I y se introduce en la urna II. Finalmente, se etrae una bola de la urna II. Calcula la probabilidad de que: a) La segunda bola sea roja. b) La primera sea roja si la segunda lo es. Ejercicio nº.- La probabilidad de obtener premio en un sorteo semanal es del %. Si jugamos durante 8 semanas, calcula la probabilidad de: a) Obtener premio más de 6 veces. b) No obtener premio ninguna vez. Ejercicio nº.- Las estaturas, en cm, de un grupo de personas se distribuyen según una Calcula, en este grupo de personas, la probabilidad de: a) Medir más de 7 cm. b) Medir entre y 6 cm. N( 6, ). Ejercicio nº.- En un instituto hay chicas y 8 chicos. Calcula la probabilidad de que en un grupo de alumnas y alumnos haya mas de chicos.

6 Ejercicio nº.- a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: log log log 9 b) Calcula el valor de, aplicando las propiedades de los logaritmos: 8 log log log4 4 a) log log log 4 b) log log 4 4 Ejercicio nº.- a) Halla el término general de la sucesión: ; 4,; 8,8; 8,; b) Obtén el criterio de formación de la siguiente sucesión recurrente:, -, 4,, 7,

7 ( ) tanto: Por a) Es una progresión geométrica con n a n,., r y a b) Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores: para > n a a a, a, a n n n Ejercicio nº.- Resuelve: 7 a) b) c) a) ( ) ± (no vale) b) ( ) [ ] Imposible, Intervalo c) 4 Ejercicio nº 4.- Calcula los lados y los ángulos del triángulo ABC:

8 Aplicamos el teorema del coseno para hallar el lado c: c c c a b abcoscˆ cos , c c,48,79 cm Aplicamos el teorema de los senos para hallar el ángulo Â: a c 7,79 senaˆ sencˆ senaˆ sen4 ˆ 7sen4 sena,777,79 El ángulo Bˆ lo obtenemos así : Así: ( Aˆ Cˆ ) B ˆ 8 Aˆ 9' " ˆ A 9' "; a 7 cm ˆ B 89 ' 9"; b 9 cm ˆ C 4 ; c,79 cm Ejercicio nº.- a) Demuestra la siguiente igualdad: cos cos sen sen cos tg b) Resuelve: sen cos

9 a) cos cos sen sen cos ( cos sen ) ( cos sen ) ( cos sen ) ( cos sen ) cos cos sen sencos cos sen cos sen sen sen cos cos cos cos tg b) sen cos sen sen sen π sen 9 6 k π k sen con k π sen 7 6 k π k Z Ejercicio nº 6.- Representa z i, su opuesto y su conjugado, y eprésalos en forma polar. Opuesto : z i; Conjugado: z i Representación: Z i Z _ i Z Forma polar: z 8 z ; z ; 4 Ejercicio nº 7.- Calcula: a) ( 7 i ) i i 4

10 b) 4 4 i a) 4 ( 7 i ) i ( 7 i ) i ( 7 i ) ( i ) i i i 7i i i ( 7i ) ( i ) i ( i ) ( i ) ( ) i i 4i 7i i 7i i i 4 7 i b) 4 4 i 8 para n 6 n n,, Las tres raíces son: ( cos i sen ),, 97i ( cos i sen ),, 9i ( cos 4 i sen 4 ),88, 68i 4 Ejercicio nº 8.- Las coordenadas del punto medio del segmento Halla B, sabiendo que A(6, ). AB son (, ). Llamamos M Llamamos al punto medio de ( y ) B, AB, así, M(, ). Como M es el punto medio de AB, ha de ser: 6 y, es decir: 6 y Por tanto, B(, ). (, ) 6 6 y 4 y

11 Ejercicio nº 9.- Las coordenadas de tres de los cuatro vértices del paralelogramo a) Halla las coordenadas del vértice D. b) Halla el área del paralelogramo. ABCD son A(, ), B(6, ) y C(, ). a) 4 D Y 4 C h B A X 4 6 Para hallar D, tenemos en cuenta que : BC AD. (, y ), tenemos que: (, ) (, ) Si llamamos D y Así: y y Las coordenadas de D son : D (, ) b) Tomamos como base, b, el lado AB: b AB ( 6 ) ( ) 7 La altura, h, correspondiente al vértice C, es la distancia de C al lado AB. Hallamos la recta, r, que pasa por A y B: m y y La altura será: ( ) 4y 4 r: 4 ( C, ) h dist r 4 7 ( 4) 7 Por tanto, el área es: 7 Área b h u

12 Ejercicio nº.- a) Identifica la siguiente cónica y represéntala: 4y 4 b) Cuáles son sus focos? a) 4y 4 y 4 Es una hipérbola, cuya gráfica es: b) Como c a b, y a y b c c ± Los focos son F (, ) y F' (, ). Ejercicio nº.- Halla los siguientes límites y representa los resultados que obtengas: a) lim 6 b) lim 6 c) lim 6 a) lim

13 b) lim 6 c) lim lim 6 ( ) lim ( ) ( ) Hallamos los límites laterales: lim ; lim ( ) ( ) Representación: Ejercicio nº.- Halla la función derivada de cada una de las siguientes funciones: 4 9 a) f ( ) b) f ( ) ( ) e c) f a) f ' b) f ' c) f ' ( ) 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e e ( )

14 Ejercicio nº.- Dada la función : f ( ) a) Escribe la ecuación de la recta tangente a la función en. b) Halla los tramos en los que la función crece y en los que decrece. ( ) 6 a) f ' ( ). La pendiente de la recta es f ' Cuando, y La recta será:. ( ) y b) Estudiamos el signo de la derivada: 6 > 6 > > 6 6 < 6 < < 6 Es decreciente en, y creciente en,, y tiene un mínimo en Ejercicio nº 4.- Dada la función: f ( ) si si > a) Estudia su continuidad. b) Dibuja su gráfica. a) Si Si, : ( ) lim ( ) la función es continua. lim f lim f ( ) lim ( ) f ( ) Es una función continua. También es continua en. b) Si, es un trozo de recta horizontal.

15 Si >, La gráfica sería: es un trozo de parábola. Y X 4 6 Ejercicio nº.- a) Dibuja la gráfica de la función: f ( ) b) Ayúdate de la gráfica para estudiar los siguientes aspectos de de crecimiento y de decrecimiento. f ( ) : dominio, continuidad e intervalos a) lim ; lim Puntos de corte con los ejes: Con el eje X 9 ( 9) ± 9 6 4,86,8 Con el eje Y Puntos Puntos singulares: (, ) ; ( 4,86; ) y (,8; ). y Punto (, ) f ( ) ± 4 ± 4 Punto, Punto (, 9) Gráfica:

16 Y X b) Dominio R Es una función continua. Creciente en, ( ) (, ) y decreciente en (, ). Ejercicio nº 6.- a) Dibuja la gráfica de la función: f ( ) b) Sobre la gráfica anterior, estudia la continuidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f ( ). a) Dominio R { } Puntos de corte con los ejes: Con el eje X Con el eje Y No corta al eje Y, pues Punto (, ). no está en el dominio. Asíntota vertical: lim f ( ) ; lim f ( ) Asíntota horizontal : y lim f ( ) ; lim f ( ) Puntos singulares :

17 ( ) ( ) f ' ( ) 4 4 Punto,. 4 Gráfica : Y b) Continuidad: 4 X Si En, es continua. es discontinua, pues tiene una rama infinita (asíntota vertical). Creciente en (, ) y decreciente en (, ) (, ). Ejercicio nº 7.- Hemos medido la longitud del palmo de cinco alumnos y alumnas de un instituto y hemos anotado el número de calzado que usan, obteniendo los siguientes resultados: Longitud del palmo (cm) 6 N.º Calzado Halla el coeficiente de correlación y la recta de regresión para esta distribución. Qué podemos decir acerca de la relación entre las dos variables? Llamamos a la longitud del palmo e y al número de calzado.

18 i y i i y i i y i Medias: ; y 9 8 Desviaciones típicas: σ 446,,8 σ y 76 8,, Covarianza: 49 σ y 8,, Coeficient e de correlación : r, 88, 8, Recta de regresión:, m y,4 y 8,4 ( ),4 8, 76, Hay una relación fuerte y positiva entre las dos variables; a mayor longitud del palmo, mayor número de calzado. Ejercicio nº 8.- Sabiendo que: P [ A' B' ], ; P [ A],; P [ A B], Calcula P [ B], P [ A/B] y P [ A B] [ A' B' ] P [ ( A B) '] P [ A B], P [ A ], 8 [ A B] P [ A] P [ B] P [ A B] P B P

19 [ B], P [ ], 6,8, P B P [ A B] [ A B] P [ B] P, /,6,7 [ A ], 8 P B Ejercicio nº 9.- Una urna, I, contiene bolas rojas y blancas. Otra urna, II, tiene bolas rojas y blancas. Se etrae una bola de la urna I y se introduce en la urna II. Finalmente, se etrae una bola de la urna II. Calcula la probabilidad de que: a) La segunda bola sea roja. b) La primera sea roja si la segunda lo es. Hacemos un diagrama en árbol: 9 9 a) P [ ª R] P [ ] [ R y R] 7 b) P ª R ª R P ª R 9 7 [ ] 9 Ejercicio nº.- La probabilidad de obtener premio en un sorteo semanal es del %. Si jugamos durante 8 semanas, calcula la probabilidad de: a) Obtener premio más de 6 veces. b) No obtener premio ninguna vez. Se trata de una binomial B( 8;,).

20 [ > 6] P [ 7] P [ 8],,99, a) P b) P 7,9 4 [ ],99 8, 9 6 7,9 4, 4 7,9 4 Ejercicio nº.- Las estaturas, en cm, de un grupo de personas se distribuyen según una Calcula, en este grupo de personas, la probabilidad de: a) Medir más de 7 cm. b) Medir entre y 6 cm. N( 6, ). N ( 6, ) z N(, ) 7 6 a) P [ > 7] P z > P [ z > ] P [ z ],977, b) P [ < < 6] P < z < P < z < P z < P z < P z < P z [ ] [ ] [ ] [ ] ( [ ] ) [ z < ] P[ ],84,977, 88 P z Ejercicio nº.- En un instituto hay chicas y 8 chicos. Calcula la probabilidad de que en un grupo de alumnas y alumnos haya mas de chicos. Si llamamos "n de chicos en el grupo", tenemos que es B ( ;,47 ), puesto que: P [ chico], 47 Tenemos que calcular P > [ ] ; lo hacemos aproimadamente con una normal : µ n P,47 4,; σ npq,7 Entonces:

21 es ( ;,47 ) ' es N ( 4,;,7 ) z es N(, ) B Así: P, 4,,7 P z <,4,994, [ > ] P [ ',] P z P [ z, 4] [ ] 96