Continuidad. 4.2 Tipos de discontinuidades CAPÍTULO. De una función que no es continua en un punto se dice que es discontinua en dicho punto.
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- Juan Carlos López Quintero
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1 CAPÍTULO Continuidad. Tipos de discontinuidades De una función que no es continua en un punto se dice que es discontinua en dicho punto. Vamos a clasificar las discontinuidades de una función. Discontinuidad esencial: una función f tiene una discontinuidad esencial en 0 si no eiste! 0 f./. Una discontinuidad esencial puede ser de salto o infinita. f./, pero son difer-. Discontinuidad esencial de salto: cuando eisten! 0 f./ entes.! 0 C Ejemplo.. En la siguiente gráfica, eiste una discontinuidad esencial de salto en D. canek.azc.uam.m: / 5/ 008
2 Cálculo Diferencial e Integral I H En efecto:! f./ D D! C f./ :. Discontinuidad esencial infinita: cuando se cumple al menos uno de los ites siguientes: a.! C 0 f./ D C; b. f./ D C;! 0 c.! C 0 f./ D ; d. f./ D! 0. Ejemplo.. Cuatro ejemplos de discontinuidad esencial infinita: H D f./ D f./ f./ D C! C f./ D!
3 . Tipos de discontinuidades D f./! f./ D C D f./! C f./ D Discontinuidades removibles o evitables: una función f tiene una discontinuidad removible o evitable en 0 si eiste f./, pero o bien no es igual a f. 0 /, o bien f no está definida en!0 0. En ambos casos si redefiniésemos f. 0 / o definiésemos f. 0 / como el valor de!0 f./, la función f resultaría continua en 0. Ejemplo.. Cómo habría que definir f en D resultasen continuas en respectivamente? redefinir g en D para que ambas funciones D f./ D g./ Aquí f./ D! Aquí! g./ D f. / no está definido g./ D H Claramente si definimos f. / D redefinimos g./ D, las funciones f & g resultarían continuas en D en D respectivamente. Ejemplo.. La función f./ D C 6 no está definida en D ni en D, por lo cual es discontinua 9 en dichos puntos.. Qué tipo de discontinuidad tiene f en 0 D?
4 Cálculo Diferencial e Integral I. Qué tipo de discontinuidad tiene f en 0 D? H. Para decidir qué tipo de discontinuidad tiene f en 0 D, debemos investigar la eistencia de! f./ C 6 f./ D!! 9 D. C /!. C /. / D! D D D 6 D ) ) f./ sí eiste.! Entonces la discontinuidad que tiene f en 0 D es removible o evitable. En esta discontinuidad observamos que f. / no eiste que f./ D. Podemos entonces remover o evitar esta discontinuidad definiendo l función f en 0 D como f. / D!.. Para decidir qué tipo de discontinuidad tiene f en 0 D, debemos investigar la eistencia de! f./: C 6 f./ D!! 9 D! : Por el lado izquierdo tenemos:! )! 0 & < )! 0 & < 0 ) )! 0 )! ) f./ D :! Entonces la discontinuidad que tiene f en 0 D es esencial infinita. Por el lado derecho, tenemos también:! C )! 0 & > )! 0 & > 0 )! 0 C ) )! C ) f./ D C :! C D f./ ; «
5 5. Tipos de discontinuidades 5 5 si < I Ejemplo..5 Dada la función g./ D si j j < si 0I j j si : Analizar la continuidad o discontinuidad en 0 D, 0 D 0 en 0 D. Si eiste discontinuidad en alguno de esos puntos, indicar su tipo. H Debemos indagar la eistencia de!0 g./.. En 0 D ; g./ no está definida, por lo cual g es discontinua en 0 D. Además, )! Luego g tiene en 0 D g./ D!!. 5/ D. / 5 D 5 D I g./ D! C! j j D j j D D ) g./ D D g./ ) g./ D ) g./ sí eiste.! C!! una discontinuidad removible o evitable.. En D 0 tampoco está definida g./ por lo que g es discontinua en D 0. Además! 0 ) < 0 ) j j D ) j j D D! 0 C ) > 0 ) j j D )!0!0 g./ D!0 j j D!0 j j D D I D I g./ D!0 C!0 C j j D D I!0 g./ g./ ) g./ no eiste.!0 C!0 Entonces, g tiene en D 0 una discontinuidad esencial de salto.. En D!! g./ D! j j D j j D D I g./ D. / D D I! C! g./ D D g./ ) g./ D :! C! Pero, notando que g./ D para, podemos afirmar que g./ D D. Entonces g./ D D g./ ) g es continua en 0 D :! Por lo tanto no ha discontinuidad en 0 D. Ésta es la gráfica de g: I
6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I D g./ Ejercicios.. Soluciones en la página 0. Bosqueje la gráfica de una función f que cumpla las siguientes condiciones: a. f./ D ;! b.! c. f./ D 0; f./ D C; d. f./ D C;! e. f./ D C;! C f. f./ tiene discontinuidad removible en D ; g. f./ D! C ; h. f./ D!C.. Considere la gráfica de la función f dada en la figura 0 D f./ 5 De la gráfica determine los siguientes ites:
7 7. Tipos de discontinuidades 7 a.! f./; b.!5 f./; c.! f./; Clasifique las discontinuidades. d.! f./; e.!5 C f./; f.! C f./; g.!c f./.. La función f tiene la gráfica siguiente: 5 D f./ a. De la gráfica obtener i. f./i! ii. f./i! C iii. f./i!0 iv. f./i!0 C v. f./i! vi. f./i! C vii. f./i! viii. f./i! C i. f./i!. f./:!c b. Del inciso anterior clasifique las discontinuidades de la función escriba las ecuaciones de las asíntotas verticales horizontales.. Dada la función si < I si D I g./ D si < I si < : Analizar los tipos de discontinuidades en D en D. 5. Trace la gráfica de una función f que tenga una discontinuidad removible en D que además satisfaga las condiciones siguientes:
8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I a. f.0/ D I b. f./ D 0I c. f.6/ D 0I d.! f./ D I e.! C f./ D CI f. f./ D 0I! g. f./ D :!C 6. A partir de la gráfica de f, determine: a. Los puntos de discontinuidad su clasificación. b. Las ecuaciones de las asíntotas verticales las ecuaciones de las asíntotas horizontales. D f./ 7. Bosqueje una posible gráfica de una función f que cumpla con las siguientes condiciones: a. f./ D si < < 6; b. f./ D 0 f./ D 0;!!C c. f. / D 0; d. f./ D!0 C!0 e.!6 f./ D. f./ D ; Señale los puntos de discontinuidad esencial. 8. Si f./ D p, qué tipo de discontinuidad ha en D 0?; esencial?; removible? C Justifique su respuesta. 9. Sea. ; / f g el dominio de una función f. Trace una posible gráfica esa función que cumpla con las condiciones siguientes: a. Los puntos. ; /,. 5; 0/,.; 0/ &.; 0/ están en su gráfica. b. f./ D, f./ D.!! c. f./ D, f./ D C.!! C d.! f./ D, f./ D,! C! f./ D. A partir de la gráfica, determine clasifique los puntos de discontinuidad de la función f.
9 9. Tipos de discontinuidades 9 0. A partir de la gráfica de la función g que observamos a continuación 5 D g./ determine: a. g./i! b. g./i! C c.! g./i d.! g./i e.! g./i f.!c g./: Puntos de discontinuidad su clasificación. Ecuaciones de las asíntotas horizontales verticales.. Sea la función f./ D C C 8 : Encontrar clasificar las discontinuidades. Determinar las asíntotas verticales horizontales.. Dada f./ D C 5 C 5, obtener: a. Puntos de discontinuidad su clasificación b. Asíntotas verticales horizontales. c. Esbozo de la gráfica.. Dibujar la gráfica posible de función f que cumpla las condiciones siguientes: a. f./ D CI! b. f./ D I! c. f./ tiene una discontinuidad removible en D 0I d. f./ D I! e. f./ D :!C
10 0 "! "! $ "! "! 0 Cálculo Diferencial e Integral I Ejercicios.. Tipos de discontinuidades, página D f./ 6 D f./. f./ D 0;! f./ D ;!5!! f./ D f./ D ; f./ D C; f./ D ;!5 C dos discontinuidades esenciales (infinitas) en: D en D 5; f./ D ;! C f./.!c. a.!!0!!! f./ D ; f./ D ;! C f./ D ; f./ D ;!0 C f./ D ; f./ D ;! C f./ D ; f./ D ;! C f./ D ; f./ D ;!C b. En D en D ha discontinuidad de salto, esencial; en D 0 ha una discontinuidad infinita; en D ha una discontinuidad esencial, infinita; D es asíntota horizontal; D 0 es asíntota vertical; D es asíntota vertical.. En D la función g./ tiene una discontinuidad removible; en D la función g./ tiene una discontinuidad esencial, de salto. 6. a. f./ tiene discontinuidad removible 7. en D ; f./ es discontinua en D (discontinuidad infinita); b. D es la única asíntota vertical; D 0 la única asíntota horizontal. 6 D f./ En D 0 ha una discontinuidad infinita (esencial). 8. Si definimos f.0/ D, f resultaría continua en 0, por lo que la discontinuidad es removible # $ $ D f./
11 &% ('. Tipos de discontinuidades f tiene discontinuidades en: D D, que es infinita;, que es esencial; D, que es removible. 0.! g./ D C;! C g./ D ; g./ no eiste ;! g./ D ; g./ D ;!! g./ D ;! discontinuidades esenciales en D ; discontinuidad removible en D ; & D asíntotas verticales: las rectas D & D ; asíntotas horizontales: las rectas D & D,.. f es discontinua en D en D ; una discontinuidad removi- f tiene en D ble; f tiene en D una discontinuidad esencial; D es una asíntota vertical de f es la única; D es una asíntota horizontal es la única.. a. D f D R f 5; g, donde f es continua;. la discontinuidad en D 5 es removible; la discontinuidad en D es esencial infinita; b. D es asíntota vertical; c. D es asíntota horizontal. 5 D f./ D f./
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