Continuidad. 4º Año. Matemática. Cód P r o f. B e t i n a C a t t a n e o P r o f. N o e m í L a g r e ca

Transcripción

1 Continuidad Matemática 4º Año Cód P r o f. B e t i n a C a t t a n e o P r o f. N o e m í L a g r e ca

2 I) INTRODUCCIÓN: En nuestra vida diaria aparecen numerosos fenómenos que tienen un comportamiento continuo como, por ejemplo, el desplazamiento de un vehículo que varía en forma continua con el tiempo, pero así también otros que presentan discontinuidades como las corrientes eléctricas. Al referirnos a un proceso continuo intuitivamente se puede pensar en un acontecimiento n interrupciones ni cambios abruptos. Cuando deseamos representar algunos valores que se van recopilando de determinadas eperiencias, por aplicación de una función, es frecuente que los puntos que se van obteniendo, es poble, se unan mediante una curva continua, en lugar de saltar de un punto a otro, n tomar en cuenta los valores intermedios. Geométricamente, cualquier función, cua gráfica, se puede trazar en su dominio, n levantar el lápiz de la hoja de papel, es un ejemplo de función continua. En el desarrollo de este tema nos proponemos precisar qué gnifica que una función sea continua. II) DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD Continuidad en un punto Definición: f() f(c) c c f Una función f es continua en c, se cumplen las guientes condiciones: º) eista f(c), es decir, c pertenece al dominio de la función º) eista f() ; es decir que eistan ambos límites laterales c f() f() c c 3º) f() f(c) c Continuidades laterales Definiciones: f() f(c) c c f Una función f es continua por derecha en c, con c a; b, se cumplen las guientes condiciones: º) eista f(c), es decir, c pertenece al dominio de la función º) eista 3º) c f() c f() f(c) P O L I T E C N I C O

3 Continuidad Matemática f() f(c) c c f Una función f es continua por izquierda en c, con c a; b, se cumplen las guientes condiciones: º) eista f(c), es decir, c pertenece al dominio de la función º) eista 3º) c f() c f() f(c) Continuidad de una función en un intervalo abierto (a; b) Definición: Una función f es continua en un intervalo abierto (a; b), solo la función es continua en todos los puntos del mismo. Continuidad de una función en un intervalo cerrado [a; b] Definición: Una función f es continua en un intervalo cerrado [a; b] es continua en el intervalo abierto (a; b) es continua por la derecha de a continua por la izquierda de b. Si una función f no es continua en un punto c, diremos que f es discontinua en c o que c es un punto de discontinuidad de f. Ejemplos: ) Observando la gráfica podemos concluir que la función f() es: f continua en = - a que f() f() f( ) 0 continua por derecha en = a que f() f() discontinua en = a que f() f() 3 ) Observando la gráfica podemos concluir que la función f() es: discontinua en pues no eiste f() discontinua en 6 pues f() f(6) 6 continua por derecha en = pues f() f() P O L I T E C N I C O

4 3) La función 0 f () es: 0 continua por la derecha en = 0 pues f() f(0) 0 discontinua en = 0 pues no eiste f() En los casos anteriores analizamos la continuidad de las funciones observando su gráfica. En lo que gue, lo haremos utilizando como recurso analítico, el concepto de continuidad las propiedades de los límites, n recurrir a la gráfica. Ejemplos 4 4 a. La función g () 4 es continua en c 4? Para probar que la función g () 4 es continua en c 4 4 demostrar que:, ha que º) Eista g( 4) : g( 4) 8 º) Eista g() : g() g() Por lo tanto g () no es continua en c = -4 no eiste g() 4 5 b. La función g() 5 0 Siguiendo el ejemplo anterior: 5 5 es continua en c 5? º) º) g(5) g() g() g() 5 0 P O L I T E C N I C O 3

5 Continuidad Matemática 3º) g() g(5) 5 c. La función Por lo tanto g () es continua en 5 sen g() 4 es continua en c? º) g() 4 sen sen º) g() g() g() : Por lo tanto g () no es continua en sen Ejercicios: - Analiza, justificando la respuesta, que la función g () es continua en c en cada caso. a. g () ; c b. 3 7 g() 3 4 ; c - Determina el valor de M, eiste, para que la función f() sea continua en = c sen 4 a. f() M 5 ; c = b. f() M ; c = III) CLASIFICACIÓN DE DISCONTINUIDADES Teniendo en cuenta la definición de continuidad en un punto, podemos concluir que las discontinuidades se pueden dar por las guientes causas: No pertenecer el punto al dominio de la función, es decir, no eiste la imagen en dicho punto La no eistencia del límite en el punto En el caso de eistir la imagen el límite en el punto, ambos no coincidan Ejemplos: a) b) P O L I T E C N I C O 4

6 c) d) e) En todos los casos vistos anteriormente, la función f presenta una discontinuidad en. La misma se presenta debido a: Ejemplo a: No eiste la imagen en = Ejemplo b: Eiste la imagen en = pero no coincide con el límite en dicho puntos Ejemplos c; d e: No eiste el límite en dicho punto Definiciones: Diremos que: f presenta en c una discontinuidad evitable o einable cuando eista el f() (en c nuestros ejemplos, se presenta una discontinuidad evitable en c = para los casos a b) f presenta en c una discontinuidad inevitable o no einable cuando no eista el f() (en nuestros ejemplos, se presenta una discontinuidad inevitable en c = para c los casos c; d e) En particular, cuando f presenta en c una discontinuidad inevitable o no einable, ésta puede claficarse en discontinuidad por salto finito o discontinuidad infinita o de salto infinito cuando eisten los límites laterales no coinciden o cuando alguno de los límites laterales no eiste, respectivamente. (En nuestros ejemplos, para los casos c d la discontinuidad es por salto finito en el caso d la discontinuidad es por salto infinito). IV) PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Si la funciones f() g() son continuas en = c, entonces las guientes funciones son continuas en = c. ) f g 4) k.f ; k R ) f g 5) f / g 3) f.g 6) k.(f().g()) g c 0 P O L I T E C N I C O 5

7 Continuidad Matemática Las demostraciones de estas propiedades no se realizará en el presente curso Consecuencias de las propiedades anteriores Puede demostrarse, aplicando las propiedades anteriores la definición de continuidad, que los guientes tipos de funciones son continuas para todo c de su dominio: Constante: f() k, k R Potencia: n f(), nn n n Polinómicas: f() an an... a a0, n N0 Racionales: P() f(), endo P() Q() funciones polinómicas Q() Raíz: f() n, n N- Eponenciales: f() a, a R - Logarítmicas: f() loga, a R - Trigonométricas sus inversas (seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente sus respectivas inversas) Teorema Si f es una función continua en c g es continua en f(c), entonces la función compuesta gof es continua en c, con c perteneciente al dominio de la compoción. En símbolos: H) f es una función continua en c g es continua en f(c) T) gof es continua en = c Ejemplos: La demostración de este teorema no se realizará en el presente curso 5 - Dada la función f() 4, analizaremos su continuidad en, para ello deberemos probar que f() f(). Entonces: () 4 es continua en = por ser función polinómica P O L I T E C N I C O 6 () 5 es continua en = 3 por ser función raíz (3) Teorema

8 () 4 3 (3) 5 4 f() () Dada la función f() a) Realiza la gráfica b) Analiza la continuidad de f() en los reales especificando los tipos de discontinuidad justificando la respuesta. c) Determina A ( eiste) para que g() sea continua en = 3 f() 3 g () A 3 d) Determina B ( eiste) para que h () sea continua en = 0 f() 0 h () B 0 Solución: a) b) En el intervalo (3; + ), la función es continua por ser una función constante En el intervalo (0;3), la función es continua por ser una función constante En el intervalo (- ;0), la función es continua por ser una función constante En = 3, la función presenta una discontinuidad evitable a que eiste el límite en dicho punto vale, mientras que f(3)=5. En = 0, la función presenta una discontinuidad inevitable (o por salto finito) a que no eiste el límite en dicho punto pues los límites laterales son distintos c) A = d) No eiste B tal que la función sea continua en 0. Puede advertirse que en el caso de la discontinuidad en c = 3, pudo modificarse la le de la función de modo que la función resultante sea continua en todo su dominio, n embargo esto no pudo realizarse para la discontinuidad en c = 0. Ésta pobilidad de modificar la le con el objetivo de obtener una función continua, solo se presenta en los casos de las discontinuidades evitables por eso lleva ese nombre. Ejercicios: P O L I T E C N I C O 7

9 Continuidad Matemática 3- Indica los puntos en los cuales la función dada en cada caso es discontinua luego clafícalas a) f() b) f() c) f() 4- Demuestra que cada una de las guientes funciones es continua en el intervalo indicado a) b) f () ; ; 0 c) () sen ; 0 ; e () 4 f 0 ; ; 0 f 3 Teorema Teorema del valor intermedio (TVI) Si f es una función continua ena ;b, entonces f toma todos los valores entre f(a) f(b). Es decir, una función f es continua en a ;b, entonces eiste al menos un c perteneciente al a ;b tal que f(c) = k con k entre f(a) f(b). f(b) En símbolos: H) f es una función continua en ;b número entre f(a) f(b) c a;b tal que f(c) k T) a k un k f(a) La demostración de este teorema queda fuera del alcance de este curso, solo haremos su interpretación geométrica. a c c c 3 b Una consecuencia del teorema del valor intermedio Un problema matemático frecuente es saber una ecuación tiene raíces reales. El teorema anterior se puede particularizar de la guiente manera: Teorema 3 Teorema de Bolzano Si f es una función continua en a ;b el gno de f(a) es distinto al gno de f(b), o en símbolos f(a).f(b)<0, entonces f presenta alguna raíz en a ;b. P O L I T E C N I C O 8 f(a)

10 Gráficamente, este teorema asegura que la gráfica de una función continua con imágenes de distinto gno en los etremos del dominio, corta al eje en al menos un punto. En símbolos: H) f es una función continua en a ;b f(a).f(b)<0. c a;b tal que f(c) 0 T) La demostración de este teorema queda fuera del alcance de este curso, solo haremos su interpretación geométrica. Ejemplo: La función f() 5 3 tiene al menos una raíz en el intervalo 4; 4. Según el teorema anterior la función es continua en ese intervalo los gnos en los etremos son distintos, asegura que eiste por lo menos un cero en el intervalo abierto. Entonces: f() es continua en () Por Teorema de Bolzano - 4; 4 por ser función polinómica () f(-4) 3 0 c f(4) 3 0 4; 4/ f(c) 0 Sin embargo, la aplicación del teorema de Bolzano solo nos afirma la eistencia de al menos una raíz, no nos auda a encontrarla/s. Eisten diferentes métodos que se utilizan para aproimar tal/es raíz/ces. A modo informativo, el más mple de ellos, denominado método de la bisección, se presenta a continuación. Una aplicación del Teorema de Bolzano: Aproimación de raíces reales de funciones Método de la bisección Vamos a ver este método primeramente con el ejemplo anterior f() 5, a demostramos que la función posee al menos una raíz real en el intervalo 4;4. º) Obtenemos el punto medio m del intervalo, 4 4 m 0 º) Si f(m)=0, a encontramos una raíz. Si fm 0, entonces vemos que sucede con su gno. Aquí f0 0 3º) Como f0 0 f 4 0, podemos garantizar (por T. de Bolzano) que eiste al menos una raíz en 4;0 3 P O L I T E C N I C O 9

11 Continuidad Matemática 4º) Ahora repetimos los pasos º, º 3º con el intervalo ; 0. Buscamos m, f(-) = 3>0, entonces podemos garantizar una raíz en 4; 5º)Volvemos a repetir el proceso con el intervalo 4 ;. 4 Buscamos m 3, f(-3) = 9>0, entonces podemos garantizar una raíz en 4; 3 Este proceso podría seguir indefinidamente, todo va a depender de qué tan buena queremos nuestra aproimación. En este ejemplo, a lo que llegamos es que la raíz buscada tendra parte entera igual a -3. En general, esto se puede realizar para cualquier función continua en un intervalo cerrado a ;b, donde fa fb 0, a que se garantiza la eistencia de una raíz por medio del Teorema de Bolzano. Ejercicios: 5- Demuestra que la ecuación 3 0 tiene una solución real entre 0. Luego intenta aproimar tal solución. P O L I T E C N I C O Demuestra que eiste un número real c tal que cosc c Respuestas a los ejercicios propuestos - a. g() = ; g() ; g() g() no es continua en c= b. g(-) = 4; g() 4 ; g() 4 g() g( ) 4 g() es continua en c = - - a. M = -/ b. M = 3- a. f() NO es continua en c = c = -. En ambos casos la discontinuidad es inevitable (infinita) b. f() NO es continua en c = c = -. En ambos casos la discontinuidad es inevitable (infinita) c. f() NO es continua en c =. La discontinuidad es de tipo evitable. 4- a) f () es continua en (-;0) pues es continua en R - {} el intervalo (-;0) está contenido en tal conjunto. b) f () es continua en [-;0) pues es compoción de funciones continuas en R ² f () es continua en (0;] pues es función racional, por tanto continua en R Por último f () es continua en = 0 pues: f(0) f() f () 0 0 c) f 3 es continua en [0; ] a que tanto sen como ( + ) son funciones continuas en R, por lo tanto también lo será su compoción [0; ] R. 5- f(0) = ; f() = -3. Por teorema de Bolzano, como f(0).f()= -6 < 0, la ecuación dada posee al menos una solución en el intervalo (0;). La solución es

12 6- Eiste en el intervalo 0 ; 4 BIBLIOGRAFÍA: * MATEMÁTICA II N. Buschiazzo, E. Fongi, M. Inés González, L. Lagreca Editorial Santillana (Edición 000) * PRECÁLCULO. MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO James Stewart, Lothar Redlin, Saleen Watson Editorial Cengage Learning / Thomson Internacional. (Edición 007) * CÁLCULO. TRASCENDENTES TEMPRANAS. Cuarta Edición - James Stewart - Editorial Cengage Learning / Thomson Internacional. (Edición 00) * CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - Novena Edición - Edwin Joseph Purcell, Edwin Joseph Purcell Dale Varberg Editorial Pearson Educación (Edición 007) P O L I T E C N I C O