Límite de una función

Transcripción

1 1 CAPÍTULO 3 Límite de una función Límites laterales Supongamos que f./ está definida en un cierto intervalo.a; 0 /. Si para números del dominio de f suficientemente próimos a 0 menores que 0, los valores correspondientes de f./ están tan próimos a 1 como queramos, decimos que 1 es el ite por la izquierda de f./, cuando tiende a 0. Lo anterior se denota mediante f./ D 1I! 0! 0 se lee: tiende a 0 por la izquierda. Supongamos que f./ está definida en un cierto intervalo. 0 ; b/. Si para números del dominio de f suficientemente próimos a 0 maores que 0, los valores correspondientes de f./ están tan próimos a como queramos, decimos que es el ite por la derecha de f./, cuando tiende a 0. Lo anterior se denota! C 0 f./ D I! C 0 se lee: tiende a 0 por la derecha. 1 canek.azc.uam.m: / 5/ 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I f./ D! C 0 f./ D 1! 0! C 0 a 0 b! 0 A los ites! 0 f./ & Es claro que:!0 f./ D,! C 0 f./ se les conoce como ites laterales. f./ D D! 0! C 0 f./. D f./ a 0 b Este resultado se usa frecuentemente para probar la no eistencia de un ite. Si no eiste alguno de los ites laterales, el ite no eiste. Si los ites laterales eisten pero son diferentes, el ite no eiste. Observación: para los ites laterales! 0 f./ &! C 0 que hemos enlistado anteriormente para el ite!0 f./. f./ hallamos resultados análogos a los a j, calcular (en caso de eistir) cada uno de los ites siguien- a Ejemplo Dada la función f./ D j tes: 1. f./.. C f./. 3. f./.

3 3 3.3 Límites laterales 3 H Por definición de valor absoluto: Por lo tanto j a j D a si a 0. a/ si a < 0 D 1. Si! a, entonces < a & a < 0, por lo que j a j D. a/ & j a j a j ) a j a D. Si! a C, entonces > a & a > 0, por lo que 3. Ya que a si ai. a/ si < a: D. a/. a/ 1 D 1: D 1 ) j a j D a & j a j. a/ D a. a/ D 1 ) j a j ) C a D 1 D 1: f./ D 1 & f./ D 1 entonces C f./ no eiste. Observa que f./ D j a j a f./ C f./ por lo tanto se obtiene de la función g./ D j j desplazándola a unidades. 3 C 5 si < 1I Ejemplo 3.3. Dada la función g./ D C 1 si 1 < < I 6 si > ; calcular (en caso de eistir) cada uno de los ites siguientes: H 1.! 1 g./..! 1 C g./. 3.! 1 g./. 4. g./. 5. C g./. 6. g./. 1.! 1 g./ D! 1.3 C 5/ D 3. 1/ C 5 D 3 C 5 D..! 1 C g./ D! 1 C. C 1/ D. 1/ C 1 D 1 C 1 D. 3. Ya que! 1 4. g./ D D g./, entonces g./ D.! 1 C! 1 g./ D. C 1/ D C 1 D 4 C 1 D C g./ D C.6 / D 6 D 4.

4 4 4 Cálculo Diferencial e Integral I 6. Ya que g./ D 5 4 D C g./, entonces g./ no eiste. 5 4 D g./ 1 a C 5 si < 1I Ejemplo Dada la función h./ D C 1 si 1 < < I m C 6 si > ; determinar los valores de las constantes a, m que aseguran la eistencia de los ites: h./ & h./.! 1 H 1. h./ eiste si sólo si! 1 h./ D h./,.a C 5/ D! 1! 1 C! 1! 1. C 1/,, a. 1/ C 5 D. 1/ C 1, a C 5 D 1 C 1, a D 5 D 3, a D 3:. h./ eiste si sólo si h./ D C h./,. C 1/ D.m C 6/,, C 1 D m./ C 6, 5 D m C 6, m D 5 6 D 1, m D 1 : 3. Resumiendo: Con a D 3 con m D 1 sucede que h./ D & h./ D 5I h./ sería ahora! 1 3 C 5 si < 1I h./ D C 1 si 1 < < I C 6 si > :

5 5 3.3 Límites laterales 5 5 D h./ 1 3 C 5 si < 1I Ejemplo Dada la función./ D m C n si 1 < < I 6 si > ; determinar los valores de las constantes m, n que aseguran la eistencia de los ites:./ &./.! 1 H 1../ eiste si sólo si! 1./ D./,.3 C 5/ D! 1! 1 C! 1! 1.m C n/,, 3. 1/ C 5 D m. 1/ C n, 3 C 5 D m.1/ C n, m C n D :../ eiste si sólo si (./ D./,.m C n/ D 6 C, m./ C n D 6 3. Debemos resolver el sistema de ecuaciones m C n, 4m C n D 5: D I 4m C n D 5: ), 4m C n D 5I m n D : 3m D 3 ) m D 1 & m C n D ) ) n D m D 1 D 1:

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I 4. Con m D 1 con n D 1 se cumple que donde ahora./ D &./ D 5;! 1 3 C 5 si < 1I./ D C 1 si 1 < < I 6 si > : 5 D./ 1 Ejercicios Soluciones en la página 8 1. Dada f./ D j j, calcular: a.!0 f./; b.!0 C f./; c.!0 f./.. Dada f./ D a j a j, calcular: a. f./; b. C f./; c. f./. 3. Dada g./ D j j C, calcular: a. g./; b. C g./; c. g./. si < 1I 4. Dada f./ D 3 si 1 < < I si > : Calcular:

7 7 3.3 Límites laterales 7 a. f./;! 1 b. f./;! 1 C 5. Dada g./ D a C 11 c.! 1 f./; d. f./; si < 3I 8 C 16 si > 3: e. C f./; f. f./. Determinar el valor de la constante a que asegura la eistencia de!3 g./. v 6. La epresión L D L o 1 indica la longitud de un objeto en función de su velocidad v, c donde L o es la longitud del objeto en reposo c es la velocidad de la luz. Qué pasa con la longitud del objeto cuando v se aproima a la velocidad de la luz? j j 7. Calcular: :!0 8. Calcular:!1 1 j 1 j. 9. Sea la función definida por f./ D n; para cada Œn; n C 1/; donde n f : : : ; 3; ; 1; 0; 1; ; 3; : : : g D Z : a. Grafique esa función f. b. Calcular para n f : : : ; 3; ; 1; 0; 1; ; 3; : : : g D Z.!n f./; 10. Considerar f./ D Calcular a.!1 f./; f./ & f./, donde a n.!n C!n C 3 si 1I C 1 considerar g./ D si > 1I si 1I si > 1: f./g./; b. f./g./; c. f./g./.!1 C!1 11. Calcular:!1 C 1. Calcular:!0 p p C 1 3 : 1 ( [j j 3 C 1 )] : 13. Calcular: f./, donde f./ D! Calcular: C j j. 15. Calcular:! 3 j j C j 3 j 9 : C 1 4 C 3 3 C 1 C 6 C 5 si < 1I si > 1:

8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I Ejercicios Límites laterales, página 6 1. f./ D 1;!0 f./ D 1;!0 C f./ no eiste.!0. f./ D 1; f./ D 1; C f./ no eiste. 3. g./ D 0; g./ D 0; C g./ D f./ D ;! 1 f./ D ;! 1 C f./ D ;! 1 f./ D 1; f./ D 0; C f./ no eiste. 5. a D v!c L o 1 v c D 0. j j 7. No eiste.!0 8. No eiste!1 1 j 1 j. 9. a. D f./ b. f./ D n 1;!n f./ D n;!n C no eiste f./;!n 10. Œf./g./ D 4;!1 Œf./g./ D 4;!1 C!1 11.!1 C 1.!0 j j 3 3 f./ D n si a Œn; n C 1/. Œf./g./ D 4. p p C 1 3 D p ( ) C 1 D ! 1 f./ D C j j D ! 3 j j C j 3 j 9 D 1 6.