Se dice que la variable L se hace infinita cuando llega a ser mayor, en valor absoluto, que cualquier número dado por grande que sea.

Transcripción

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2 DEFINICIÓN DE LIMITE: Se dice que una constante A es el Límite de una variable cuando ésta se aproima a aquélla, de modo que la diferencia! A, en valor absoluto, puede hacerse tan pequeña como se quiera. Esto se epresa! A, o bien Lim = A PARA LLENAR UNA TABLA EN LA CALCULADORA.. GRAFICAMOS LA 2. PRESIONAMOS LA TECLA b 2 A Se dice que la variable L se hace infinita cuando llega a ser mayor, en valor absoluto, que cualquier número dado por grande que sea. Si los valores de L se conservan positivos escribiremos L! +", y si los valores de L se conservan negativos escribiremos L! "#. La graficas de la función f() =, observamos que: 2!0 Si f ( ) tiende hacia el ite L a medida que tiende hacia el ite A, esto se epresa por la notación Lim!A f ( ) = L El Límite en general, es el valor al que tiende una función al aproimarse la variable independiente a cierto valor A. La graficas de la función f 2() =, y en la cual observamos que:!0 No eiste, Por qué? Eisten funciones a las cuales no se les pueda aplicar la DEFINICIÓN DE LÍMITE? Justifica tu respuesta utilizando lo aprendido en intervalos y funciones 2 = +" Proponer dos funciones diferentes a f(), f 2() en donde no eista el límite 3. PRESIONAMOS LAS TECLAS b 5 5 Y CAMBIAR LA VARIABLE INDEPENDIENTE A Pregunta 4. Estamos listos para capturar los valores de 0.9, 0.99, 0.999, ,,.000,.00,.0,,

3 Llena las tres tablas para la siguiente función: f () = 4! 2, cuando se aproima a 0, cuando se aproima a -2, y cuando se aproima a 2. Cuando se aproima a cero. f ()!0. "!0.0!0.00! Lim( # 0) 0!0.000!0.00!0.0!0. $. Que sucedió cuando calculaste los cuatro primeros valores (límite por la izquierda)? 2. Que sucedió cuando calculaste los cuatro segundos valores (límite por la derecha)? EJEMPLO EN LA CALCULADORA DE LA SECCIÓN Eiste algo en común con los dos ites anteriores? 4. Si el valor al que se aproimo por la izquierda es igual al valor que se aproimo por la derecha que puedes concluir? 5. Que diferencia hay entre la tabla que acabas de llenar con la tablas que llenaste en funciones? CUANDO X SE APROXIMA A MENOS DOS f ()!2. "!2.0!2.00! Lim( #!2) 0!.9999!.999!.99!.9 $.. Que sucedió con los cuatro primeros valores (límite por la izquierda)? 2. Que sucedió cuando calculaste los cuatro segundos valores (límite por la derecha)?

4 3. Cual fue la razón por lo que no pudiste calcular los primeros cuatro valores? 4. Cuál es el dominio de la función? 5. Cuál es tu conclusión? CUANDO X SE APROXIMA A DOS. f ().9! Lim( " 2) #. Que sucedió con los cuatro primeros valores (límite por la izquierda)? 2. Que sucedió cuando calculaste los cuatro segundos valores (límite por la derecha)? 3. Cual fue la razón por lo que no pudiste calcular los segundos cuatro valores? 4. Cuál es el dominio de la función? 5. Cuál es tu conclusión? Ejercicios 3. Verifica en Notas cuales cumplen la DEFINICIÓN DE LÍMITE, las que no tienen solución, aplica el Limite Lateral derecho o izquierdo, colocando en el recuadro del eponente un signo + o según sea el caso INSERTAMOS PAGINA DE NOTAS Y CAPTURAMOS !"2! "6 $ & " 0 # 3.! % & 2 " 0 > ' 4.!"7 3 " Construye una tabla adecuada para cada Límite.

5 Anota los ocho intervalos básicos. Proporciona un conjunto de funciones donde el Dominio de cada función este relacionado con cada uno de los intervalos básicos. Determina si hay condiciones que debe tener cada una de la funciones, para aplicar la DEFINICIÓN DE LIMITE? Para que eista ite unilateral, Cuál es la condición?

6 Definición intuitiva. Es una función cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Continuidad en un punto. El análisis de la definición de continuidad nos muestra que para ser continua en el punto a, una función debe satisfacer las siguientes tres condiciones:. GRAFICAMOS LA 2. PRESIONAMOS LA TECLA b PARA ACCEDER A Y LO CONSTRUIMOS DE LAS MISMAS DIMENSIONES QUE EL DE LA IZQUIERDA. a) La función f debe estar definida en a, (de modo que f a ( ) eista). ( ) b) Debe eistir el límite de f cuando tiende a a. c) Los números de las condiciones a), b) deben ser iguales Lim!a f ( )= f a ( ) Continuidad en un intervalo. Una función es continua en un intervalo I, si en continua en cada punto de I. Como no eiste una definición formal de discontinuidad se toma como definición de discontinuidad, la negación de continuidad. Ahora bien si la función es discontinua, podemos tratar los siguientes conceptos: Ejercicios 3.2 Abre el archivo Limites 2-3.tns y Grafica las funciones en color azul y determina si las funciones son continuas o discontinuas; si son discontinuas localiza el valor de. Nota: El archivo consta de 4 páginas, una para cada función, en dos columnas la izquierda para Notas y la derecha para Graficas. 3. PRESIONAMOS LA TECLA b PARA ACCEDER A Y COLOCAMOS UN PUNTO SOBRE LA GRÁFICA, CERCANO A 4, ESC; SEÑALAMOS EL TEXTO DE LAS COORDENADAS Y PRESIONAMOS DOBLE CLIC ENCIMA DEL VALOR DE Y LUEGO PRESIONAMOS 4, QUEDANDO LAS COORDENADAS COMO EN LA FIGURA IZQUIERDA. f () = f 2() =!2! f 3() = (!)7 (2! 5) 4 f 4() = 2 + 2! 8 3! 2 2 f 5(h) = 9 + h! 3 h y! 3 f 6(y) = y! 3 f 7() = 2 +! 2 2! f 8() = f 9() = (! 2)2 4!6 2! 4 3 ( + 2) 2 +!! f0() = " cos(!) f(!) =! #sen(!) f 2() = sen2 f3() = ! cos() f4() = 4. PRESIONAMOS LA TECLA b PARA ACCEDER A Y TRAZAMOS UNA LÍNEA VERTICAL SOBRE EL PUNTO, ESC (SI NOS COLOCAMOS EN LOS EXTREMOS DE LA LÍNEA LA PUEDO AJUSTAR A LAS DIMENSIONES DE LA CAJA). 5. COLOCA EL CURSOR SOBRE EL PUNTO Y DESLIZALO POR EL INTERVALO.

7 La recta = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f () si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero: a. Lim!a + b. Lim!a + c. Lim!a " d. Lim!a " f ( )= +" f ( )= "# f ( )= +# f ( )= "# SE REGRESA A LA GRAFICA Y SE LOCALIZA LA DISCONTINUIDAD La recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f si al menos una de las proposiciones siguientes es verdadera. a. Lim f ( ) = b, para algún " +! número N, si > N, entonces f ( )! b Lim f =, para algún b. ( ) b #!" número N, si f! ( ) b > N, entonces Ejercicios 3.2 En las graficas de la sección 2. determina cuales son asintóticas y traza en grafica la(s) asíntota(s) vertical(es) u horizontal(es), en Notas has tus observaciones y colaca las ecuaciones de las asíntotas. f () = f 2() =!2! f 3() = (!)7 (2! 5) 4 f 4() = 2 + 2! 8 3! 2 2 f 5(h) = 9 + h! 3 h y! 3 f 6(y) = y! 3 f 7() = 2 +! 2 2! f 8() = f 9() = (! 2)2 4!6 2! 4 3 ( + 2) 2 +!! f0() = " cos(!) f(!) =! #sen(!) f 2() = sen2 f3() = ! cos() f4() = NOTA: Revisa las respuestas de la secciónes 3.2 y 3.3. Verifica que en tus Notas utilizaste el lenguaje matemático correcto, además de que Notas y Graficas representan lo mismo. TRAZAMOS LAS ASINTOTAS VERTICAL Y HORIZONTAL Y ANOTAMOS SUS ECUACIONES

8 b = b;!c!c!c = c;!c n = c n ;!c ( b " f ( ) ) = b " L; ( f ( ) " g( ) ) = L " K; EJEMPLOS.!c!c f!c ( ) = L; g!c ( ) = K; f ( ) + g( ) ( ) = L + K; ( f ( ) ) n = L n ; f!c g ( ) ( ) = L k k # 0; Si aplicamos la tercera condición de continuidad: f Lim!a ( ) = f ( a) entonces podemos sustituir de manera directa.

9 Para comprender los Límites de Funciones Algebraicas por Factorización es necesario repasar el tema de simplificación de epresiones racionales en donde la factorización y las propiedades de los números nos permiten simplificar; que al sustituir no aparezca la indeterminación; ver al lado derecho la simplificación algebraica de una epresión racional. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIÓN ALGEBRAICA EJEMPLOS Para comprender los Límites de Funciones Racionales tenemos como prerrequisito al tema epresiones racionales, potencias y radicales, factorización y las propiedades de los números; para epresar las fracciones algebraicas en un formato diferente que al sustituir no aparezca la indeterminación. Limites más comunes " c % c!0 # $ & ' = ( 0 = ( (c ) ) = ( c )( = (!0 " % (!0 # $ c & ' = ( c = ( " c %!( # $ & ' = 0 c ( = 0

10 La constante a acepta cualquier valor: Si No Si la respuesta es No Cuál es el intervalo de valores que acepta? La función f () =! a es discontinua: Si No! a Si la respuesta es Si en qué valor es discontinua? Cuántas graficas representa la función f () =! a Una Infinitas! a Justifica tu respuesta: EJERCICIOS. Analiza la siguiente epresión algebraica: a) Divide algebraicamente la siguiente epresión +! 2 b) Si la consideramos como una función y = +! 2 c) y la graficamos como una función racional, Cuánto vale el límite de la función cuando tiende a tres en la gráfica. + d) Calcula Lim!3 e) Calcula Lim!2 " 2 + " 2 2. Resuelve los siguientes límites en forma analítica. a) Lim!2 4 "6 " 2 = b) Lim!0 + 3 " 2 2 " = c) Lim!3 3 " 729 " 3 = 3 4 d) Lim +!" 5 2 # 2 =

11 Para comprender los Límites de Fracciones Complejas además de repasar el tema de simplificación de epresiones racionales, potencias y radicales, y las propiedades de los números nos permiten epresar las fracciones complejas en un formato diferente que al sustituir no aparezca la indeterminación. Para comprender los Límites al Infinito dividimos entre n, donde n es el eponente más grande de cada término, desapareciendo así la indeterminación.

12 EJERCICIOS 3.5.-!0 ( ) 2.-!"2 ( 2 " 4) ( ") 3.- 7!3 (2 " 5) " 8!2 3 " h!0 y " y!3 y " h " 3 h " 2! 2 " ( " 2) 8.- 2!2 4 " " 4 3!"2 ( + 2) 2 0.-!0 + " ".-!"0 # cos(!)! sen(!) sen 2.- 2!0 # 4 + 5& 3.- Lim!" $ % 2 + 3' ( 4.- Lim!" 5.- Lim y!" 6.- Lim h!0 7.- Lim h!0 # $ % a 4 + b 2 d 3 + h $ 4y 3 # 5' % & 6y 5 # y ( ) & ' ( # ( + h) n " n & % $ h ( ' # % $ + h " h & ( ' 9.- Dado f () =, demostrar que: Lim h! Si f () = a! 2 + b! + c, demostrar: Lim h!0 2.- Dado f () =, demostrar que: Lim h!0 f ( + h) " f () = 2 h f ( + h) " f () = 2a # + b h f ( + h) " f () = " h 2