TEMA 8. LÍMITES Y CONTINUIDAD

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1 TEMA 8. LÍMITES Y CONTINUIDAD. IDEA DE LÍMITE. La idea de lmite de una función f() cuando ésta tiende a un punto a, (se escribe f () ), es la del valor al que se acerca la función cuando vamos tomando valores a cada vez más próimos al punto a. Sea la función f() +. Veamos cuál es su lmite cuando nos acercamos al punto. Vamos tomando valores cercanos: f(,), f(,), f(,), y vemos que nos acercamos al punto, que es el lmite buscado. f() ( + ) Generalmente, para calcular un lmite, tan sólo tenemos que sustituir en la función el valor del punto a. ( ) + + Pero hay veces que al sustituir nos aparecen operaciones imposibles de realizar o ambiguas. Estas epresiones se llaman indeterminaciones y son del tipo:,,,,,.... LÍMITES LATERALES Hay ocasiones en las que al acercarnos a un determinado valor a por la derecha (valores menores que a) y por la izquierda (valores mayores que a), no obtenemos los mismos resultados. Es el caso de las funciones definidas a trozos y de algunos casos de indeterminación. Es por ello que necesitamos definir los lmites laterales.

2 Llamamos lmite por la izquierda ( f() ) al valor al que tiende la función a cuando nos acercamos al punto con valores menores que él. - Llamamos lmite por la derecha ( f() ) al valor al que tiende la función a+ cuando nos acercamos al punto con valores mayores que él. ì + < Sea la función f() î 4 ³ Para calcular f () no se puede sustituir directamente, ya que si tomamos valores mayores que obtenemos un resultado distinto que si tomamos valores menores que. Es por ello que hace falta calcular los lmites laterales: f() 4 y f() + - Cuando no coinciden los lmites laterales, diremos que no eiste el lmite de la función en ese punto.. LÍMITES INFINITOS Una función se dice que es divergente en un punto cuando su lmite es + o -. f() ± a En el estudio del, si estudiamos el valor de la función cuando se acerca progresivamente a, nos damos cuenta que el valor de la función se hace cada vez más grande.,,, Por lo que podemos afirmar que +

3 4. LÍMITES EN EL INFINITO Se trata de ver a qué tiende la función cuando los valores de se hacen muy grandes o muy pequeños. f () + o f () - En el estudio del, si calculamos el valor de la función cuando + - es progresivamente más grande, vemos:, -, -, - Por lo que podemos afirmar que LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO Se trata de estudiar los casos en los que f () ± En el estudio del + + función también lo hace. Por lo que +, vemos que cuando se hace muy grande, la + 6. CÁLCULO DE LÍMITES Como ya vimos, en general se sustituye el valor del punto en la función, y el número obtenido es el lmite. Pero hay casos en los que nos topamos con indeterminaciones o con infinitos. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA EN EL INFINITO El lmite de una función polinómica en el infinito es + o -, dependiendo del grado y del signo del coeficiente principal del polinomio.

4 Ejemplos: ( + (- + ( - ( ) ( + ) - + ) ) (- ) ) -(- ) + LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL EN EL INFINITO El lmite de funciones racionales cuando ±, es igual al lmite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y del denominador. Distinguiremos tres casos: - Si grado(numerador) grado(denominador), el lmite es el cociente de los coeficientes de mayor grado. - Si grado(numerador) < grado(denominador), el lmite es. - Si grado(numerador) > grado(denominador), el lmite es ±, dependiendo de los signos que resulten de los cocientes de los términos principales. Ejemplos: o o o LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RACIONAL EN UN PUNTO Tan sólo hemos de sustituir: a P() Q() P(a) Q(a) 4

5 Pero pueden darse algunos casos de indeterminadas: k : En este caso, el resultado siempre es infinito. Para mayor precisión, hemos de calcular los lmites laterales. Si estos no coinciden, diremos que no eiste el lmite. - Estudiamos los lmites laterales: En este caso no eiste el lmite ya que los laterales no coinciden. : En este caso hemos de simplificar la epresión fraccionaria y calcular el lmite de la epresión resultante Descomponiendo factorialmente los polinomios del numerador y del denominador, obtenemos: ( + ) ( ) + ( ) ( + ) Y simplificando: ( + )( -) ( -)( + ) + + 5

6 7. CONTINUIDAD La idea intuitiva de función continua es la de una función que e puede trazar sin necesidad de levantar el lápiz del papel. Más formalmente, diremos que una función es continua en un punto si los valores de la función e las proimidades del punto son muy cercanos al valor de la función en ese punto. Para ello se tiene que cumplir que eista los lmites laterales y que éstos coincidan con el valor de la función. Es decir, una función f() es continua en un punto a si se cumple: a) Eiste f(a) a pertenece al dominio de la función b) f() a - f() a + Eiste el lmite de la función en a c) f () f(a) Ambos valores coinciden. a Si alguna de estas condiciones no se cumple, diremos que la función es discontinua en el punto a. Diremos que una función es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio. Ejemplo : Veamos si f() es continua en 5. Como eiste f(5) 74, y el f () 74, ambos coinciden y la función es continua. 5 Ejemplo : Veamos si f() ì î > es continua en. Eiste f(), pero no eiste el lmite, ya que los lmites laterales no eisten, luego la función es discontinua en el punto. Ejemplo : Veamos si f() ì î < > es continua en. Como no eiste f(), es discontinua. 6

7 Ejemplo 4: Veamos si f() ì î ¹ es continua en. Eiste f(). Eiste f (), ya que coinciden los lmites laterales. Pero no coinciden ambos valores, por lo tanto, la función es discontinua. CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES - Las funciones polinómicas y eponenciales son continuas en todos los números reales. - Las funciones racionales f() anulan el denominador. P() Q() son continuas ecepto en los puntos que - Las funciones logartmicas son continuas en todo su dominio. 8. TIPOS DE DISCONTINUIDADES Dependiendo de qué condición no se cumpla, los puntos de discontinuidad se pueden clasificar en evitables e inevitables. Discontinuidad Evitable Eiste el lmite de la función en el punto, pero éste no coincide con el valor de ésta (bien porque no eista o porque sea diferente) Discontinuidad no Evitable: Salto finito Eisten los lmites laterales, son finitos, pero no coinciden. Por lo tanto, no hay lmite. f() ì - î - > 7

8 Salto infinito Alguno de los lmites laterales es infinito. f() EJERCICIOS ) Calcula los lmites de las siguientes funciones: a) f() b) f() c) f() ì ¹ î cuando tiende a ì < 4 î - > 4 cuando tiende a 4 ì - < î - > cuando tiende a ) Calcula los siguientes lmites: a) + - b) c) d) e) f) + - g) - ( ) h) i) j) k) ( ) + l) (5 + + ) + m) (- - + ) - n) o)

9 p) q) r) s) t) u) v) w) - + ) y) z) - + aa) bb) -. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a) f() b) f() c) f() d) f() e) f() f) f() + - ì î- > ì < î > g) f() h) f() i) f() j) f() ì < ï - 6 ï î 6 > 6 ì < ï < < 4 ï î ³ Encontrar el valor de a para el cual la función f() ìa - es continua. î- a > 9