Teóricas de Análisis Matemático (28) Práctica 4 Continuidad

Transcripción

1 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad Práctica 4 Parte Continuidad 1. Idea de continuidad Intuitivamente una función es continua en un punto a si está definida en dicho punto y su gráfico puede dibujarse sin tener que levantar el lápiz del papel. Para visualizar este concepto, consideremos las siguientes funciones reales en : f () 1 La función f1() no está definida en pues el dominio de la función es Domf (),,. Por lo visto al estudiar límite de funciones, sabemos que lim() f 1 y observamos que al dibujarla hay que levantar el lápiz del papel, con lo cual intuimos que esta función no es continua en. f si 1 si Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 1

2 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad La función f () está definida en y f () 5, o sea, el punto,5 está en el gráfico de f (), pero para dibujarla hay que levantar el lápiz, la función da un salto. Al aproimarse a por la izquierda, la función se acerca a, es decir, lim() f derecha se acerca a 5: lim() f 5 lim() f ; sin embargo al acercarnos por la. Los límites laterales no coinciden, entonces no eiste, sospechamos que la función no es continua en. 4 si f 1 si La función f () está definida en y f () 1, es decir, el punto (;1) está en el gráfico de la función pero al acercarnos al la función se acerca a 4, es decir, lim() f 4 función no coincide con el límite. Acá, también vemos que la función no es continua.. El valor de la f4 4 si 4 si La función f () está definida en y f () 4,o sea, el punto 4 4 ;4 está en el gráfico de la función, y al aproimarse a la función se acerca a 4, es decir, lim() f4 4 función y del límite en. Los valores de la coinciden. Se puede dibujar la función sin levantar el lápiz del papel. Conclusión: la función f 4 () es continua, las otras no lo son. Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires

3 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad Esto nos hace notar que el concepto de continuidad está estrechamente ligado al concepto de límite. Empecemos definiendo la continuidad de una función en un punto y, después, veremos continuidad en un intervalo y sus consecuencias. Definición. Una función f es continua en 1) Eiste f () a, es decir, a Dom() f. a a, si : ) Eiste lim() f, es decir, lim() f lim() f. a a ) El límite y el valor de la función coinciden, es decir lim()() f a f a. Al volver a los ejemplos, podemos afirmar que : La función f 1 () es discontinua porque no cumple la condición 1). La función f () es discontinua porque no cumple la condición ). La función f () es discontinua porque no cumple la condición ), esta se conoce como discontinuidad evitable. La función f 4 () resulta continua.. Funciones continuas Una función es continua si lo es en cada punto de su dominio. Ejemplo. f () es continua para todo punto de su dominio. Domf. Una función es continua en un intervalo, si lo es en cada punto de dicho intervalo. Ejemplo. g() 8 definida en el intervalo 4 1 es continua. La suma de funciones continuas es continua, así como también, el producto y el cociente donde el denominador es no nulo. Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires

4 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad Ejemplos. h()()() f g 8 para 4 porque el dominio de g() k()().() f. g 8 también resulta continua. Como la función f () es continua y una función polinómica es una combinación de productos y sumas de estas, todas las funciones polinómicas son continuas. Ejemplo. f () 4 es una función polinómica, por lo cual es continua. Las funciones sen() cos(),, ey ln() son continuas en su dominio. A las funciones que no son continuas, se las llama discontinuas. Hay discontinuidades como las del ejemplo f 1 () donde no se puede redefinir la función y no se puede evitar pero otras si son evitables..1 Discontinuidades evitables La función f () 5 4 no está definida en 5 (se anula el denominador). Con esto alcanza (condición ) de la definición) para decir que f no es continua en ese punto (es decir, f () es discontinua en 5). Sin embargo: lim() f lim lim lim( 4 ) (La situación es similar a f (), ver su gráfico) Como eiste el límite de la función en 5 y es igual a 6, redefinimos la función f agregando de esta manera el valor del límite en 5 La nueva función g () definida así: (obtenemos una función continua). 5 si 4, 5 g () 4 6 si 5 es continua en 5. Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 4

5 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad 4 Ejercicio 1. Decidir si si f 4 si es continua en. Para ver si la función es continua, debemos calcular el límite en, reemplazando 4( )( ) y simplificando, obtenemos ( )( ) lim lim 4. Como el límite coincide con el valor de la función en el punto, podemos afirmar que f () es continua en. Ejercicio. Decidir si f () 1 6 si 1 si 1 es continua en 1. Para ver si la función es continua debemos calcular el límite en 1, pero como es una función partida debemos calcular los límites laterales en 1. Calculemos lim() f 1, por la definición de la función, esto es igual a lim Calculemos lim() f 1, por la definición de la función, esto es igual a 1 lim 1. Para calcular este límite, multiplicamos y dividimos por el conjugado de 1 o sea, 1, el producto da 1, lim() f lim ( 1) 1 y queda así 1 1 lim. ( 1) Entonces como los límites laterales coinciden, decimos que lim() f de la función en el punto. Podemos afirmar que f () es continua en 1. y coincide con el valor Ejercicio. Decidir si sen() si 0 f si 0 es continua en 0. Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 5

6 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad Para ver si la función es continua, debemos calcular el límite en 0 de la función en dicho punto. y ver si coincide con el valor Al ser una función partida, tenemos que calcular los límites laterales y ver que coinciden. Calculemos sen() lim() f lim. 0 0 sen() a Recordemos que lim 1, lo utilizamos para calcular este límite, y al multiplicar 0 a numerador y denominador por queda sen() () sen lim lim. 0 0 Luego, calculemos lim() f lim. 0 0 Como f (0) y como los límites laterales coinciden con el valor de la función, podemos afirmar que la función f () es continua en 0. Ejercicio 4. Hallar a para que la función sea continua en 9. si 9 f () 7 4 a si 9 Por la condición ), es necesario que lim()(9) f f a. 9 Evaluamos el límite lateral de la función en 9, o sea, lim() f 9 lim multiplicando por los conjugados del numerador y del denominador obtenemos lim y como 9 y obtenemos lim lim Para que f sea continua, el límite debe coincidir con el valor de la función que es a, es decir que 4 a o sea, a. 9 a, por lo tanto, 4, Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 6

7 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad La función resulta continua para a, a. Pueden resolver los ejercicios 11 y 1 de la Práctica 4.. Propiedades de las funciones continuas Como consecuencia directa de la definición, las funciones continuas tienen las siguientes propiedades: Conservación de signo. Si una función f es continua en permanece positiva cerca de a (o negativa si f () a 0 ). a y f () a 0, entonces, f Acotación en un entorno. Si una función f es continua en superior e inferiormente cerca de a (ver gráfico). a, entonces, f () está acotada Demostración: En la definición de límite de una función en un punto, como lim()() f f a a, si obtienen los dos resultados: f () a 1) f () 0 si a a. ) f () está acotada en a a., mirar fijo el gráfico, se f () a f () a f () a f () a f () a a a a Pueden realizar el ejercicio 14 de la Práctica 4 omitiendo el ejercicio 1. Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 7

8 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad Teorema de Bolzano. Si f : ; a b es una función continua, tal que f () a 0 y f () b 0 (o al revés) entonces eiste c ( a;) b tal que f () c 0 Demostración : a c b Consideremos el conjunto A [ a, b ] :() f 0 (en el gráfico es el pintado de rojo). Observemos que A está acotado ( A a; b Entonces, eiste el supremo ), A ( a A ) A c, probaremos que f () c 0. Para ello, descartamos las otras dos posibilidades. Si fuera f () c 0 : Entonces a c b. Por la conservación del signo, f () 0 en ( c ; c para algún suficientemente chico. Luego, el conjunto A está a la izquierda de c. En otras palabras, c es una cota superior (menor que c) del conjunto A. Pero esto contradice que c es la menor de las cotas superiores de A. Si fuera f () c 0 : A c c Entonces a c b. Por la conservación del signo, f () 0 en c;) c. Por lo tanto el intervalo ( c;) c A. Es decir, hay elementos de A a la derecha de c. Pero, esto contradice que c es cota superior de A. Elementos de A c c Luego f () c 0. Ejercicio 5. Dada la ecuación demostrar que tiene una solución en el intervalo 0;1. Solució: La función f () 4 1 es continua. Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 8

9 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad Además, f (0) 1 0 y f (1) El Teorema de Bolzano asegura que eiste c (0;1) tal que f () c 0. Es decir, en el intervalo (0,1) tenemos una solución de Ejercicio 6. Hallar el conjunto de positividad de la función f (). La función f () es continua. Al sacar factor común f de f () 1 que son 0, 1,. y resolver la cuadrática, obtenemos todos los ceros El teorema de Bolzano nos asegura que: entre ceros de la función ella se mantiene toda positiva o toda negativa con lo que basta estudiar el signo de f en los intervalos ; 1, 1;0, 0;, ; Como f 8 0 entonces 0 en el intervalo ; f. Como f 0,5 0 entonces 0 en el intervalo 1;0 Como f. f 1 0 entonces 0 en el intervalo 0; f. Como f 1 0 entonces 0 en el intervalo ; f. f ( ) f () 0,5 f (1) f () negativo positivo negativo positivo Luego, el conjunto de positividad de f es A / f 0 = 1;0 ;. Ejercicio 7. Demostrar que la ecuación 1 Llamemos tiene una solución en el intervalo.es fácil ver que la función f es continua en el intervalo f () 1 Al evaluar la función en los etremos del intervalo, obtenemos que f (1) 1 0 y que f () ;. 1;. Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 9

10 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad El teorema de Bolzano nos asegura que hay un punto 1; 1 0 para algún 1; 1,. c donde f () c 0, con lo cual,es decir, la ecuación 1 tiene una solución en el intervalo Ejercicio 8. Hallar en forma aproimada, con un decimal eacto, una solución de la ecuación: Consideremos la función 5 f () 5, que es continua. Además f (0) 0 y f (1) El teorema de Bolzano asegura que eiste c (0;1) tal que f () c 0. Es decir, en el intervalo (0;1) tenemos una solución de 5 0. En consecuencia, la parte entera de c es 0 (porque está 5 entre 0 y 1). Para encontrar el primer decimal, estudiamos el signo de f f f (0,8) y vemos en qué intervalo cambia de signo. Haciendo esto se obtiene 1 ; 0,... etc. hasta f (0,1) f (0, ) f (0, ) f (0, 4) f (0, 5) f (0, 6) f (0, 7) f (0,8) negativo negativo negativo negativo negativo negativo positivo positivo Usamos el teorema de Bolzano en el intervalo 0,6;0,7. En este intervalo, la función f pasa de negativo a positivo, entonces eiste un c en ese intervalo tal que f () c 0 que c 0,6.... Por estar allí, se tiene El teorema de Bolzano es un teorema de eistencia. Vemos en este ejemplo, que con solo saber que eiste, tenemos una receta (algoritmo) que permite encontrar la solución con la precisión que se quiera. El teorema de Bolzano se generaliza fácilmente al teorema de valores intermedios. Teorema de los valores intermedios. Sea f : ; a b es una función continua, si y es un número comprendido entre f () a y f () b entonces eiste c ( a;) b tal que f () c y. Para ilustrar la potencia de este resultado, planteamos un curioso problema. Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 10

11 Teóricas de Análisis Matemático (8) Práctica 4 Continuidad Problema. Un automovilista sale de la ciudad A a las 1 hs y llega a la ciudad B a las 16 hs tardando eactamente 4 horas en recorrer los 400 kilómetros que separa una ciudad de la otra. En esas cuatro horas se pudo haber detenido un rato, ir muy despacio o ir muy rápido. Demostrar que, cualquiera haya sido el caso, eiste un intervalo de una hora comprendida entre las 1 hs y las 16 hs donde recorrió eactamente 100 kilómetros. Llamemos f () t a la cantidad de kilómetros que lleva recorridos a la hora t. Así f (1) 0 y f (16) 400. Asumimos que la función f es continua. Consideremos, ahora, la función continua g()( t 1)() f t f t definida para 1 t 15. La función g mide la cantidad de kilómetros recorridos entre la hora t y la hora t 1. Para resolver el problema, bastaría saber que eiste un instante t 0 (1,15) tal que g() t Veamos que el Teorema de los Valores Intermedios puede venir en nuestra ayuda. Se tiene que Si se suman estos cuatro números, se obtiene: g(1)(1)(1) f f g(1)(14)(1) f f g(14)(15)(14) f f g(15)(16)(15) f f g(1)(1)(14)(15)(16)(1) g g g 400 f f En consecuencia los cuatro números no pueden ser todos menores que 100 porque, si así fuera, su suma no llegaría a 400. De la misma manera, no pueden ser todos mayores que 100 porque, en tal caso, su suma sería mayor que 400. Entonces alguno de los cuatro tiene que ser menor o igual que 100 y algún otro tiene que ser mayor o igual que 100. (por ejemplo g(1) 100 y g(15) 100 o cualquier otro). El teorema de los valores intermedios nos asegura que entre esos dos instantes (entre las 1 hs y las 15 hs) hay un instante t 0 tal que g() t No sabemos cuál es ese instante, pero sí sabemos que eiste tal instante. Se pueden resolver los ejercicios 15 a 19 de la Práctica 4. Cintia Buton, Lisi D Alfonso, Flora Gutierrez, Gabriela Jeronimo, Gustavo Massaccesi, Juan Carlos Pedraza y Juan Sabia (015), Continuidad, Teóricas de Análisis Matemático (8). Área de Matemática Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires 11