Gráfica de una función

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Gráfica de una función"

Transcripción

1 CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Interpretación de gráficas símbolos Con la finalidad de reafirmar la relación eistente entre el contenido de un concepto, la notación simbólica utilizada para representarlo la interpretación gráfica de dicho concepto, mediante ejemplos, trataremos de inducir al lector para que lleve a cabo actividades importantes como son las siguientes: A partir de la gráfica de una función f desconocida, obtener información sobre características relevantes de dicha función f. A partir de condiciones impuestas mediante notación simbólica a una función, bosquejar una posible gráfica de dicha función. A partir de la gráfica de f 0 o bien de f 00, obtener información sobre algunas características de la función f. Para el éito de estas actividades se debe tener claridad en los conceptos, en las notaciones simbólicas utilizadas para representarlos en las interpretaciones gráficas asociadas a dichos conceptos. Ejemplo 9.. Bosquejar la gráfica de una función continua f que satisfaga las condiciones siguientes:. f./ D ;!. f./ D 0;!C. f.0/ D 0;. f./ D ;. f./ D ; 6. f 0.0/ no eiste; 7. f 0./ D 0; 8. f 00./ D 0; 9. f 0./ > 0 si. ; 0/.; C/; canek.azc.uam.m: / / 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I 0. f 0./ < 0 si.0; /;. f 00./ > 0 si. ; 0/.0; /;. f 00./ < 0 si.; C/. H Una gráfica posible de la función f./ es D f./ Ejemplo 9.. Bosquejar la gráfica de una función continua f./ que satisfaga todas las condiciones siguientes:. f./ D C;!. f./ D ;!C. f. / D 0;. f. / D ;. f./ D 0; 6. f./ D ; 7. f./ D 0; 8. f 0. / no eiste; 9. f 0. / D 0; 0. f 0./ D 0;. f 0./ < 0 si. ; /. ; /;. f 0./ > 0 si. ; /.; C/;. f 00./ < 0 si. ; /. ; /.; C/;. f 00./ > 0 si.; /. H Una posible gráfica de la función f./:

3 9. Interpretación de gráficas símbolos D f./ Ejemplo 9.. En la figura siguiente se muestra la gráfica de la temperatura T como función del tiempo t, en un periodo de dos días de primavera en la ciudad de Monterre, empezando desde las 0 horas del primer día. Conteste lo siguiente:. En qué intervalos de tiempo la razón de cambio T con respecto a t es positiva?. En qué intervalos de tiempo la temperatura está bajando?. En qué intervalos la gráfica es cóncava hacia arriba en cuáles hacia abajo?. En qué valores de t se localizan los puntos de infleión cómo los interpreta en términos de la temperatura?. Finalmente, eplique con palabras el comportamiento de la temperatura durante los dos días. T t H

4 Cálculo Diferencial e Integral I. dt dt > 0 en los intervalos de tiempo.6; 8/.0; /.. T decrece en los intervalos.0; 6/,.8; 0/.; 8/.. La gráfica de T es cóncava hacia arriba en los intervalos.0; /.; 6/. La gráfica de T es cóncava hacia abajo en los intervalos.; /.6; 8/.. Los puntos de infleión están en t D, t D en t D 6. En estos puntos la razón de cambio dt pasa de crecer ( 6) a decrecer (). dt. Durante el segundo día, la temperatura tiene el mismo comportamiento (iguales características) que durante el primer día. La temperatura mínima a las seis de la mañana la máima a las seis de la tarde. Ejemplo 9.. Considere la gráfica de la función f : D f./ 0 Determinar el conjunto de D f tales que:. f 0./ > 0, f 0./ D 0, f 0./ < 0.. f 00./ > 0, f 00./ D 0, f 00./ < 0. H. f 0./ > 0 si. ; /. ; 0/ ( ; { f 0./ D 0 si ; 0; ; } ; f 0./ < 0 si. ; / ( 0; ) ; ) ( ) ; C.. f 00./ > 0 si. ; /.; /.; C/; f 00./ D 0 si f ; ; ; g; f 00./ < 0 si. ; /. ; /.; /.

5 9. Interpretación de gráficas símbolos Ejemplo 9.. Suponga que las siguientes son las gráficas de f 0 f 00 para una función f : R! R D f 0./ 0 D f 00./ A partir de las gráficas de f 0 f 00, determine para f : dónde es creciente dónde es decreciente; sus intervalos de concavidad; máimos mínimos relativos puntos de infleión. H. Intervalos de monotonía: La función f es creciente en. ; /,.0; /.; C/. Es decir, f 0./ > 0 en ellos. La función f es decreciente. ; 0/.; /. Es decir, f 0./ < 0 ahí.. Intervalos de concavidad: ( ) ( ) La función f es cóncava hacia arriba en ; en ; C. Es decir, f 00./ > 0 en ellos. ( ) ( La función f es cóncava hacia abajo en ; en ; ). Es decir, f 00./ < 0 ahí.. Máimos mínimos: La función f tiene etremos en D, D 0, D en D. En D en D ha máimos relativos [f./ pasa de creciente a decreciente]. En D 0 en D ha mínimos relativos [f./ pasa de decreciente a creciente].. Puntos de infleión: Ha puntos de infleión en D, D en D pues ahí f 00 cambia de signo (f 00 D 0 en ellos). Ejercicios 9.. Soluciones en la página?? Gráfica de una función sujeta a ciertas condiciones.. Bosquejar la gráfica de una función continua f que satisfaga todas las condiciones siguientes:

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I a. f. / D 0; b. f 0. / D I c. f. / D ; d. f 0. / D 0; e. f./ D ; f. f 0./ D ; g. f.0/ D 0I h. f 0.0/ no eiste; i.!0 f 0./ D C; j. f 0./ < 0 si. ; /I k. f 0./ > 0 si Œ ; C/ f0g; l. f 00./ > 0 si. ; 0/; m. f 00./ < 0 si.0; C/.. Dar un bosquejo de la gráfica de una función f que cumple los requisitos siguientes: a. f./ D ;! b. f./ D 0;! c.! f./ D C; d. f 0./ > 0 para < ; e. f 00./ > 0 para < ; f.! C f./ D 0; g. f.0/ D ; h.! f./ D ; i. f 0./ < 0 para < < ; j. f 00./ < 0 para < < ; k.! C f./ D ; l. f./ D ; m. f 0./ D 0; n. f 0./ < 0 para < < ; o. f 0./ > 0 para > ; p. f 00./ > 0 para < < ; q. f./ D 0; r. f 00./ < 0 para > ; s. f./ D.!C. Dibuje una gráfica de una función f que satisfaga las condiciones siguientes: a.!0 C f./ D ; b.!0 f./ D ; c. f.0/ D ; d.! f./ D C; e.! C f./ D ; f.!c f./ D ; g.! h. f. / D ; f./ D ; i. f 0. / no eiste; j. f 00./ D 0; k. f 00./ < 0 para 0 < < ; ( ) l. f 0 > 0.. Trace una posible gráfica para una función f continua en su dominio:. ; f ; g que satisfaga, f./ D ; f./ D ; f./ D C;! f./ D ;!! f./ D ;

7 7 9. Interpretación de gráficas símbolos 7 f 0./ D 0; f 0./ D 0; f 0./ D 0; f 0./ > 0 si. ; /; f 0./ > 0 si.; / f g; f 0./ < 0 si. ; /; f 0./ < 0 si.; /. Especifique los intervalos de concavidad de su gráfica, los máimos mínimos locales, absolutos.. Trace una posible gráfica para una función f continua en su dominio: Œ ; C/ f ; g que satisfaga: f. / D ; f./ D ; f./ D ;!! f./ D C;! f./ D ; f 0. / D 0; f 0. / D 0; f 0./ D 0; f 0./ > 0 si. ; / f g; f 0./ < 0 si. ; / f g; f 0./ > 0 si.; /; f 0./ < 0 si.; /. Especifique los intervalos de concavidad de su gráfica los máimos mínimos locales absolutos. 6. Dar un bosquejo de la gráfica de una función f que cumpla las siguientes condiciones: f 0./ > 0 para. ; /. ; /; f 0./ < 0 para.; C/; tiene asíntota vertical en D ; D es asíntota horizontal de f. Ejercicios 9.. Soluciones en la página?? Interpretar la gráfica de una función.. Considere la siguiente gráfica de la función f

8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I 9 8 D f./ 6 6 determine: a. Los puntos donde la derivada no eiste. b. Los puntos donde f 0./ D 0. c. Los intervalos donde f 0./ > 0. d. Los intervalos donde f 0./ < 0. e. Los intervalos donde f 00./ > 0. f. Los intervalos donde f 00./ < 0.. Si la gráfica de f es 7 7 D f./ halle: a. Dominio, raíces, paridad rango. b. Monotonía, máimos mínimos locales absolutos. c. Concavidad puntos de infleión. d. Intervalos donde f 0./ > 0, donde f 0./ < 0, donde f 00./ > 0 donde f 00./ < 0.

9 9 9. Interpretación de gráficas símbolos 9 e. Puntos donde f 0./ D 0 e intervalos donde f./ > 0 donde f./ < 0.. A partir de la gráfica dada de f, cuo dominio es Œ 0:; / D f./ 6 determine: a. Los intervalos de crecimiento los de decrecimiento. b. Los intervalos de concavidad hacia arriba los de concavidad hacia abajo. c. Los máimos mínimos relativos, los máimos mínimos absolutos, los puntos de infleión.. A partir de la gráfica de f D f./ 6 determine el conjunto de puntos del dominio de f que satisfacen: a. f 0./ > 0, f 0./ < 0, f 0./ D 0. b. f 00 > 0, f 00./ < 0, f 00./ D 0. c. f 0./ no eiste.

10 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I. La figura siguiente muestra la gráfica de la derivada de una función f la cual es continua en todos los reales. D f 0./.; / 0 0.; / A partir de ella, determine: a. Intervalos donde f es creciente o decreciente. b. Puntos críticos de f. c. Etremos relativos de f. d. Concavidad de f. e. Abscisas de los puntos de infleión de f. 6. Sea f la función que tiene la siguiente gráfica D f./ determine:

11 9. Interpretación de gráficas símbolos a. Los intervalos de continuidad los siguientes valores!a f./,!a C f./,!a f./ & f.a/ para a D, a D, a D. b. La clasificación de discontinuidades. En cuáles puntos con qué valores se puede redefinir f./ para convertirla en una función continua en esos puntos? c. Los intervalos donde f 0 > 0, f 0./ < 0 los puntos donde f 0 D 0, o donde no eiste la derivada. 7. Sea f : R! R una función continua en R cua primera derivada f 0 tiene la siguiente gráfica: D f 0./ Determinar dónde la función f es creciente dónde es decreciente. Eplicar además, cómo es la tangente a la gráfica de f en D, D, D & D.

12 Cálculo Diferencial e Integral I Ejercicios 9.. Gráfica de una función sujeta a ciertas condiciones, página??.. D f./ D f./ Cóncava hacia arriba en. ; / ( ; ).; /;. cóncava hacia abajo en ( ) ;.; /; en D ha un mínimo local. Es mínimo absoluto; en D ha un máimo local; no tiene máimos absolutos.. D f./ D f./. D D D D f./ Cóncava hacia arriba en.; C:/; ( cóncava hacia abajo en máimo local en D ; ( ) ;,.0; / ; ), en. ; 0/; que es mínimo abso- mínimo local en D luto.

13 9. Interpretación de gráficas símbolos 6. Ejercicios 9.. Interpretar la gráfica de una función, página??. a. D & D ; b. D 0 & D ; c. f 0 > 0:.0; /.; /; d. f 0 < 0:. ; /,. ; 0/.; C/; e. f 00 > 0:. ; /; f. f 00 < 0:. ; /.; C/.. a. D f D. ; ; raíces: D 7, D 0 & D ; no es par ni impar; R f D. ; ; ( ) 7 b. creciente en. ; / en ; ; ( decreciente en ; 7 ) ; máimo local en. ; /, es máimo absoluto; ( ) 7 mínimo local en ; ; no tiene mínimo absoluto; c. cóncava hacia arriba en. ; 0/ en.; /; cóncava hacia abajo en. ;.0; /; / en. ; /,.0; 0/.; / son puntos de infleión; ( ) 7 d. f 0./ > 0 en. ; / en ; ; ( f 0./ < 0 en. ; 0/ en 0; 7 ) ; f 00./ > 0 en. ; 0/ en.; /; f 00./ < 0 en. ; / en.0; /; e. f ( 0./ ) D 0 en. ; /, en.0; 0/ en 7 ; ; f./ > 0 en. 7; 0/; f./ < 0 en. ; 7/ en.0; /.. a. Creciente en Œ 0:; 0 ; Œ; ; Œ; en Œ6; C/; decreciente en Œ0; ; Œ; en Œ; 6 ; b. cóncava hacia arriba en Œ0:; en Œ:; :/; cóncava hacia abajo en Œ 0:; 0: ; Œ; : ; Œ:; 6 Œ6; C/; c. máimos relativos:.0; / ;.; /.; / mínimos relativos:. 0:; /;.; 0/ ;.; /.6; /; no tiene máimo absoluto el mínimo absoluto es.; 0/; puntos de infleión:.0:; /;.; /;.:; /.:; :/.. a. f 0./ > 0 en. ; /.; /; f 0./ < 0 en. ; /. ; /. ; /. ; /.; C/; f 0./ D 0 si D ; o bien ; b. f 00 > 0 en. ; f 00 < 0 en. ; /. ; /.0; /.; C/; /. ; 0/; f 00 D 0 si D o bien D 0; c. en D ; & no eiste la derivada.. a. Creciente en. ; /,.0; / en.:; /; decreciente en. ; 0/,.; :/ en.; C/;

14 Cálculo Diferencial e Integral I b. puntos críticos: D 0 & D :; c. mínimo local estricto: D 0 & D :; d. cóncava hacia arriba: en. ; /,. ; /,.; / en.; C/; e. no tiene puntos de infleión. 6. a. La función es continua en. ; / Œ ; /.; /.; C/ I!!!!!! f./ D ; f./ D ;! C f./ no eiste; f. / D ; f./ D ; f./ D ;! C f./ no eiste; f./ no está definido; f./ D ; f./ D ;! C f./ D ; f./ D ; b. en D se tiene una discontinuidad de salto; en D se tiene una discontinuidad esencial infinita; en D se tiene una discontinuidad removible; si redefinimos f./ D, la función se hace continua en este punto; c. f 0./ < 0 en. ; /,. ; / en.; /; f 0./ > 0 en. ; / en.; C/ f g; f 0./ D 0 en D ; f 0./ no eiste en D en D., D, D ni 7. Creciente en. ; /. ; /.; C/; decreciente en. ; /; en D ha tangente vertical; en D ha tangente horizontal un máimo local; en D la tangente es horizontal ha un mínimo local; en D la tangente no eiste. La gráfica tiene una discontinuidad de salto.

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..

Más detalles

, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de x 2 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica.

, determinar: dominio y raíces; intervalos de continuidad y tipo de x 2 4 discontinuidades; asíntotas verticales y horizontales; su gráfica. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E00 ) Dadas las funciones f) +4, g) 3 & h), obtener: g/h)), h f)) &g h)), así como sus respectivos dominios. ) Dada la función definida por f) 3 5 5 3,

Más detalles

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0100

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0100 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E0100 1) Cierto artículo de lujo se vende en 1 000 pesos. La cantidad de ventas es de 0 000 artículos al año. Se considera imponer un impuesto

Más detalles

Representación gráfica de funciones

Representación gráfica de funciones Gráfica de una fución Representación gráfica de funciones La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la función gráfica

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700 (1) Considere la función h : R R definida por h() = 3 3 Halle el dominio y las raíces de la función Las asíntotas verticales y las horizontales

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999);

Más detalles

1. JUNIO 2014. OPCIÓN A. La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un

1. JUNIO 2014. OPCIÓN A. La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un Selectividad Andalucía Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Bloque Funciones EJERCICIOS DE EXÁMENES DE SELECTIVIDAD ANDALUCÍABLOQUE FUNCIONES 1 JUNIO 014 OPCIÓN A La función de beneficios f en

Más detalles

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) + + + a) lim b) lim c) lim d) lim + + + + + e) lim f) lim g) lim h) lim + 0 + + 9 + j) lim k) lim l) lim

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () =,5; f (,9) =,95; f (,99) =,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999); A la vista

Más detalles

CAPÍTULO 10 Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas

CAPÍTULO 10 Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas CAPÍTULO 10 Aplicaciones de la Derivada a Funciones Económicas Introducción En la economía, la variación de alguna cantidad con respecto a otra puede ser descrita por un concepto promedio o por un concepto

Más detalles

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido Indicadores FUNCIONES Calcula el valor de incógnitas usando la definición de función. Determina valores de la variable dependiente a partir de valores dados a la variable independiente. Determina los puntos

Más detalles

12. f(x) = 1 x-1 2 13. f(x) = x+2. x 15. f(x) = 2x+1. x 24. f(x) = x 2 +x+1 2 25. f(x) = x 2 -x-2. 1 21. f(x) = x 2 +x. x-1 27.

12. f(x) = 1 x-1 2 13. f(x) = x+2. x 15. f(x) = 2x+1. x 24. f(x) = x 2 +x+1 2 25. f(x) = x 2 -x-2. 1 21. f(x) = x 2 +x. x-1 27. . Determina el dominio de la función:. f() = -. f() =. f() = 4. f() = -6. f() = 6. f() = + 7. f() = - 8. f() = e 9. f() = + 0. f() = -. f() = -. f() = -. f() = + 4. f() = +. f() = + 6. f() = - + 7. f()

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

a) (1.7 puntos) Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen.

a) (1.7 puntos) Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen. Puntos de corte - Monotonía y Curvatura funciones simples Septiembre 2015 - Opción B Sea la función f() = 3 9 2 + 8 a) (1.7 puntos) Halle las coordenadas de sus etremos relativos y de su punto de infleión,

Más detalles

SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1

SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA.- Calcular los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f ( ) D(f) (Por ser polinómica) ; Posibles máimos o mínimos 6

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y 4. Derivabilidad 1 Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite f (a) = lím x a f(x) f(a) x a f(a + h) f(a) = lím, h 0 h y es un número real. El número f (a) se denomina derivada

Más detalles

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 200 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos

Más detalles

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six

Más detalles

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 11.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función en un

Más detalles

Descripción: dos. función. decreciente. Figura 1. Figura 2

Descripción: dos. función. decreciente. Figura 1. Figura 2 Descripción: En éste tema se utiliza la primera derivada para encontrar los valores máximo y mínimo de una función, así como para determinar los intervalos en donde la función es creciente o decreciente,

Más detalles

FUNCIONES Y GRÁFICAS.

FUNCIONES Y GRÁFICAS. FUNCIONES Y GRÁFICAS. CONTENIDOS: Concepto de función. Gráfica de una función. Estudio cualitativo de funciones dadas por sus gráficas Idea intuitiva de continuidad de una función. Repaso de funciones

Más detalles

Aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral. Msc. Gerardo Garita Orozco Universidad Latina

Aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral. Msc. Gerardo Garita Orozco Universidad Latina Aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral Msc. Gerardo Garita Orozco Universidad Latina ÍNDICE 1.- Qué es el cálculo diferencial 2.- Aplicaciones de las derivadas en la construcción de gráficos 3.-Criterio

Más detalles

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a:

Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a: SECCIÓN.5 CONTINUIDAD 9.5 CONTINUIDAD En la sección.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el ite de una función cuando tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

Aplicaciones de la derivada

Aplicaciones de la derivada CAPÍTULO 8 Aplicaciones de la derivada 8. Máimos mínimos locales Si f. 0 / f./ para cada cerca de 0, es decir, en un intervalo abierto que contenga a 0, diremos que f alcanza un máimo local o un máimo

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO. 2.6.1 Funciones monótonas

Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO. 2.6.1 Funciones monótonas CAPÍTULO Funciones.6 Tipos de funciones Definimos ahora algunos tipos de funciones que tienen comportamientos mu particulares que son importantes en el estudio del cálculo..6. Funciones monótonas Una función

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ( x 9) Dada la función f( x) = x 4 DETERMINE: Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión, representar

Más detalles

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B b) la pendiente de la recta tangente,

Más detalles

UNIDAD 4 COMPORTAMIENTO GRÁFICO Y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

UNIDAD 4 COMPORTAMIENTO GRÁFICO Y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN UNIDAD 4 COMPORTAMIENTO GRÁFICO Y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Propósitos: Analizar las relaciones eistentes entre la gráfica de una función sus derivadas para obtener información sobre el comportamiento

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones Unidad 5 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 43 Evaluar un polinomio. a) P(-1) = 1 + + 1 1 = 3 b) P(0) = -1 c) P(-) = 8 + 8 + 1 = 17 d) P(1) =

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. MONOTONÍA (CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO) Si una función es derivable en un punto = a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice Dada una función f : D R R y un intervalo I D

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES Tema 4 Funciones. Características - Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TEMA 4 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 4.1 CONCEPTOS BÁSICOS 3º 4.1.1 DEFINICIONES 3º Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente,

Más detalles

164 Ecuaciones diferenciales

164 Ecuaciones diferenciales 64 Ecuaciones diferenciales Ejercicios 3.6. Mecánica. Soluciones en la página 464. Una piedra de cae desde el reposo debido a la gravedad con resistencia despreciable del aire. a. Mediante una ecuación

Más detalles

Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos

Unidad 6 Cálculo de máximos y mínimos Unidad 6 Cálculo de máimos y mínimos Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente o decreciente. Usará la derivada para calcular los etremos

Más detalles

Lim Sinf = Lim Ssup = Área de f( x) = f( x) dx = Integral definida

Lim Sinf = Lim Ssup = Área de f( x) = f( x) dx = Integral definida Concepto de integral definida: INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA INTEGRAL DEFINIDA Sea una función continua definida en [a, b]. Supongamos que dividimos este intervalo en n subintervalos : [a, ], [,

Más detalles

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo. Contenidos

Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo. Contenidos Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo Cálculo Contenidos Clase 1: Funciones: Dominio, recorrido, gráfico. Ejemplos. Clase 2: Igualdad de funciones.

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas.

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. PROBLEMAS DE CÁLCULO INFORMÁTICA DE SISTEMAS . Cálculo diferencial. Probar que a si y sólo si a a, siendo a >. Utilizar estas desigualdades

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

Tipos de funciones. Clasificación de funciones

Tipos de funciones. Clasificación de funciones Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

Análisis de funciones y representación de curvas

Análisis de funciones y representación de curvas 12 Análisis de funciones y representación de curvas 1. Análisis gráfico de una función Aplica la teoría 1. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario

Más detalles

Halla dominio e imagen de las funciones

Halla dominio e imagen de las funciones Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas Ejercicios Resueltos Ejercicio 1 Halla dominio e imagen de las funciones y Como no está definido si, es decir, si El recorrido o imagen será el conjunto de todos los

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()

Más detalles

Examen funciones 4º ESO 12/04/13

Examen funciones 4º ESO 12/04/13 Examen funciones 4º ESO 12/04/13 1) Calcula el dominio de las siguientes funciones: a. b. c. d. Calculamos las raíces del numerador y del denominador: Construimos la tabla para ver los signos: - - 0 +

Más detalles

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0

Más detalles

El documento consta de un total de 9 página/s. Página 1 de 9. Código de Verificación Electrónica (CVE) 107d0 0f480 12l75 50U6l

El documento consta de un total de 9 página/s. Página 1 de 9. Código de Verificación Electrónica (CVE) 107d0 0f480 12l75 50U6l CONSULTA ON LINE EN MIS EXPEDIENTES El documento consta de un total de 9 página/s. 1 de 9. Código de Verificación Electrónica (CVE) 107d0 0f480 12l75 50U6l PUBLICADOR DE AL-SIGM Índice de contenido 1.

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas.

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas. f ( ) + +. Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im( f ) [, ). Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y + + y P (0,) - Con el eje, donde y 0 No hay punto de corte con el eje 4. Asíntotas - Horizontales lim +

Más detalles

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable Cálculo para los Grados en Ingeniería EPIG - UNIOVI Curso 2010-2011 Los números Naturales I Los números Naturales N = f1, 2, 3, g I Principio de inducción Supongamos

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachillerato Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas del

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Datos Procedimiento Ejemplo Dominio de una La ecuación de Casos en los que en dominio no es IR: función la función Irracionales (ecluir valores

Más detalles

Matemática Función exponencial

Matemática Función exponencial Matemática Función eponencial La selección de problemas que aquí se presentan forma parte del documento Función eponencial de la Serie Aportes para la enseñanza. Nivel Medio, en proceso de edición en la

Más detalles

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto: Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente

Más detalles

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Capítulo : Aplicaciones de la derivada 1 Capítulo : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máimos y mínimos

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 4 5 5 6 Resolver las siguientes ecuaciones

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

UNIDAD 1: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES Y CONTINUIDAD UNIDAD : LÍMITES DE FUNCIONES CONTINUIDAD ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN - LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES - LÍMITES EN EL INFINITO 5 4- ÁLGEBRA DE

Más detalles

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas:

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: 1 1. DERIVACIÓN 1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: b) f(x) x (x 1) en el intervalo [, ] y en su dominio. DOMINIO. D R. CORTES CON LOS EJES. Cortes con el

Más detalles

a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica:

a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica: TEMA 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. 10.1. DOMINIO. El dominio de definición de una función y = f{) (valores para los cuales eiste la función) es, en principio, todo ir, salvo que haya operaciones imposibles

Más detalles

MATEMÁTICA CPU Práctica 2. Funciones Funciones lineales y cuadráticas

MATEMÁTICA CPU Práctica 2. Funciones Funciones lineales y cuadráticas ECT UNSAM MATEMÁTICA CPU Práctica Funciones Funciones lineales cuadráticas FUNCIONES Damiana al irse del parque olvidó de subir a su perro Vicente en la parte trasera de su camioneta Los gráficos hacen

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11 1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el

Más detalles

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3 CONTENIDOS Límite y asíntotas Cálculo de límites Continuidad Derivadas Estudio de funciones Problemas de optimización Varias de las características de diferentes tipos de funciones ya han sido estudiadas

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I Trabajo Práctico Nº 2: Funciones Equipo Docente: Claudio Molina - P. Mariano Nowakowski LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS Año: 2015 1º Cuatrimestre 1) Haga un gráfico que refleje

Más detalles

n es la ordenada en el origen, el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas (el vertical, y)

n es la ordenada en el origen, el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas (el vertical, y) Una función es una relación entre 2 magnitudes, de manera que a cada valor de x de la primera le corresponde un único valor de y, de la segunda. Este valor también se designa por f(x) y se conoce como

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Problemas de optimiación Ejercicio PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN Un banco lana al mercado un plan de inversión cua rentabilidad R(, en euros, viene dada en función de la cantidad invertida, en euros,

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

Observaciones del profesor:

Observaciones del profesor: Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: 60 minutos. OPCIÓN A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 4 puntos) Se considera la matriz: A=( ) a) Determina la matriz B= A 2-2A 1,5 PUNTOS b) Determina los

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES I

TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES I Tema 4 Funciones elementales I Ejercicios resueltos Matemáticas B 4º ESO 1 TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES I DEFINICIÓN DE FUNCIÓN EJERCICIO 1 : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden

Más detalles

12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1

12 Límites. y derivadas. 1. Funciones especiales. Solución: Ent(x) Dec(x) x 3,6 3,6 0,8 0,8. Signo(x) Signo(x) 1 1 1 1 Límites y derivadas. Funciones especiales Completa la tabla siguiente: 3,6 3,6 0, 0, Ent() Dec() Signo() P I E N S A C A L C U L A 3,6 3,6 0, 0, Ent() 4 3 0 Dec() 0,4 0,6 0, 0, 3,6 3,6 0, 0, Signo() A

Más detalles

EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD III. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Una de las aplicaciones más comunes de los conceptos relacionados con la derivada de una función son los problemas de optimización.

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A OPCIÓN A (3 puntos) Una imprenta local edita periódicos y revistas. Para cada periódico necesita un cartucho de tinta negra y otro de color, y para cada revista uno de tinta negra y dos de color. Si sólo

Más detalles

Matemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8

Matemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 Matemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento y 1 gramo del segundo; un kilo

Más detalles

Aplicaciones de la DERIVADA

Aplicaciones de la DERIVADA Teorema (criterio de la segunda derivada para extremos relativos) Sea c un número crítico de una función f en el que f ( c ) = 0, suponiendo que existe f (x) para todos los valores de x en un intervalo

Más detalles

Interpolación polinómica

Interpolación polinómica 9 9. 5 9. Interpolación de Lagrange 54 9. Polinomio de Talor 57 9. Dados dos puntos del plano (, ), (, ), sabemos que ha una recta que pasa por ellos. Dicha recta es la gráfica de un polinomio de grado,

Más detalles