A) Cálculo de límites cuando x

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "A) Cálculo de límites cuando x"

Marcos Barbero Roldán
hace 7 años
Vistas:

1 Límites en el infinito A) Cálculo de límites cuando I.-Indeterminación 6.-Calcular ( ) (9...).- Calcular Nota: no hemos desarrollado completamente ( ) porque, cuando tiende a infinito, predomina la tendencia del monomio de mayor grado..- Calcular Calcular.. II.-Indeterminación.- Calcular ( ) ( ) Indeterminación que se resuelve multiplicando y dividiendo por la epreón ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( / - ) 5.- Calcular ( ) resta de ambas fracciones algebraicas. Indeterminación que se resuelve realizando previamente la 5 ( ) 5 ( 8 ( ).( ) ) - -

2 Límites continuidad pasando así a otra indeterminación de la forma y que, como hemos visto en los ejemplos del apartado I, se resuelve, resultando 7 º.- ( libro pag 6-6)Calcular el valor de a para que se verifique ( a ) ( a ) Indeterminación que se resuelve multiplicando y dividiendo por la epreón ( a ) ( a ) a a ( a )( a ) a a > a ( a ) a B) Cálculo de límites cuando c I.-Indeterminación. Se resuelve factorizando, numerador y denominador, y mplificando antes de proceder a calcular el límite..- Calcular, factorizando numerador y denominador ( )( ) ( ) ( ).- Calcular en este caso se requiere, como paso previo a la mplificación, multiplicar, a numerador y denominador, por ( ) ( ).(.( ) ) ( ) ( )).( ) ( ) ( ).( ).( ) ( ) ( ) - -

3 .- (pag 6-9(b))Calcula el valor de k para que la función f() k Límites continuidad 8-9 sea continua La función f() está definida, de igual forma, para todo por lo que miraremos que problema presenta en él. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) k Para que f() sea continua en todo R es necesario que k C) Límites laterales Hay ocaones, en las que el límite de una función en un punto, c, depende de cómo nos acerquemos a ese punto, ya sea por su derecha ( c ) o por su izquierda (c - ). En estas ocaones se hace necesario calcular sus límites laterales. En estos casos diremos que: una función f() tiene como límite L, en c, f ( ) f ( ) L c c.- Determinar en la función f() 5 7 < tiene límite Límite por la izquierda: ( -) < ; Límite por la derecha: (5-7) < ; Como los límites laterales coincide y su valor es L8, diremos que f() 8.- Hallar los límites laterales de f() en. Límite por la izquierda: Límite por la derecha: La función carece de límite en - -

4 º.- (pag 7- ) Estudia la continuidad de la función f() Límites continuidad 8-9 < < > Los tramos que componen la función f() están constituidos por funciones continuas en su dominio. Los puntos a estudiar son - y. Comencemos hallando los límites laterales en ellos. - ( - ) f() es continua en - porque tiene límite y su valor coincide con f(-) ( ) No es continua en porque no tiene límite en él Presenta una discontinuidad con un salto de unidades º.- Pag 7 ej.- En el laboratorio de Biología de la univerdad, han determinado que el tamaño T de los ejemplares de una cierta bacteria ( medido en micras ) varía con el tiempo t, guiendo la ley: t a t < 8 horas t 5 t > 8horas t 8 T(t) El parámetro a es una variable biológica, cuya interpretación trae de cabeza a los científicos, pero piensan que puede haber un valor para el cual el crecimiento se mantenga continua en t 8 a) Decide la cuestión El enunciado nos pide que averigüemos l función T(t) es continua para algún valor de a. Para ello será necesario que esta función tenga límite en t 8 y, así fuese, agnar a T(8) el valor obtenido. Por la izquierda: T(t) 8 8 t a 8 a Por la derecha (8 t) ( t 8)( t 5) 8 T(t) 8 ( t 5 ) 8 ( t 5) 6 t 8 t 5 Si queremos que sea continua para t 8 entonces > 7 8 a y resolviendo > a T(8) 6 6 b) Investiga cuál llegará a ser el tamaño de una bacteria se la cultiva indefinidamente Indefinidamente quiere decir que t tiende a infinito t 5 t t 8 t t t - -

5 Límites continuidad 8-9 Continuidad de una función en un intervalo cerrado.- Da la interpretación geométrica del T de Bolzano y utilízalo para demostrar que las gráficas de las funciones f() y g() cos se cortan en algún punto Conderemos la función diferencia f() g() - - cos Para que se corten en algún punto será preciso que f() g() La función f() g() es una función continua en todo R, por ser una diferencia de dos funciones continuas en él por lo que su continuidad, en cualquier intervalo cerrado [ a, b], está asegurada. Evidentemente que f() g() es una función de la que no es fácil buscar sus raíces, pero podemos tantear para buscar algún intervalo cerrado donde f() g() cambie de gno en sus etremos. Si > f() g() - cos - < Si > f() g() - - cos > Podemos asegurar que f() g() tiene alguna raíz c en [, ] y para ese valor f(c) g(c) > f( c ) g( c ) En la figura que se acompaña aparecen las funciones:.f() en color azul g() en color verde f() g() en color rojo Vemos que la función f() g() corta al eje de abscisas en c entonces f() y g() se cortan en c.- De una función g() se sabe que es continua en el intervalo cerrado [, ] y que para < es: g(). Cuánto vale g()? Si es continua en [, ] la función debe serlo, en todos los puntos interiores, que lo es por ser cociente de funciones continuas y a la derecha de.para ello hallamos. Indeterminación que resolvemos ( ) ( ) g() - 5 -

6 Límites continuidad 8-9 º.- Demuéstrese que las gráficas de las funciones f() e y g() se cortan en un punto >.( PAU) Conderemos la función h() f() - g() e - Al igual que el el ejercicio, necetas encontrar un intervalo cerrado donde h() cambie de gno en sus etremos ya que h() es continua por ser combinación lineal de funciones continuas para >. Este intervalo puede ser [ 5, ]. Comprueba que en él se cumplen las condiciones del T. Bolzano º.- Dada la función f() e < observamos que está definida en [, ] y que verifica f() - y f() e, pero no eiste un c (, ) tal que f( c ) Contradice el T. De Bolzano? Para que se cumplan todas las condiciones del T. De Bolzano es necesario que f() sea continua en (, ), veamos lo es para 7 8 e e 7 8 La función no es continua en luego no cumple las condiciones del terorema 5º.- Se sabe que f() es continua en [ a, b] y que f(a) y f(b) 5. Es poble asegurar que para algún c perteneciente a [ a, b] cumple que f( c ) 7?Razona la respuesta y pon ejemplos No. El T de Darbou nos asegura que f() alcanza todos los valores intermedios entre y 5 pero f( c ) 7 cae fuera de este intervalo. Esto no quiere decir que no pueda ser cierto. Por ejemplo la función f() - 5, es continua en [, ] y n embargo no alcanza el valor 7 para valor alguno de c [, ] ( Ver figura adjunta

7 Límites continuidad 8-9 6º.- (ejerc 9-pag 8) Una ecuación polinómica de grado es seguro que tiene alguna raíz real. Demuestra que es así, y di ocurre lo mismo con las de grado. Sea el polinomio p() a b c d del que, para fijar ideas, supondremos que a > ( a b c d ) ( a b c d ) a - a El valor del límite cambia de gno. Siempre podemos elegir un [c, c ] ( -, ) donde p() cambie de gno en sus etremos Para un polinomio de grado no podemos decir lo mismo porque los límites anteriores serían de igual gno. 7º.- ( pag 8)Si el término independiente de un polinomio en es igual a 5 y el valor que toma el polinomio para es 7, razona que hay algún punto en el intervalo (, ) en el que el polinomio toma el valor. Sea el polinomio p() g() 5, donde g() incluye a los restantes monomios de grado Para > p() g() 5-5 < Para > p() g() 5 7 > La función polinómica f() es continua en [, ] luego, por T. de Darbou, para cualquier valor de la función, comprendido entre 5 y 7 eistirá, al menos un valor c, para el que f(c ) -. 8º.- ( pag 8) Condera la función f(). Determina su dominio. Dibuja su gráfica y razona se puede agnar un valor a f() para que la función sea continua en todo R. Dominio: R - { } Gráfica: la de la derecha De la gráfica deducimos que f() no puede ser continua en porque presenta en él una discontinuidad inevitable. No obstante lo comprobaremos hallando los límites laterales en,5, ,5 - -,5-7 -

8 Límites continuidad 8-9 9º.- (6 pag 8) Si dos funciones f() y g() se sabe que son continuas en [a, b], que f(a) > g(a) y que f(b) < g(b). Puede afirmarse que para algún punto c ( a, b) se cortan las gráficas de ambas funciones? La forma de resolver este ejercicio es semejante a la que hemos aplicado en otros ejercicios anteriores. Formamos la función diferencia d() f() g() Esta función es continua en [a, b] por ser combinación lineal de dos funciones continuas en él, y además: Para a > d(a) f(a) g(a) > Para b > d(b) f(b) g(b) < Por T. Bolzano eiste algún c ( a, b) para el que d( c ) f(c ) g( c ) por lo que sus respectivas gráficas se cortan para c ( ver gráfico ejercicio ) º.- Si una función no está definida en puede ocurrir que f() 5? Puede ser continua en? Continua no puede ser porque una de las condiciones de continuidad en un punto eige que la función esté definida en él. Si puede tener límite 5 o cualquier otro número real. Veamos un ejemplo ( )( ) ( )( ) Sea f(). No está definida en y n embargo ( ) 5 º.- De una función continua, f, sabemos que f() < < y f() > >. Podemos saber el valor de f()? Si, necesariamente f(). La justificación, opino, se sale de los contenidos programados para este nivel. Es necesario conocer una propiedad, del límite de una función en un punto, que, en resumen, podemos enunciar así: f() tiene límite real cuando tiende a c, en un cierto entorno reducido ( c δ, c δ) la función f() toma valores de igual gno que el límite Según esto f() no puede ser > porque en un cierto entorno reducido de, ( δ, δ)la función cumpliría que f() > lo que contradice la hipótes del enunciado. Con el mismo razonamiento podemos llegar a la concluón que f() no puede ser < - 8 -

Documentos relacionados

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=