Apuntes para el curso MA-0293 Cálculo 1 para Computación

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1 UNIVERSIDAD DE COSTA RICA Universidad de Costa Rica Facultad de Ciencias Escuela de Matemática LUCEM ASPICIO Departamento de Matemática Aplicada MA09 Cálculo para Computación I Apuntes para el curso MA-09 Cálculo para Computación Prof. Leiner Víquez García II Ciclo, 08

2 Índice general. Límites de funciones y continuidad 4.. Concepto intuitivo de Límite Cálculo de límites a partir de la gráca de la función Propiedades de los límites Técnicas para el cálculo de límites Sustitución directa Límites de la forma Límites laterales Límites innitos y las asíntotas verticales de una función Límites al innito y las asíntotas horizontales y oblicuas de una función Concepto de límite al innito Propiedades de los innitos Comportamiento de las funciones polinómicas en el innito Cálculo de límites al innito de funciones racionales Cálculo de límites al innito de funciones en las que aparecen radicales de índice dos(en el numerador o el denominador) Cálculo de las asíntotas horizontales de una función Asíntotas oblicuas de una función racional Límites trigonométricos Límites que se resuelven por sustitución directa o utilizando identidades trigonométricas Límites Trigonométricos Especiales Límites Trigonométricos que se pueden resolver mediante un cambio de variable El Teorema de Intercalación La denición formal de límite Continuidad Concepto de función continua en un punto y función continua en un intervalo Propiedades de las funciones continuas Tipos de discontinuidades Estudio de la continuidad de una función El Teorema del Valor Intermedio Derivadas 9.. Concepto de Derivada Derivación de funciones utilizando la denición (Límite) La derivada en un punto Derivadas laterales Derivabilidad y continuidad Derivación con fórmulas Derivación Implícita Derivadas puntuales Derivación de las funciones inversas trigonométricas

3 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación.0. Derivación de funciones logarítmicas Derivación usando las propiedades de los logaritmos Derivación logarítmica Derivación de funciones exponenciales Derivadas de orden superior Derivadas Implícitas de Orden Superior Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta normal y la recta tangente a una curva en un punto dado Cálculo de rectas tangentes(verticales, horizontales o con una pendiente dada) a una curva La derivada como razón instantánea de cambio, velocidad, rapidez y aceleración Problemas de tasas relacionadas Extremos de una función El teorema de Rolle El Teorema del Valor Medio Otras aplicaciones de la derivada Análisis y gracación de funciones Formas indeterminadas y la Regla de L'Hôpital Problemas de optimización Integrales 06.. La integral indenida El método de sustitución para calcular integrales indenidas Integrales trigonométricas Fórmulas para integrar funciones trigonométricas Ejemplos de integrales trigonométricas que se resuelven en forma directa o por medio de una sustitución simple Integrales de productos de potencias de funciones trigonométricas Integrales que generan logaritmos Integral de las funciones exponenciales Integrales que involucran inversas trigonométricas Integrales que generan una arcotangente o un logaritmo más una arcotangente mediante la técnica de completar cuadrados Técnicas de integración Método de descomposición en fracciones parciales Técnica de integración por partes Método de sustitución trigonométrica Método de integración mediante la sustitución de la tangente del ángulo medio La integral denida (el área bajo una curva) Concepto de integral denida Algunas propiedades de la integral denida Propiedades y fórmulas de las sumatorias Cálculo de integrales denidas mediante sumas de Riemann El Teorema Fundamental del Cálculo El método de sustitución con integrales denidas El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Aplicación: El área de la región limitada entre dos curvas Integrales denidas que involucran diferentes funciones y técnicas de integración A. Resumen de los casos de Factorización 6 B. Fórmulas trigonométricas 7

4 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación C. Grácas de las funciones trigonométricas 8 D. Algunas fórmulas de Geometría 0 E. La función exponencial F. La función logarítmica 4 G. Las funciones inversas trigonométricas 7 H. Integrales de productos de potencias de funciones trigonométricas 0 H.. Integrales de productos de potencias de senos y cosenos H... Caso I: Una de las funciones tiene exponente impar H... Caso II: Los exponentes de ambas funciones es par H.. Integrales de potencias de secantes y tangentes H... Caso I: La secante tiene exponente par H... Caso II: La secante y la tangente tienen ambas exponentes impares H... Caso III: La secante tiene exponente impar y la tangente exponente par I. Algunas demostraciones de teoremas y otros resultados I.. Demostraciones de algunas propiedades de los límites

5 Capítulo Límites de funciones y continuidad.. Concepto intuitivo de Límite DEFINICIÓN: Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c, es igual a L si a medida que los valores de x se aproximan a c, ya sea por la derecha o por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Esto se escribe lím x c f(x) = L lo que también se puede escribir como f(x) L cuando x c. Veamos un ejemplo utilizando una tabla de valores. Consideremos la función f(x) = x 4, ¾a qué x valor se aproxima f(x) si x se aproxima a? x,5,9,99,999 /////,00,0,,5 y,5,9,99, 999 ///// 4,00 4,0 4, 4,5 4 Lo que en la gráca se vería así: 4

6 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 Observe que aunque la función no está denida para x = (restricción), para valores muy cercanos a, tanto a la izquierda (valores menores que ) como a la derecha (valores mayores que ), las imágenes se aproximan a 4. Nótese que el 4 no es imagen de. Esto se representa mediante los límites laterales lím f(x) = 4 (límite lateral izquierdo) y lím f(x) = 4 (límite lateral derecho). Al coincidir ambos, x x + decimos que 4 es el límite de f(x) cuando x tiende a, lo que simbólicamente se representa así: EXISTENCIA DEL LÍMITE x 4 lím f(x) = 4 o también lím x x x = 4 Si f es una función y si c y L son números reales, decimos que lím x c f(x) = L si y sólo si: lím f(x) = lím f(x) = L x c x c + EJEMPLO. x +, si x < Considere la función f(x) = 5, si x = x +, si x > a? ¾Qué sucede cuando los valores de x se aproximan x,,,0,00-0,999 0,99 0,9 0,8 y 0,6 0,8 0,98 0,998 5,998,98,8,64? Observe que cuando los valores de x se aproximan a por la izquierda (valores menores que ), las imágenes se aproximan a. Lo anterior se puede representar como un límite lateral izquierdo lím f(x) =. A la vez, cuando los valores de x se aproximan a por la derecha (valores mayores x que ), las imágenes se aproximan a. Esto se representa con el límite lateral derecho lím f(x) =. x + Lo anterior se cumple independientemente de que la imagen de sea 5, pues f( ) = 5. Sin embargo, al ser diferentes los límites laterales, no podemos decir que f(x) exista. Así, para que un límite exista, los límites laterales deben ser iguales. lím x

7 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6.. Cálculo de límites a partir de la gráca de la función Como ya se ha mencionado en el apartado anterior, el concepto de límite está relacionado con el comportamiento de la función en un vecindario alrededor de cierto número. De ahí que, si se cuenta con la gráca de una función, podemos calcular (sí existe) el valor de un límite. EJEMPLO. Considere la gura en la que aparece representada la función f. De acuerdo con los datos que se aprecian en la gráca, se cumple que: lím f(x) = 0,7 lím x lím f(x) = 0 x lím f(x) = 4 x 0 lím f(x) = 4 x lím f(x) = x lím f(x) = x f(x) = x + lím f(x) = 0 x + lím f(x) = 4 x 0 + lím f(x) = 4 x + lím f(x) = x + lím f(x) = x + lím f(x) no existe f( ) = x lím f(x) = 0 f( ) = 0 x lím f(x) = 4 f(0) = 4 x 0 lím f(x) = 4 f() = 4 x lím f(x) = x lím f(x) = f() = 4 x f() no está denida Cuando la función tiene asíntotas verticales, se puede dar la situación de que un límite no exista, pero el comportamiento de la función se puede representar simbólicamente como un límite innito. lím f(x) = + x 4 lím f(x) = lím x lím f(x) = + x 4 + f(x) = + lím + x lím f(x) = + x 4 f(x) No existe (*) x (*) NOTA: En estos últimos ejemplos el límite no existe, sin embargo en el caso de lím x f(4) no está denida f( ) no está denida f(x) no solamente el límite no existe, sino que no se puede representar el comportamiento de la función (al aproximarse por ambos lados a la asíntota vertical) como un límite innito. Además podemos analizar el comportamiento de la función cuando el valor de x crece o decrece innitamente, mediante el cálculo de los siguientes límites al innito. lím x f(x) = + lím f(x) = 0 x +

8 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7.. Propiedades de los límites Si c, L y M son números reales tales que lím f(x) = L, lím g(x) = M, k es una constante real x c x c cualquiera, n es un entero positivo, se cumplen las siguientes propiedades (la demostración de al menos una de estas propiedades se efectuará más adelante cuando se estudie la denición formal de límite): () El límite de una suma o resta de funciones lím x c (f(x) ± g(x)) = lím x c f(x) ± lím x c g(x) = L ± M () El límite de un producto de funciones lím (f(x) g(x)) = lím f(x) lím g(x) = L M x c x c x c () El límite de un cociente de funciones lím x c ( f(x) g(x) ) = lím f(x) x c lím g(x) = L, si lím M g(x) = M 0 x c x c (4) El límite de un múltiplo escalar de una función lím (k f(x)) = k lím f(x) = k L x c x c ( ) n (5) El límite de una potencia lím (f(x)) n = lím f(x) = L n x c x c (6) El límite de un radical: ( ) ( ) n (a) Si n es par y L es real positivo o cero lím f(x) = n lím f(x) = n L x c x c ( ) ( ) n (b) Si n es impar y L es un real cualquiera lím f(x) = n lím f(x) = n L x c x c Ejemplo. Si lím f(x) = 5 y lím g(x) = 4, calcule los siguientes límites utilizando las propiedades x x de los límites. [ ] (a) lím f(x) + (g(x)) 5f(x) g(x) x 5 ( ) ( = lím f(x) + lím (g(x)) ) lím (5f(x) g(x)) x 5 x x = ( ) ( 5 lím f(x) + lím (g(x)) ) 5 lím (f(x) g(x)) x x x = ( ) ( ( ) ) ( ) lím 5 f(x) + lím g(x) 5 lím f(x) lím g(x) x x x x = 5 ( ) ( 5 + ( 4) ) 5 (5 4) = = (b) lím x [ ] 5 f(x) 0,5 g(x) f(x) g(x) = 549 (tarea) R/ 5

9 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8.4. Técnicas para el cálculo de límites.4.. Sustitución directa Aunque el valor del límite de una función cuando x c no depende de el valor de la función en x = c, en ciertos casos resulta que el límite sí coincide con el valor f(c). Más adelante veremos que en este caso decimos que la función es continua en x = c. Así, a partir de las propiedades de los límites surge una técnica para calcular límites determinados, llamada la sustitución directa. resolvamos algunos ejemplos, teniendo en cuenta los siguientes límites básicos y las propiedades de los límites. TEOREMA (LÍMITES BÁSICOS): Si b y c son números reales y n es un entero, entonces se cumple:. lím x c b = b. lím x c x = c. lím x c x n = c n (en este caso n es positivo si c = 0) 4. lím x c n x = n c (en este caso si n es par, considere que c > 0) EJEMPLO. ( x + lím x + ) lím x x + = x (por lím (x + ) x ( x ) + lím = lím x lím x x () (x) + lím x () propiedad de los límites) (por propiedad de los límites) = + + (por Teorema de los límites básicos) = 5 4 Ahora bien, si no se nos pide especícamente demostrar o justicar detalladamente el resultado de un límite, podemos aplicar la técnica abreviada de la sustitución directa, para evaluar el límite, así: x + lím x x + = + + = 5 4 (mediante la Técnica de Sustitución Directa) EJEMPLOS. Evalúe los siguientes límites, mediante la técnica abreviada de sustitución directa:. lím x x 4 x + 5 R/ x +. lím x x. lím x 5 x + 4 x + + R/ + R/

10 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Límites de la forma 0 0 Cuando tratamos de utilizar la técnica de sustitución directa para calcular el límite en una función algebraica cuando x c, llegamos a la forma indeterminada 0, podemos calcular el límite mediante la 0 obtención de una función que sea equivalente a la original, salvo en el punto x = c. En otras palabras, aplicaremos el siguiente teorema: TEOREMA: Sea c un número real y f(x) = g(x) para todo x c en un intervalo abierto que contiene a c. Si lím g(x) x c existe, entonces lím f(x) también existe y además lím f(x) = lím g(x) x c x c x c NOTA: Observe que si lím g(x) se puede calcular por sustitución directa, entonces, al aplicar el teorema anterior, x c tendríamos que lím f(x) = lím g(x) = g(c) x c x c A partir de lo anterior, para encontrar la función requerida y posteriormente lograr una igualdad entre los límites, las técnicas que utilizaremos serán factorización y racionalización. Ejemplos de límites que se resuelven factorizando: x + x x. lím x x + x + x SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación 0 0 se procede a factorizar: lím x x + x x x + x + x = lím x = lím x x(x + x ) x(x + x + ) x [ + x x + x + (x + )(x ) = lím x (x + )(x + ) (x ) = lím x (x + ) ( ) = ( + ) = ( ) ( ) = se sigue obteniendo la inderterminación 0 0 ]

11 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0. lím x 4x + 4x 8x 6x + x R/8. lím x x x x + x R/ SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación 0 0 se procede a factorizar: lím x x x x + x = lím (x )(x + x + ) x (x )(x + ) = lím x (x + x + ) (x + ) = ( + + ) ( + ) = 4. lím x (8 x )(x 4x + 4) x 6x + x 8 R/

12 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Ejemplos de límites que se resuelven racionalizando: EXPRESIONES CON NUMERADOR O DENOMINADOR DE DOS TÉRMINOS EN LOS QUE APARECEN RADICALES DE ÍNDICE DOS Se multiplica por un factor racionalizador (un conveniente), multiplicando el numerador y el denominador por el conjungado del factor que se quiere racionalizar, para obtener la fórmula notable: x. lím x 5 x (a + b)(a b) = a b SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación 0 0 se procede a racionalizar el denominador: lím x x 5 x = lím x ( x) ( 5 x ) ( 5 x + ) ( 5 x + ) ( x)( 5 x + ) = lím x ( 5 x ) () ( x)( 5 x + ) = lím x 5 x 4 ( x)( 5 x + ) = lím x x ( x)( 5 x + ) = lím x ( + x)( x) ( 5 x + ) = lím x ( + x) = ( 5 + ) ( + ) = ( 4 + ) () = 4 =

13 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 + x x. lím x x SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación 0 0 es el numerador: se procede a racionalizar, sólo que en este caso 6 + x x ( 6 + x x) lím = lím ( 6 + x + x) x x x ( x) ( 6 + x + x) ( 6 + x) (x) = lím x ( x)( 6 + x + x) 6 + x x = lím x ( x)( 6 + x + x) ( x)( + x) = lím x ( x)( 6 + x + x) ( + x) = lím x ( 6 + x + x) ( + ) = ( ) = 5 6 x + x. lím x 6 + x R/ (x 4) (x + ) 4. lím x 6 x 6 R/ 6

14 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación EXPRESIONES CON NUMERADOR O DENOMINADOR DE DOS TÉRMINOS EN LOS QUE APARECEN RADICALES DE ÍNDICE TRES Se multiplica por un factor racionalizador (un conveniente), multiplicando el numerador y el denominador por el factor que completa la correspondiente fórmula notable: Ejemplos: (a + b)(a ab + b ) = a + b (a b)(a + ab + b ) = a b. lím x 9x x 9 se procede a racionalizar, en este caso el nume- SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación 0 0 rador: 9x lím x x 9 = lím ( ( 9x) () + 9x + ( 9x) ) x (x ( 9) () + 9x + ( 9x) ) () ( 9x) = lím x (x + )(x ) (9 + 9x + ) 8x = lím x 7 9x (x + )(x ) (9 + 9x + ) 8x 9( + x) = lím x (x + )(x ) (9 + 9x + ) 8x = lím x = 9 (x + ) (9 + 9x + ) 8x 9 ( + ) ( ) 8 9 = 6 ( ) = 8

15 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4. lím x x 4x + x se procede a racionalizar, en este caso el deno- SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación 0 0 minador: lím x ( x 4x + (x 4x + ) ( = lím x x ( x ) x ) + x + () ) ( ( x ) + x + () ) ( (x ) + x + 4) (x )(x ) = lím x ( x ) () ( (x )(x ) (x ) + x + 4) = lím x x 8 ( (x )(x ) (x ) + x + 4) = lím x x 9 ( (x )(x ) (x ) + x + 4) = lím x (x ) ( (x ) (x ) + x + 4) = lím x ( ( ) ( ( ) + ) + 4 = () ( ) = () () = = 8 ( x 9x ) + 6x 4. lím x 4 + x R/ 54

16 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 x. lím x 5 x DOBLE RACIONALIZACIÓN SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación 0 0 se procede a racionalizar, pero en este caso tanto el numerador como el denominador: lím x x 5 x = lím x = lím x ( x ) ( 5 x) ( + x ) ( + x ) ( + 5 x) ( + 5 x) [ () ( x ) ] ( + 5 x) [ () ( 5 x) ] ( + x ) [9 x + ] ( + 5 x) = lím x [4 5 + x] ( + x ) [ + x] ( + 5 x) = lím x [x ] ( + x ) ( + 5 x) = lím x ( + x ) = ( + 5 ) ( + ) = 4 6 = x. lím x x + 6 R/

17 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 x +. Calcule lím x x + +. (Indeterminación 0 0 ) SOLUCIÓN ( x + ) lím x ( x + ) ( x + + ) ( x + + ) ( + x + ) ( + x + ) [x + 9]( + x + )) = lím x [4 x ]( x + + ) [x 6]( + x + )) = lím x [ x]( x + + ) [ x]( + x + )) = lím x [ x]( x + + ) ( + x + )) = lím x ( x + + ) = 4 6 = 4 4. lím x 0 ( 6x 8 + ) ( x ) SOLUCIÓN: Como se genera la indeterminación 0 0 se procede a racionalizar, pero en este caso tanto el numerador como el denominador: ( 6x 8 + ) lím x 0 ( x ) = lím ( 6x 8 + ) x 0 ( x ) ( (6x 8) 6x 8 + 4) ( (6x 8) 6x 8 + 4) ( x + ) ( x + ) [( 6x 8) + ]( x + ) = lím x 0 [( x) ]( (6x 8) 6x 8 + 4) [6x 8 + 8]( x + ) = lím x 0 [ x ]( (6x 8) 6x 8 + 4) 6x( x + ) = lím x 0 x( (6x 8) 6x 8 + 4) 8( x + ) = lím x 0 ( (6x 8) 6x 8 + 4) = 8() () = 4 x 5. lím x x R/

18 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7 Ejemplos de límites en los que se puede aplicar una sustitución adecuada:. lím x x x + 4 x SOLUCIÓN: El límite es de la forma 0. El límite se puede resolver usando la siguiente sustitución: 0 Sustitución: u 4 = x Cuando x Entonces u u 4 + = x lím x x x + 4 x = lím u u 4 + u4 + 4 u 4 = lím u u 4 u + u = lím u (u + )(u + )(u ) (u + )(u ) (u + )(u + ) = lím u (u + ) = ()() = (4). lím x 0 ( 6x 8 + ) ( x ) SOLUCIÓN: El límite es de la forma 0 0 Sustitución efectuada en el paso señalado con. u 6 = x cuando x 0 entonces u ( 6x 8 + ) lím x 0 ( x ) = lím ( 8( x) + ) x 0 ( x ) = lím x 0 ( x + ) ( x ) = lím u ( u6 + ) ( u 6 ) = lím u ( u + ) (u ) ( ) (u + )(u ) = lím u (u )(u + u + ) (u + ) = lím u (u + u + ) () = () = 4

19 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8 x 4. lím R/ x 64 x 8 x 4. lím x 0 x + x + R/6

20 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9 Límites que se resuelven efectuando operaciones algebraicas. (. lím x x ) x SOLUCIÓN: Observe que en este caso el límite tiene de la forma indeterminada. La técnica para calcularlo consiste en efectuar la resta planteada, para obtener una expresión equivalente (excepto quizás en x = ) y en la que la indeterminación sea otra. ( lím x x ) ( ) x = lím x ( x) ( x)( + x + x ) ( + x + x ) [ = lím x ( x)( + x + x ahora el límite genera la inderterminación 0 ] ) 0 ( x ) + x = lím x ( x)( + x + x ) ( ) (x + )(x ) = lím x ( x)( + x + x ) ( ) (x + )( x + ) = lím x ( x)( + x + x ) (x + ) = lím x ( + x + x ) ( + ) = ( + + ) = () () =. lím x x x SOLUCIÓN: En este caso se genera la indeterminación 0 0, pero por conveniencia en los cálculos, efectuaremos las restas planteadas en el numerador y el denominador: lím x x = lím x x (x ) x ( x ) x = lím x (x ) x x( x ) (x ) x = lím x x( x ) ( + x ) ( + x ) = lím (x ) x ( + x ) x x [ () ( x ) ] (x ) x ( + x ) ( x + ) x ( + x ) = lím = lím x x [ x + ] x x [ x] x ( + x ) = lím = ( + ) = x x =

21 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0 PRÁCTICA. Considere Considere la siguiente gráca de la función f(x). Calcule los siguientes límites (si existen). En caso de que el límite no exista indíquelo escribiendo NO EXISTE EL LÍMITE. a) lím x f(x) b) lím x + f(x) c) lím x f(x) d) lím x,5 f(x) e) lím x f(x) f ) lím f(x) x + g) lím x f(x) h) lím x f(x) i) lím x f(x) j ) lím f(x) x + k) lím x f(x) l) lím x + f(x)

22 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación. Considere la siguiente gráca de la función f(x). Calcule los siguientes límites e imágenes. a) lím x f(x) b) lím x f(x) c) lím x + f(x) d) lím x f(x) e) lím f(x) x 0 f ) lím f(x) x g) lím x + f(x) h) f() i) f() j ) f(0). Calcule los siguientes límites. a) lím x 4x + 4x 8x 6x + x x 7x + x 6 b) lím x x 8 c) lím x 4x 4x + 8x + d) lím x 0 x 5 x 4 8x 6x 4 x + x e) lím x 4 f ) lím x g) lím x x 4 + x 8x x + 6 x 6 x 4 + x 5x x + 9 x x 5 x x + 4 x

23 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación x + 4 h) lím x x x x + x i) lím x x 5 6x x 5x x j ) lím x 4x x + 4x ( ) x k) lím x x 4x + 8 x + x 8 6x + 4x 4x + 4 l) lím x 6x 4 + x x x 4 x x 4 m) lím x 0 x 400 x 4 + 7x + 5x 48x + 60 n) lím x 6 x 5 x 6x + 6 ñ) lím x 5 o) lím x 0 + x x 4 x 6x 4x + 0x 4 5x x x 7x + 7x 6 p) lím x 6 x 4 + 7x 6 x + x q) lím x 6 + x x r) lím x 7 x x s) lím x 4x 4x x t) lím x x 6x 5 x u) lím x 5 x v) lím x w) lím x 5 RESPUESTAS x 5 4x ( ) x 5 + 8x + 5 x + 5x + 5 x 5. (a) 4 (b) 5 (c) no existe (d) 5 (e) + (f) (g) no existe (h) (i) (j) (k) (l) 0. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j). (a)8 (b) 4 (c) (d) 4 (e) 5 (f) 7 8 (g) 4 (h) (i) 5 64 (j) 7 (q) (k) (r) 4 9 (l) 5 (s) (m) (t) (n) 945 (u) 5 (ñ) (o) (p) 40 (v) (w) 8 75

24 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación.5. Límites laterales Ya tenemos intuitivamente el concepto de límites laterales: Límite Lateral Derecho: lím f(x) signica que x se acerca a c por valores mayores que c + x c Límite Lateral Izquierdo: lím f(x) signica que x se acerca a c por valores menores que c x c Ejemplos:. Calcule el siguiente límite y deduzca por qué sólo se puede calcular cuando x + : lím x + ( x ) R/0 x x, si x <. Sea f(x) = x, si x ¾Existe lím x f(x)? (En caso de que sí exista calcúlelo). SOLUCIÓN: Como la función cambia de fórmula precisamente en x =, para determinar si el límite en cuestión existe, se calculan los límites laterales: lím f(x) = lím x x (x x ) = =. lím f(x) = lím ) = = 0. x + x +(x Como lím f(x) lím f(x) entonces no existe lím f(x). x x + x. Sea f(x) = x +, si x x, si x > ¾Existe lím x f(x)? (En caso de que exista calcúlelo).. R/sí existe ( lím x f(x) = )

25 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 x x, si x > 4. Sea f(x) = mx + 4, si x el límite. ¾Cuál debe ser el valor de m para que lím x f(x) exista? Calcule SOLUCIÓN: Note que la variable de la función es x, mientras que m representa una constante desconocida (o incógnita) cuyo valor debemos despejar. También se le puede llamar un parámetro. Ahora bien, para poder calcular el valor de m se utiliza el dato que condiciona el parámetro, en este caso, que el valor de m permite que lím x f(x) exista. De ahí, que se debe cumplir que los límites laterales sean iguales. Se procede por tanto al cálculo de los límites laterales, para igualarlos lím f(x) = lím x x (mx + 4) = m + 4 = m + 4 ( ) x lím f(x) = lím ( forma indeterminada 0 x + x + x 0 por lo que se racionaliza el numerador) ( x ) = lím ( x + ) x + (x ) ( x + ) = lím (( x) () ) x + (x )( x + ) = lím (x ) x + (x )( x + ) = lím = x + x + Como los límites laterales deben coincidir, se igualan así; formando una ecuación. lím f(x) = lím f(x) x x + m + 4 = m = 4 m = 7 Observe que en efecto si m = 7, se cumple que lím f(x) = x = lím f(x) x + Así m = 7 y lím x f(x) =. kx, si x > 5. Sea f(x) = 6k x, si x ¾Cuál debe ser el valor de k para que lím x f(x) exista y calcúlelo?. R/ k = 5 y lím x f(x) = 7 5

26 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 NOTA: En algunos límites se requiere el análisis de valor absoluto. Para ello, recordemos su denición: u, si u 0 u = u, si u < 0 6. Sea g(x) = x x ¾Existe lím x 0 g(x)? SOLUCIÓN: Se debe efectuar el análisis del valor absoluto: x, si x 0 x = x, si x < 0 Note, que el valor absoluto, visto como función de criterio compartido, cambia de forma en x = 0, y como en el límite x 0, para determinar si el límite existe, es preciso calcular límites laterales: lím g(x) = lím x 0 x 0 x x = lím x 0 x x = lím x g(x) = lím x 0 + x 0 + x = lím x x 0 + x = Como lím g(x) lím g(x) entonces se cumple que no existe lím g(x). x 0 x 0 + x 0 7. Sea h(x) = x 5 5 x ¾Existe lím x 5 h(x)? SOLUCIÓN: Se debe efectuar el análisis del valor absoluto: 5 x, si 5 x 0 5 x = (5 x), si 5 x < 0 lo que es equivalente a 5 x, si x 5 5 x = x 5, si x > 5 Note, que el valor absoluto, visto como función de criterio compartido, cambia de forma en x = 5, y como en el límite x 5, para determinar si el límite existe, es preciso calcular límites laterales: lím h(x) = lím x 5 x 5 x 5 5 x 0. = lím x 5 (x + 5)(x 5) (5 x) x 5 (x + 5)(x 5) lím h(x) = lím = lím x 5 + x x x 5 + (x 5) Como = lím x 5 (x + 5)( x + 5) (5 x) = lím x 5 +(x + 5) = 0. lím h(x) lím h(x) entonces se cumple que no existe lím h(x). x 5 x 5 + x 5 = lím (x + 5) = x 5

27 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 8. Sea f(x) = x4 6 4 x Determine lím f(x) x +. R/ 6

28 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7.6. Límites innitos y las asíntotas verticales de una función Consideremos un caso especial de límites, para lo cual analizaremos el siguiente ejemplo. ¾Qué sucede con la función f(x) = cuando x? Para contestar analizaremos su gráca: x lím x x lím x + x ¾Qué se puede concluir con respecto a la existencia del límite lím x f(x)?

29 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8 Veamos otro ejemplo: ¾Qué sucede con la función g(x) = cuando x? Para contestar analizaremos su gráca: (x + ) lím x (x + ) lím x + (x + ) ¾Qué se puede concluir con respecto a la existencia del límite lím x g(x)? Como se comentó cuando se estableció la idea intuitiva de límite, cuando una función tiene una asíntota vertical, surge la situación de límites innitos. Ahora vamos a formalizar dicho concepto. Denición: Sea f una función denida para todo x perteneciente a un intervalo abierto alrededor de a (excepto quizás en a):. Decimos que lím x a f(x) = + si el valor de f(x) crece sin tope cuando x tiende a a. Es decir, los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes haciendo que x se acerque lo suciente al valor de a.. Decimos que lím x a f(x) = si el valor de f(x) decrece sin tope cuando x tiende a a. Es decir, los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (en el sentido negativo) haciendo que x se acerque lo suciente al valor de a. Ahora bien, recuerde que la representación simbólica no es un número. De hecho, en casos donde los límites son innitos, NO SIGNIFICA QUE EL LÍMITE EXISTE. Más bien es una representación de la manera particular en que el límite no existe, debido al comportamiento no acotado de la función.

30 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9 También se pueden dar los casos laterales: lím x a lím x a f(x) = lím f(x) = + x a f(x) = lím f(x) = x a Lo anterior nos permite llegar a la siguiente denición de asíntota vertical. Denición: La recta vertical x = a es una asíntota vertical de la curva y = f(x) si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero: lím x a lím x a f(x) = lím f(x) = + x a f(x) = lím f(x) = x a lím f(x) = lím f(x) = + x a x a NOTA (Asíntotas verticales de funciones racionales): Si h(x) = f(x), con f y g polinómicas y aes un número real tal que f(a) 0 y g(a) = 0, g(x) entonces la gráca de h(x) tiene una asíntota vertical en x = a. Ejemplos. Calculemos los siguientes límites: x + 5x. lím x 5 + x 5 SOLUCIÓN: Como el límite genera la indenición 50 0 se cumple que la función dada por y = x +5x x 5 tiene una asíntota vertical en x = 5. Por lo tanto, el límite cuando x 5 + es innito, y se determina el comportamiento de la función para representarlo simbólicamente, mediante la evaluación de valores cercanos a 5 por la derecha: Cuando x 5 + el numerador tiende a 50(+) mientras que el denominador tiende a 0. Al evaluar valores cercanos a 5 por la derecha, en el denominador, se obtienen valores cercanos a 0 pero positivos (por ejemplo al evaluar en el denominador x = 5, 00 éste equivale a 0, 000). Al efectuar la división de signos (+)/(+) = +, por lo que se puede concluir que el comportamiento de la función se puede representar así: x + 5x lím x 5 + x 5 = +

31 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0 x x. lím x + x 4x + 4 R/ + x. lím x x 9 R/ 4. lím x x x 6x + 9 R/ SOLUCIÓN: Como el límite genera la indenición 8 0 se cumple que la función dada por y = x x 6x+9 tiene una asíntota vertical en x =. Por lo tanto, los límites laterales son innitos, y se determina el comportamiento de la función para representarlo simbólicamente, mediante la evaluación de valores cercanos a por la derecha y por la izquierda, es decir se representan simbólicamente los límites laterales: Cuando x + el numerador tiende a 8( ) mientras que el denominador tiende a 0. Al evaluar valores cercanos a por la derecha, en el denominador, se obtienen valores cercanos a 0 pero positivos (por ejemplo al evaluar en el denominador x =, 00 éste equivale a 0, 00). Al efectuar la división de signos ( )/(+) =, por lo que se puede concluir que el comportamiento de la función se puede representar así: x lím x + x 6x + 9 = Cuando x el numerador tiende a 8( ) mientras que el denominador tiende a 0. Al evaluar valores cercanos a por la derecha, en el denominador, se obtienen valores cercanos a 0 pero positivos (por ejemplo al evaluar en el denominador x =, 999 éste equivale a 0, 00). Al efectuar la división de signos ( )/(+) =, por lo que se puede concluir que el comportamiento de la función se puede representar así: x lím x x 6x + 9 = Observe que si se hubiera factorizado el denominador como (x ), también se podía justicar que cuando x su signo siempre será positivo, por lo que en ambos límites laterales se hubiera obtenido el mismo comportamiento en cuanto a los signos ( )/(+) = ( ). Así, el comportamiento de la función a ambos lados de la asíntota se puede representar así: lím x x x 6x + 9 =

32 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación ( x ) 5. lím x 0 x R/ no existe y no se puede representar simbólicamente el comportamiento de la función cuando x 0 como un límite ininito Ahora bien, podemos entonces también identicar las asíntotas verticales de las funciones racionales. Por ejemplo, efectuemos el estudio de asíntotas verticales para la siguiente función: f(x) = x x 4 SOLUCIÓN: Se debe identicar en primer lugar los valores que vuelven cero al denominador, y calcular los límites respectivos para determinar si se trata de asíntotas verticales, así como el comportamiento a su alrededor: RESTRICCIONES DE LA FUNCIÓN f(x) = x x 4 = x (x + )(x ) : x x CÁLCULO DE LÍMITES: (x ) lím x (x + )(x ) = lím x (x + ) = 4 Puesto que el límite es determinado, se deduce que en x = NO hay asíntota vertical. lím x (x ) (x + )(x ) = lím x (x + ) [forma indeterminada 0 ]. Como se genera la indenición 0 se puede concluir que en x = hay una asíntota vertical, y el comportamiento de la función alrededor de la misma se puede representar así: lím f(x) =, lím f(x) = + (mediante la evaluación de valores cercanos a x = a ambos x x + lados de la asíntota y efectuando el análisis de signos).

33 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación EJERCICIO. Identique las asíntotas verticales de las siguientes funciones y analice el comportamiento de dicha función alrededor de cada asíntota mediante el cálculo de los límites correspondientes.. g(x) = x + x x + x 5x + R/ A.V. : x =, lím x g(x) =, lím x + g(x) = +. h(x) = x + x + R/ no tiene asíntotas verticales

34 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación.7. Límites al innito y las asíntotas horizontales y oblicuas de una función.7.. Concepto de límite al innito De los ejemplos de límites al innito que comentamos en el análisis de grácas tenemos el siguiente concepto intuitivo de límites al innito: lím f(x) = L si conforme x crece sin tope, f(x) tiende a L. x + lím f(x) = L si conforme x decrece sin tope, f(x) tiende a L. x Por ejemplo, considere la gráca de la función f(x) = x x + Observe que conforme x decrece sin tope f(x) se aproxima a la recta horizontal y =, mientras que conforme x crece sin tope, f(x) se aproxima a la recta horizontal y =. En este caso decimos que y = es una asíntota horizontal cuando x y que y = es una asíntota horizontal cuando x. La situación anterior se puede representar, utilizando la notación de límites así: lím x x x + = lím x + x x + =

35 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 Veamos otro ejemplo. Considere la función g(x) = x x + 5 x, cuya gráca se le da a continuación. + Calcule los límites que se le piden y deduzca si existen asintotas horizontales para g(x). Calcule.. lím x g(x). lím x + g(x). Asíntotas horizontales de g(x) Deniciones: Entonces, de manera intuitiva tenemos lo siguiente (que se denirá más formalmente más adelante):. Sea f una función denida en algún intervalo ]a, + [. Decimos que lím f(x) = L si el valor x + de f(x) se puede aproximar a L tanto como se desee, siempre que que se escoge un valor de x lo sucientemente grande (en el sentido positivo).. Sea f una función denida en algún intervalo ], a[. Decimos que lím f(x) = L si el valor x de f(x) se puede aproximar a L tanto como se desee, siempre que que se escoge un valor de x lo sucientemente grande (en el sentido negativo). Denición: La recta y = L es una asíntota horizontal de la curva y = f(x) si se cumple que lím f(x) = L. x lím x + f(x) = L o

36 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Propiedades de los innitos Propiedades de los límites innitos Si k es una constante positiva: ) + k = ) k = ) k = 4) ±k = 0 Formas indeterminadas Teorema Si r es un racional positivo, tal que x r está denido para toda x, entonces se cumple lo siguiente: lím x + lím x c x r = 0 c x r = Comportamiento de las funciones polinómicas en el innito Aparte de las propiedades anteriores también es útil conocer el comportamiento de las funciones polinómicas en el innito. Repasemos primero el concepto de función polinómica o polinomial: Denición: Llamamos a la función f(x) una función polinómica o polinomial si tiene la forma: f(x) = a n x n + a n x n a x + a x + a 0, con n un número natural y a n,a n, a n,..., a,a, y a 0 números reales (a n 0). Llamamos a n el coeciente principal del polinomio y n el grado del polinomio. Ejemplos:. f(x) = x 4 5x + x, grado 4 coeciente principal. g(x) = x 6 + 5x 4 x, grado 6 coeciente principal. h(x) = 8x 6x + 4x, grado coeciente principal 8 4. p(x) = x 5 + x 4 5x + 6x x +, grado 5 coeciente principal Las funciones polinómicas no tienen asíntotas, por lo que cuando x el polinomio también tiende hacia un innito. Ahora bien, es posible saber si la función polinómica tiende a o a +, a partir de su grado n y de su coeciente principal (a n ), así:. Si n es par y a n es un número positivo se cumple que lím f(x) = + y lím f(x) = + x x +. Si n es par y a n es un número negativo se cumple que lím f(x) = y lím f(x) = x x +. Si n es impar y a n es un número positivo se cumple que lím f(x) = y lím f(x) = + x x + 4. Si n es impar y a n es un número negativo se cumple que lím f(x) = + y lím f(x) = x x +

37 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 Lo ilustraremos con las grácas de los mismos ejemplos anteriores:. f(x) = x 4 5x + x, grado 4 coeciente principal Note que lím f(x) = + y lím f(x) = + x x +. g(x) = x 6 + 5x 4 x, grado 6 coeciente principal Note que lím g(x) = y lím g(x) = x x +

38 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7. h(x) = 8x 6x + 4x, grado coeciente principal 8 Note que lím h(x) = y lím h(x) = + x x + 4. p(x) = x 5 + x 4 5x + 6x x +, grado 5 coeciente principal Note que lím p(x) = + y lím p(x) = x x +

39 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Cálculo de límites al innito de funciones racionales Denición de función racional Recuerde que f(x) = p(x) q(x) y q(x) 0. se llama una función racional si p(x) y q(x) son ambas funciones polinómicas Podemos usar las propiedades vistas anteriormente para calcular límites al innito de funciones racionales. Por ejemplo: (5 x ) = 5 lím x + Veamos algunos ejemplos más: x 7x + 5. lím x + x + 0x 6 SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada. Se procede así: x ( 7 x + ) 5 x lím x + x 7x + 5 x + 0x 6 = lím x + x ( + 0 x 6 x ) = = 4 x + 5. lím x + x + SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada : lím x + x + 5 x + = lím x + x ( ) + 5 x x ( ) + = 0 x 9x 8x + 6x + 5. lím x + x + 5x + SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada : 9x 8x + 6x + 5 x ( 9 8 x lím x + x = lím + ) 6 x + 5 x + 5x + x + x ( + 5 x + ) = +. x 0x 4 8x 5 + 6x + 5x + x 7 4. lím x 8x + 6x x + 0 R/ 5. lím x + 4 x 5 8 x + x 6 + x 5 + 0,0x + π R/ 0

40 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9 6x 6 + 8x 5 9x 4 + 6x x + x 6. lím x 48x x 4 + 9x + 0x 9 R/ ( x 7. lím x x + x ) x + R/ 5 (5x + x x + ) (x + 4) 8. lím x (x 4 + ) (5x 6x + 5) R/ NOTA: Observe que si f(x) = p(x), donde p(x) es un polinomio de grado m y q(x) es un polinomio de grado n, se q(x) cumple: () Si m = n entonces lím f(x) = a, donde a es el coeciente principal de p(x) y b es el coeciente principal x b de q(x) ; () Si m < n entonces lím f(x) = 0; x () Si m > n entonces lím f(x) =. x Utilizando ahora la nota anterior, calcule nuevamente estos límites, utilizando el método abreviado. x 7x + 5. lím x + x + 0x 6 = = 4 x + 5. lím x + x + = 0 9x 8x + 6x + 5. lím x + x = + + 5x + 0x 4 8x 5 + 6x + 5x + x 7 4. lím x 8x + 6x x = lím x + 4 x 5 8 x + x 6 + x 5 + 0,0x + π 6x 6 + 8x 5 9x 4 + 6x x + x 6. lím x 48x x 4 + 9x = + 0x 9 = NOTA: Para efectos del primer examen debe resolver los límites al innito con todo el procedimiento. Este método abreviado, lo utilizaremos para agilizar cálculos de límites al innito cuando estemos gracando funciones.

41 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Cálculo de límites al innito de funciones en las que aparecen radicales de índice dos(en el numerador o el denominador) Conviene tener presente lo siguiente: u = u { u, si u 0 así como la denición de valor absoluto: u = u, si u < 0 Ejemplos: x 8. lím x x + 4x 5 SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada : lím x x 8 x + 4x 5 = lím x = lím x = lím x = = x 8 x ( + 4x 5x ) x 8 ( x + 4 x ) 5 x x ( ) 8 x ( x + 4 x ) 5 x x +. lím x + x x R/

42 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 x. lím x + x + SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada : lím x + x x + = lím x + = lím x + = lím x + = lím x + = = = x x ( + x ) x ( x + x ( ) x ( ) x + x x ) x ( ) x + x x 5 4. lím x x + x R/

43 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 ( 5. lím 4x 6 ) 4x x x SOLUCIÓN: Observe que el límite es de la forma indeterminada. En este caso de debe racionalizar para tratar de llegar a una expresión de la forma indeterminada. ( lím 4x 6 ) ( 4x x = lím 4x 6 ) ( 4x 6 + 4x x ) 4x x ( x x 4x 6 + 4x x ) ( 4x 6 ) ( 4x x ) = lím x ( 4x 6 + 4x x ) 4x 6 4x + x = lím ( x 4x 6 + 4x x ) = lím x = lím x = lím x = lím x = 4 x 6 x (4 6 x ) + x (4 x ) x 6 x 4 6x + x 4 x x 6 x 4 6x + x 4 x x ( ) 6 x ) x ( 4 6x + 4 x ( 6. lím x ) x + x x + R/

44 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 ( 7. lím x + ) 4x + x x R/ 4 ( 8. lím x + ) x + x R/ 0

45 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Cálculo de las asíntotas horizontales de una función Como ya se ha dicho, para que la recta y = L sea una asíntota horizontal para la función f(x) se debe cumplir que: lím f(x) = L o que lím x f(x) = L x + Por ejemplo, efectuemos el análisis de asíntotas verticales y horizontales de f(x) = x x 5x + 4x + Para determinar si hay ASÍNTOTAS VERTICALES, tenemos que identicar los valores que vuelven cero al denominador. Podemos para eso, igualar el denominador a cero y resolver la ecuación resultante, a saber: 5x + 4x + = 0 Sin embargo, como para esa ecuación = 4 no tiene solución, de lo que se deduce que f NO tiene asíntotas verticales. Para determinar si hay ASÍNTOTAS HORIZONTALES, se deben calcular los límites al innito: lím x + x x 5x + 4x + = lím x ( x ) x x + x ( x + ) x = 5 Análogamente: lím x x x 5x + 4x + = lím x ( x ) x x x ( x + ) x = 5 Así, y = 5 es una asíntota horizontal cuando x ±.

46 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 45 EJERCICIO:. Determine (si existen) las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones (se le sugiere que efectúe el trazo de las funciones mediante algún software para gracación y así vericar su respuesta). x + a) g(x) = x 5. R/A.V. x = 5, A.H. y = cuando x y y = cuando x + b) h(x) = ( x + x ). R/ A.V. no tiene, A.H. y = 0 cuando x +, no tiene cuando x c) y = 4x 8x R/No tiene asintotas verticales ni horizontales. Considere la función f : ], 6 ] [ 6, + [ R dada por f(x) = 4x 6 4x x. R/ A.H. y = 4 cuando x, y = 4 cuando x +

47 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Asíntotas oblicuas de una función racional Algunas funciones racionales poseen asintotas oblicuas (o inclinadas), es decir, asíntotas que no son ni verticales ni horizontales. Si f(x) tiene una asíntota oblicua (supongamos y = mx + b), entonces conforme x la distancia entre f(x) y la asíntota y = mx + b tiende a cero. De ahí que: lím [f(x) (mx + b)] = 0 x Por ejemplo, considere la gráca de f(x) = x x + x. Observe que para dicha función, aparte de las asíntotas verticales x = y x =, la recta y = x es una asíntota oblicua de f(x). El requisito para que una función racional tenga una asíntota oblicua, es que el grado del numerador debe exceder exactamente en una unidad el grado del denominador.para calcular el criterio de la asintota oblicua de una función racional, existen dos métodos, a saber:. Efectuando la división algebraica del polinomio del numerador por el polinomio del denominador. Recuerde en este caso que si p(x) es el polinomio del numerador y q(x) es el polinomio del denominador, al efectuar la división de esos polinomios, obtendremos los polinomios c(x) (polinomio cociente) r(x) (polinomio residuo), que cumplen que: p(x) r(x) = c(x) + En este caso, el cociente q(x) q(x) c(x) de la división de polinomios, será el criterio de la asíntota oblicua.. Dado que la asíntota oblicua es una recta de la forma y = mx + b, podemos obtener los coecientes m y b mediante las siguientes fórmulas: ( ) f(x) a) m = lím x x b) b = lím (f(x) mx) x

48 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 47 Por ejemplo, mediante los dos métodos descritos, calculemos la asíntota oblicua de la función f(x) = x x + x MÉTODO : Efectuando la división de polinomios: MÉTODO : Calculando los coecientes m y b de la asíntota oblicua y = mx + b mediante los límites correspondientes: m = m = b = b = b = lím x + ( ) f(x) x = lím x + lím (f(x) mx) = lím x + lím x + ( x ) x + x x ( x x + x + x x ( x x + x + x ) ( x x + = lím x + x x = lím x + Así, la ecuación de la asíntota oblicua es y = x. ) = lím x + ( ( x x + )) x x ( x ) ) ( x x + x(x ) ) x = lím x + x ( x ) ( + x + ( x + x + ) x x = lím x + x ( x ) NOTA: Es importante observar entonces que, por la diferencia que debe haber entre los grados del numerador y el denominador, si una función racional tiene una asíntota oblicua, no puede tener una asíntota horizontal y viceversa. )

49 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 48 OBSERVACIÓN : Note que la observación anterior es válida para funciones racionales, que son el objeto de estudio en este apartado, pero en efecto hay otros tipos de funciones que tienen a la vez asíntotas lineales horizontales y oblicuas. De hecho, lo correcto sería armar que si f(x) tiene una asíntota horizontal cuando x + entonces no puede tener una asíntota oblicua cuando x + y viceversa. Así mismo, si f(x) tiene una asíntota horizontal cuando x entonces no puede tener una asíntota oblicua cuando x y viceversa. Aunque sí se puede dar que una función (no racional) tenga una asíntota horizontal cuando x + y una oblicua cuando x o viceversa. Por ejemplo, considere la siguiente función (observe que no es racional): f(x) = x + x + x Para esta función se cumple lo siguiente (se recomienda vericar cada uno de los datos como práctica de dominio de funciones y cálculo de límites):. El dominio de f(x) es ], ] [0, + [. lím f(x) = + x +. lím f(x) = x f(x) 4. lím x + x = 5. lím x + [f(x) x] = f(x) 6. lím x x = 0 7. lím [f(x) x] = + x Razonemos: A partir de la información anterior, podemos deducir que cuando x + se cumple que f(x) tiene una asíntota... cuya ecuación es... y cuando x se cumple que f(x) tiene una asíntota... cuya ecuación es... Más adelante estaremos en capacidad de analizar más profundamente la función para bosquejar su gráca, pero por el momento se le da a continuación:

50 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 49 OBSERVACIÓN : En general para una función racional que tiene asíntota oblicua, ésta será única. Es decir, una función racional no tendrá más de una asíntota oblicua. Sin embargo, hay funciones NO racionales que pueden tener una asíntota oblicua cuando x + y otra distinta cuando x. Por ejemplo, considere la siguiente función: g(x) = x + La función g cumple lo siguiente (se recomienda vericar cada uno de estos datos para practicar dominio de funciones y cálculo de límites):. Su dominio es R. lím g(x) = + x. lím g(x) = + x + 4. ( ) g(x) lím = x x 5. ( ) g(x) lím = x + x 6. lím (g(x) + x) = 0 x 7. lím (g(x) x) = 0 x + Razonemos: A partir de la información anterior, podemos deducir que cuando x + se cumple que g(x) tiene una asíntota... cuya ecuación es... y cuando x se cumple que f(x) tiene una asíntota... cuya ecuación es... Además la función no tiene asíntotas... ni tampoco asintotas... Así la gráca de g(x) es:

51 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 50 EJERCICIO: Calcule las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de las siguientes funciones. Justique cada una, con los procedimientos y razonamientos necesarios y en forma completa(se le sugiere que efectúe el trazo de las funciones mediante algún software para gracación y así vericar su respuesta).. f(x) = x x + 4 x. g(x) = x + x + 4 x. h(x) = x 8 x 4 x 4. y = x + RESPUESTAS/. A.V. : x = A.H. : no tiene A.O. : y = x. A.V. : x = 0 A.H. : no tiene A.O. : y = x +. A.V. : x = y x = A.H. : y = cuando x ± A.O. : no tiene. 4. A.V. : no tiene A.H. : y = cuando x +, y = cuando x A.O. : no tiene.

52 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 PRÁCTICA. Calcule los siguientes límites. (NOTA: En las respuestas si el límite no existe y el comportmiento de la función alrededor de una asíntota vertical no se puede representar simbólicamente como un innito, se escribió NO EXISTE, aunque debe quedar claro que en las respuestas consignadas con o + los límites en realidad tampoco existen y se trata de una manera simbólica de representar la manera en particular en que el límite no existe). (a) (b) lím x 8x 6x 5x + x lím x x x + x R/ 6 R/ (c) (d) (e) (f) x + x + lím x x x 8 lím x x x lím x x x R/ R/ R/ no existe x lím R/ x x + 5 x (g) (h) (i) x 4 lím x x 6 x 4 lím x x + 8 lím x ( x x ) R/ 5 R/ R/ (j) 5 x lím R/ 60 x 5 x + 4 (k) (l) (m) (n) (ñ) x + x lím x x 4x + 4 x lím x x + 5 x lím x 5 lím x x 8x + 5 x x + 5x + 6 x + x lím x x + x 6 R/ no existe R/ 6 R/ no existe R/ 4 R/ 4 5 (o) lím x 0 + x + x R/

53 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5. Calcule los siguientes límites.. (NOTA: En las respuestas si el límite no existe y el comportmiento de la función alrededor de una asíntota vertical no se puede representar simbólicamente como un innito, se escribió NO EXISTE, aunque debe quedar claro que en las respuestas consignadas con o + los límites en realidad tampoco existen y se trata de una manera simbólica de representar la manera en particular en que el límite no existe). (a) lím x x x x R/ no existe (b) (c) (d) (e) (f) x lím x x x lím x + x + x lím x + x R/ no existe R/ R/ 4 lím x (x ) R/ no existe lím x (x ) R/ (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (ñ) (o) x lím x x x x + x + lím x x + lím x ( x + ) 9x x ( lím x + x ) x + lím x + lím x + lím x + 5x + 0x x + 7 x + 4 x x x 4 + x ( lím 9x + x x) x + lím x ( x)( + x) ( + x)( x) x 8x + 5 lím x + x x + R/ R/ R/ 6 R/ 0 R/ R/ 0 R/ R/ 6 R/ 6 R/ +

54 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5. Determine las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las siguientes funciones. Justique detalladamente su procedimiento. (Sugerencia: para una mejor visualización de las asintotas encontradas, se le recomienda utilizar un software gracador de funciones) a) f(x) = x + x b) g(x) = x x + x c) h(x) = x + x d) y = x + x 6 x e) y = x + Respuestas (sólo se le da la respuesta nal, se supone que usted debe justicar cada tipo de asíntota en su procedimiento) a) Asintota horizontal: NO HAY Asíntota vertical: x = Asintota oblicua: y = x + b) Asintota horizontal: NO HAY asíntota vertical: x = Asintota oblicua: y = x c) Asintota horizontal: y = Asíntotas verticales: x = y en x = Asintota oblicua: NO HAY d) Asintota horizontal: y = 0 (eje X) Asíntotas verticales: x = y en x = Asintota oblicua: NO HAY e) Asintota horizontal cuando x + : y = Asintota horizontal cuando x : y = Asíntotas verticales: NO HAY Asintota oblicua: NO HAY

55 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Límites trigonométricos.8.. Límites que se resuelven por sustitución directa o utilizando identidades trigonométricas Algunos límites se pueden calcular utilizando el método de sustitución directa. Sin embargo, en ocasiones surgen indeterminaciones para las que se pueden aplicar las propiedades (identidades) conocidas para las funciones trigonométricas (ver anexo ). Ejemplos: Calcule los siguientes límites:. lím x 0 sen (x) = sen(0) = 0. lím x π x cos(x) = π cos(π) = π = π. lím x 0 tan(x) sen (x) (Indeterminación 0 0 ) SOLUCIÓN : lím x 0 tan(x) sen (x) = lím x 0 sen(x) cos(x) sen (x) = lím x 0 sen(x) sen(x) cos(x) = lím x 0 cos(x) = cos(0) = 4. lím x π cot(x) (Indenición 0 ) SOLUCIÓN: Como se genera la indenición 0 se cumple que la recta x = π es una asíntota vertical para la función y = cot(x). Para determinar el comportamiento de la función cuando x tiende a π determinaremos los límites laterales innitos, mediante la evaluación de valores cercanos a π a ambos lados de la asíntota. Así: lím cot(x) = lím cos(x) x π x π sen(x) =. cos(x) lím cot(x) = lím x π + x π + sen(x) = +. Así, se tiene que lím x π cot(x) NO EXISTE y el comportamiento de la función no se puede representar simbólicamente como un límite innito.

56 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 55 cos x 5. lím x π cot x R/ 6. lím x π 4 tan x sen x cos x R/.8.. Límites Trigonométricos Especiales En otros casos se procura transformar la función para obtener alguno de los siguientes límites trigonométricos especiales. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES GENERALIZACIÓN PARA EL MÚLTIPLO ESCALAR DEL ÁNGULO sen x lím = x 0 x cos x lím = 0 x 0 x tan x lím = x 0 x sen (nx) lím = n x 0 x cos(nx) lím = 0 x 0 x tan(nx) lím = n x 0 x

57 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 56 Ejemplos:. lím x 0 sen(x) 5x (forma indeterminada 0 0 ) Por propiedades de los límites se cumple que sen(x) lím = lím x 0 5x x 0 5 lím sen(x) = x 0 x 5 = 5 Sin embargo, para simplicar los cálculos, se puede utilizar un método abreviado, así: sen(x) lím = lím x 0 5x x 0 5 sen(x) = x 5 = 5. lím x 0 sec x x sec x R/ 0. lím x 0 sen x x R/0 4. lím x 0 sen x x R/

58 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación lím x 0 tan(x) x (forma indeterminada 0 0 ) SOLUCIÓN: MÉTODO : Sin utilizar la generalización dada para el múltiplo escalar: tan(x) tan(x) lím = lím = lím tan(x) = = x 0 x x 0 x x 0 (x) MÉTODO : Método abreviado usando la fórmula dada para el múltiplo escalar: tan(x) lím = x 0 x 6. lím x 0 sen(x) sen(x) (forma indeterminada 0 0 ) SOLUCIÓN: Como x 0 implícitamente se cumple el hecho de que x 0, podemos dividir tanto el numerador como el denominador de la expresión por x con el objetivo de obtener límites trigonométricos especiales. Así: sen(x) lím x 0 sen(x) = lím x 0 sen(x) x sen(x) x = lím x 0 sen(x) (x) sen(x) (x) = = 7. lím x 0 ( cos(x)) x R/ 0 8. lím x 0 sen (x) x R/ 4

59 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación lím x 0 cot(x) cot(x) R/ 0. lím x 0 sen(x π) x (forma indeterminada 0 0 ) SOLUCIÓN: Se desarrolla el seno de la resta, para tratar de llegar a límites trigonométricos especiales: sen(x π) sen(x) cos(π) cos(x) sen(π) sen(x) sen(x) lím = lím = lím = lím = x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x ( π ) sen. lím 6 + x x 0 x R/. lím x π + sen(x) cos(x) (Indeterminación 0 0 ) SOLUCIÓN: En ocasiones es conveniente multiplicar por el conjugado del denominador o del numerador (como en este caso) para formar una identidad trionométrica pitagórica mediante la fórmula notable (a + b)(a b) = a b. lím x π ( + sen(x)) sen(x)) ( cos(x) ( sen(x)) = lím x ) π 0 ) = = 0 = cos ( π sen ( π sen (x) cos(x) ( sen(x)) = lím x π cos (x) cos(x) ( sen(x)) = lím x π cos(x) ( sen(x))

60 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 59. lím x 0 x + x sen(x) cos(x) R/ 4 cos x + cos x 4. lím. (Indeterminación 0 x 0 sen(x) 0 ) SOLUCIÓN cos x + cos x lím x 0 sen(x) (cos(x) ) (cos(x) + ) = lím x 0 sen(x) = lím x 0 = lím x 0 (cos(x) ) (cos(x)+) x sen(x) x = 0 = 0 ( cos(x)) (cos(x)+) x sen(x) x 5. lím x π ) ( x cos cos (x) R/ 4

61 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Límites Trigonométricos que se pueden resolver mediante un cambio de variable En algunas ocasiones es preciso efectuar un cambio de variable, para poder calcular ciertos límites trigonométricos, de manera que la nueva variable tienda a cero, y así, poder utilizar los límites trigonométricos especiales. Ejemplos. Calculemos los siguientes límites aplicando un cambio de variable adecuado:. lím x π sen(x) cos(x) (forma indeterminada 0 0 ) SOLUCIÓN: Sustitución u = x π cuando x π entonces u 0 lím x π sen(x) cos(x) = lím u 0 sen ( ( u + π )) cos ( u + π sen (u + π) = lím u 0 cos ( ) u + π = lím u 0 ) sen (u) cos (π) + cos (u) sen (π) [ cos (u) cos ( ) ( π sen (u) sen π )] sen (u) ( ) + cos (u) (0) [ u 0 ) ( )] sen (u) = lím cos (u) ( = lím u 0 = lím u 0 = lím u 0 = 0 + = sen (u) cos (u) + sen (u) sen (u) u cos (u) + sen (u) u sen (u) cos (u) u u sen (u) + u

62 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6. lím x π π x ( cos x π ) R/. lím x π sen( x) x π R/

63 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 cos(x) + sen(4x) 4. lím x π 4 4x π (Indeterminación 0 0 ) SOLUCIÓN: Aunque para resolver este ejercicio, se podría utilizar como sustitución u = x π 4 también u = π 4 x (verifíquelo), lo resolveremos utilizando la siguiente: Sustitución u = 4x π cuando x π 4 entonces u 0 Además Si u = 4x π u + π = 4x u + π = x 4 u 4 + π 4 = x lím x π 4 cos(x) + sen(4x) 4x π ( cos = lím u 0 = lím u 0 cos = lím u 0 ( u 4 + π )) ( ( u + sen π )) 4 u ( u + π ) + sen (u + π) [ ( u ) cos cos u ( π ) sen ( u ) ( π )] sen + [sen (u) cos (π) + cos (u) sen (π)] [ ( u u ) ( u ) ] cos 0 sen + [sen (u) + cos (u) 0] = lím u 0 ( u ) = lím sen sen (u) u 0 u ( u ) = lím sen sen (u) u 0 u u ( = lím sen ( u) ) sen (u) u 0 u) u = = ( u o π + x 5. lím x π cos(x) R/

64 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 Calcule los siguientes límites PRÁCTICA () lím x 0 + tan(x) cos(x) x () lím x sen ( x) x R/ R/ sen (x) () lím R/ 0 x 0 + x (4) lím x 0 sen (4x) 5x R/ 4 5 (5) lím x 0 x cot(x) R/ cos(x) tan(x) () lím x 0 x ( cos x + 5π ) () lím x 0 x x + x cos(x) (4) lím x 0 sen (x) cos(x) (5) lím x 0 sen (x) x cos(4x) ( (6) lím x 0 x cos x ) x R/ R/ R/ R/ R/ 0 (6) lím x 0 ( x csc(x) cot(x) ) R/ 4 (7) lím x π x sec(x) R/ π (7) lím x 0 cos(x) sen (x) R/ 0 (8) lím x 0 sen (x) x R/ 4 (8) lím x 0 cos(x) x R/ (9) lím x 0 cot(x) cot x R/ (9) lím x 0 cos(x) x sen x (0) lím x 0 ( π ) cos x x R/ R/ (0) lím x 0 cos(x) sen (x) () lím x π sen (x) sen(x π) x π R/ R/ 6x sen (x) () lím x 0 x + sen (4x) R/ 7 () lím x π cos( x) x + π R/

65 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación El Teorema de Intercalación Este teorema, también conocido como teorema del encaje, se reere al comportamiento límite de una función que está encajadaentre otras dos, cada una de las cuales tiene el mismo límite en un punto dado. Dice lo siguiente: Si h(x) f(x) g(x), para todo x en un intervalo abierto que contiene a c, excepto quizás en el propio c, y si se cumple que entonces: lím h(x) = lím g(x) = L x c x c lím f(x) = L x c Note entonces que este teorema tiene dos hipótesis a saber:. h(x) f(x) g(x), para todo x en un intervalo abierto que contiene a c, excepto quizás en el propio c.. lím x c h(x) = lím x c g(x) = L. Si se verica que se cumplen ambas hipótesis se puede deducir la siguiente conclusión: lím f(x) = L x c Este teorema es útil para el cálculo de límites trigonométricos o su comprobación. La conclusión del teorema es válida también cuando x + o cuando x.

66 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 65 Ejemplo: sen(x) () Calcule lím x + x SOLUCIÓN: Por propiedades de la función y = sen(θ) se cumple que sen(θ) θ R. En particular,para θ = x, se cumple que: sen(x) x R Puesto que x +, la variable asume valores positivos cada vez más alejados de cero, por lo que se puede dividir toda la desigualdad por x y, por propiedades de las desigualdades, no se invierte ninguna de las mismas. Así: x sen(x) x x, cuando x + Con lo anterior se verica la primer hipótesis del teorema. Vericamos la segunda hipótesis: Entonces Por lo tanto: lím x + lím x + x = lím x + sen(x) x lím x + x = 0 lím x + x = 0 = 0, con lo que se cumple la segunda hipótesis del teorema. x = 0. () Demuestre que: Justique su respuesta. cos(x) lím = 0 x + x

67 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 66 Nota. En algunos ejercicios y demostraciones es útil recordar esta propiedad (k > 0 ) u k k u k u k u k u k Ejemplo: () Suponga que f es una función que satisface: f(x) x, para todo x en un vecindario de x = 0. Demuestre que lím x 0 f(x) = 0. Justique su respuesta. (4) Calcule lím x 5 f(x) si se cumple que f(x) (5 x) x R R/ (5) Si x g(x) x 4 x + para todo x, determine lím x g(x) R/ (6) PARA INVESTIGAR (Actividad extraclase recomendada): Utilizando el Teorema de Intercalación sen (x) aplicado a áreas en el Círculo Trigonométrico compruebe que lím = x 0 x

68 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 67 PRÁCTICA 4 () Utilice el principio de intercalación para calcular los siguientes límites. (a) ( ) lím x 4 cos x 0 x R/ 0 (b) ( ) lím x sen x 0 x R/ 0 (c) lím f(x) si se cumple que f(x) (x ) 4 R/ x () Aplique el Teorema de intercalación para demostrar que lím x 0 ( x cos (0πx) ) = 0. R/ Demostración completa ( ( π )) () Aplique el Teorema del Encaje para demostrar que lím x + x sen = 0. x 0 x. R/ Demostración completa (4) Si 4x 9 f(x) x 4x + 7 para x 0, calcule lím x 4 f(x) R/ 7

69 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación La denición formal de límite Ahora que ya hemos manipulado los límites (de una manera intuitiva), podemos precisar ese concepto de una manera un poco más formal. Para eso analicemos la siguiente gráca: Observe que la idea intuitiva que tenemos de la expresión lím x a f(x) = L corresponde a que si x se aproxima al valor a por ambos lados entonces f(x) se aproxima a L. Viéndolo en términos de intervalos, esto signica que f(x) está en un vecindario (intervalo abierto) muy cercano a L, siempre y cuando x se encuentre en un (intervalo abierto) en las cercanías de a (teniendo claro que x a). Ahora bien, recuerde que una propiedad del valor absoluto es la siguiente (siempre que k > 0): u < k es equivalente a lo siguiente: k < u < k lo que su vez equivalente a decir que u ] k, k[. Entonces, decir que f(x) está en un vecindario (intervalo abierto) muy cercano a L es equivalente a decir que, siendo ɛ un valor positivo, tan pequeño como se quiera, se cumple que f(x) ]L ɛ, L + ɛ[, lo que a su vez, por denición de intervalo abierto, es equivalente a decir que L ɛ < f(x) < L + ɛ, pero por propiedad de las desigualdades, al restar L a toda la desigualdad obtenemos que ɛ < f(x) L < ɛ, para concluir nalmente (por la propiedad enunciada anteriormente) que f(x) L < ɛ. Por otra parte, armar que x se encuentre en un (intervalo abierto) en las cercanías de a (teniendo claro que x a), es equivalente a decir que existe un δ tal que x ]a δ, a + δ[ con x a. Pero por denición de intervalo abierto, esto es equivalente a a δ < x < a + δ (de nuevo, sin olvidar que x a). Lo anterior, por propiedad de las desigualdades, al restar a a los tres miembros de la desigualdad, se obtiene δ < x a < δ, para nalmente llegar entonces a que 0 < x a < δ. Así, para traducir formalmente la expresión (intuitiva) "...si x se aproxima al valor a por ambos lados entonces f(x) se aproxima a L. Viéndolo en términos de intervalos, esto signica que f(x) está en un vecindario (intervalo abierto) muy cercano a L, siempre y cuando x se encuentre en un (intervalo abierto) en las cercanías de a (teniendo claro que x a)..."llegamos a la siguiente denición

70 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 69 Denición. Sea f una función denida en un intervalo abierto que contiene a a (excepto posiblemente en a) y sea L un número real. Decimos que lím f(x) = L x a si para todo número ɛ > 0 existe un número δ > 0 tal que Si 0 < x a < δ se cumple que f(x) L < ɛ A partir de la denición anterior, podemos demostrar formalmente ciertos límites, así como algunas de las propiedades que ya hemos utilizado para los límites. Efectúemos las siguientes demostraciones:. Demuestre utilizando la denición formal de límite que lím ( 5x) = x 4 SOLUCIÓN: Sea ɛ > 0 arbitrario pero jo. Asumimos que 0 < x ( 4) < δ (o lo que es equivalente 0 < x + 4 < δ) Se tiene que ( 5x) = 5x = 5x 0 = 5(x + 4) A su vez, por propiedades del valor absoluto se cumple que: 5(x + 4) = 5 x + 4 = 5 x + 4 < 5δ (Esta última desigualdad por la suposición inicial) Así, si tomamos δ = ɛ tenemos lo siguiente: 5 ( 5x) = 5 x + 4 < 5δ = 5 ɛ 5 = ɛ Por tanto, para cualquier ɛ > 0 siempre existirá δ > 0 tal que si 0 < x ( 4) < δ entonces ( 5x) < ɛ lím ( 5x) = x 4

71 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 70. Pruebe, usando la denición formal de límite, que lím x (x ) = 4.. Dado el límite lím x (5x 7) = hallar un δ tal que si 0 < x < δ se cumple que (5x 7) < 0,05

72 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7 4. Demuestre usando la denición formal de límite, que lím x ( x + x ) = 4. SOLUCIÓN: Hay que probar que si para todo número ɛ > 0 existe un número δ > 0 tal que Si 0 < x < δ se cumple que ( x + x ) 4 < ɛ Sea ɛ > 0 arbitrario pero jo. Si asumimos 0 < x < δ y utilizamos propiedades del valor absoluto para analizar ( x + x ) 4 se tiene: ( x + x ) 4 = x + x 4 = x + x 6 = (x )(x + ) = x x + < δ x + Para determinar el δ conveniente, es preciso que quede sólo en términos de ɛ. Para ello necesitamos acotar inferiormente la expresión, es decir, encontrar un valor positivo menor que esa ɛ x + expresión. Para eso se restringen los valores de x a un intervalo provisional adecuado, alrededor de x =, que podría tener un radio de una unidad alrededor de ese valor. Entonces, si condicionamos que δ = y 0 < x < entonces tendríamos (nuevamente por propiedades del valor absoluto) que: 0 < x < < x < < x < 4 < x + < 6 6 < 4 < x + < 6 6 < x + < 6 x + < 6 ɛ x + < 6ɛ ɛ 6 < ɛ x + Así, si tomamos δ = mín{, ɛ 6 }, se tendría que para el ɛ > 0 elegido arbitrario, se cumple lo siguiente: 0 < x < δ ( x + x ) 4 = x x + < ɛ ( ). ( lím x + x ) = 4. x NOTA( ): La conclusión a la que llegamos, es independiente a cuál de los dos valores de {, ɛ 6 } sea el mínimo del conjunto. Comprobemos ambos casos: CASO I: Si δ = mín{, ɛ 6 } = se cumpliría que δ = y por lo tanto: 0 < x < δ = 0 < x < ɛ 6 0 < x < ɛ 6 con lo que se completa el razonamiento para comprobar el límite, ya que: 0 < x < δ ( x + x ) 4 = x x + < ɛ 6 6 = ɛ CASO II: La otra posibilidad es que δ = mín{, ɛ 6 } = ɛ 6, entonces se cumpliría que δ = ɛ 6 y por lo tanto: 0 < x < δ = ɛ 6 0 < x < ɛ 6 < 0 < x <, la cual es una desigualdad que ya analizamos cuando restringimos el intervalo de una unidad de radio alrededor de x =, y que nos llevó a que 0 < x + < 6, la que a su vez es equivalente a ɛ 6 <, que también permite comprobar el ɛ x+ límite, ya que: 0 < x < δ = ɛ 6 < ɛ x+ ( x + x ) 4 = x x + < ɛ x+ x + = ɛ

73 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7 5. Pruebe, usando la denición formal de límite, que lím x ( x ) = Pruebe, usando la denición formal de límite, que lím x ( x + ) = 5.

74 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7 LÍMITES LATERALES (MEDIANTE LA DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE) Ahora nos es posible precisar la denición de límites laterales, que ya habíamos estudiado, pero en forma intuitiva: Denición (Límites Laterales). Límite lateral izquierdo: lím f(x) = L si para todo número ɛ > 0 existe un número δ > 0 x a tal que Si a δ < x < a se cumple que f(x) L < ɛ. Límite lateral derecho: lím x a + f(x) = L si para todo número ɛ > 0 existe un número δ > 0 tal que Si a < x < a + δ se cumple que f(x) L < ɛ Nuevamente la ilustración vista al inicio del tema, permite visualizar las dos deniciones anteriores, para los límites laterales.

75 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 74 LÍMITES INFINITOS (MEDIANTE LA DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE) Así mismo, los límites innitos, que se dan cuando una función presenta una asíntota vertical, pueden denirse de manera formal, tal como se muestra a continuación: Denición (Límites Innitos) Sea f una función denida en un intervalo abierto que contiene el número a (excepto posiblemente en a). Entonces:. lím x a f(x) = + si para todo número M > 0 existe un número δ > 0 tal que Si 0 < x a < δ se cumple que f(x) > M. lím x a f(x) = si para todo número N < 0 existe un número δ > 0 tal que Si 0 < x a < δ se cumple que f(x) < N Veamos la ilustración de la denición de los límites innitos: lím f(x) = + x a

76 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 75 lím f(x) = x a PRÁCTICA 5. Pruebe, usando la denición formal de límite, que: a) lím (4x 5) = 7. x ( ) b) lím x x + =. c) lím ( 4x) =. x d) lím (7 x) = 5. x 4 ( e) lím x + x 5 ) = 7. x ( f ) x ) = 5. lím x. Dado el límite lím x (x 5) = hallar un δ tal que si 0 < x < δ se cumple que (x 5) < 0,0. R/ δ = 0,005 (aunque en realidad cualquier δ 0,005 es una respuesta correcta).. Considere la función dada por f(x) = x +. a) Demuestre utilizando la denición formal de límite que lím f(x) = 5 x b) Si ɛ = 0,4, determine el intervalo de para los valores de x alrededor de y el intervalo para los valores de f(x) alrededor de 5. R/x ] 4 5, 6 5 [ ], f(x) 5, 7 5 [

77 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 76.. Continuidad... Concepto de función continua en un punto y función continua en un intervalo Decimos que la función f es continua en un punto x = c, si su gráca no sufre interrupciones en c, no se rompe, ni tiene saltos o huecos. Ejemplos de discontinuidades. Observe que la continuidad en x = c se pierde por alguna de estas tres razones:. La función no está denida en x = c (Ejemplo x = c ).. El límite de f(x) para x c no está denido (Ejemplos x = c ).. El límite de f(x) para x c existe pero no coincide con f(c) (Ejemplos x = c ). Así, para que f(x) sea continua en x = c, f(c) debe estar denida, el lím x c f(x) debe existir y ser igual a f(c). DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD. EN UN PUNTO: Una función f se dice continua en un punto x = c si se verican las siguientes condiciones: i. f(c) está denido ii. lím f(x) existe x c iii. lím f(x) = f(c) x c. EN UN INTERVALO ABIERTO: Una función f se dice continua en el intervalo ]a, b[ si lo es en todos los puntos de ese intervalo. Nota: Si f es continua en todo ], + [ se dice simplemente que es una función continua (sin especicar que lo es en todo IR).. EN UN INTERVALO CERRADO: Una función f es continua en [a, b] si es continua en ]a, b[ y lím f(x) = f(a) + x a y lím f(x) = f(b) x b

78 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Propiedades de las funciones continuas Teorema:Si b es un número real y f, g son funciones continuas en x = c, también son continuas en c las funciones:. Suma y diferencia: f ± g. Múltiplo escalar: b f. Producto: f g 4. Cociente: f g si g(c) 0 La demostración de cada una de las propiedades anteriores se puede llevar a cabo a partir de las propiedades de los límites. Por lo tanto, se puede deducir la continuidad de ciertos tipos de funciones que usamos regularmente. Por ejemplo, algunas funciones que asumiremos como continuas en cada uno de los puntos pertenecientes a su dominio son las siguientes:. Funciones polinómicas: Una función de la forma p(x) = a n x n + a n x n a x + a x + a 0 con a n, a n..., a, a, a 0 IR,, a n 0, n N siempre será continua para todo x IR Ejemplo: p(x) = x 5 x + x x + 6 es continua para todo x IR.. Funciones racionales: Una función de la forma f(x) = p(x), con p(x) y q(x) ambas funciones q(x) polinómicas y con q(x) 0, serán continuas para todo x IR salvo los números que hagan cero el denominador. Ejemplo: r(x) = x4 x + x x 9 es continua para todo x IR {, }.. Funciones radicales: Una función de la forma f(x) = n x será continua en todo su dominio. Recuerde que si n es impar su dominio es IR, pero si n es par su dominio máximo es [0, + [ Ejemplo: f(x) = 4 x es continua para todo x [0, + [ 4. Funciones Trigonométricas: Las siguientes funciones trigonométricas son continuas para todo x que pertenezca a su dominio. Ejemplos: a) f(x) = sen(x) es continua para todo x IR b) f(x) = cos(x) es continua para todo x IR c) f(x) = tan(x) es continua para todo x IR { (k+)π, k Z}. Observe que esto se puede explicar a partir del hecho de que tan(x) = sen(x) cos(x) 4 de las funciones continuas. y la propiedad

79 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 78 Las propiedades anteriores nos permiten asegurar la continuidad de funciones en cualquier punto de su dominio, por ejemplo f(x) = x + x + sen x es continua para x x = π. Justique por qué. 4 Para referirnos a la continuidad de una composición de funciones continuas en un punto, primero repasemos mediante un diagrama el concepto de composición de funciones: En el caso de funciones compuestas tenemos los siguientes teoremas: TEOREMAS:. Si g es continua en c y f lo es en g(c), entonces lím x c f(g(x)) = f ( ) lím g(x) x c. Si g es continua en c y f lo es en g(c), la función compuesta dada por f(g(x)) es continua en x = c. Ejemplo: f(x) = x + es continua para todo x en su dominio IR. Justique por qué. PRÁCTICA 6. Si f y g son funciones continuas en IR y además se cumple que f() = 5 y que lím x [f(x) g(x)] = 4, encuentre g().. Justique detalladamente (utilizando las propiedades de las funciones continuas) por qué f(x) = x + 7 x es continua en x = 4.. Justique detalladamente (utilizando las propiedades de las funciones continuas) por qué g(x) = sen(x + x ) es continua en x =. cos x 4. Explique por qué la función h(x) = x es continua en todo su dominio. + x +

80 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Tipos de discontinuidades Las discontinuidades caen en dos categorías:. Discontinuidades evitables: Se dice que una discontinuidad en x = c es evitable si f puede hacerse continua redeniéndola en x = c. Ejemplo: g(x) = x 5 x 5 con x 5. Su gráca es: Para que g(x) sea continua bastaría redenir la función de manera que g(5) = 0 x 5 Note que la función g(x) = x 5, si x 5 sería una función continua. 0, si x = 5 NOTA:Observe que si la función g(x) tiene una discontinuidad en x = a, ésta se clasica como evitable si lím g(x) existe, es decir, basta comprobar que lím g(x) = lím g(x). x a x a x a +. Discontinuidades no evitables: Se dice que una discontinuidad en x = c no es evitable si f no se puede redenir en x = c para hacerla continua. Ejemplo: { x 4, si x h(x) = x x, si x < Su gráca es: Como la función h(x) tiene un salto en x = no se puede redenir para que sea continua. NOTA:Observe que si la función h(x) tiene una discontinuidad en x = a, ésta se clasica como NO evitable si lím h(x) NO existe, es decir, basta comprobar que lím h(x) lím h(x). También note que x a x a x a + si en x = a la función tiene una asíntota vertical, la discontinuidad también seria no evitable.

81 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Estudio de la continuidad de una función A partir de todo lo que hemos mencionado acerca de la continuidad de una función, podemos efectuar el estudio de la misma, tanto en un punto como en un intervalo. Ejemplos: x si x <. Compruebe que f(x) = 5 si x = x + 6 si x > tiene una discontinuidad evitable en x =.. Comprueba que la función dada por f(x) = x es continua en ]-,[ pero no en [-,].

82 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8 x + si x <. Sea la función f(x) = x + si < x 4x + si < x Efectúe el estudio completo de la continuidad de f(x). Además clasique las discontinuidades que encuentre. 4. Encuentre y clasique la(s) discontinuidad(es) de la función: h(x) = x + 4x + x 6 (x ) (x + )

83 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8 5. Considere la función f dada por x +, si x 0 f(x) = x + m, si 0 < x n x + 7, si x > n Determine los valores de m y n, de forma que la función f sea continua en R. SOLUCIÓN: f es continua en los siguientes intervalos: a) ], 0[: Ya que f(x) = x + es polinómica y por tanto continua en R y en particular, será también continua en ], 0[. b) ]0, n[: Ya que f(x) = x + m es polinómica y por tanto continua en R y en particular, será también continua en ]0, n[. c) ]n, + [: Ya que f(x) = x + 7 es polinómica y por tanto continua en R y en particular, será también continua en ]n, + [. Por lo tanto, para que f sea continua en R basta garantizar la continuidad en x = 0 y x = n. Continuidad en x = 0 (i) f(0) = (ii) lím x 0 f(x) debe existir lím x 0 f(x) = lím (x + ) = 0 + = x 0 lím f(x) = lím + m) = 0 + m = m x 0 + x 0 +(x Para que el límite exista los límites laterales deben coincidir. Así, m = (iii) Para que lím x 0 f(x) = f(0) = siempre que m = f es continua en x = 0 siempre que m = Continuidad en x = n (i) f(n) = n + (ii) lím x n f(x) debe existir lím f(x) = lím + ) = n + x n x n (x lím x n f(x) = lím + +(x + 7) = n + 7 x n Para que el límite exista los límites laterales deben coincidir. Así, n + = n + 7 Resolviendo la ecuación n n 6 = 0 se obtiene que n = o n =, sin embargo este último valor se descarta ya que por denición de la función n > 0. Por lo tanto, para que el límite exista se debe cumplir que n = (iii) Para que lím x n f(x) = f(n) = 0 siempre que n = f es continua en x = n siempre que n = Por tanto, la función dada será continua en R siempre que m = y n =.

84 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8 6. Encuentre los valores de las constantes c y d, de tal modo que la función h(x), denida a continuación, sea continua en todos los números reales. Justique su respuesta. x + c si x < h(x) = cx + d si x x d si < x RESPUESTA/ Para que f sea continua en R se debe cumplir que c = y d =.

85 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Considere la función f : R R dada por sen(x + 4) x + 8 f(x) = x + 8 4, si x < 4, si x 4 Justique si lím f(x) existe y conteste si f es continua en x = 4. En caso de no serlo clasique x 4 la discontinuidad. RESPUESTA: lím f(x) = x 4 = lím f(x), f ES CONTINUA en x = 4 x 4 +

86 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 85 PRÁCTICA 7 () Estudiar la continuidad de cada una de las siguientes funciones. Clasique las discontinuidades que encuentre. { x + si x < 0 (a) f(x) = x + 5 si x 0 (b) f(x) = x en el intervalo [, ] (c) f(x) = x en el intervalo ], + [ { 4(x + ) si x 0 () Considere la función f(x) = x + k si x > 0 Determine el valor de k para que la función f(x) sea continua. Justique su respuesta. () Encuentre el valor de la constante a, que hace que la función { x a x + a si x g(x) = x si x > sea continua en todos los números reales. Justique su respuesta. (4) Encuentre el valor de la constante k, que hace que la función { x + x si x g(x) = x + k si x > sea continua en todos los números reales. Justique su respuesta. (5) Determine el valor de las constantes a, b y k para que las siguientes funciones sean continuas en toda la recta real. (a) x (x ) + x, si x f(x) = x k, si x = (b) f(x) = { x, si x ax, si x > x, si x (c) g(x) = ax + b, si < x < x, si x x a (d) g(x) = x a, si x a 8, si x = a

87 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 86 (6) Hallar el valor de c para que el límite exista y calcúlelo x + cx + c + lím x x + x (7) Hallar las asíntotas verticales y las discontinuidades evitables de la función denida por la expresión f(x) = x + x 8 x(x )(x ) (8) Considere la siguiente función: f(x) = { 4(x + ), si x 0 x + k, si x > 0 Determine el valor de k para que f sea continua. (9) Dada la función: x, si x <, si x = f(x) = x, si < x x 0, si x > (a) Determine las discontinuidades de la función f. (b) Determine cuáles son evitables y cuáles inevitables. Justique. (0) Determine las discontinuidades de la función f(x) y anote cuáles son evitables y cuáles inevitables. Justique su respuesta. (a) f(x) = x x x x (c) f(x) = x + 7x + 6 x 4 6 (b) f(x) = x x x(x ) (d) f(x) = { x, si x x x, si x <

88 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 87 RESPUESTAS: () (a) f es continua en IR (b) f es continua en el intervalo [, ] (c) f es continua en el intervalo [, + ] () Con k = 4 g es continua en R. () a = para que lím f(x) exista. x (4) k = 4 para que lím x f(x) exista. (5) (a) k = (b) a = (c) a = b = (d) a = 4 x + 5x + 8 (6) a = 5 lím = x x + x (7) Asíntotas verticales en x = 0 y x =. Discontinuidad evitable en x = (8) k = 4 (9) (a) Discontinuidades en x = y x =. (b) x = es una discontinuidad evitable. Basta redenir f() pues lím f(x) = x x = es una discontinuidad no evitable pues lím f(x) x lím f(x) x + (0) (a) En x = 0 hay una discontinuidad evitable pues lím f(x) existe. En x = hay una discontinuidad no x 0 evitable pues lím f(x) lím f(x). x x + (b) En x = 0 hay una discontinuidad evitable pues lím f(x) existe. En x = hay una discontinuidad no x 0 evitable pues hay una asíntota vertical. (c) En x = hay una discontinuidad no evitable pues lím x f(x) no existe. En x = hay una discontinuidad evitable pues lím x f(x) existe. (d) En x = hay una discontinidad no evitable pues lím x f(x) no existe.

89 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 88 La función parte entera de x La función f : IR Z dada por f(x) = x asocia cada número real x con el mayor entero menor o igual a x. Así: 0 = 0 5 = = 0,99 = Su gráca es:,785 = π = 4 0 = 0 La notación: también corresponde a la parte entera de x. Es decir, En el transcurso del curso y en las evaluaciones se puede utilizar indistintamente cualquiera de las dos notaciones. EJERCICIO:. Analice la continuidad de la función f(x) = x x en: (a) x = (b) x = 8. Considere la función f : ], 6[ R dada por x, si x (x ), si < x < 4 f(x) =, si x = 4 x, si 4 < x < 6 Efectúe el análisis de continuidad para f y concluya en qué valores del dominio la función NO es continua y clasique esas discontinuidades encontradas. R/ () (a) discontinua (b) continua () x = 4 es discontinuidad evitable y x = 5 es discontinuidad no evitable

90 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 89.. El Teorema del Valor Intermedio Si f es continua en [a, b] y k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe al menos un número c en [a, b] para el que f(c) = k. Ejemplos. Note como al ser f continua en [a, b] para k en [f(a), f(b)] existe al menos un c tal que f(c) = k. De hecho en la gura existen tres. En cambio, en el caso de g, al no ser continua observe que existen valores de k para los que no existe c tal que g(c) = k. Ejemplos de aplicación. () Compruebe que f(x) = x + x tiene al menos un cero en el intervalo [0, ]. Solución: Vericamos las hipótesis del Teorema del Valor Intermedio en el intervalo [0, ]: i)f es continua en [0, ]: Justicación ya que al ser polinómica es continua en R en el intervalo real [0, ]. ii)f(0) = < 0 < = f() c [0, ] tal que f(c) = 0 c es un cero de f(x) en el intervalo [0, ] y, en particular, será continua () Demuestre que la ecuación x + x = tiene una solución en el intervalo [, ]. Solución: Despejamos cero en la ecuación dada así: x + x + = 0 Denimos la función f(x) = x + x +. Note que un cero de f(x) es a la vez una solución de la ecuación x + x =. Así que basta probar que f(x) tiene un cero en [, ] Vericamos que la función denida cumple con las hipótesis del Teorema del Valor Intermedio en el intervalo [, ]: i)f es continua en [, ]. Justicación: Ya que f es polinómica y por tanto es continua en R y en particular será continua en el intervalo real [, ]. ii)f( ) = 0 < 0 < = f( ) c [, ] tal que f(c) = 0 c [, ] es un cero de f(x) c es una solución para la ecuación x + x + = 0 en el intervalo [, ]

91 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 90 () Pruebe que f(x) = x y g(x) = 6 + x se intersecan en al menos un punto en el intervalo [ 4, ]. Solución: Dado que el punto de intersección de f(x) con g(x) pertenece al gráco de ambas funciones, entonces corresponde a una solución de la ecuación f(x) = g(x) o lo que es equivalente x = 6 + x. Despejando cero en esta ecuación obtenemos x 6 + x = 0. Denimos la función h(x) = x 6 + x. Por lo tanto un cero para la función h(x) será una solución para la ecuación x = 6 + x y a la vez será una intersección para las funciones f(x) y g(x). Por lo tanto, basta demostrar que h(x) tiene un cero en el intervalo [ 4, ]. Vericamos que h(x) cumple las hipótesis del Teorema del Valor Intermedio en [ 4, ]: i) h es continua en el intervalo [, ]: La función f(x) = 4 x es continua en R por ser polinómica, y en particular, será continua en el intervalo real [, ]. A la vez g(x) = 6 + x es continua en el intervalo [ 6 + [ porque al ser 4 una composición de funciones continuas x [ 6 + [, por propiedades de las funciones continuas será también continua x [ 6 + [. En particular, como [, ] [ 6 + [ entonces g(x) es continua en [, ]. Pero entonces, 4 4 dado que h(x) = f(x) g(x), se cumple que es la resta de dos funciones continuas x [, ] y por propiedades 4 de las funciones continuas h(x) será también continua en ese intervalo. ii) h ( ) 9 4 = 6 < 0 < 6 = h() c [, ] tal que h(c) = 0 4 c [, ] es un cero de h(x) 4 c es una solución para la ecuación x = 6 + x en el intervalo [ 4, ] c [, ] cumple que f(c) = g(c) 4 c [, ] corresponde a una intersección entre las funciones f(x) y g(x). 4 (4) Demuestre que la ecuación x = cos(x) tiene una solución en el intervalo [ 0, π ]. SOLUCIÓN: Despejamos cero en la ecuación dada obteniendo el siguiente ecuación equivalente: x cos(x) = 0 Denimos la función f(x) = x cos(x). Note que probar que f tiene un cero en el intervalo [ 0, π ] es equivalente a probar que la ecuación dada tiene una solución en el intervalo [ 0, π ]. Vericamos que f satisface las hipótesis del Teorema de los Valores Intermedios en el intervalo [ 0, π ]. i. f es continua en [ 0, π ] : Ya que f(x) = x cos(x) es una resta de funciones ambas continuas x [ 0, π ] (esto por propiedades de las funciones polinómicas y la función trigonométrica coseno que son continuas en R y en particular en el intervalo anterior); y, por propiedad de las funciones continuas, entonces f también será continua x [ 0, π ]. ii. f(0) < 0 < f ( π ) : Ya que f(0) = 0 cos(0) = 0 = y f ( π ) = π cos ( ) π = π 0 = π y en efecto, < 0 < π Entonces (por Teorema de Valores Intermedios) existe c [ 0, π ] tal que f(c) = 0 c [ 0, π ] es una solución de la ecuación x = cos(x).

92 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9 (5) Sea f(x) = x 5x +7x 9. Demuestre que existe α R tal que f(α) = 00.(Sugerencia: Determine primeramente un intervalo conveniente para poder aplicar el Teorema del Valor Intermedio). Demuestre que la ecuación PRÁCTICA 8 cos(x) = x [ tiene una solución en el intervalo 0, π ]. Justique su respuesta.. Suponga que f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], que cumple que f(a) < 0 y f(b) > Demuestre que existe un valor c en el intervalo ]a, b[ donde f(c) =. Demuestre que la ecuación x + x = 0 tiene una solución entre x = 0 y x =. Justique su respuesta. 4. Demuestre que las [ grácas de ] las funciones f(x) = cos(x ) y g(x) = x 5x se intersecan al menos una π vez en el intervalo, Demuestre que la gráca de la función y = x + x + interseca al eje X en al menos un punto. (Sugerencia: Determine primeramente un intervalo conveniente para poder aplicar el Teorema del Valor Intermedio) 6. Considere la función f : [0, ] [0, ] continua tal que 0 < f(0) < f() <. Demuestre que existe c ]0, [ tal que f(c) = c.

93 Capítulo Derivadas.. Concepto de Derivada Uno de los problemas a partir de los cuales surge el Cálculo, es el problema de encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. Por ejemplo: Algunas soluciones parciales a este problema fueron dadas por Pierre Fermat, René Descartes, Christian Huygens e Isaac Barrows, se atribuye la primer solución a Isaac Newton y Gottfried Leibniz. La pendiente (m) de la recta tangente, se deduce aproximándose a la recta tangente mediante rectas secantes, proceso que genera un límite. Suponga que se quiere calcular la pendiente de la recta tangente a f en cualquier punto (x, f(x)) 9

94 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9 La pendiente de la secante es: m sec = y y y f(x + h) f(x) f(x + h) f(x) = = = x x x x + h x h Ahora bien, la recta secante se aproxima a la recta tangente cuando h 0. Así la pendiente de la recta tangente sería: m tan = lím h 0 f(x + h) f(x) h El límite utilizado para denir la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto, se usa también para denir una de las dos operaciones fundamentales del Cálculo: la derivación. Por tanto, si tenemos una función f llamamos la función derivada de f al siguiente límite: f (x) = lím h 0 f(x + h) f(x) h Al proceso del cálculo de la derivada de una función se le llama derivación. Algunas notaciones para la derivada de una función son las siguientes: f (x), dy dx, d [f(x)], y dx.. Derivación de funciones utilizando la denición (Límite) Veamos algunos ejemplos del cálculo de la derivada de funciones simples a partir de la denición de derivada. Calcule la derivada de las siguientes funciones: () f(x) = x Solución: f f(x + h) f(x) (x) = lím h 0 h x + h x = lím h 0 h ( x + h x) = lím ( x + h + x) h 0 h ( x + h + x) ( x + h) ( x) = lím h 0 h( x + h + x) x + h x = lím h 0 h( x + h + x) h = lím h 0 h( x + h + x) = lím h 0 ( x + h + x) = = = ( x x) ( x + x) x f (x) = x

95 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 94 () f(x) = x R/ f (x) = x () g(x) = x x + Solución: g (x) = lím h 0 g(x + h) g(x) h = lím h 0 = lím h 0 = lím h 0 x + h x + h + h x x + (x + h)(x + ) x(x + h + ) (x + h + )(x + ) h x + x + xh + h x xh x (x + h + )(x + ) h h (x + h + )(x + ) = lím h 0 h h = lím h 0 h(x + h + )(x + ) = lím h 0 (x + h + )(x + ) = = (x )(x + ) g (x) = (x + ) (x + )

96 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 95 (4) g(x) = x R/ g (x) = x (5) y = x 5x + 6 Solución: Sea y = f(x) dy dx = lím h 0 f(x + h) f(x) h = lím h 0 [(x + h) 5(x + h) + 6] [x 5x + 6] h [(x + xh + h ) 5x 5h + 6] [x 5x + 6] = lím h 0 h [x + 6xh + h 5x 5h + 6] [x 5x + 6] = lím h 0 h = lím h 0 x + 6xh + h 5x 5h + 6 x + 5x 6 h = lím h 0 6xh + h 5h h = lím h 0 h(6x + h 5) h = lím h 0 (6x + h 5) = (6x + 0 5) = 6x 5 dy dx = 6x 5

97 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 96 Triángulo de Pascal: Para determinar los coecientes de las fórmulas notables (a ± b) n Así (a + b) = a + ab + b y (a b) = a ab + b Así (a + b) = a + a b + ab + b y (a b) = a a b + ab b Así (a+b) 4 = a 4 +4a b+6a b 4ab +b 4 y (a b) 4 = a 4 4a b+6a b 4ab +b 4 (6) f(x) = x + x Solución: f (x) = lím h 0 f(x + h) f(x) h = lím h 0 [(x + h) + (x + h)] [x + x] h = lím h 0 [x + x h + xh + h + x + h] [x + x] h = lím h 0 x + x h + xh + h + x + h x x h = lím h 0 x h + xh + h + h h = lím h 0 h(x + xh + h + ) h = lím h 0 (x + xh + h + ) = (x + x ) = x + f (x) = x +

98 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 97 (7) y = 0,5x + x 6 R/ y = x + (8) f(x) = sen(x) R/ f (x) = cos(x) PRÁCTICA 9 Calcule la derivada de las siguientes funciones mediante la denición de derivada. Debe efectuar el cálculo del límite correspondiente.. h(x) = x x + R/ h (x) = 4 (x + ). g(x) = R/ g (x) = x x. y = cos(x) R/ dy dx = sen(x) 4. f(x) = x + R/ f (x) = x + 5. y = 5x 4 x + 7x R/ dy dx = 0x 6x + 7

99 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 98.. La derivada en un punto FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA (la derivada en un punto) La derivada de f evaluada en x = c viene dada por: f f(x) f(c) (c) = lím suponiendo que tal límite exista. x c x c Ejemplos. () Sea f(x) = x x 6. Calcule la derivada de f en el punto (, 0). SOLUCIÓN f () = lím x f(x) f() x = lím x (x x 6) 0 x = lím x (x + )(x ) (x ) = lím x (x + ) = = 5 NOTA: A partir del resultado anterior se interpreta que la pendiente (m) de la recta tangente a f(x) en el punto (, 0) es igual a 5.

100 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 99 () Sea g(x) = x. Calcule la pendiente de la recta tangente a g(x) en x = 4. SOLUCIÓN Se calcula g ( 4) = lím x 4 = lím x 4 g(x) g( 4) x 4 x x + 4 ( x ) = lím ( x + ) x 4 (x + 4) ( x + ) ( x) () = lím x 4 (x + 4)( x + ) x 9 = lím x 4 (x + 4)( x + ) x 8 = lím x 4 (x + 4)( x + ) = lím x 4 = lím x 4 (x + 4) (x + 4)( x + ) ( x + ) g( 4) = ( 4) = 9 = 0 0 = ( ( 4) + ) = 6 = Por lo tanto la pendiente de la recta tangente a g(x) en ( 4, ) tiene pendiente m =

101 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Derivadas laterales Se denen la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha a los siguientes límites laterales: f (c) = lím x c f(x) f(c) x c f +(c) = lím x c + f(x) f(c) x c Si ambos límites existen y son iguales decimos que la derivada f f(x) f(c) (c) = lím x c x c que es lo mismo, que f es derivable o diferenciable en x = c. existe o lo Ejemplo: calcule las derivadas laterales f (4) y f +(4) para la función: f (4) = lím x 4 f(x) f(4) x 4 = lím x 4 (5 x) x 4 = lím x 4 x + 4 x 4 = lím x 4 (x 4) x 4 = lím x 4 0,si x 0 f(x) = 5 x, si 0 < x < 4,si x 4, x 5 5 x f(4) = 5 4 = f +(4) = lím x 4 + f(x) f(4) x 4 = lím x 4 + = lím x 4 + = lím x 4 + = lím x x x 4 (5 x) 5 x x x 5 x x 4 x 4 5 x x 4 = = lím x 4 + x 4 (5 x)(x 4) = lím x x = 5 4 NOTA: Observe que f no es diferenciable para x = 4, puesto que las derivadas laterales no coinciden. =

102 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0.5. Derivabilidad y continuidad Una función NO es derivable en un punto donde su gráca tiene un pico o una recta tangente vertical. La derivabilidad también queda destruida si no hay continuidad, ya que si una función es derivable en un punto, forzosamente es continua en ese punto. Sin embargo, una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en ese punto. Ejemplos: ) Considere la función 0,si x 0 f(x) = 5 x, si 0 < x < 4, si x 4, x 5 5 x ¾En qué valores de x la función f no es diferenciable? SOLUCIÓN: (a) x = 4.Justicación: (b) x = 5 Justicación: (c) x = 0 Justicación: Las derivadas laterales no coinciden (ver página anterior). Nota: Observe sin embargo,que f es continua en x = 4, pues: (i) f(4) = (ii) lím f(x) =, ya que lím f(x) = 5 4 = y x 4 x 4 (iii) lím f(x) = f() = x 4 Lo anterior es un ejemplo del hecho de que una función f puede ser continua en un punto y no ser derivable en ese punto. lím f(x) = x = f no es continua en 5, pues f(5) no está denida. Al no ser continua en x = 5 la función no es derivable en ese valor f no continua en x = 0, pues f(0) = 0 pero lím f(x) = 0 lím f(x) = 5 y si no x 0 x 0 + hay continuidad en 0, f no puede ser derivable en 0. Lo anterior se puede apreciar en la gráca de f que se ve a continuación:

103 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0 ) Verique que la función denida por f(x) = x no es derivable en x = 0. Haga una interpretación gráca. SOLUCIÓN. (a) Note que la función f es continua en x = 0 [ justicación: lím f(x) = 0 = 0 = f(0) ] x 0 (b) Derivada en el punto (0, 0): f f(x) f(0) (0) = lím = lím x 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 x = lím x = lím x = lím x 0 x 0 x = + (c) Interpretación gráca: Al obtener innito en la derivada se concluye que la recta tangente a f en el punto (0, 0) es vertical. Cuando esto sucede se concluye a la vez que la función no es derivable en (0, 0). ) Considere la función denida por f(x) = x si x, x si < x. Muestre que esta función es continua pero no es derivable en x =. SOLUCIÓN Continuidad en x = Se verican condiciones de continuidad en un punto. i. f( ) = ii. iii. lím x f(x) = ya que lím f(x) = = lím x lím f(x) = f( ) = x f(x) es continua en x = Derivabilidad en x = Se calculan las derivadas laterales en x =. f ( ) = f +( ) = f(x) f( ) lím = lím x x x f(x) x + x x + = lím x +x x x + = lím x x = f(x) f( ) x lím = lím x + x x + x + = lím x + x + x + = lím = x + Como f ( ) f +( ) entonces f no es derivable en x =.

104 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0 4) Considere la función f dada por f(x) = { x, si x < b x, si x b. 4 a. Si f es continua en x = b, determine el valor de b. SOLUCIÓN: Si f es continua en x = b, por denición de continuidad en un punto se cumple que lím x b f(x) existe. Por lo tanto: lím f(x) = lím f(x) x b x b + lím ( x b x = lím x ) x b + 4 b = b 4 4 4b b = 4b 4b b 4b + 4 = 0 (b ) = b b = Note que en efecto si b = se cumple que f() = lím f(x) =, con lo que se cumple que f es continua en x x =. b. Conteste: ¾Es f derivable en el valor x = b encontrado en la parte (a)? Justique. SOLUCIÓN: Basta vericar que las derivadas laterales coinciden: f () f(x) f() = lím = lím x x x x x = lím x x x x = lím ( x) x x(x ) = lím ( + x) x x(x ) = 4 f +() = f(x) f() lím = lím x + x x + ( ) x 4 x = lím x x 4 x + x = lím 4 x + x = lím ( + x) = x + 4(x ) 4 Así: f () = f +(). Por lo tanto, f es derivable en x =.

105 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 04 5) Verique que la función f(x) = x es continua en x = pero no es derivable en x =. Haga una interpretación gráca. SOLUCIÓN: (a) Continuidad en x = i. f() = = 0 = 0 ii. iii. lím x lím x f(x) = lím x) = = 0 ( x f(x) = lím ) = = 0 + +(x x Por lo tanto lím x f(x) = 0 lím f(x) = 0 = f() x f es continua en x = x = Análisis del valor absoluto { x si x 0 x x si x < 0 x < (b) Derivabilidad en x = f () = lím x f(x) f() x = lím x x 0 x = lím x x x = lím x (x ) x f +() = lím x + f(x) f() x = lím x + x 0 x = lím x + x x = lím x + = lím x = = f f(x) f() () = lím no existe x x f no es derivable en x = EJERCICIO. Verique que la función f denida por f(x) = x 9 no es derivable en x = ni en x =. Sugerencia: Al analizar el valor absoluto, tome en cuenta que para saber en que intervalos x 9 0 (y en consecuencia en cuales x 9 < 0), la desigualdad cuadrática se resuleve así: x 9 0 (x + )(x ) 0 ceros x = x = Así: x 9 = x 9, si x x 9 x, si < x <

106 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Derivación con fórmulas Aparte del método de cálculo por la denición, la derivada de una función puede encontrarse de manera directa con fórmulas. Veamos algunos ejemplos del uso de las fórmulas. ()La derivada de una constante: d dx [c] = 0 c constante real.. Si f(x) = entonces f (x) = 0. Si g(x) = π entonces g (x) = 0 5 () La derivada de la función identidad: d dx [x] =. Si f(x) = x entonces f (x) = ()la derivada de una potencia cuya base es la variable de derivación elevada a un exponente numérico: d dx [xn ] = n x n. Si f(x) = x 7 entonces f (x) = 7x 6. Si g(x) = x π entonces g (x) = πx π. Si h(x) = x e 6 entonces h (x) = (e 6)x e 7. Si y = x = x entonces dy dx = x = x. Si g(x) = x = 4 x 4 entonces g (x) = 4x 5 = 4 x 5. Si f(x) = x = x entonces f (x) = x =. Si h(x) = x = x x = x = x entonces h (x) = x = x (4) La derivada de las función raíz cuadrada. Si f(x) = x entonces f (x) = x (5)La derivada de las funciones trigonométricas: = x d dx [ x] = x d d [sen (x)] = cos (x) dx d [tan (x)] = sec x dx d d [sec (x)] = sec (x) tan (x) dx [cos (x)] = sen (x) dx d dx [cot (x)] = csc (x) [csc (x)] = csc (x) cot (x) dx. Si f(x) = cos (x) entonces f (x) = sen (x). Si g((x)) = tan (x) entonces g (x) = sec (x). Si h(x) = csc (x) entonces h (x) = csc (x) cot (x)

107 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 06 (6)La derivada del múltiplo constante de una función:. Si f(x) = x entonces f (x) = x = x. Si f(x) = π tan (x) entonces f (x) = π sec (x). Si g(x) = πx entonces g (x) = π 4πx x =. Si h(x) = x 4 entonces h (x) = 4 x = x. Si y = ln = ln x entonces y = ln x 4 ln = x x. Si g(x) = 0,75x entonces g (x) = 0,75 = 0,75 d dx [c f(x)] = c f (x) (7)La derivada de sumas o restas de funciones: Ejemplos:. Si f(x) = x 5 xπ + π 4 entonces f (x) = x π 5 xπ d dx [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x). Si f(x) = sec (x) 0 x 7 entonces f (x) = sec (x) tan (x) 0 x. Si g(x) = 8 x 4 + πx 5 x 4 + 4x 6 e entonces g (x) = x 5 + π x + 4x5. Si y = 4 x x x + 6 entonces y = 4 x 7 4 x x = 4 4 x + 7 x + x NOTA: Esta regla de derivación, junto con la del múltiplo constante, permite derivar polinomios como los siguientes:. Si h(x) = 9x 4 6x + x 6x + entonces h (x) = 6x 8x + 6x 6. Si p(x) = 0,75x 4 x + 0,5x x + π 5 entonces p (x) = x x + x (8)La derivada de la multiplicación de dos funciones: Ejemplos:. Si f(x) = x 9 x entonces f (x) = [x 9 ] x + x 9 [ x] = 7x 8 x + x 9. Si g(x) = (x 4x πx + e) ( 5 x) entonces g (x) = [(x 4x πx + e)] ( 5 x) + (x 4x πx ( + e) [( 5 x)] g (x) = (9x 8x π) ( 5 x) + (x 4x πx + e) ) 5 5 x 4 ( ) ( ) π. Si h(x) = x 5 cot(x) + π entonces [ ] h πx ( ) ( ) π [ ( ) (x) = 5 cot(x) ] + x 5 cot(x) ( ) ( ) ( ) h 4π π (5 (x) = x 5 cot(x) + csc (x) ) x d dx [f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) x

108 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 07 (9)La derivada de una multiplicación de tres funciones: d dx [f(x) g(x) h(x)] = f (x) g(x) h(x) + f(x) g (x) h(x) + f(x) g(x) h (x) Ejemplo:. Sif(x) = ( 4x ) csc(x) 5 x entonces f (x) = [( 4x )] csc(x) 5 x + ( 4x ) [csc(x)] 5 x + ( 4x ) csc(x) [ 5 x] f (x) = 8x csc(x) 5 x + ( 4x ) ( csc(x) cot(x)) 5 x + ( 4x ) csc(x) 5 x 4 5 f (x) = 6x 5 x csc(x) 5 x( 4x ) csc(x) cot(x) + ( 4x ) csc(x) 5 5 x 4 (0)La derivada de una división de funciones: Ejemplos: d dx [ ] f(x) = g(x) f (x) g (x) f(x) g(x) [g(x)]. Si g(x) = x x + π x. Si h(x) =. Si g(x) = entonces g (x) = (π x)[x x + ] [π x] (x x + ) (π x) g (x) = ( (π x)(x x) x (π x) ) (x x + ) x x entonces h (x) = ( + xe )[ x x] [( + x e )] ( x x) + x e ( + x e ) h (x) = tan(x) + 5 sen(x) (x 5x x + ) x entonces ( ( + x e ) x ) (ex e )( x x) x ( + x e ) g (x) = ((x 5x x + ) x)[ tan(x) + 5 sen(x)] [(x 5x x + ) x] ( tan(x) + 5 sen(x)) ((x 5x x + ) x) [ (x 0x ) x + (x 5x x + ) ((x 5x x + ) x)( sec (x) + 5 cos(x)) g (x) = ((x 5x x + ) x) ] ( tan(x) + 5 sen(x)) x (*)Tarea: Compruebe las primeras fórmulas trigonométricas usando la denición de derivadas y las cuatro restantes usando otras fórmulas de derivación y las identidades trigonométricas.

109 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 08 RESUMEN :********************************************************************* Derivadas Básicas: REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN d dx [c] = 0 d dx [x] = d dx [c f(x)] = c f (x) d dx [xn ] = n x n d dx [ x] = x d dx [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) d dx [f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) d dx [f(x) g(x) h(x)] = f (x) g(x) h(x) + f(x) g (x) h(x) + f(x) g(x) h (x) d [ f(x) ] = g(x) f (x) g (x) f(x) dx g(x) [g(x)] d [sen (x)] = cos (x) dx d [cos (x)] = sen (x) dx d dx [tan (x)] = sec (x) d dx [cot (x)] = csc (x) d [sec (x) = sec (x) tan (x) dx d [csc (x)] = csc (x) cot (x) dx *******************************************************************************

110 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 09 Regla de la Cadena Cuando se tiene una composición de funciones, para derivarla es preciso utilizar la siguiente Regla de la Cadena, a saber: d dx [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) o bien, si y=f(u) y u=g(x), entonces dy dx = dy du du dx A partir de la Regla de la Cadena se redenirán las fórmulas ya estudiadas para el caso en que el argumento de una función sea otra función. Las fórmulas quedarían así: REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN (utilización de la Regla de la Cadena para funciones compuestas) u = f(x) d dx [un ] = n u n u d dx [ u] = u u Derivada de las funciones trigonométricas: d d [sen (u)] = cos (u) u dx d dx [tan (u)] = sec (u) u d d [sec (u)] = sec(u) tan (u) u dx [cos (u)] = sen (u) u dx d dx [cot (u)] = csc (u) u [csc (u)] = csc (u) cot(u) u dx Ejemplos: Derive las siguientes funciones: () g(x) = π 5x + 5x 5 π SOLUCIÓN: g (x) = π [ 5x + 5x ] g (x) = π 5x + 5x [5x + 5x ] g (x) = π (0x + 5) 5x + 5x g 5π(x + ) (x) = 4 5x + 5x () h(x) = 6 ax bx + cx d con a, b, c, d constantes reales SOLUCIÓN h (x) = 6 (ax bx + cx d) h (x) = 6 (ax bx + cx d) (ax bx + c) h (x) = (ax bx + c) (ax bx + cx d)

111 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0 ( ) x () y = 7 tan + + π x SOLUCIÓN [ ( ( )) dy x ] dx = 7 + tan π x dy dx = 7 dy dx = 4 dy dx = 4 ( tan ( tan ( tan ( x + π x ( x + π x ( x + π x )) [ ( x + tan π x )) ( ( sec x + π x )) ( ( sec x + π x )] )) )) [ ] x + π x ( ) (π x )(x) ( 6x )(x + ) (π x ) ) 5 ) (4) f(x) = sen ((x 4x + 65 x π SOLUCIÓN: f (x) = cos ((x 4x + 6 ) 5 ) 5 x π [(x 4x + 6 ) 5 ] 5 x π f (x) = cos ((x 4x + 6 ) 5 ) ( 5 x π 5 x 4x + 6 ) 4 5 x π [x 4x + 6 ] 5 x π f (x) = cos ((x 4x + 6 ) 5 ) ( 5 x π 5 x 4x + 6 ) 4 ( 5 x π 9x 8x + 6 ) 5 f (x) = 0 cos ((x 4x + 6 ) 5 ) ( 5 x π x 4x + 6 ) 4 ( 5 x π 9x 8x + 6 ) 5 (5) f(x) = (x 0 5x 5 + e) + x + x SOLUCIÓN f (x) = [ ] [ ] (x 0 5x 5 + e) + x + x + (x 0 5x 5 + e) + x + x f (x) = (x 0 5x 5 + e) (0x 9 5x 4 ) + x + x + (x 0 5x 5 + e) ( + x) + x + x (6) dy dx = dy dx = 5 dy x dx donde y = sec (x) cot(x) + 0 x + x + x. 7/ SOLUCIÓN: [ 5 x sec (x)] (cot(x) + 0 ) x + x + x 7/ (cot(x) + 0 ) x + x + x 7/ ( 5 x sec (x)) [cot(x) + 0 ] x + x + x 7/ ( 5 (x sec (x)) 4/5 ( sec (x) tan(x)) ) ( cot(x) + 0 x + x + x 7/ ) (cot(x) + 0 x + x + x 7/ ) ( 5 x sec (x)) ( ) csc (x) + x 5(x+) + 7 +x x4/

112 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación. Calcule la derivada de las siguientes funciones: PRÁCTICA 0 a) f(x) = cos (x) x + x f (x) = ( x + ) ( ( 6) (cos (x)) (sen(x)) x x x ( ) x + x ) cos (x) b) g(x) = (x sec(x) 4 x + ) 5 R/ g (x) = 5(x sec(x) 4 ( x + ) 4 x sec(x) + x sec(x) tan(x) 4 (x + ) /) c) h(x) = x cos(x + ) x 4 + tan ( ) x R/ h (x) = (x4 + tan(/x))(x cos(x + ) 6x 4 sen(x + ) x cos(x + )(4x + sec (/x) ( /x )) (x 4 + tan(/x)) d) f(x) = (x 5 + 4x) sen x + (x ). R/ f (x) = (5x4 + 4) sen x + (x 5 + 4x) sen x cos x + 6(x ) (x 5 + 4x) sen x + (x ). Demuestre (usando la denición de derivada) que d [ ] = dx x x. R/ Demostración completa. Sea f(x) = cos (x). Utilice la denición de derivada para calcular f ( π 4 ) R/ 4. Una función cuyo dominio es D es par si x D se cumple que f(x) = f( x). Una función cuyo dominio es D es impar si x D se cumple que f(x) = f(x). Demuestre utilizando la denición de derivada que: a) La derivada de una función par es una función impar, es decir, f ( x) = f (x) si f es par. b) La derivada de una función impar es una función par, es decir, f ( x) = f (x) si f es impar.. R/ Demostración completa

113 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación.7. Derivación Implícita Hay funciones despejadas en la forma explicita y = f(x). Ejm: y = 5x + x x + o también y = ( tan x ) + x x + 8 Así mismo, hay funciones o relaciones modeladas por ecuaciones en las cuales y implícita. Por ejemplo: está planteada de forma x y + xy = 5y o también x + y = x + y En todas estas funciones o relaciones dadas por ecuaciones consideramos que y depende de x y para su derivación y = dy dx = f (x) Ejemplos de derivación implicita. Encuentre dy dx : )x y + x = xy )xy 7y + xy = 5 Solución: Sea y = dy dx xy + x y + = y + x yy Solución: Sea y = dy dx xy + x y + = y + xyy y + xy y 7y + y + xy = 0 x y xyy = y xy y (x xy) = y xy y = y xy x xy xy y 7y + xy = y y y (xy 7 + x) = y y y = y y xy 7 + x.8. Derivadas puntuales Sea x dy y y = Calcule en(, ) dx Solución: Sea y = dy dx NOTA: Observe que el punto dado pertenece a la curva (verifíquelo) x y y y = 0 y y y = x y ( y ) = x y = x ( ) Así y = y (, ) ( ( ) () ) = =

114 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación PRÁCTICA. Calcule la derivada de la función denominada como Bifolio: (x + y ) = 4x y R/ y = xy x xy x y + y x. La función y está dada implícitamente por la ecuación que se indica. Calcule la derivada. x + xy + y 4x + y = 0. R/ y = x y x + y +. Derive las siguientes funciones dadas implícitamente: a) x + y = y + 6x R/ y = x + y x + y b) sen(x + y) = y R/y = 4. Encuentre la derivada dy dx si xy x 5 y = 4 cos(x + y) + cos(x + y). R/ dy dx = 5x4 y y xy x 5 y 5. Considere xy π dy + sen y = Calcule (, dx en π ). R/ π

115 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4.9. Derivación de las funciones inversas trigonométricas Derivada de las funciones trigonométricas inversas d dx [arc sen(x)] = x d dx [arctan(x)] = d + x d dx [arcsec(x)] = x x d [arc cos(x)] = dx x dx [arccot(x)] = + x d dx [arccsc(x)] = x x Derivadas de las funciones trigonométricas inversas aplicando Reglas de la Cadena d dx [arc sen(u)] = d u u [arc cos(u)] = dx d dx [arctan(u)] = + u d u dx [arccot(u)] = d dx [arcsec(u)] = u u d u dx [arccsc(u)] = u u + u u u u u EJEMPLOS: Calcule la derivada de las siguientes funcionces.. f(x) = arc cos 4 (x). g(x) = arc sen( x). h(x) = arctan(5x ) sen (x ) π

116 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 4. y = arc cos ( x ) cot(x + ) x ( 5. f(x) = arctan(x + ) arccot x x+ ) + arc sen ( ) 6. g(x) = 7 arccot(7 x) arctan() 7. h(x) = arcsec(x + ) csc ( ) x 8. y = arcsec(4x + ) arctan(4x + )

117 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 RESPUESTAS:. f (x) = 4 arc cos (x) x. g (x) = x x. h (x) = 0x 5x 4 + x sen(x ) cos(x ) 4. dy dx = csc (x + ) + x (cot(x + )) / x 5. f (x) = arctan(x + ) x +(+x) arctan (x + ) 6. g (x) = 7. h (x) = 8. dy dx = ( + 49x) x + ( + x + (x + ) x csc ( x x+ ( ) cot x ) ) ( x + ) ( ) x 8x (4x + ) (4x + ) arctan(4x + ) + arcsec(4x + ) 8x (4x + ) + También hay correspondencias modeladas por una ecuación, cuya derivada hay que calcuarla implícitamente. Por ejemplo, calcule dy si se cumple que dx. y = arctan(xy). R/ dy dx = y + x y x. arc sen( + x) = xy. R/ y = y ( + x) xy ( + x)

118 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7.0. Derivación de funciones logarítmicas Veamos las fórmulas para derivar funciones que involucran logaritmos: Derivada de las funciones logarítmicas d dx [ln(x)] = x d dx [log a (x)] = x lna d dx [ln(u)] = u u d dx [log a (u)] = u ln a u Ejemplos: Si f(x) = ln x + sen (x) π entonces f (x) = Si g(x) = ln 5 (x + x) + tan x entonces g (x)= Si h(x) = 4 log 7 x + π log 4 x entonces h (x) = ( ) sec x Si y = c log + d (a,b,c,d constantes) entonces dy ax + b dx =.. Derivación usando las propiedades de los logaritmos El cálculo de ciertas derivadas con logaritmos se simplica notablemente si, antes de derivar, se aplican las propiedades de los logaritmos para desarrollarlos. Calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las propiedades de los logaritmos. ( ) ( ) ( ) + x e x x x + ()y = ln ()g(x) = ln ()f(x) = ln x 4 ln x x Solución Solución Solución y = ln( + x ) ln(x 4 ) g(x) = ln ex x ln x y = ln( + x ) 4 ln(x) dy dx = ( + x ) x 4 x dy dx = x + x 4 x g(x) = (ln ex + ln x ln(ln x)) g(x) = g (x) = (x + ln x ln(ln x) ) ( + x (ln x) ) x g (x) = ( + x ) x ln x R/ f (x) = x

119 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8.. Derivación logarítmica Si tenemos una función dada explícitamente y = f(x), podemos aplicar logaritmo natural: lny = ln f(x) y derivamos ambos miembros de la igualdad Ejemplos Calcule la primer derivada de las siguientes funciones: ()y = x ln x ()y = x x ( ) ln x Respuesta/ y = x ln x x ( Respuesta/ y = x x ln x x + ) x x ()y = 5 x (4)y = (x + ) x (5)y = 7 x + solución solución solución ln[y] = ln[5 x ] ln[y] = ln[(x + ) x ] ln[y] = ln[7 x + ] ln y = x ln 5 ln y = x ln[(x + )] ln y = ( x + ) ln 7 d d d [ln y] = [x ln 5] dx dx d [ln y] = dx dx [x ln(x + )] d d [ln y] = dx dx [( x + ) ln 7] y y = ln 5 y y = x ln(x + ) + x x + y y = ln 7 x + x y = y ln 5 ] y = y [x ln(x + ) + x (x + ) y = y x ln 7 x + [ ] y = 5 x ln 5 y = (x + ) x x ln(x + ) + x (x + ) x y = 7 + x ln 7 x +

120 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9 (6) Calcule la derivada de y = ( ) sen(x) (con x > 0) x SOLUCIÓN: Este ejercicio se debe resolver por derivación logarítmica. ln(y) = ln ( ) sen(x) x ln(y) = sen(x) ln ( ) x d dx [ln(y)] = d [ sen(x) ln dx ( y y = [sen(x)] ln x ( y = cos(x) ln y x ( y = cos(x) ln y x ( y = cos(x) ln y x ( ( y = y cos(x) ln x ( ) sen(x) y = x ( )] x ) + sen(x) ) + sen(x) x ) sen(x) x ) sen(x) x ) sen(x) x ( cos(x) ln ( x [ ln x x ) ( )] x ) sen(x) ) x (7) Sea y = SOLUCIÓN: ( ) csc tan x x. Calcule dy ln( + x) dx. ( csc ) tan x x y = ln( + x) ( ( csc ) tan x ) x ln(y) = ln ln( + x) ( csc ) x ln(y) = tan x ln ln( + x) ln(y) = tan x d dx [ln(y)] = d dx [tan x ( ln (csc x) ln (ln( + x))) ( ln (csc x) ln (ln( + x)))] y y = sec x ( ln (csc x) ln (ln( + x))) + tan x y ( csc ) ( y = x sec x ln + tan x cot x ln( + x) ( ( csc y = y sec ) ( x x ln + tan x cot x ln( + x) ( csc y ) tan x ( ( x csc = sec ) x x ln + tan x ln( + x) ln( + x) ( csc x csc x cot x ln( + x) ( + x) ln( + x) ) )) ( + x) ln( + x) ( cot x ( + x) ln( + x) )) ) + x

121 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0 La derivación logarítmica también se puede utilizar en aquellas funciones que por su criterio es dícil obtener la derivada. Ejemplo. (x + )(x + ) (x + ) ()y = ()y = (x ) ln x (x + ) 4 Solución : [ ] (x + )(x + ) ln[y] = ln (x ) ln x ln y = ln(x + ) + ln(x + ) ln(x ) ln(ln x) [ ] d d [ln y] = ln(x + ) + ln(x + ) ln(x ) ln(ln x) dx dx y y = (x + ) + (x + ) (x ) [ x ln x y = y (x + ) + (x + ) (x ) ] x ln x [ (x + )(x + ) y = (x ) ln x (x + ) + (x + ) (x ) ] x ln x Solución: R/ y = ( ) (x + ) x (x + ) 4 x + 4x x +.. Derivación de funciones exponenciales Derivada de las funciones exponenciales d dx [ex ] = e x d dx [ax ] = a x ln a d dx [eu ] = e u u d dx [au ] = a u ln a u Ejemplos: () Calcule la derivada de g(x) = log (x + ) Solución: g (x) = (x + ) ln x por lo tanto g (x) = x (x + ) ln () Derive implícitamente xy = e y x Solución: ( ) x 6x+5 ln (x ) ln ( ) x 6x+5 + ln ( ( ) (6x 6) ) ( ) x 6x+5 d dx [xy] = d dx [e y x ] ( ) y + xy = e y x xy y x y + xy = e y x xy e y x y x x (y + xy ) = e y x xy e y x y x y + x y = e y x xy e y x y x y e y x xy = e x y y x y y (x xe y y x ) = e x y x y y = e y x y x y x xe y x

122 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación EJERCICIO: Calcule la derivada dy de la función dada. dx. y = 4e 5x x R/ y = e 5x ( 0x 4 + 6x 800 ). y = ln(x + x + ) + x (90 x 4 ). R/ y =. y = log(arctan (x) e x ) ( ) x + x + + x ln x + x +. R/ y = arctan(x) ln(0) (x + ) ln(0)

123 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4. y = e sen x ( + ln x ) (. R/ y = e sen x cos(x) ( + ln ( x )) + ) x 5. e x = arc sen(x + y). R/ y = ex (x + y) 6. ln(xy) = e x+y. R/ y = ex+y xy y x e x+y xy

124 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Más ejemplos.. En cada uno de los casos calcule dy (No es necesario que simplique su respuesta). dx a) y = arccot(ex ) log 6 (4x + 5) x SOLUCIÓN: Se aplican la reglas de derivada del cociente de funciones así como la derivada del producto de funciones: [ dy arccot(e x ) log 6 (4x ( + 5)] x ) ( arccot(e x ) log 6 (4x ) [ + 5) x ] = ( dx x ) dy = dx dy = dx ( [arccot(e x ] ( ) log 6 (4x ) + 5) + ( arccot(e x ) ) [ (( e x ) (e x ) + ( log 6 (4x ) + 5) + ( arccot(e x ) ) ( log 6 (4x ) ( + 5)] x ) ( x ) 8x (4x +5) ln(6) ( x ) ( arccot(e x ) log 6 (4x ) [ + 5) x ] )) ( x ) ( arccot(e x ) log 6 (4x + 5) ) ( x ) ln() x b) y = log 8 ( x + ) 7 arctan(x) SOLUCIÓN: Se aplica la fórmula de derivada de un cociente: dy dx = (7 arctan(x) ) RESPUESTA: dy dx = ( 7 arctan(x)) [ log8 ( x + )] [7 arctan(x) ] (log 8 ( x + )) ( x + ) ln(8) (7 arctan(x) ) x + x ( 7 arctan(x) ) ( 7 arctan(x) ln(7) ) ( ( x )) + (x) log 8 + ( ) arc sen(x) c) y = cos(x) SOLUCIÓN: Se aplica derivación logarítmica: ln(y) = ln(y) = ln ( ) arc sen(x) cos(x) arc sen(x) ln d dx [ln(y)] = d [ arc sen(x) ln dx y y = [arc sen(x) ] ln y y = y y = ( ) ln x ( ) cos(x) ( ) = y ln x ( ) arc sen(x) cos(x) ( )] cos(x) ( ) [ cos(x) + (arc sen(x) ) ln ( ) cos(x) + (arc sen(x) ) ( ) cos(x) + (arc sen(x) ) ( x ) ln ( )] cos(x) ( ) (cos(x)) cos(x) ( ) (cos(x)) cos(x) ( ) cos(x) + (arc sen(x) ) ( sen(x)) ( sen(x)) ( ) (cos(x)) cos(x) ( sen(x))

125 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4. Considere la curva dada por la siguiente ecuación: x ln(y) + x = e x y. Calcule dy dx punto (, ). y evalúela en el SOLUCIÓN: Se aplica derivación implícita: d [ x ln(y) + x ] = d [ e x y ] dx dx x ln(y) + x y y + x = e x y ( y ) x ln(y) + x y + x = e x y e x y y y x y + e x y y = e x y x x ln(y) y ( ) y x y + ex y = e x y x x ln(y) y = ex y x x ln(y) x y + ex y Se evalúa la derivada en el punto (, ) (que en efecto pertenece a la curva dada porque satisface la ecuación). y (,) = e ln() + e = e0 0 + e 0 = 0 + = =

126 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5. Calcule la derivada de las siguientes funciones: PRÁCTICA a) f(x) = e4x log (x 6 ) x π[ 6e 4x (x π) ( 4log x + ) log x] R/f xln() (x) = (x π) b) f(x) = x arc cos(5x) R/f (x) = x [ln arc cos(5x) 5 ] 5x ( c) f(x) = x + ) cos(x) ( R/f (x) = x + ) cos x [ ( ) sen x ln x + x cos x ] x + d) f(x) = arcsec(x ) + log 7 ( x) R/ f (x) = x x x 6 + xln7 e) f(x) = 5x cos (x) ( ) sen(x) f ) y = x > 0 x R/g (x) = 5ln 5x cos (x) + cos(x)sen(x) 5x cos 4 (x) R/ dy dx = ( x ) sen(x) ( ) x cos(x)ln x x sen(x) g) y = x arcsen x + log 5 (x + ) R/ y = x x + x x (x + ) ln 5 h) y = ln (arctanx) R/ y = ln (arctan x) arctan x ( + x )

127 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 ( ) i) y = arcsec + π 5x R/ y = 5x 5x 5x j ) y = arcsen( + x + x ) arccot(ln(x )) k) y = e arccos(ex ) + π arctan(sen x) R/ y = R/ y = ( + x) ( + x + x ) + 6 x ( + (ln(x )) ) ( ) ( ) e x+ cos x ( arctan(sen x)) ( e arc cos(e x ) + π) e x + sen x ( arctan(sen x)). Suponga que y lnx = ln( y ), verique que: dy dx = en el punto (, ) R/ Debe derivar implícitamente para llegar a que dy dx = x y x 4ylnx y lnx + y (, ). y 4 y luego evaluar en el punto. Si y ln(x) = x ln(y), verique que dy = en el punto (, ). dx y R/ Debe derivar implícitamente para llegar a que dy ln(y) dx = ln(x) x y y luego evaluar en el punto (, )

128 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7.4. Derivadas de orden superior La segunda derivada es la derivada de la primer derivada. La tercer derivada es la derivada de la segunda derivada, etc. Notaciones: Segunda derivada: f (x), Ejemplos f (x) = [f (x)] f (x) = [f (x)] Tercer derivada: f (x), N-ésima derivada: f (n) (x), -Encuentre la tercer derivada de y = x 4 + 5x 7x + SOLUCIÓN: Sea y = dy dx d y dx, d [f(x)], y dx d y dx, d [f(x)], y dx d n y dx, d n [f(x)], n y(n) dxn y = 4x + 5x 7 y = x + 0x y = 4x Encuentre la segunda derivada de y = sen(4x x) SOLUCIÓN: Sea y = dy dx y = cos(4x x) (x ) y = [cos(4x x)] (x ) + cos(4x x) [(x )] y = sen(4x x) (x ) + cos(4x x) (4x) - Encuentre la segunda derivada de: f(x) = x x x 6 SOLUCIÓN: Sea y = dy dx f (x) = (x x 6)[x ] [x x 6] (x ) f (x) = (x x 6) [ x +x 7] [(x x 6) ] ( x +x 7) (x x 6) ((x x 6) ) f (x) = (x x 6)() (x )(x ) f (x) = (x x 6) ( x+) (x x 6)(x )( x +x 7) (x x 6) (x x 6) 4 f (x) = x x 6 (x x x+) f (x) = (x x 6)[(x x 6)( x+) (x )( x +x 7)] (x x 6) (x x 6) 4 f (x) = x x 6 x +x f (x) = (x x 6)( x+) (x )( x +x 7) (x x 6) (x x 6) f (x) = x +x 7 (x x 6)

129 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8 4- Calcule la segunda derivada de f(x) = xe x SOLUCIÓN: Derivamos: f (x) = [x] e x + x[e x ] = e x + xe x = e x ( + x) por lo tanto f (x) = e x ( + x) Calculamos la segunda derivada: f (x) = [e x ] ( + x) + e x [ + x] = e x ( + x) + e x = e x ( + x + ) = e x (x + ) por lo tanto f (x) = e x (x + ) Ahora que podemos calcular derivadas de orden superior, también podemos vericar identidades diferenciales que incluyan derivadas de orden superior. Por ejemplo: Verique que la función g(x) = sen(πx), satisface la siguiente igualdad: x g (x) + x g (x) = π g(x)

130 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9.5. Derivadas Implícitas de Orden Superior Encuentre y para las siguientes funciones dadas implícitamente: ) y 6xy = Solución: Sea y = dy dx y 6y 6x yy = 0 y xyy = 6y y ( 6xy) = 6y y 6y = ( 6xy) y = y 6xy y = ( 6xy)[y ] [ 6xy] (y ) ( 6xy) y = ( 6xy)(6yy ) ( 6y 6xy )(y ) ( 6xy) y = 6yy 6xy y + 8y + 8xy y ( 6xy) y = 6yy 8xy y + 8y ( ( 6xy) ) ( ) y y 6y 8xy + 8y y 6xy 6xy = ( 6xy) ) cos(x + y) = x Solución: Sea y = dy dx sen (x + y) ( + y ) = sen (x + y) sen (x + y) y = sen (x + y) y = + sen (x + y) y = + sen (x + y) sen (x + y) y = sen (x + y) sen (x + y) y = sen(x + y)[ sen (x + y)] [sen (x + y)] ( sen (x + y)) sen (x + y) y = sen(x + y)( cos (x + y)( + y )) (cos (x + y)( + y ))( sen (x + y)) sen (x + y) y = cos(x + y)( + y )[ sen (x + y) ( sen (x + y))] sen (x + y) y = cos(x + y)( + y )[ sen (x + y) + + sen (x + y))] sen (x + y) y = cos(x + y)( + y ) sen (x + y) ( ( )) sen (x + y) cos (x + y) + y sen (x + y) = sen (x + y)

131 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0 ) Considere la ecuación y + = xy + x, que dene implícitamente y como función de x. Calcule d y dx. SOLUCIÓN: y + = xy + x d d [y + ] = dx dx [ xy + x ] y = (xy) / (y + xy ) + x y = (xy) / y + (xy) / xy + x y (xy) / xy = (xy) / y + x y ( ) (xy) / x = (xy) / y + x y = y = (xy) / y + x (xy) / x x / y / + x x/ y / Así: y = d y dx es: d dx [y ] = d [ ] x / y / +x dx x/ y / y = y = [ ) x / y / + x] ( x/ y / ( ( 9 x 5/ y / + 9 x / y / y + ( ) ] x / y / + x [ x/ y / x/ y /) ) ) ( x/ y / ( x/ y /) ( ) ) x / y / + x ( 9 x / y / + 9 x/ y 5/ y 4) Considere la curva y + xy =. Calcule el valor de la expresión dy dx (0,) + d y dx (0,).. R/ 4

132 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación PRÁCTICA x. Calcule la segunda derivada de la siguiente expresión: y = x (x ) R/ y = (x ) (x ) (x ). Calcule la tercer derivada de la función y = cos(b + ax) donde a y b son constantes. R/ y = a sen(b + ax). Verique que la función l(x) = w cos(x)+u sen(x)+ x sen(x), con w, u R, satisface la siguiente igualdad: l (x) + l(x) = cos(x) R/ Demostración completa 4. Pruebe que para y = x x + se cumple que (4x + 4x)y = 4y ( x ) R/ Demostración completa 5. Hallar y = d y dx si x + y = a. R/y = y + x y x ( ) hy ax yh xh 6. Calcule y para ax + hxy = a b (a, b, h son constantes reales) R/ y hx = x h

133 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación.6. Aplicaciones de la derivada.6.. Ecuación de la recta normal y la recta tangente a una curva en un punto dado Si f es una función derivable, la derivada de f, proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva o gráca de f en el punto (x 0, y 0) perteneciente a la gráca (punto de tangencia). La recta normal al punto (x 0, y 0) de la función f, es la recta perpendicular a la recta tangente a la función, en el punto de tangencia (x 0, y 0) Notas:. Como la tangente y la normal son rectas, su ecuación tiene la forma: y = mx + b.. Recuerde lo siguiente: a) Pendiente de la recta tangente: m T = y (x0,y 0 ) (es decir, la pendiente equivale a la derivada evaluada en el punto de tangencia) b) La intersección de la recta con eje y está dada por b = y 0 m x 0 c) Recuerde que dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversos multiplicativos y tienen signo opuesto o lo que es equivalente, su producto es igual a -. Como la tangente y la normal son perpendiculares, entonces se cumple que m T m N = o,lo que es equivalente, m N = m T

134 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Ejemplo: )Encuentre la ecuación de la recta tangente y la recta normal a y = 5x + x en el punto (,54). Solución: Sea y = dy dx Observe que el punto pertenece a la curva por lo que sería el punto de tangencia. Recta tangente Recta normal y = 0x + m N = m T = y (,54) = 0 + = b N = y m N x b T = y m T x = 54 R/ y N = x R/ y T = x 45 )Encontrar la recta normal a la curva x + xy + y y = 0 en el punto (, ). Solución: Sea y = dy dx Observe que el punto pertenece a la curva por lo que sería el punto de tangencia. Pendiente de la tangente Recta normal x + y + xy + yy y = 0 m N = 5 7 y (x + y ) = x y y = x y x + y m T = y (,) = + = 7 5 b N = y m N x b N = 5 7 R/ b N = 7 5x + R/ y N = 7 ) Hallar la recta normal para: sen (x y) = x y en (, ) Solución Observe que el punto pertenece a la curva por lo que sería el punto de tangencia. Pendiente de la tangente Recta normal cos (x y) ( y ) = 4xy + x y m N = cos (x y) y cos (x y) = 4xy + x y cos (x y) 4xy = x y + y cos (x y) b N = = 7 6 cos (x y) 4xy = y (x + cos (x y)) y cos (x y) 4xy = Así m T = y (, ) x + cos (x y) cos ( = ) 4 ( ) + cos ( = ) y N = x 7 6

135 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 4) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la ecuación en el punto (0, π). SOLUCIÓN: Cálculo de la derivada: sen(x y) = xy d d [sen(x y)] = dx dx [xy] cos(x y) ( y ) = y + xy cos(x y) y = xy + y cos(x y) cos(x y) y = y (x + cos(x y)) y = cos(x y) y x + cos(x y) Cálculo de la pendiente de la recta tangente al punto (0, π) (que pertenece a la curva) y que viene dada por: m t = y cos(0 π) π (0,π) = 0 + cos(0 π) = + π Cálculo de la intersección b t de la recta tangente con el eje Y, a saber: b t = π ( + π) 0 = π RESPUESTA: y = ( + π)x + π. 5) Determine la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva dada por la ecuación (x + y)(x xy + y ) = 6xy en el punto ( 4, 8 ). SOLUCIÓN: Se efectúa el cálculo de la derivada: d dx [x + y ] = d dx [6xy] x + y y = 6y + 6xy y y 6xy = 6y x y (y 6x) = 6y x y = 6y x y 6x y = (y x ) (y x) y = (y x ) (y x) Se efectúa el cálculo de la pendiente de la recta tangente al punto ( 4, ) 8 (que pertenece a la curva) y que viene dada por: m t = y ( 4, 8 ) = 8 ( ) 4 ( 8 ) = Se efectúa el cálculo de la intersección b t de la recta tangente con el eje Y, a saber: b t = = La ecuación de la recta tangente (RESPUESTA )es: y = 4 x Se efectúa el cálculo de la pendiente de la recta normal al punto ( 4, 8 ) : m N = 5 4 Se efectúa el cálculo de la intersección b N de la recta tangente con el eje Y, a saber: b N = = Se escribe la ecuación de la recta normal (RESPUESTA ), a saber: y = 5 x +. 4

136 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 6) Sea g(x) = [f(x)] 4 donde f es una función derivable en R tal que f () = y f () =. Calcule una ecuación para la recta tangente a la gráca de g en x =.. R/ La recta tangente está dada por y = x ) Calcule la ecuación de la recta normal a la curva 5 y + xy = 6 en el punto (4, ).. R/ La recta normal está dada por y = x 4 0

137 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 PRÁCTICA 4 )Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva x x y + xy = 8 en el punto (, ) )Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto (4, ) xy 4 )Hallar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva: y x xy = 6x + y + en el punto x = 0 R/ y T = 5 8 x R/ y T = (Tangente horizontal) ( π ) 4)Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva: sen (xy) = y en el punto, R/ y T = 4x y N = 4 x 5)Encontrar la recta normal a la curva y = sen x + csc x en el punto ( π 4, f( π ) ) 4 R/ y T = (Tangente horizontal) R/ y n = ( x + π ) Cálculo de rectas tangentes(verticales, horizontales o con una pendiente dada) a una curva Para encontrar rectas tangentes a una curva dada hay que tener en cuenta lo siguiente:. Tangentes horizontales: Una función tiene una tangente horizontal en el punto x = c, si es continua en c y la derivada de la función en x = c se hace cero. Por lo tanto, el procedimiento para encontrar los puntos en una curva donde la recta tangente es horizontal, consiste en identicar los ceros de la derivada, para los cuales la función original es continua. Ejemplo:

138 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7. Tangentes verticales: Una función tiene una tangente vertical en el punto x = c, si es continua en ese punto y la derivada de la función en x = c genera la forma indenida k, con k 0 (límite innito). Así, para 0 identicar los puntos en una curva para los cuales la recta tangente es vertical, se identican aquellos valores que indenen a la derivada (con la forma indenida k, k 0) pero para los cuales la función original es 0 continua. Ejemplo:. Rectas tangentes con una pendiente dada: Puesto que la pendiente de la recta tangente está dada por la función derivada, para encontrar el punto sobre una curva para el cual la pendiente es un valor dado, se iguala la derivada a ese valor y se resuelve la ecuación resultante, para hallar el punto sobre la curva.ejemplo:

139 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8 EJEMPLOS:. Determine si la gráca de la función y = (x 8) tiene tangentes verticales. SOLUCIÓN. Llamemos y = f(x) Derivamos: dy dx = (x 8) Se calcula el valor que indene la derivada dy dx = 4 (x 8) x 8 = 0 x 8 = 0 Vericamos que la función f(x) = (x 8) es continua en x = 4 (i) f(4) = 0 (ii) lím f(x) = lím (x 8) = 0 x 4 x 4 (iii) lím f(x) = f(4) = 0 x 4 x 8 = 0 x = 4 y = (x 8) es continua en x = 4. Vericamos que x = 4 indene la derivada, ya que al evaluar se llega (especicamente) a la forma indenida 4 0. Ahora bien, el punto (4, 0) pertence a la gráca de la función (ya vericamos que f es continua en x = 4). y = (x 8) tiene una tangente vertical en el punto cuya coordenada es (4, 0). Considere la función y = x 4 + 4x x + 0. Determine las coordenadas de los puntos sobre la curva en los cuales: a) La recta tangente es paralela al eje X.. R/ (0, 0),(, ),(, 5) b) La recta tangente es paralela con la recta y 4x 5 = 0.. R/ (, 7),(, ),(, 8 8 )

140 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9. Determine los puntos en los que que la recta tangente a la curva x y + y = es horizontal. R/ (0, ). 4. Encuentre todos los puntos de la curva dada por f(x) = x + en que: x SOLUCIÓN. (a)la recta tangente sea horizontal (si existen) (b)la pendiente de la recta tangente sea. (a) La recta tangente es horizontal si su pendiente es 0, lo que signica que la tangente es horizontal en los puntos en que la derivada se hace 0. Por lo tanto, es necesario derivar e igualar la derivada a 0 y resolver la ecuación para hallar los ceros de la derivada. f (x) = ( x) ( )( + x) = x + + x = ( x) ( x) ( x) Igualamos a cero la derivada = 0 (No hay solución para la ecuación pues 0) ( x) De lo anterior se concluye que la derivada nunca se hace cero y por lo tanto la función no tiene tangentes horizontales. (b)decir que la pendiente de la tangente sea, es equivalente a decir que la derivada es igual a. Por lo tanto, igualemos la derivada a y resolvamos la ecuación. ( x) = = ( x) = x + x = x + x 0 = x + x Se resuelve la cuadrática 0 = x( + x) x = 0 x = 0 x = 0 x = En estos dos valores de x es donde la pendiente de la tangente se hace ; pero cada uno debe ser dado como par ordenado, por lo que hay que buscar sus imágenes. f(0) = = f() = + = Así, la derivada (y por lo tanto la pendiente de la recta tangente es igual a en los puntos (0, ) y (, )

141 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Demuestre que la recta y = x es tangente a la curva dada por la ecuación y = x 6x + 8x. Hallar el punto de tangencia. SOLUCIÓN Observe que para y = x la pendiente es m =. Por lo tanto, hay que probar que en la curva y = x 6x + 8x hay punto para los cuales la derivada es igual a. Una vez que se encuentran esos puntos hay que probar que pertenecen a la curva y a la recta. Derivamos (Sea y = dy dx ): y = x x + 8 Igualamos la derivada a y despejamos la ecuación. y = x x + 8 x x + 8 = x = 0 x x + 9 = 0 x = x = Sustituimos para encontrar las imágenes de y y escribir los pares ordenados: y x= = = y x= = = Así los pares son: (, ) y (, ) Sin embargo, aunque sabemos que pertenecen a la curva, es preciso vericar que pertencen a la recta y = x Sustituyendo (, ) en la recta: y = x se obtiene = lo que es una igualdad falsa ya que Sustituyendo el punto (, ) en la recta y = x se obtiene = Note que solamente (, ) pertence a la recta y = x y a la curva y = x 6x + 8x simultáneamente. Por lo tanto, la recta y = x sólo es tangente a la curva en (, ) que es el punto de tangencia. 6. Encuentre las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse x + 4y = 6 que pasan por el punto (, ) SOLUCIÓN: Observe que el punto (, ) no pertenece a la elipse dada ya que no satisface la igualdad En este ejercicio no se conoce el punto de tangencia. Llamemos al punto de tangencia (z, t) Como el punto de tangencia (z, t) pertenece a la elipse satisface la ecuación x + 4y = 6, por lo que se cumple la igualdad: z + 4t = 6 ecuación

142 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 La pendiente de una recta tangente en el punto (z, t) y que pasa por el punto (, ), se puede calcular así: y y m T = = t x x z (*) A la vez como (z, t) es punto de tangencia sabemos que la derivada evaluada en el punto (z, t) es igual a la pendiente. Así que derivando implicitamente (Sea y = dy dx ): [x + 4y ] = [6] x + 8yy = 0 8yy = x y = x 8y y = x 4y Sustituyendo (z, t) en la derivada obtenemos la pendiente: m T = y (z,t) = z 4t (**) Igualando (*) con (**) obtenemos: Sistema de ecuaciones: z + 4t = 6 t = z z 4t t z = z 4t ecuación Solución del sistema: Ec.. Ec.. Ec.. 4t(t ) = z(z ) z + 4t = 6 z + 4t = 6 4t t = z + z z + 4( z) = 6 z + 4t = z + t z + t = 6 z + 4(9 6z + z ) = 6 (z + t) = 6 z + 6 4z + 4z = 6 z + t = 5z 4z = 0 t = z z(5z 4) = 0 z = 0 z = 4 5 t = z t = 4 5 t = t = 9 5 Así los puntos (0, ) y ( 4 5, 9 ) son puntos de tangencia(observe que ambos pertenecen a la eilpse pues 5 satisfacen la ecuación z + 4t = 6, compruebelo). Utilizaremos los subíndices T y T para diferenciar ambas rectas tangentes. Sustituimos ambos valores en m T = z para obtener las pendientes de las rectas 4t tangentes m T = y mt = =. 5 Como ambas pasan por lo puntos (, ) calculamos las intersecciones (valor de b) de cada recta tangente con el eje Y, a saber b T = 0 = y b T = = 5. Así las rectas tangentes a la elipse son: y = y y = x 5

143 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 7. Calcule una ecuación para cada una de las dos rectas tangentes a la curva y = x + 4x + 5 y que a la vez se intersecan en (, 0). R/ y = x + 6 ; y = x + 4

144 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4. Si h() = 4, h () = y f(x) = h(x) x PRÁCTICA 5 calcule f ().. Si la recta tangente a y = f(x) en (4, )pasa por el punto (0, ), calcule f(4)y f (4).. Determinar el punto de la parábola y = x 7x + por el cual pasa una recta tangente paralela a la recta cuya ecuación es 5x + y = 0 4. Determine las coordenadas de los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la gráca de f(x) = 4x x y que pasan por el punto (, 5) 5. Considere la siguiente gráca de la función f. Identique ejemplos de puntos en ella en las que la derivada tenga signo positivo, signo negativo, sea igual a cero y no esté denida. 6. Verique que la curva denida por la ecuación xy + x y = 4 no tiene ninguna tangente horizontal. Justique su respuesta. 7. La recta que es tangente al gráco de la función y = f(x) en el punto (, 5), pasa por el punto (, ). Calcule f() y f (). Justique su respuesta 8. Encuentre el punto donde la recta y = x + 8 es tangente al gráco de la función h(x) = x 6x + x. Justique su respuesta. 9. Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráco de la función f(x) = x y pasa por el punto (, 5) 0. Trace la gráca de una función que satisfaga las siguientes condiciones. a) f es continua en ], [, ], 0[ y ]0, + [ b) f ( ) = 0 y f () no existe c) lím x f(x) = y d) lím x f(x) = y lím f(x) = + x + lím x + f(x) = e) lím f(x) = y lím x 0 f(x) = + x 0 +

145 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 44 RESPUESTAS.. f () = 5. f (4) = y f (4) = 4. (, ) 4. (, ) y (, ) 5. f (c ) > 0, f (c ) = 0, f (c ) < 0, f (c 4) no está denida, f (c 5) > 0, f (c 6) no está denida 6. Demostración completa. 7. f() = 5, f () = 4 8. (, 6) 9. R/y = x + 0. Una posible solución es

146 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación La derivada como razón instantánea de cambio, velocidad, rapidez y aceleración. Hemos visto como la derivada tiene una aplicación geométrica (corresponde a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado). Asímismo tiene una aplicación física: hallar la razón(ritmo) de cambio de una magnitud respecto a otra. Un caso particular corresponde a: Velocidad instantánea: en movimiento rectilíneo o caída libre, si s = s(t) es la función de posición de un objeto en movimiento en términos de la variable tiempo (t), la velocidad (instantánea) del objeto en el instante t viene dada por la derivada de s(t) con respecto a t, es decir ds dt. Así: v(t) = s (t) o lo que es lo mismo v(t) = ds dt Rapidez: recuerde la difrencia entre rapidez y velocidad. Se dene rapidez como el valor absoluto de la velocidad. Así la rapidez indica sólo que tanto cambia la distancia recorrida por el objeto con respecto al tiempo transcurrido, mientras que la velocidad indica además la dirección del movimiento. Ejemplo: ()Hallar la velocidad y la rapidez en t = y t = de un objeto en caída libre cuya función de posición es s(t) = 6t + 00 con s medida en pies y t en segundos. SOLUCIÓN. Velocidad [v]: v(t) = s (t) = t v() = = v() = = 64 la velocidad para t = es de - pies s y para t = es 64 pies s Rapidez [r]: r() = v() = = r() = v() = 64 = 64 la rapidez para t = es de pies s y para t = es 64 pies s Aceleración:La aceleración [a(t)] viene dada por la segunda derivada de la función de posición o lo que es lo mismo, la primer derivada de la función de la velocidad. Así a(t) = v (t) = s (t) o lo que es lo mismo a(t) = dv dt = d s dt ()Calcular la aceleración de un objeto en caída libre cuya función de posición es s(t) = 6t + 00 con s medida en pies y t en segundos. v(t) = s (t) = t ( pies ) a(t) = v (t) = pies s s

147 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Problemas de tasas relacionadas. En muchas situaciones podemos usar la derivada para medir la razón de cambio de una variable respecto a otra, suponiendo que están relacionadas por una función y = f(x) con x y y derivables con respecto al tiempo t. EJEMPLO : Un tanque con forma de cono invertido, con una altura h =, y radio de la base r = 5, está lleno de agua. A partir de cierto momento se empieza a desaguar el tanque a una velocidad de,5m /s. Determine a que velocidad disminuye el nivel del agua. SOLUCIÓN Sea x el nivel de agua en el instante t, y el radio sobre la supercie del agua en el instante t y V el volumen de agua en el instante t. Asumimos que x,y y V son derivables con respecto al tiempo t. Tenemos que dv dt =, 5m /s = m /s. Queremos determinar dx dt. Por aplicación del Teorema de Thales en el triángulo vertical que se forma tenemos que: 5 = y x 5x = y Ahora bien, el volumen de agua contenido en el recipiente viene dado por: V = πy x V = π ( 5x ) x V = π 5x V = 5 7 πx Derivando a ambos lados con respecto al tiempo t tenemos lo siguiente: 9 x

148 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 47 d dt [V ] = d [ ] 5 dt 7 πx dv dt = 5 7 π dx x dt dv dt = 5 9 π dx x dt = 5 9 π dx x dt x = dx 9 dt dx dt = 7 50π x 5π 7 Tenemos que en general la razón a la que cambia el nivel del agua, en general se da por m/s. En 50π x el instante en que se empieza a desaguar el tanque, que según el problema se encontraba lleno, se tendría que x = m. Así, en ese instante tenemos que: dx dt = 7 50π x dx dt = 7 50π dx dt = 7 50π 9 dx dt = m/s 0, 09m/s 50π Así, la respuesta sería que, en el instante en que se empieza a vaciar el tanque, el nivel del agua cambia con una velocidad de 7 m/s 0, 09m/s, y en general, ese nivel disminuye a una razón de m/s, siendo 50π 50π x x el nivel de agua en el instante t.

149 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 48 EJEMPLO : La altura de un triángulo disminuye a razón de cm min mientras que el área del mismo disminuye a razón de cm min. Determine la razón de cambio de la base del triángulo en el instante en que la altura es igual a 0cm y el área es de 50cm. SOLUCIÓN: Sean: b la medida de la base del triángulo en el instante t; h la medida de la altura del triángulo en el instante t; A el área del triángulo en el instante t. Asumimos que b, h, A son derivables con respecto al tiempo t. Tenemos: dh dt = cm min, da dt cm = min Queremos: db dt cuando h = 0cm y A = 50cm. Derivamos con respecto al tiempo la ecuación de área del triángulo: A = bh d dt [A] = d [ ] bh dt da dt = d [b h] dt da dt = = [ ] db dt h + b dh dt [ ] db dt h + b ( ) 6 = db dt h b b 6 = db dt h b 6 h = db dt Así, en general: db dt = b 6. En el instante en que h = 0cm y A = 50cm se puede despejar que b = 5cm, h y al sustituir b y h en la expresión anterior, se tiene que: db dt = 5 6 = = 6 cm cm =, min min 5 RESPUESTA/ En el instante en que h = 0cm y A = 50cm la base cambia a una razón de 6 5 cm min cm =,. min

150 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 49 PRÁCTICA 6 ()La arena que empieza a vaciarse de una tolva a razón de 0m /s forma una pila cónica cuya altura es el doble de su radio. ¾A qué razón aumenta el radio de la pila cuando su altura es de 5m? ()El largo de la base b de un rectángulo disminuye a razón de cm/s, mientras que su altura h aumenta a razón de cm/s. Hallar la razón de cambio del área A cuando b = cm y h = 5cm. ()Un cuadrado se expande con el tiempo. ¾Cómo se relaciona la razón de aumento del área del cuadrado con la razón de aumento de la longitud de su lado? (4)Se inyecta un globo esférico a razón de 0 pies min. ¾A qué razón varía el radio cuando mide pies? (5)Un cohete es lanzado con una dirección vertical y rastreado por una estación de radar, situada a millas del sitio de lanzamiento. ¾Cuál es la velocidad vertical del cohete en el instante en el que su distancia a la estación de radar es de 5 millas y esa distancia aumenta a razón de 5000 millas por hora? (6)Un hombre de 6 pies de estatura camina con una velocidad de 8pies/seg, alejándose de una luz callejera al tope de un poste de 8pies. ¾Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra cuando él está a 00pies del poste de luz? (7)Si el lado de un triángulo equilátero crece con rapidez de 0,dm/s, ¾con qué rapidez crece aproximadamente la supercie en el instante en que el área es de 4dm? (Nota: A = 4 L ) (8)Se tiene un depósito en forma de cilindro circular recto de altura 9m y radio de la base m. En t = 0 comienza a llenarse el depósito con agua a razón de 0m /h. Determine la velocidad aproximada a la que está subiendo el nivel de líquido en el depósito. (9)Un tanque de almacenamiento de agua tiene forma de cono recto con el vértice hacia abajo. Su diámetro mide 6 metros y su altura 9 metros. Una sura ocasiona que se fugue el agua con una rapidez de m /h. Calcule la rapidez con la que cambia la altura del nivel del agua (con respecto al vértice), en el momento en que el radio sobre la supercie del agua mide metros. (0)Una varilla de metal tiene forma de cilindro. Conforme se calienta, su longitud aumenta a razón de 0,005cm/min y su radio aumenta a razón de 0,00cm/min, ¾con qué rapidez está cambiando el volumen de la varilla, cuando esta alcance 40cm de longitud y,5cm de radio? ()Se deja salir agua de un tanque cilíndrico de diez pies de radio, Si la profundidad del agua en el tanque disminuye a razón de tres pies por segundo, ¾con qué rapidez disminuye la cantidad de agua, en el instante en que la profundidad es de cinco pies? ()Una lámpara, ubicada en el extremo superior de un poste de 4m de altura, ilumina a un joven que camina, alejandose del poste, con una velocidad de 55m/min. Si el joven mide,5m de alto, ¾con qué rapidez cambia la longitud de la sombra del joven? ()Una cometa está a 80m de altura sobre el nivel del suelo. Horizontalmente se aleja a una velocidad de 4 metros por segundo del niño que la sostiene. ¾A qué velocidad el niño está soltando la cuerda, cuando la cuerda mide 00 metros? (4) Un avión vuela en forma horizontal a una altitud de 5 km y pasa directamente sobre un telescopio de seguimiento en la supercie de la tierra. En el momento en que el ángulo de elevación es de π/, ese ángulo está disminuyendo en una razón de π/6 rad / min. Determine la rapidez con la que se está moviendo el avión (horizontalmente) en ese preciso instante.

151 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 50 Respuestas () dr dt = 4 5π 0,5 m s () da dt = 4 cm s ()La razón de aumento del área equivale a la razón de aumento del lado multiplicada por el doble del lado. (4) dr dt = 5 pies 0,8 9π min (5) dy dt = 650 mi h (6) dz pies = dt s (7) da dt,9 dm s (8) dx dt 0,79 m h (9) m h 4π 0,0796 m h (0) π cm cm 0,4 60 min min () 00π pies seg () m min (),4 m s (4) 0π 9 km km, 49 min min

152 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Extremos de una función DEFINICIÓN. MÍNIMOS Y MÁXIMOS RELATIVOS. Una función f posee un mínimo relativo en x = c si f(c) f(x) para todo x en un intervalo abierto alrededor de x = c.. Una función f posee un máximo relativo en x = c si f(c) f(x) para todo x en un intervalo abierto alrededor de x = c. DEFINICIÓN. MÍNIMOS Y MAXIMOS ABSOLUTOS Sea f denida en su dominio D.. f(c) es el mínimo absoluto de f en D si f(c) f(x) para todo x D.. f(c) es el máximo absoluto de f en D si f(c) f(x) para todo x D.

153 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 El siguiente teorema establece una condición necesaria para que una función tenga un extremo relativo en un punto para el cual f es derivable. TEOREMA DE FERMAT Sea f una función que tiene un extremo relativo en c para el cual f (c) existe. Entonces: f (c) = 0. El teorema anterior signica geométricamente que si una función f tiene un extremo relativo en c y f (c) existe, entonces la recta tangente a la curva en el punto (c, f(c)) es horizontal. DEFINICIÓN DE NÚMERO CRÍTICO Si f está denida en c, se dirá que c es un número crítico de f si f (c) = 0 o si f no está denida en c. Nota: Los extremos relativos sólo ocurren en los números críticos. Es decir, si f tiene un extremo relativo en x=c, entonces c es un número crítico de f. Ejemplo: Encuentre los números críticos de f(x) = x x SOLUCIÓN: Calculamos f (x) = x y buscamos los números que hacen 0 o indenen esa derivada. En este caso no se indene f así que igualamos la derivada a 0. Así: x = 0 (x ) = 0 (x + )(x ) = 0 x = x = x = y x = son los números críticos de f. TEOREMA DEL VALOR EXTREMO Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un máximo absoluto y también un mínimo absoluto en ese intervalo. Para hallar los máximos o mínimos absolutos de una función f continua en un intervalo CERRADO [a, b], se siguen este procedimiento.. Vericar que f es continua en el intervalo cerrado..hallar los números críticos de f( puntos donde la derivada se hace cero o se indene).evaluar f en cada uno de los números críticos que tenga en ] a,b [ 4.Evaluar f en los extremos del intervalo, es decir, calcular f(a) y f(b). 5.El menor de tales valores es el mínimo absoluto, el mayor será el máximo absoluto.

154 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 Ejemplo : Dada la función f(x) = x x en el intervalo [, ]. Calcule extremos absolutos. SOLUCIÓN: Note que f es una función continua en el intervalo [, ] por propiedades de las funciones continuas, ya que se trata de resta, múltiplo escalar y composición de funciones que son continuas para todo x [, ]. Calculamos su derivada: f (x) = x / = = x / x = x x f (x) = ( x ) x. Se calculan los números críticos: CEROS DE f RESTRICCIONES DE f Se buscan la imagenes de los números críticos y los extremos del intervalo ( x ) x = 0 x = 0 f(0) = 0 0 / = 0 (máx.abs) ( x ) = 0 x = 0( [, ]) f() = / = x = f( ) = ( ) / = 5 (mín.abs) x = ( [, ]) f() = / = 6 9 0,4 R/El máximo absoluto es 0 y se alcanza en el punto (0, 0) y el mínimo absoluto es 5 y se alcanza en el punto (, 5), tal y como se ilustra en la gura:

155 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 54 Ejemplo : Considere la función f : [, 9] R cuyo criterio es f(x) = kx + x +. Si k es una constante tal que x = es un número crítico de f, determine las coordenadas (x, y) de los puntos en los que f alcanza su punto máximo absoluto y su punto mínimo absoluto. SOLUCIÓN: Si k es una constante tal que x = es un número crítico de f, entonces en x = la derivada de f se hace cero o se indene, pero como f es un polínomio su derivada (dada por f (x) = kx + ) también lo es, y por lo tanto no se indene. Entonces f () = 0 k() + = 0 6k + = 0 k = Así, la fórmula de f es f(x) = x + x +. Por lo tanto, su derivada sería: f (x) = x +. Ya tenemos que el número crítico en el intervalo [, 9] es x = (Además como f es lineal es único). Se procede a calcular las imágenes del número crítico, así como de los extremos del dominio. f() = + + = 4 (máximo absoluto) f() = + + = 8 f(9) = = 8 (mínimo absoluto) RESPUESTA/ El máximo absoluto de f es 4 y se alcanza en el punto cuya coordenada es (, 4) y el mínimo absoluto de f es 8 y se alcanza en el punto cuya coordenada es (9, 8). Analizando los extremos relativos de una función Si c es un punto crítico para f(x) en un intervalo abierto ] a,b [ y f es derivable, excepto quizá en c; puede clasicarse como sigue: a)si f cambia de positiva a negativa en c, entonces f(c) es un máximo relativo de f. b)si f cambia de negativa a positiva en c, entonces f(c) es un mínimo relativo de f. c)si f no cambia de signo en c, f(c) no es ni mínimo ni máximo relativo. Otro resultado que puede ser útil en problemas de aplicación de máximos o mínimos es el siguiente: TEOREMA: Sea f una función tal que f (c) = 0 y tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c. Se cumple que: a)si f (c) > 0 entonces f(c) es un mínimo relativo. b)si f (c) < 0 entonces f(c) es un máximo relativo. c)si f (c) = 0 entonces el criterio no decide.

156 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 55 EJEMPLO : Determine los extremos relativos de f(x) = x x. SOLUCIÓN: Derivando se tiene que f (x) = ( x ) y sus números críticos son x = 0 y x = (VER PÁGINA x ANTERIOR). Con esta información podemos elaborar un cuadro de signos para la primer derivada de f. Por lo tanto la función alcanza un máximo relativo en (0,0) y un mínimo en (,-), tal y como se ilustra en la siguiente gráca: Nota: Una forma alternativa para determinar si un número crítico es un máximo o un mínimo es, evaluándolo en la segunda derivada. Por ejemplo, en el ejercicio anterior, cuando se llega a la conclusión de que 0 y son los números críticos, si se quisiera clasicar el extremo relativo x =, en lugar del cuadro para analizar los signos de la primer derivada, podríamos usar la segunda derivada así: Como f (x) = (x ) x f (x) = x ( )(x x ) x f (x) = x [x ] [x ] (x ) (x ) ( ) f x (x ) (x) = x Ahora sustituimos los números críticos en la derivada.f () = x () 4 f (x) = = x 4 > 0 por lo que en hay un mínimo relativo. Sin embargo, f (0) no está denida(como tampoco f (0) esta denida no se cumple la hipótesis del teorema) por lo que para x = 0 el criterio de la segunda derivada no se puede aplicar para determinar si 0 es máximo o mínimo.

157 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 56 EJEMPLO : Determine y clasique los extremos relativos de la función dada por f(x) = x x. Respuesta/ f tiene máxino relativo en (, ) y mínimo relativos en (, ) EJEMPLO : Considere la función f : R + R dada por f(x) = x ln(x). Para cada una de las siguientes condiciones, determine las coordenadas (x, y) del punto sobre la curva en el cual:. La recta tangente es paralela a la recta x y =. SOLUCIÓN: Observe que la pendiente de la recta y = x + es m =. Se calcula la primer derivada de la función: f (x) = ln(x) + x = + ln(x). x Igualamos la derivada con la pendiente de la recta y despejamos. + ln(x) = ln(x) = 0 e 0 = x x = Completar el par ordenado: (, f()) = (, 0). RESPUESTA: El punto de la curva en que la recta es paralela a x y = es (, 0).. La función tiene un extremo relativo. Dado el dominio, la función tiene un extremo relativo en el punto en que la recta tangente es horizontal y por tanto la pendiente de la tangente es m = 0. Igualamos la derivada con cero y resolvemos la ecuación. + ln(x) = 0 ln(x) = e = x x = e ( Completar el par ordenado:, f ( )) ( e e =, ) e e RESPUESTA: La función tiene un extremo relativo en el punto (, ) e e

158 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación El teorema de Rolle Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ]a, b[. Si f(a) = f(b) entonces existe al menos un número c en ]a, b[ tal que f (c) = 0 Observe que el teorema asegura la existencia de al menos un extremo relativo en el intervalo abierto ]a, b[, por lo que debe considerarse que también puede haber funciones en la que los extremos podrían ser dos o más. COROLARIO DEL TEOREMA DE ROLLE Sea f continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si f(a) = f(b), entonces f tiene algún número crítico en el intervalo abierto ]a, b[. Note que el corolario anterior se obtiene al suprimir el requisito de derivabilidad en el teorema de Rolle, f tendrá todavía un número crítico en ]a, b[ pero no tendrá necesariamente tangente horizontal.

159 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 58 Aplicaciones del teorema de Rolle Ejemplo : x + si Considere la función dada por g(x) = x <. 5 (x ) si x 4. Demuestre que g satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo [, 4] y escriba a partir de eso lo que concluye dicho teorema para a función g en ese intervalo.. Determine el valor (o valores) cuya existencia garantiza el teorema. SOLUCIÓN:. Vericamos que g satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en [, 4] : I. g es continua en [, 4] : En los intervalos [, [ y ], 4] la función es continua por ser polinómica. Se verica la continuidad en x = : i. g() = 4 [ ii. lím g(x) = lím + ) = 4 = lím 5 (x ) ] = lím x x (x g(x) x + x + lím g(x) = 4 x iii. lím x g(x) = g() = 4 g es continua en x = y en [, 4]. II. g es derivable en ], 4[ : En el intervalo ], [ la derivada está dada por g (x) = la cual está bien denida para todo x ], [ y en el intervalo ], 4[ la derivada está dada por g (x) = x + 4 la cual está bien denida para todo x ], [. Se analiza la derivabilidad en x = calculando las derivadas laterales: g () = = g +() g es derivable en ], 4[ y su derivada esta dada por: si g (x) = < x <. x + 4 si x < 4 III. g ( ) = = g(4) c ], 4[ al que g (c) = 0 b. Cálculo de c: En el intervalo ], [ la derivada está dada por la constante g (x) = por lo cual no se vuelve cero, entonces el valor de c está en el intervalo [, 4[ en el cual la derivada está dada por g (x) = x + 4 y el valor que la vuelve cero se obtiene al despejar g (c) = 0 es decir, c + 4 = 0 con lo que se obtiene que c =.

160 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 59 Ejemplo : Considere la función dada por f(x) = x 4x +. Si b R + es una constante tal que f satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo [0, b], determine: a. El valor de b. b. El valor (o valores) cuya existencia garantiza el teorema. SOLUCIÓN: Primero, se debe deducir que como la función es polinómica entonces cumple la hipótesis de ser continua en [0, b] y derivable en ]0, b[ independientemente del valor de b, y por lo tanto, para que se cumplan todas las hipótesis del teorema entonces lo que falta es que cumpla la tercer hipótesis, a saber, f(0) = f(b). A partir de lo anterior, planteamos y resolvemos la ecuación resultante. = b 4b + 0 = b(b 4) 0 = b(b + )(b ) b = 0 b = b = Se descartan los que no cumplen b > 0, por lo tanto b =. RESPUESTA/ b = El valor (o valores) cuya existencia garantiza el teorema. SOLUCIÓN: Si para b = se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle, entonces dicho teorema concluye que existe c ]0, [ tal que f (c) = 0. Calculamos la derivada: f (x) = x 4 Evaluamos c en la derivada e igualamos a cero la derivada para despejar el valor de c. f (c) = 0 c 4 = 0 4 c = ± c = Se descarta c = porque no pertenece al intervalo. c = RESPUESTA/ c =

161 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 60 PRÁCTICA 7 () Hallar las dos intersecciones con el eje x de la gráca de f(x) = x 4 +x x 4x 4 y probar que f (x) = 0 en algún punto x = c entre ellas. () Sea f(x) = x 4 x. Pruebe que f tiene extremos relativos en el intervalo ], [. Hallar todos los números c en el intervalo ], [ tal que f (c) = 0. () Verique que la función f(x) = cos(x) satisface las tres hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, π]. Luego encuentre los números c que satisfacen el teorema de Rolle. (4) Sea f(x) = x. Demuestre que f( ) = f(), pero no hay ningún punto tal que f (x) = 0. Conteste y justique lo siguiente: ¾Por qué esto no contradice el teorema de Rolle?. (5) Demuestre que la ecuación x 7 + 5x + x 6 = 0 tiene exactamente una solución real. (6) Considere una función f : [a, b] R. tal que f es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Si f (x) 0 x ]a, b[. Demuestre que f es inyectiva. RESPUESTAS: () I Parte (intersecciones con el eje X): (, 0) y (, 0) II Parte (existencia de c): Demostración completa () I Parte (existencia): Demostración completa II Parte (cálculo de c): c = 0, c =, c = ()I Parte (existencia): Demostración completa II Parte (cálculo de c): c = π (4) I Parte (no existencia de c): Demostración completa II Parte: No hay contradicción con el Teorema de Rolle porque f no satisface la hipótesis de derivabilidad en el intervalo ], [ ya que f se indene para x = 0. (5)Demostración completa (6)Demostración completa

162 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6.8. El Teorema del Valor Medio Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ]a, b[, existe algún número c en ]a, b[ tal que f f(b) f(a) (c) = b a El nombre de este teorema (medio) se reere a la razón media(promedio) de cambio de f en el intervalo [a, b]. Este teorema tiene implicaciones en todas las interpretaciones de la derivada. Geométricamente, garantiza la existencia de una recta tangente que es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) Pendiente de la tangente paralela m t = f (c) f(b) f(a) Pendiente de la secante m s = b a Como son paralelas f f(b) f(a) (c) = b a NOTA: Un enunciado alternativo para el Teorema del Valor Medio es: Si f es continua en [ a, b ] y derivable en ] a, b [, existe c en ] a, b [ tal que f(b) = f(a) + (b a) f (c) COROLARIO DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO Si f (x) = g (x) para todo x en un intervalo ] a, b [, entonces f g es una constante en ] a, b [ ; esto es, f(x) = g(x) + k; con k constante.

163 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 Aplicaciones del teorema del valor medio Ejemplo: Sea f una función continua en [0, ] y derivable en ]0, [. Si se cumple que f (x) = e x y f(0) = 0. Utilice el Teorema del Valor Medio para encontrar los valores reales a y b tales que a < f() < b. SOLUCIÓN: Por los datos dados en el enunciado, se tiene que f satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo [0, ], a saber: (i) f es continua en [0, ]. (ii) f es derivable en ]0, [. Entonces, existe c ]0, [ tal que f f() f(0) (c) = = f() 0 0 Así: f() = f (c) + 0 f() = e c + 0 Además como c ]0, [ 0 < c < 0 < c < e 0 < e c < e < e c < e Al sumar 0 a la desigualdad anterior se tiene que: < e c + 0 < e + 0 < f (c) + 0 < e + 0 < f () < e + 0 Respuesta: Los valores buscados son a = y b = e + 0 PRÁCTICA 8 () Dada f(x) = 5 4 pruebe que existe c en el intervalo ], 4[ tal que la tangente a la curva en el punto c sea x paralela a la secante a la curva en los puntos (, f()) y (4, f(4)), después de probar su existencia, calcule los valores de x = c. () Verique que la función f(x) = + x satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [, 9]. Luego encuentre los números c que satisfagan el teorema. () Suponga que la función f es derivable en [, ] con f( ) = y f() = 5. Demuestre que existe un punto sobre la gráca de f en el que la recta tangente es paralela con la recta con la ecuación x + y = 0. (4) La altura de un objeto t segundos después de haberse soltado desde 500 pies de altura es s(t) = 6t a. Hallar la velocidad media en los primeros tres segundos. b. Usar el teorema del valor medio para vericar que en algún instante en esos tres segundos de caída, la velocidad instantánea es igual a la velocidad media. ¾En qué instante ocurre eso?. (5) Si f (x) = c para todo x R, siendo c una constante, utilice el corolario del Teorema del Valor Medio para probar que f(x) = cx + d, para alguna constante d. RESPUESTAS: () I Parte (existencia de c): Demostración completa. II Parte (cálculo de c) : c = () I Parte (existencia de c): Demostración completa. II Parte (cálculo de c) : c = () Demostración completa. (4) (a) La velocidad media es de 48 pies/s (b) La velocidad instantánea es igual a la velocidad media en el instante t =,5s (5) Demostración completa.

164 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6.9. Otras aplicaciones de la derivada.9.. Análisis y gracación de funciones ANÁLISIS DE LA PRIMERA DERIVADA () Monotonía(Teorema): Si f es una función derivable en el intervalo ]a, b[ entonces: a) Si f (x) > 0 para todo x ]a, b[ f es creciente en ]a, b[. b) Si f (x) < 0 para todo x ]a, b[ f es decreciente en ]a, b[. c) Si f (x) = 0 para todo x ]a, b[ f es constante en ]a, b[. Por lo tanto, si f es continua en el intervalo ]a, b[; para hallar los intervalos abiertos en los que f es creciente o decreciente, es conveniente seguir estos pasos: - Localizar los números críticos de f en ]a, b[ los cuales delimitan los intervalos de prueba. - Determinar los signos de f en cada uno de esos intervalos. - Determinar la monotonía (creciente, decreciente o constante) para cada uno de los intervalos obtenidos. () Máximos y mínimos relativos.- Criterio de la primer derivada-(teorema): Si c es un punto crítico para f(x) en un intervalo abierto ]a, b[ y f es derivable, excepto quizá en c; f puede clasicar como sigue: a) Si f cambia de positiva a negativa en c (es decir, si f cambia de creciente a decreciente en c ), entonces f(c) es un máximo relativo de f. b) Si f cambia de negativa a positiva en c (es decir, si f cambia de decreciente a creciente en c ), entonces f(c) es un mínimo relativo de f. c) Si f no cambia de signo en c, f(c) no es ni mínimo ni máximo relativo. Ejemplos. ) Dada la función f(x) = x 6x + 9x +. (a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (b) Calcule los máximos y mínimos relativos de la función utilizando el criterio de la primer derivada. R/ f es creciente en ], [ y ], + [. f es decreciente en ], [. Hay un máximo relativo en el punto (, 5) y hay un mínimo relativo en (, )

165 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 64 )Dada la función { x 4, si x < f(x) = 8 x, si x (a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) (b) Calcule los máximos y mínimos relativos de la función utilizando el criterio de la primera derivada. R/ f es decreciente en ], 0[ y ], + [. f es creciente en ]0, [. Hay un máximo relativo en el punto (, 5) y hay un mínimo relativo en (0, 4)

166 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 65 () Determine a y b tales que la función denida por f(x) = x + ax + b tenga extremo relativo en P(,). R/ a =, b = 7. ANÁLISIS DE LA SEGUNDA DERIVADA Veamos primero unas grácas para recordar el concepto de concavidad y evitar confusiones con el concepto de monotonía.

167 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 66 Concavidad-criterio de la segunda derivada-(teorema): Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto ]a, b[, se cumple: a) Si f (x) > 0 para todo x ]a, b[ entonces la gráca de f es cóncava hacia arriba en ]a, b[. b) Si f (x) < 0 para todo x ]a, b[ entonces la gráca de f es cóncava hacia abajo en ]a, b[. NOTA: Si f (x) = 0 para todo x ]a, b[ significa que f es una función lineal (la cual no es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo). Puntos de inexión(denición) Si la concavidad de la función f cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo (o viceversa) en el punto (c, f(c)) decimos que este es un PUNTO DE INFLEXIÓN. NOTA: Como los puntos de inexión ocurren donde la concavidad cambia de sentido, debe suceder que en ellos f cambia de signo. Así que para localizar posibles puntos de inexión necesitamos determinar los valores de x en los cuales se cumple: -)f (x) = 0 -)f (x) no está denida Ejemplo. Considere la función f(x) = x 6x + 9x + Determine los intervalos en que la gráca es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y los puntos de inexión. R/ f es cóncava hacia abajo en ], [ y cóncava hacia arriba en ], + [. Hay un punto de inexión en (, ).

168 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 67 ANÁLISIS Y GRAFICACION DE FUNCIONES POLINOMIALES PASOS PARA GRAFICAR FUNCIONES POLINOMIALES: - Calcular el dominio: D f = R - Encontrar las intersecciones con los ejes: a) Interseccion(es) con el eje X: Igualando la función a cero (y = f(x) = 0). b) Intersección con el eje Y: Sustituyendo x = 0. - Intervalos de Monotonía: Análisis de la primer derivada, máximos y mínimos. 4- Concavidad: Análisis de la segunda derivada, puntos de inexión. 5- Cuadro con resumen de los resultados obtenidos. 6- Construcción de la gráca. NOTA: Recuerde que en una función polinomial f(x) = a nx n + a n x n a x + a x + a 0., su comportamiento cuando x tiende a los innitos se puede deducir a partir de su grado (n) y su coeciente principal (a n) así:

169 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 68 ANÁLISIS Y GRAFICACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Recuerde que una función f es racional si tiene la forma f(x) = p(x) con p(x) y q(x) polinomios y q(x) 0. q(x) Así, el dominio de una función racional es todo el conjunto de los números reales excepto las restricciones (valores que hacen cero al polinomio denominador). Además recuerde que las funciones racionales pueden tener asíntotas, las cuales ya hemos aprendido a calcular. Recordemos como: Asíntotas de una función racional Una función racional puede presentar las siguientes asíntotas: a) Asíntotas horizontales de una función racional: Se hace el estudio de los limites lím f(x) = L lím f(x) = L x + x en cuyo caso la recta y = L es una asintota horinzontal. En el caso de que estos límites sean innitos, entonces no habrá asíntotas horinzontales, pero se obtiene el comportamiento de la función cuando x tiende a ± b) Asíntotas verticales de una función racional: Se debe estudiar el comportamiento de la función alrededor de los puntos en los que se indene la función. Si c indenne a f(x) calculamos los limites laterales para identicar las siguientes situaciones lím = x c f(x) lím = + x c f(x) lím = x c +f(x) lím = + x c +f(x) Así tendremos el comportamiento de la función alrededor de la asíntota vertical x = c c) Asíntotas oblicuas de una función racional: La gráca de una función racional (sin factores comunes) tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador excede exactamente en una unidad al grado del denominador. Los coecientes de la asíntota oblicua y = mx + b son: [ ] f(x) Pendiente: m = lím x ± x Intersección con el eje Y: b = lím [f(x) mx] x ± Otra manera para obtener la asíntota oblicua consiste en efectuar la división de los polinomios numerador y denominador para reescribir la fracción como la suma de un polinomio de grado dado por el cociente de la división (asintota oblicua)más otra función racional (residuo sobre divisor). Dividendo divisor = cociente + residuo divisor NOTA: Si una función racional tiene una asíntota oblícua no tiene asíntota horinzontales y viceversa.

170 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 69 Entonces, para gracar una función racional, aplicamos el siguiente procedimiento: PASOS PARA GRAFICAR FUNCIONES RACIONALES: - Calcular el dominio:d f = R -{restricciones} - Encontrar las intersecciones con los ejes: a) Interseccion(es) con el eje X: Igualando la función a cero. (y = f(x) = 0) b) Intersecciones con el eje Y: Sustituyendo x = 0 - Asíntotas: a) HORIZONTALES b) VERTICALES c) OBLICUAS 4- Intervalos de Monotonía: Análisis de la primera derivada, máximos y mínimos. 5- Concavidad: Análisis de la segunda derivada, puntos de inexión. 6- Cuadro con resumen de los resultados obtenidos. 7- Construcción de la gráca. EJEMPLOS: () Considere la función f : D R, denida por f(x) = x en su dominio máximo y sus derivadas (x ) f (x) = x + 4 (x ) y f 4x 0 (x) = (x ). 4 Haga el estudio de la función y construya la gráca.. Dominio e intersecciones con los ejes. RESPUESTA: Dominio: R {} Intersección con el eje Y: (0, ) Intersecciones con el eje X: (, 0) y (, 0)

171 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 70. Ecuaciones de todas las asíntotas (si las hay). RESPUESTA: Asíntota vertical: x = Asíntota horizontal: y = cuando x ± Asíntota oblicua: No hay.. Intervalos donde la función es creciente y decreciente. RESPUESTA: f es decreciente en los intervalos ], [ y ], + [ f es creciente en el intervalo ], [ 4. Los valores extremos relativos de la función. Mencionar los pares ordenados. RESPUESTA: f alcanza un máximo relativo en el punto (, ). 5. Intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. RESPUESTA: f es cóncava hacia abajo en los intervalos ], [ y ] [, 5 f es cóncava hacia arriba en el intervalo ] 5, + [ 6. Cuadro de variación. 7. Gráca.

172 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7 () Considere la siguiente función: Considere la siguiente función: f(x) = x + + x Como parte de la información para resolver el ejercicio, se le facilitan las primeras dos derivadas de la función f(x), a saber: f (x) = x f (x) = 4 x Efectúe el análisis completo de la misma y construya su gráca. RSPUESTAS:. Dominio de f. RESPUESTA: R {0}. Intersecciones con los ejes. RESPUESTA: Eje X: (, 0) Eje Y: NO HAY.. Asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de f. (Nota: Debe justicar cada asíntota, incluso en el caso de que la función no tenga alguno de los tres tipos de asíntotas). RESPUESTAS: Verticales: x = 0 porque al evaluar el límite es innito (indenición 4 0 ) Horizontales: No hay, porque lím f(x) = + y lím f(x) = x + x Oblicuas: Si hay, porque es una función racional en la que el grado del numerador excede en una unidad el grado del denominador. Su ecuación es y = x + (la cual se puede obtener mediante la división de polinomios o por medio de fórmulas para m y b). 4. Intervalos de monotonía y los máximos y mínimos relativos. RESPUESTA: NOTA: Debe aparecer el cuadro de signos de la primer derivada. f es creciente en ], [ y ], + [ f es decreciente en ], 0[ y ]0, [ f tiene un máximo relativo en (, 0) f tiene un mínimo relativo en (, 4)

173 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7 5. Intervalos de concavidad. RESPUESTA: NOTA: Debe aparecer el cuadro de signos de la segunda derivada. f es cóncava hacia abajo en ], 0[ y cóncava hacia arriba en ]0, + [ 6. Cuadro de variación de f RESPUESTA: 7. Gráca de f RESPUESTA:

174 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7 () Considere la siguiente función: f(x) = x (x ) Como parte de la información para resolver el ejercicio, se le facilitan las primeras dos derivadas de la función f(x), a saber: f (x) = x x f 6x (x) = (x ) (x ) 4 Efectúe el análisis completo de la misma y construya su gráca.. Dominio de f. RESPUESTA: R {}. Intersecciones con los ejes. RESPUESTA: Interseca ambos ejes en el origen (0, 0).. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f. (Nota: En caso de que la función no tenga alguno de los tres tipos de asíntotas, debe justicar por qué). RESPUESTA. i. Asíntota vertical. Sí hay y su ecuación es x =. Justicación: Porque al evaluar el límite lím f(x) x se genera la indenición (límites laterales innitos), lo que garantiza el comportamiento asíntótico 0 de la función cuando x. ii. Asíntota horizontal. No hay asíntotas horizontales. Justicación: Porque lím f(x) = lím x = + y lím x + x + (x ) f(x) = lím x x x (x ) =. iii. Asíntota oblicua. Si hay. Su ecuación es y = x +. Justicación: Se garantiza la existencia porque es una función racional en la que el grado del polinomio numerador excede en una unidad el grado del denominador. Por ser una función racional el cálculo de la ecuación, se puede efectuar la división de polinomios x (x x + ) o si lo preere calcular los coeciente de la asíntota mediante los siguientes límites: x f(x) m = lím x x = lím (x ) x x [ b = lím [f(x) mx] = lím x x x x x + x 4. Intervalos de monotonía y los máximos y mínimos relativos. RESPUESTA: f es creciente en ], [ y ], + [. f es decreciente en ], [. Hay un mínimo relativo en (, ) 7 4. = lím x ] = lím x x x x + = [ x x + x x x x + ] = 5. Intervalos de concavidad y puntos de inexión. RESPUESTA: f es cóncava hacia abajo en ], 0[. f es cóncava hacia arriba en ]0, [ y ], + [. Hay un punto de inexión en (0, 0).

175 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Cuadro de variación de f. 7. Gráca de f RESPUESTA:

176 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 75 PRÁCTICA 9. Encontrar los máximos y mínimos de las siguientes funciones. (a) f(x) = 8x 5 5x 4 0x (b) f(x) = x + 48 x (c) f(x) = x4 + x (d) f(x) = Respuestas/ (x )( x) x ( ()(a), 5 ) mínimo relativo (, 7) máximo relativo aunque x = 0 es número crítico el punto (0, 0) 6 no es máximo ni mínimo. (b)(, ) máximo relativo (, )mínimo relativo (c)(, ) mínimo relativo (, )mínimo relativo (d)(, 0) máximo relativo. Encontrar los puntos de inexión de la función. f(x) = x 4 0x x x + 5 Respuesta/ Puntos de inexión (, 488 ) (, 89) 7. Efectúe el análisis y construya la gráca de las siguientes funciones. a) f(x) = (x ) (x + ) DERIVADAS: f (x) = x f (x) = 6x b) y = x 4 6x DERIVADAS: y = 4x x y = x c) y = x x d) f(x) = x x e) f(x) = x + x + x x + DERIVADAS: y = x y = 6x + (x ) (x ) DERIVADAS: f (x) = x x f (x) = (x ) (x ) DERIVADAS: f (x) = x 5 f 4 x (x) = (x ) (x ) 4

177 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 76 Respuestas de la parte /: Se omite el análisis. Sólo se le dala gráca: (a) (b)

178 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 77 (c) (d)

179 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 78 (e) 4. Considere la función f(x) = x(x 4) cuyas derivadas son: (x ) f (x) = x (x ) f (x) = x 5 (x ) 4 Efectúe el análisis completo de la misma y construya su gráca. Debe incluir los siguientes aspectos:dominio de f, intersecciones con los ejes, asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de f. (Nota: En caso de que la función no tenga alguno de los tres tipos de asíntotas, debe justicar por qué), Intervalos de monotonía y los máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y puntos de inexión, cuadro de variación de f, gráca de f. R/ La gráca de f es:

180 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Considere la función racional f(x) que satisface las siguientes condiciones: a) El dominio de f es R {} y lím f(x) = y lím x b) f (x) > 0 en los intervalos ], 0[ y ], + [. c) f (x) < 0 en los intervalos ]0, [ y ], [. f(x) = +. x + d) f (x) < 0 en el intervalo ], [ y f (x) > 0 en el intervalo ], + [. e) lím f(x) = y lím x f(x) = +. x + f(x) f ) lím x x = y lím (f(x) x) =. x g) f(0) = 0, f() = 4 y f (0) = f () = 0. A partir de la información anterior, determine cuáles son las asíntotas lineales de f(x), elabore el cuadro de variación de la función y construya su gráca. R/ Asíntota vertical x =, NO hay asintota horizontal, Asíntota oblicua y = x +. La gráca de f es: 6. Considere la funcióng(x) = x 4 x cuyas derivadas aparecen a continuación: g (x) = x + 8 x a) Diga cuál es el dominio y encuentre los puntos críticos de g(x). g (x) = 4 x 4 b) Determine en qué intervalo es creciente y en cuáles es decreciente la función g(x). c) Clasique los extremos relativos de g(x): Justique su respuesta. R/ (a) Dominio: R {0} Números críticos x = 0, x = (b)creciente: ], [ y ]0, + [ decreciente: ], 0[ (c)máximo relativo:(, ) pues g ( ) < 0.

181 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Considere la función f(x) = x +. Para responder las siguientes preguntas puede usar el hecho que x + f (x) = ( + x) y f (x) = (x + ). Haga el estudio completo de la función f(x) que incluya: Dominio, intersecciones con los ejes y puntos críticos de f(x), sentido de crecimiento, concavidad y clasicación de los extremos relativos de f(x), cálculo(si existen)de asintotas verticales, horizontales o inclinadas u oblicuas, cuadro de variación y el gráco de f(x). R/ La gráca de f es: 8. Considere la función f(x) = x x. Para responder esta pregunta puede utilizar, sin calculadora, las dos (x + ) primeras derivadas de la función f(x) que aparecen a continuación: f 9(x ) (x) = f 8( x) (x) = (x + ) (x + ) 4 Haga el estudio completo de la función f(x) que incluya: Dominio, intersecciones con los ejes y puntos críticos de f(x), sentido de crecimiento, concavidad y clasicación de los extremos relativos de f(x), cálculo(si existen)de asíntotas verticales, horizontales o inclinadas u oblicuas, cuadro de variación y el gráco de f(x). R/ La gráca de f es:

182 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8 9. Considere la función: f(x) = x + x x Para responder esta pregunta puede utilizar la siguiente información sobre la derivada, sin necesidad de vericarla: f (x) > 0 en los intervalos ], 0[ y ], + [ f (x) < 0 en los intervalos ]0,[ y ],[. f (0) = 0 f () = 0. f (x) > 0 en el intervalo ], + [ f (x) < 0 en el intervalo ], [ Determine lo siguiente: a) Encuentre el dominio de f(x) y calcule las asíntotas verticales, horizontales o inclinadas de la función, si éstas existen. b) Encuentre los puntos donde el gráco de f(x) corta los ejes de coordenadas. c) Haga el cuadro de variación de f(x) y dibuje la gráca de la función. R/ d) Identique los extremos relativos de la función. Justique su respuesta. a) Dominio: R {}. Asíntota vertical x =, Horizontal: No hay. Oblicua: y = x +. b) x : ( 5 ), 0 y ( + 5 ), 0 y : (0, ) c) Cuadro de variación: Gráca:

183 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8 d) Máximo relativo (0,) pues f cambia de creciente a decreciente en ese punto. Mínimo reltativo (,5)pues f cambia de decreciente a creciente en ese punto. 0. Denimos la función f(x) por: f(x) = x + 4. Haga el estudio completo de la función f(x) que incluya el x dominio, el sentido de crecimiento, la concavidad, las asíntotas, los puntos donde el gráco interseca los ejes y el cuadro de variación. Dibuje el gráco de la función f(x). Puede utilizar, sin calculadora, las dos siguientes derivadas de la función f(x) que aparece a continuación: R/ La gráca de f(x) es: f (x) = x 4 x f (x) = 4 x

184 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8. Denimos la función porf(x) = x x Haga el estudio completo de la función f(x) que incluya el x dominio, el sentido de crecimiento, la concavidad, las asíntotas, los puntos donde el gráco interseca los ejes y el cuadro de variación. Dibuje el gráco de la función f(x). Puede utilizar, sin calculadora, las dos primeras derivadas de la función f(x) que aparecen a continuación R/ La gráca de f(x) es: f (x) = x + x f (x) = 6 x. A continuación se le da la gráca de la primer derivada de la función f, es decir, la gráca correspondiente a f. A partir de la información en ella, identique los intervalos de monotonía y concavidad de la función f. R/ Monotonía: f es creciente en ], 0[ y ], + [. f es decreciente en ], [ y ]0, [ Concavidad: f es cóncava hacia arriba en ], [ y ] 5 ], [. 5 5, + [. f es cóncava hacia abajo en 5

185 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 84 ANÁLISIS Y GRAFICACIÓN DE FUNCIONES RADICALES Para gracar otros tipos de funciones se utiliza el mismo procedimiento que el estudiado para funciones racionales: PASOS PARA GRAFICAR FUNCIONES RADICALES: - Calcular el dominio:en este caso hay que calcular en dominio máximo de la función, tomando en cuenta la paridad del índice. - Encontrar las intersecciones con los ejes: a) Interseccion(es) con el eje X: Igualando la función a cero. (y = f(x) = 0) b) Intersecciones con el eje Y: Sustituyendo x = 0 - Asíntotas: a) HORIZONTALES b) VERTICALES c) OBLICUAS 4- Intervalos de Monotonía: Análisis de la primera derivada, máximos y mínimos. 5- Concavidad: Análisis de la segunda derivada, puntos de inexión. 6- Cuadro con resumen de los resultados obtenidos. 7- Construcción de la gráca. Además, hay que tomar en cuenta que ciertos aspectos relacionados con las asíntotas, que se tomaban en cuenta con las funciones racionales, varían un poco cuando se trabaja con funciones radicales. Por ejemplo, para calcular las asíntotas oblicuas no se puede utilizar la división de polinomios, ya que no se trata de una función racional. Por otra parte, para justicar la existencia o no de ese tipo de asíntotas, ya no se puede utilizar la comparación de grados. En ambos casos, se deben calcular los límites y, si existen, entonces hay asíntota oblicua: ( ) f(x). lím = m x x. lím (f(x) mx) = b x

186 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 85 PRÁCTICA 0 Efectúe el análisis completo y a partir de él, construya la gráca de las siguientes funciones. En cada caso, se le dan las derivadas de cada función.. f(x) = (x + ) (x ) 4 Derivadas: f x (x) = f x (x) = (x + )(x ) (x + ) 4 (x ) 4. f(x) = x x + Derivadas: f (x) = ( ) / f (x) = x (x + ) x + 4 x 9(x + ) 4 ( x x + ) 5/. f(x) = x x x x( 4x) Derivadas: f (x) = x f (x) = x(8x x + ) 4(x( x)) / RESPUESTAS:.

187 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 86..

188 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Formas indeterminadas y la Regla de L'Hôpital Regla de L'Hôpital(Teorema): Suponga que f y g son funciones derivables y que g (x) 0 en un intervalo abierto I que contiene a a (excepto quizás en a). Suponga que Entonces: lím f(x) = 0 y x a o que lím f(x) = ± y lím x a lím g(x) = 0 x a g(x) = ± x a (En otras palabras, el límite tiene la forma indeterminada 0 0 o ) f(x) lím x a g(x) = lím f (x) x a g (x) Suponiendo que este último límite exista o sea innito (+ o ) NOTAS:. La Regla de L'Hôpital arma que el límite del cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas, siempre que se satisfagan las condiciones (hipótesis) del teorema. Es por eso, que antes de aplicar la Regla de L'Hôpital, debe vericar las condiciones referentes a los límites de f y g.. La Regla de L'Hôpital también aplica para el caso de los límites laterales y los límites al innito, es decir, el teorema también se puede aplicar cuando x a, x a +, x o x +.. ( Observe que) la Regla de L'Hôpital involucra el límite del cociente o división de las derivadas de f y de g f (x) lím, NO se reere de ninguna manera a la derivada de la división de las funciones f y g que es x a g (x) ( ( ) ) f(x) otra cosa lím. x a g(x) 4. En ocasiones, un límite no genera las indeterminaciones 0 0 o y, en lugar de ellas, se genera algún otro tipo de indeterminación, tal como 0,,0 0, o 0. En esos casos se busca reescribir la función para obtener alguna de las indeterminaciones requeridas y así poder usar la Regla de L'Hôpital.

189 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 88 EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA 0 0. Calcule los siguientes límites:. lím x x x + 4 x SOLUCIÓN: El límite es de la forma 0 por lo que el mismo cumple con la hipótesis de la Regla de L'Hôpital 0 y por lo tanto se puede seguir este procedimiento: lím x x x + 4 x = lím x = lím + (x ) /4 x 4 x 4 () /4 = lím + x + = 4. lím x 0 e x x R/. lím x ln(x) x R/ 4. lím x 0 tan(x) x x R/

190 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 89 EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA. Calcule los siguientes límites: ln(x). lím x + x R/ 0 e x. lím R/ + x + x ln(x). lím x + R/ 0 x

191 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 90 EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA 0. Calcule los siguientes límites:. lím x + e x x R/ 0. lím x ln(x) R/ 0 x 0 + (. lím x cos ( ) x + x e 5/x) R/ 5

192 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9 EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA. Calcule los siguientes límites:. Calcule el siguiente límite: SOLUCIÓN: ( lím x 0 + e x ) x Note que cuando x 0 + el límite tiene la forma indeterminada. No se puede aplicar L Hôpital hasta que el límite sea de la forma indeterminada 0 o. Para ello se debe efectuar la resta. Se debe indicar 0 si se cumple la hipótesis de Regla, indicando la indeterminación obtenida en el paso correspondiente: ( lím x 0 + e x ) = [forma: aún no se puede aplicar L'Hôpital] x ( ) x e x + = lím x 0 + x(e x ) ( ) [ ] x e x + 0 = lím forma: se puede aplicar L'Hôpital x 0 + xe x x 0 ( ) [ ] e x 0 = lím forma: se puede aplicar L'Hôpital x 0 + e x + xe x 0 ( ) e x = lím x 0 + e x + e x + xe x =. lím (sec(x) tan(x)) R/ 0 x ( π ) (. lím x + ln(x) ) x R/

193 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9 EJEMPLOS DE LÍMITES DE LA FORMA o 0 0 o 0. Calcule los siguientes límites: [ ( )] x. lím cos x + x SOLUCIÓN: El límite es de la forma. Llamemos k al resultado del límite: lím x + ln [ lím x + lím x + [ ( lím cos x + x lím x + [ cos ( x )] x = k )] x ] = ln(k) [ [ ( )] ] x ln cos = ln(k) x [ [ ( )]] x ln cos = ln(k) [forma: 0 aún no se puede aplicar L'Hôpital] x [ [ ( ln cos )] ] x = ln(k) [forma: 00 ] ya se puede aplicar L'Hôpital lím x + x [cos( x )] sen ( ) x lím x + lím x + lím x + x x = ln(k) [ x sen ( ) ] x x cos ( ) = ln(k) x [ ( sen ) ] x ( ) ( x cos ) = ln(k) x [ ( sen ) ] x ( ) cos ( ) = ln(k) x x [ lím cos x + = ln(k) = ln(k) k = e ( )] x = x e

194 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9 (. lím + ) x R/ e x + x. lím x 0 + xx R/

195 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación lím x 0 +( + sen(4x))cot(x) R/ e 4 5. Determine el valor de a para el cual se cumple la igualdad: lím x + ( ) x x + a = e x a SOLUCIÓN: Note que cuando x + el límite tiene la forma indeterminada. No se puede aplicar L Hôpital hasta que el límite sea de la forma indeterminada 0 o. Para ello se debe aplicar la función 0 inyectiva logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad, para aplicar propiedades de los logaritmos y propiedades de las funciones continuas para calcular el límite y luego despejar el valor de a. Se debe indicar si se cumple la hipótesis de Regla, indicando la indeterminación obtenida en el paso correspondiente: [ ( ) x ] x + a ln lím = ln[e] x + x a [ ( ) x ] x + a lím ln = x + x a [ ( )] x + a [forma: 0] lím x ln = x + x a ( ) x + a [forma: 00 ] se puede aplicar Regla de L'Hôpital ln lím x a x + = x lím x + (x+a) (x a) (x a) (x+a) (x a) x lím x + lím x + [ a x a x [ ax x a = ] ] = = a = a =

196 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 95 I PARTE. Calcule los siguientes límites: PRÁCTICA (ln(x)). lím x x. lím x k. lím x k x k e x x + x 4. lím x + ( ln(x) x ) R/0 R/ k R/+ 5. lím x +(x )ln(x) R/ e x x 6. lím x 0 x R/ cos(x) 7. lím x 0 x R/ 8. lím x + x e x R/ 0 9. lím ( x) /x R/ x 0 e ) bx R/ e ab 0. lím x + ( + a x. lím x 0 +(tan(x))x R/. lím x + (ln(x))/x R/ x + sen(x). lím R/ x 0 x sen(x) ( 8 4. lím x x 4 x ) R/ x ( 5. lím e x x ) R/0 x + 6. lím x 0 7. lím x + 8. lím x 0 e x x sen(x) ( x sen ( x )) ( x ln ( + x) 9. lím csc (πx) ln(x) x 4 x 0. lím x x ) R/ R/6 R/ R/ R/ π R/

197 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 96 II PARTE. Ahora que ha practicado la Regla de L Hôpital, es posible utilizarla en algunos de los pasos de grafcación de algunas funciones que no habíamos podido analizar, por no contar con esa herramienta para el cálculo de ciertos límites. Resuelva los siguientes ejercicios.. Considere la función f :]0, + [ R dada por f(x) = x ln(x), cuyas derivadas se pueden expresar de la siguiente forma: f (x) = x( + ln(x)) y f (x) = ln(x) +. a) Calcule las intersecciones con los ejes ordenados. En caso de que no exista justique por qué. b) Verique que lím f(x) = 0. x 0 + c) Verique que lím f(x) = +. x + f(x) d) Verique que lím x + x = +. e) Justique la inexistencia de los tres tipos de asíntotas. f ) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Clasique los extremos relativos. g) Determine los intervalos en los que f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Calcule puntos de inexión. h) Elabore el cuadro resumen y construya la gráca de f.. Considere la función g : R R dada por g(x) = siguiente forma: g (x) = g(x) lím x x = +. (x )(x ) e x (x ), cuyas derivadas se pueden expresar de la e x y g (x) = (x )(x + ). Además considere que a) Calcule las intersecciones con los ejes ordenados. En caso de que no exista justique por qué. b) Verique que lím g(x) = +. x c) Verique que lím g(x) = 0. x + d) Determine las ecuaciones de las asíntotas existentes. Justique para los tipos de asíntota que no existan. e) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Clasique los extremos relativos. f ) Determine los intervalos en los que g es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Calcule puntos de inexión. g) Elabore el cuadro resumen y construya la gráca de g.. Considere la función h : R {0} R dada por h(x) = + xe /x, cuyas derivadas se pueden expresar de la siguiente forma: h (x) = e/x (x ) y h (x) = e/x. Además considere que la única intersección x x con el eje X se ubica entre y. e x a) Verique que lím h(x) = +. x 0 + b) Verique que lím h(x) =. x 0 h(x) c) Verique que lím x ± x =. d) Verique que lím (h(x) x) =. x ± e) Determine las ecuaciones de las asíntotas existentes. Justique para los tipos de asíntota que no existan. f ) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Clasique los extremos relativos. g) Determine los intervalos en los que h es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Calcule puntos de inexión. h) Elabore el cuadro resumen y construya la gráca de h.

198 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 97 RESPUESTAS/ No se brinda el análisis de cada una de los ejercicios. Sólo se da la gráca nal de cada una. (a) (b) (c)

199 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Problemas de optimización Sugerencias para plantear y resolver estos problemas:.hacer un dibujo representativo del problema. Asignar las variables necesarias de acuerdo con el enunciado..proponer la función a optimizar con base en la información del problema..si en la función intervienen varias variables es preciso establecer relaciones entre ellas para dejar una función en una variable. 4.Hallar el intervalo de factibilidad: Es determinar el dominio que tenga sentido con el enunciado del problema. 5.El problema de optimización queda reducido a calcular los extremos de la función. Ejemplo : Resuelva el siguiente problema, mediante el planteo y optimización de la función correpondiente. De todos los rectángulos cuya área es de 6 cm determine las dimensiones del rectángulo cuyo perímetro sea menor. Además determine dicho perímetro. SOLUCIÓN: Sea x la longitud del largo de cada rectángulo y y la medida del ancho de cada rectángulo. Sea P el perímetro de cada uno de los rectángulos. La función a optimizar es P = x + y. Utilizamos el dato del área para plantear una ecuación auxiliar, para expresar la función P en una sola variable. A = 6 xy = 6 y = 6 x Así tenemos que la función P se puede reescribir como una función de x ( x ]0, + [ ) así: P (x) = x + 6 x P (x) = x + x P (x) = x + x P (x) = 4x x (x + ) x P (x) = x x P (x) = (x 6) P (x) = x (x + 4)(x 4) x

200 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 99 El único número crítico en el dominio es x = 4 y se puede vericar que en ese valor se alcanza el perímietro mínimo, mediante el criterio de la segunda derivada: P (x) = 4x x (x ) x (x ) P (x) = 4x 4x + 64x x 4 P (x) = 64 x P (4) = 64 4 P (4) = P (4) = > 0 Por tanto, en x = 4 se alcanza el perímetro mínimo. También se puede vericar lo anterior, mediante el cuadro de signos de la primer derivada: RESPUESTAS/ Entonces las dimensiones para que el perímetro sea mínimo son x = 4 metros y y = 6 4 = 4 metros. Además el perímetro mínimo será P (4) = 6 metros.

201 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 00 Ejemplo : Resuelva el siguiente problema mediante el planteo y optimización de una función adecuada. Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero (tal como muestra la gura). El perímetro de la ventana es de metros. Determine cuál debe ser la longitud del lado del triángulo para que la ventana tenga el área máxima. (NOTA: El área de un triángulo equilátero cuyo lado mide x corresponde a x 4 ) SOLUCIÓN: Las variables x y y ya vienen dadas por la gura. Denimos A como el área total de la ventana (que es lo que se quiere maximizar)y está dada por: A = x 4 + xy Pero para que quede en una variable requerimos de la ecuación auxiliar dada por el dato del perímetro de la ventana, a saber: P = y + x = y + x x = y x = y Al sustituir lo anterior en la función de área obtenemos: Derivando obtenemos que: A (x) = x + x A(x) = x + x ( ) x 4, (con dominio ]0, [ para que tenga sentido el problema) Simplicando se tiene que A(x) = x + x x 4 Lo que es equivalente a A (x) = x + 6x

202 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0 Se procede a calcular los números críticos: Ceros de f : x + 6x = 0 x 6x = ( ) x 6 = x = 6 0, 70 No hay restricciones para f. Luego, el único número crítico en el dominio es x =. Faltaría vericar si en 6 ( ) efecto es un máximo, lo que se puede hacer utilizando la segunda derivada(*): A 6 =, ( ) Al ser A 6 < 0 se cumple que en x = se obtiene el máximo para la función de área (que es lo que 6 se quería). RESPUESTA: Para que el área de la ventana sea máxima, el lado del triángulo debe medir 6 metros. (*) NOTA: En lugar de utilizar el criterio de la segunda derivada se puede elaborar un cuadro de signos para f :

203 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0 - Para resolver algunos problemas de optimización se debe aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos cuyas coordenadas son (x, y ) y (x, y ), a saber d = (y y ) + (x x ), que surge del teorema de Pitágoras y que repasamos amediante la gura adjunta: - Ejemplo : Mediante el planteo y optimización de una función adecuada, determine la coordenada (z, t) del punto perteneciente a la recta 6x + y = 9, más cercano al punto (, ). SOLUCIÓN: Plantear la función a minimizar, utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos del plano: d = (t ) + (z + ). Se plantea una ecuación auxiliar, utilizando el hecho de que el punto (z, t) pertenece a la recta y = 9 6x: Ecuación auxiliar: t = 9 6z Se sustituye en la función original, se simplica y deriva la función de distancia. d(z) = (9 6z ) + (z + ), d(z) = (8 6z) + (z + ).d(z) = 64 96z + 6z + z + 6z + 9 d(z) = 7z 90z + 7 d (z) = (74z 90) 7z 90z + 7 d (7z 45) (z) = 7z 90z + 7 dominio: R Se identica el único número crítico: x = 45 y se comprueba que el número crítico es en efecto un mínimo. Se 7 puede hacer con un cuadro de signos o con el criterio de la seguda derivada. Cuadro: O en lugar del cuadro se puede calcular f 676 (x) = y evaluar f ( ) 45 (7z 90z+7) / 7 8, 65 > 0, con lo que se verica que en el número crítico la distancia se minimiza. Se utiliza la ecuación auxiliar para calcular t = = 6 y así completar el par ordenado ( 45, ) RESPUESTA/ El punto sobre la recta 6x + y = 9, más cercano al punto (, ) es ( 45 7, 6 7 ).

204 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0 Ejemplo 4: Sea P = (, 0). Determine el punto Q = (x, y) en la gráca de la curva y = x x, tal que la distancia de P a Q sea mínima. SOLUCIÓN: Queremos minimizar la distancia entre el punto exterior P (, 0) y el punto Q(x, y) pertneciente a la curva dada por y = x x. Por conveniencia y para diferenciar los valores de las coordenadas del punto Q sobre la curva de las variables dependiente e indpendiente de la función dada, renombraremos las coordenadas del punto Q como Q(z, t). Así como el punto Q pertenece a la curva dada por y = x x, se tiene la siguiente: ECUACIÓN AUXILIAR: t = z z Utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos que: d = (t 0) + (z ) d = t + (z ) d(z) = (z z) + (z ) d(z) = z 4 z + z + z 6z + 9 d(z) = z 4 z + z 6z + 9 d (z) = z 4 z + z 6z + 9 (4z 6z + 4z 6) d (z) = z 4 z + z 6z + 9 (z )(z + ) d (z) = (z )(z + ) z4 z + z 6z + 9 Respuesta/ El punto Q sobre la curva y = x x más cercano al punto P (, 0) es Q (, 4 ).

205 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 04 PRÁCTICA ) Hallar dos números enteros positivos tal que el producto es 9 y la suma del primero más tres veces el segundo es mínima. ) Una empresa requiere mejorar el proceso productivo. Una de sus primeras tareas es mejorar unos corrales donde se tienen cerdos en una nca de producción; por lo tanto, se le encarga construir dos corrales rectangulares adyacentes entre sí, aprovechando el largo de la nca, la cual ya tiene cerca (se forma una E con estos corrales). Los materiales para el lado paralelo a la valla cuestan c400, 00 colones el metro y los materiales de los lados perpendiculares cuestan c000, 00 colones el metro. Si sólo dispone de c600000, 00 colones para construir las cercas. Determine las dimensiones para que el área total sea lo más grande posible. ) Hay que diseñar un cilindro circular recto para un jugo natural de frutas, el cual debe contener pulgadas cúbicas ( aprox. onzas); por lo tanto, se desea que gaste la mínima cantidad de material para este envase. Ante esta situación, encuentre las dimensiones para satisfacer el requerimiento solicitado. 4) Se requiere diseñar un cilindro circular recto para contener un volumen de 50ml(ml = cm ). Si el costo del material del fondo y de la tapa es de c0, 5colones/cm y del área lateral es c0, 5colones/cm. (a) Cuáles son las dimensiones del recipiente que minimizan el costo del envase cilíndrico? (b) Si se mantiene el diámetro del envase enconstrado en el punto anterior y si el volumen se cambia a 47 ml, ¾cuál es el incremento de costo del recipiente? 5) Se tiene un cable de 4 metros de largo para construir un círculo y un cuadrado. ¾Cómo debe distribuirse el cable entre las dos guras para maximizar la suma de las áreas generadas? 6) Una granja avícola tiene que realizar dos nuevos corrales, para lo cual ha comprado 00 metros de malla ciclón. Se pretende que los carrales sean idénticos y estén adyacentes con la nalidad de ahorrarse una pared o costado de corral. ¾Cuáles deben ser las dimensiones aproximadas de cada corral para que se tengan los corrales de máxima área posible? 7) Cada página de un libro debe contener 0pulg de impresión y cada página debe tener un margen de pulgadas en la parte superior e inferior, y márgenes de una pulgada a cada lado. ¾Cuáles son las dimensiones de la página que permiten obtener el área mínima de la misma? 8) Dos postes del tendido eléctrico de y 8 metros de altura, están en la misma dirección y separados entre sí por una distancia de 0 metros. Desea colocarse un cable de acero jado en un único punto en el suelo, entre las puntas de ambos postes (ver dibujo).¾en qué punto del suelo hay que jar el cable para usar la mínima cantidad de cable? (Sugerencia: Denote D la longitud del cable. Use Y, Z para las hipotenusas de los tringulos rectangulares y X para la distancia desde la base del poste más pequeño al punto intermedio en el suelo).

206 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 05 9) Determine el punto (x,y) de la recta x + y = más cercano al punto (,). 0) Se forma un sólido uniendo dos semiesferas a las bases de un cilindro circular recto. El volumen total del sólido es de cm. Hallar el radio de la base del cilindro que produce el área mínima de la supercie del sólido. ) Calcular las coordenadas del punto P de la curva y = x más próximo al punto A(,0). ) Calcular el radio y la altura de los cilindros de volumen máximo y mínimo que pueden incribirse en un cono de 6cm de radio y cm de altura. RESPUESTAS ()Los números son 4 y 8. ()Dimensiones: ancho= 50cm, largo= 5m ()Dimensiones: r= (aprox,58 pulg.) h= pulgadas (aprox,04 pulg.) π π 75 (4) (a) Dimensiones: 75 pulgadas (aprox.,0 pulg.) h=4 pulgadas (aprox., pulg.) π π (4) (b)el incremento del costo del recipiente es de c0,. (5) Sólo se debe construir el círculo. (6)Las dimensiones deben ser,5m x6,67m en cada corral. (7) Dimensiones: Largo:4 + 60pulg. Altura + 5pulg. (8) Hay que jarlo a 9m de la base del poste de menor altura. (9) (,) 9 (0)r= cm (aprox,,4 cm) π ()(,) () Dimensiones de (a) cilindro de volumen mínimo:r=0cm, h=cm(caso limite) cilindro de volumen máximo: r=4cm,h=4cm.

207 Capítulo Integrales.. La integral indenida Hasta ahora, en nuestro estudio del cálculo, nos hemos interesado en este problema: dada una función F hallar su derivada F. No obstante, muchas aplicaciones importantes del Cálculo están relacionadas con el problema inverso: dada la derivada F encontrar la función F. Por ejemplo considere la función F cuya derivada es: F (x) = x Una solución al problema anterior será F (x) = x, porque d dx [x ] = x. Por lo tanto llamaremos a F una antiderivada o primitiva para F. Por conveniencia usaremos f(x) = F (x) para expresar que F (x) es una antiderivada de f(x). Así, x es una antiderivada para x. Decimos unaantiderivada y no la antiderivada, pues en realidad x + C, con C cualquier constante, es una antiderivada para f(x). DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA Se llama a una función F una antiderivada (o primitiva) de la función f, si para todo x del dominio de f se cumple F (x) = f(x) Ahora bien, si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces F (x) + C, con C constante, también es una antiderivada para todo x en I. Por ejemplo, para f(x) = x, podemos representar la familia de todas las antiderivadas mediante la suma de una constante C así, F (x) = x + C NOTACIÓN PARA ANTIDERIVADAS Si y = F (x) es una antiderivada de f, entonces se dice que F (x) es una solución de la ecuación: dy dx = f(x) Cuando se resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribir la forma diferencial equivalente dy = f(x)dx La operación de encontrar todas las soluciones (la antiderivada general de f)de esta ecuación se denomina integración y se denota por el símbolo. La solución general de la ecuación dy = f(x)dx se denota por y = f(x)dx = F (x) + C donde es el símbolo de la integral, f(x) es el integrando, F (x) es la antiderivada, C es contante de integración. Llamamos a f(x)dx la integral indenida de f respecto a x. Así pues, la diferencia dx sirve para identicar a x como la variable de integración. El término integral indenida es sinónimo de primitiva general. 06

208 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 07 EN RESUMEN: La notación f(x)dx = F (x) + C donde C es una constante arbitraria, signica que F es una primitiva o antiderivada def. Esto es, F (x) = f(x) para todo x en el dominio de f. La naturaleza inversa de la integración y la derivación se reeja en estas propiedades: ( ) d dx [f(x)] dx = f(x) + C d [ f(x)dx] = f(x) dx () () REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN 0dx = C(C constante) kdx = kx + C(k,C constantes) Ejemplos: dx = x + C edx = ex + C π dx = π x + C () x n dx = xn+ + C (para n ) n + Ejemplos: x dx = x4 4 + C x 7 dx = x8 8 + C x dx = x + C = x + C x 4 dx = x 4 dx = x + C = x + C Nota: Para el caso en que n = seintegra conla siguiente fórmula. x dx dx = x dx = = ln x +C x TEOREMA: () [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx () kf(x)dx = k f(x)dx

209 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 08 Ejemplo: Calculemos las siguientes integrales y comprobemos cada respuesta mediante derivación. () (x x + 5) dx = x dx ( ) x = + c = x + c x xdx + 5dx ( ) x + c + (5x + c ) (c, c y c constantes reales) c + 5x + c = x x + 5x + c c + c (denimos la constante real C = c c + c) = x x + 5x + C NOTA: Dado que las sumas y restas de constantes dan como resultado una constante, siempre podremos agrupar las constantes obtenidas a partir de las sumas y restas de integrales y dejar una sola constante (usualmente se denota como C). Así, en ejercicios como el anterior utilizaremos un método abreviado, tal y como se muestra a continuación: (x x + 5) dx = x dx xdx + 5dx = x x + 5x + C PRUEBA: ( ) d x dx x + 5x + C = x x + 5 () x dx = ( ) x x dx = + c = x + c (c constante real) = x + C (denimos la constante real C = c ) NOTA: Dado que producto de constantes da como resultado una constante, siempre podremos dejar una sola constante (usualmente se denota como C). Así, en ejercicios como el anterior utilizaremos un método abreviado, tal y como se muestra a continuación: x dx = x dx = x + C = x + C PRUEBA: d ( x + C ) = x dx

210 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 09 () NOTA: A partir de los siguientes ejemplos usaremos el método abreviado, por lo que se indicará en forma directa una sola constante de integración C, que asumiremos que es (según corresponda) la suma, resta o producto de las constantes resultantes a partir de cada una de las integrales resultantes de la aplicación de las propiedades enunciadas en el teorema de la página anterior. (6x 9x + 0) dx (4) t 5t + 4 t t dt TEOREMA: Si F(x) es una antiderivada de f(x) entonces f(g(x)) g (x)dx = F (g(x)) + C Ejemplos. Calcule las siguientes integrales mediante una sustitución que permita utilizar la propiedad anterior. Compruebe sus respuestas mediante derivación () 5(5x ) dx. R/ (5x )4 4 + C (C constante)

211 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0 () x x + 4 dx. R/ (x + 4) / + C (C constante) () (x + ) dx (sugerencia: multiplique la integral por = ). R/ + C (C constante) (x+) (4) x(5x + ) 5 dx. R/ (5x +) C (C constante) (5) 4x + dx. R/ (4x+)/ 6 + C (C constante)

212 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación (6) x 7x dx. R/ 8 (7x ) / + C (C constante) (7) x (x + 4) 5 dx. R/ 4(x +4) 4 + C (C constante) (8) NOTA: Para calcular algunas integrales, se pueden utilizar técnicas algebraicas ya estudiadas, tales como la racionalización. Por ejemplo: x (x ) x x dx SOLUCIÓN: Al racionalizar el denominador del integrando se obtiene: x (x ) x x x dx = (x ) (x x) (x + x) (x + x) dx x (x )(x + x) = dx (x x) x (x )(x + x) = dx (x(x )) = x (x + x) dx = x + x 5/ dx = x4 4 + x7/ 7 + C = x4 4 + x7/ + C 7

213 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación (9) 5 dz ). R/ (( 5 + z) / z / + C (C constante) + z + z.. El método de sustitución para calcular integrales indenidas Pasos. Elegir una sustitución u = f(x).por lo general es mejor elegir el argumento ("función interna") de una función compuesta.. Evaluar el diferencial du = f (x) dx.. Reexpresar el integrado en términos de u (sustitución). 4. Evaluar la integral resultante en términos de u 5. Expresar la primitiva elemental en términos de la variable original.

214 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Ejemplos. () x + x dx. R/ 5 ( + x)5/ ( + x)/ + C (C constante) () x + x dx. R/ 5 ( + x)5/ 4 ( + x)/ + ( + x) / + C (C constante) () t( t + ) dt. R/ ( t+) + C (C constante)

215 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 (4) a dx ax( ax + b) [Nota:a, b constantes]. R/4( ax + b) / + C (C constante) NOTA: Mediante técnicas de integración, podemos resolver ecuaciones diferenciales sencillas como: (5) Encuentre una función h(x) que satisfaga la ecuación: h (x) = 5 + 7x x. R/h(x) = 5x + 7x + + C (C constante) x (6) Resuelva la ecuación diferencial dy dx = 4x 5 x + x x. R/ y = 4x 0x/ ln x + C (C constante) x

216 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 NOTA: En algunos ejercicios es preciso encontrar una antiderivada especíca de una función mediante el cálculo de constantes de integración. Usualmente se les conoce como ejercicios de valores iniciales. Ejemplos:. Si para la función f : R + R se cumple que f (x) = 0x, f () = y f() = 0; determine el criterio de la función f. SOLUCIÓN: x f (x) = 0x x dx = 0x x x dx = 0 x dx = 0x x + c f (x) = 0x + x + c con c una constante real. Como se conoce un par ordenado perteneciente al gráco de f se utiliza para despejar el valor de dicha contante c. f () = c = + c = c = Así, tenemos entonces que f (x) = 0x + x f(x) = +. Ahora integramos de nuevo para obtener f. 0x + x + dx f(x) = 0x + ln x + x + k f(x) = 5x + ln x + x + k Con k una constante real. Como se conoce un par ordenado perteneciente al gráco de f se utiliza para despejar el valor de dicha contante k. f() = 0 5 () + ln + + k = k = 0 k = Así el criterio de la función es f(x) = 5x + ln x + x +.

217 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6. Sea f : R R, tal que f (x) = x + 5, f(0) = 0, f () =. Determine el criterio de f. SOLUCIÓN: Como f (x) = x + 5 se cumple que: f (x) = x + 5 dx Entonces: f (x) = x + 5x + c (con c constante). A partir del valor inicial dado (f () = ) podemos despejar el valor de la constante c c = c = c = 5 c = 9 Así tendríamos que f (x) = x + 5x 9. Pero entonces se cumpliría que: x f(x) = + 5x 9 dx Entonces: f(x) = x + 5x 9x + k (con k constante). A partir del valor inicial dado (f(0) = 0) podemos despejar el valor de la constante k k = 0 k = 0 f(x) = x + 5x 9x

218 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7. Los puntos (, ) y (0, ) forman parte del gráco de la función f(x) y f (x) = 4x. Calcule f(x).. R/ f(x) = x x + x + 4. Calcule f(x) si se cumple lo siguiente: f(9) = 4, f () =, f (x) = x /.. R/ f(x) = 4x7/ 5 + 8x 5 9 5

219 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8. Calcule las siguientes integrales indenidas: PRÁCTICA a) zdz z + R/ (z + ) +C b) x x + dx R/ 4 5 (x + ) 5 4 (x + ) +C c) x 5 6 x dx R/ x x+c d) (x + ) x + x + dx R/ (x + x + ) +C e) x x + dx R/ 5 (x + ) 5 4 (x + ) +C f ) g) h) x + dx R/ x x x +C x dx R/ x 5 5 x +C x ( x + ) dx R/ x x + x +C x i) t t 4dt R/ 7 (t 4) 7 + (t 4) 4 +C j ) k) l) (x + ) x + dx R/ 5 (x + ) 5 (x + ) + C (x a ) dx (a constante real) R/ xa+ x a + xa+ a + + x + C x (x + ) x + dx R/ x + + x + + C. Calcule f(x) si se sabe que f (x) = x x, f(4) = R/ f(x) = 4x5/ x / x 5 5. Calcule h(x) si se sabe que h (x) = ( x ), h() = x 6 R/ h(x) = x + 4 x / x 4. Considere la función f continua en todo R, tal que (f(x) + k) dx = (c + k)x + k 0, donde c, k, k 0 R. Demuestre que f es una función constante. R/ Demostración completa

220 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9.. Integrales trigonométricas... Fórmulas para integrar funciones trigonométricas () sen x dx = cos x + C () cos x dx = sen x + C () tan x dx = ln sec x + C (4) cot x dx = ln sen x + C (5) sec x dx = ln sec x + tan x + C (6) csc x dx = ln csc x cot x + C (7) sec x tan x dx = sec x + C (8) csc x cot x dx = csc x + C (9)* sen x dx = (x sen x cos x) + C (0)* cos x dx = (x + sen x cos x) + C () sec x dx = tan x + C () csc x dx = cot x + C ()** tan x dx = tan x x + C (4)** cot x dx = cot x x + C EJERCICIO: Compruebe mediante la denición de integral indenida (con derivada) las fórmulas enunciadas anteriormente. NOTAS:. LAS FÓRMULAS SEÑALADAS CON (*) 9 Y 0 SE PUEDEN OBTENER A PARTIR DE LAS FÓRMULAS DE LA MITAD DEL ÁNGULO, A SABER: sen (x) = cos(x) y cos (x) = + cos(x). LAS FÓRMULAS Y 4 SEÑALADAS CON (**) SE PUEDENE OBTENER A PARTIR DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: tan (x) = sec (x) y cot (x) = csc (x)

221 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0... Ejemplos de integrales trigonométricas que se resuelven en forma directa o por medio de una sustitución simple 5 sen(5x )dx R/ cos(5x ) + C (C constante) cos(x + )dx R/ sen(x+) + C (C constante) cos x + sen xdx R/ ( + sen(x))/ + +C (C constante) csc (t) cot 4 (t) dt R/ tan (t) + C (C constante)

222 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación + cos(x) dx sen (x) R/ cot(x) csc(x) + C (C constante) sec (x) tan (x) dx sec (x) R/ (x + sen(x) cos(x)) + C (C constante) Resuelva la siguiente ecuación diferencial: y = 4 sec (x) 5 sen x cos x + x tan(x + ). R/ 4 tan(x) 5 sec(x) + ln sec(x + ) + C (C constante)

223 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación... Integrales de productos de potencias de funciones trigonométricas En muchos de estos casos se busca replantear el integrando mediante identidades trigonométricas, para lograr efectuar alguna sustitución conveniente (VER APÉNDICE H). Calculemos las siguientes integrales: ) sen ( x) cos ( x) x dx SOLUCIÓN: Sustitución : u = x du = dx x du = dx x Al aplicar la sustitución anterior se tiene: sen ( x) cos ( x) x dx = = = = sen (u) cos (u) du sen (u) cos (u) cos(u) du sen (u) ( sen (u) ) cos(u) du ( ) w ( w ) dw (w = w 4) dw ( ) w = w5 + c 5 ( sen (u) = sen5 (u) 5 ( sen ( = x) sen5 ( x) 5 ) + c ) + c con c una constante real arbitraria. ( ) Sustitución : w = sen(u) dw = cos(u)du

224 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación ) sec 4 (x) tan (x) dx. R/ tan4 (x) + tan6 (x) 8 + C (C constante) ) ( cos x ) dx 7 SOLUCIÓN: Al aplicar la identidad cos (θ) = + cos(θ) al integrando anterior, para el cual θ = x 7 tenemos que: que: Al aplicar a la integral cos ( cos x ) dx = 7 ( ) x 7 ( + cos x ) 7 dx = ( ) x + cos dx 7 = ( dx + cos dx la sustitución u = x 7 ( ) x 7 ) dx para la cual se cumple que du = dx se tiene 7 ( dx + cos ( ) x 7 ) dx = ( = ) cos (u) du dx + 7 (x + 7 ) sen (u) + C = x sen ( x 7 ) + C

225 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 PRÁCTICA 4 Calcule las siguientes integrales indenidas:. + sen θ cos θ dθ R/ tan θ + sec θ +C. sen(t) dt R/sec(t)+C sen (t). sec (x) tan (x) dx R/ tan x +C 4. sen(x) cos(x) dx R/ cos x+c 5. cos(x) sen(x) dx R/ sen x+c 6. x cos (x + ) dx R/ tan(x + ) + C 7. sen (θ) dθ R/ cos (θ) cos(θ) + C 8. sec (θ + ) tan(θ + ) dθ R/ 6 sec (θ + ) + C

226 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5.4. Integrales que generan logaritmos ) dx x = ln x +C ) Si la derivada del denominador es el numerador podemos utilizar el siguiente resultado que seguiremos usando como una fórmula: f (x) dx = ln f(x) +C f(x) du Si llamamos u=f(x) se cumple que = ln u +C u Ejemplo : Calcule las siguientes integrales: () x x + 5 dx = du u = ln u +C = ln x + 5 +C () sustitición: u = x + 5 du = x dx x x + 7 dx = 6 du u = 6 ln u +C = 6 ln x + 7 +C () sustitución: u = x + 7 du = 6x dx du 6 = x dx x x 4x + dx = du u = ln u +C= ln x 4x + +C sustitición: u = x 4x + du = (x 4)dx du = (x )dx du = ((x )dx

227 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 Ejercicio: Calcule las siguientes integrales. () x ln(x) dx Sugerencia: Utilice la sustitución u = ln(x).. R/ ln ln(x) + C x + x + x 5 () dx Sugerencia: Efectue la división de polinomios x + x + 4. R/ x x ln x + x C

228 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7.5. Integral de las funciones exponenciales e x dx = e x + C a x dx = ax ln a + C Ejemplos. Calcule las siguientes integrales (Tarea: Compruebe sus respuestas mediante derivación) () 5 x dx Solución: Método (por sustitución ) 5 x dx = du ln 5 = ln 5 du = ln 5 u + C = 5x ln 5 + C sustitución: u = 5 x du = 5 x ln 5 dx du ln 5 = 5x dx Método (usando directamente la fórmula para integrar exponenciales con base distinta de e) 5 x dx = 5x ln5 +C () xe x dx Solución: Método (usando como sustitución la función exponencial) xe x dx = du = u + c = e x + C sustitución: u = e x du = e x xdx Método (usando como sustitución el argumento de la función exponencial) x e x dx = e u du = e u + C = e x + C sustitución: u = x du = xdx

229 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8 () e 7x dx Solución: e 7x dx = 7 e u du = 7 eu + C = 7 e7x + C sustitución: u = 7x du = 7dx du 7 = dx (4) ( + e x ) dx Solución: ( + e x ) dx = ( + e x + e x )dx = dx + e x dx + e x dx = x + e x + ex + C sustitución: En e x dx u = x du = dx du = dx e x dx = e u du = eu +c (5) e x+ dx (6). R/ ex+ + C e x x dx. R/ e /x + C

230 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9 (7) e x (e x + ) ln(e x + ) dx (8). R/ln ln(e x + ) + C ( + e cot(θ) ) csc θdθ (9) ). R/ (cot(θ) + e cot(θ) + C e v cos(e v )dv. R/ sen (e v ) + C

231 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 0.6. Integrales que involucran inversas trigonométricas () dx ( x ) a x = arc sen +C a () () dx a + x = ( x ) a arctan +C a dx x x a = ( x ) a arcsec +C a () Ejemplos. Calcule las siguientes integrales. ( ) x x 9 dx R/ arcsec ( x ) + C (C constante) () dx 7x + 6 R/ arctan ( x ) + C (C constante) () dx 8 x ( ) x R/ arc sen 8 + C (C constante) (4) dx x x 6 R/ 4 arcsec ( x 4 ) + C (C constante)

232 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación (5) dx ( ) R/ 7 + x x 7 arctan 7 + C (C constante) (6) dx 4 x R/ arc sen ( x ) + C (C constante) (7) e x + e x dx R/ arctan(ex ) + C (C constante) (8) cos θ + sen θ dθ R/ arctan(sen(θ)) + C (C constante) (9) e arc sen x x dx R/ earc sen(x) + C (C constante)

233 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación.7. Integrales que generan una arcotangente o un logaritmo más una arcotangente mediante la técnica de completar cuadrados Las integrales que generarán un UNA ARCOTANGENTE son aquellas en las que el integrando es una función racional, en la que el numerador es y el denominador es un polinomio de segundo grado y el trinomio cuadrático del denominador es un factor cuadrático irreducible (F.C.I.) ya que < 0. NOTAS:. Para completar cuadrados se suma y resta al trinomio cuadrático el término dado por T CC = b 4a.. El resultado de este tipo de integrales se puede vericar mediante la siguiente fórmula (esta fórmula se le da sólo para que verique el resultado, NO puede ser utilizada como justicación o procedimiento de resolución, ya que se espera que las resuelvan completando cuadrados) ( ) dx ax + bx + c = ax + b arctan + C donde = b 4ac y < 0 ( ) ( ) Ejemplo. Calcule la siguiente integral: ( ) dx 4x + x + Ejercicio: Calcule dx 4x 4x + 0. R/ ( ) x 6 arctan + C

234 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Las integrales que generarán un LOGARITMO MÁS UNA ARCOTANGENTE son aquellas en las que el integrando es una función racional, en la que el numerador es un polinomio de primer grado, el denominador es un polinomio de segundo grado, el numerador NO corresponde a la derivada del denominador (pues de lo contrario se trataría de un logaritmo) y el trinomio cuadrático del denominador es un factor cuadrático irreducible (F.C.I.) ya que < 0. + x Ejemplo: Calcule: x + 9x + 8 dx EJERCICIO: Calcule las siguientes integrales.. x x 4x + dx. R/ 6 ln x 4x + ( ) x 5 arctan + C 5. 4x x x + 5 dx. R/ln x x ( ) 4x arctan + C

235 Capítulo 4 Técnicas de integración 4.. Método de descomposición en fracciones parciales P (x) Se aplica a integrales de la forma dx tales que P (x) y Q(x) son polinomios con Q(x) 0 Q(x) Si m es el grado de P (x) y n es el grado de Q(x) decimos que: (a) Si m n decimos que la fracción es impropia (b) Si m < n decimos que la fracción es propia. Ejemplos: x + x + 5 Fracción impropia dx x 4 x + Fracción propia x x 6 dx Los casos dependen de los factores del denominador. CASO l. La fracción es propia y los factores del denominador son lineales y no se repiten Ejemplo: x x x + dx = x (x )(x ) dx Para integrar se sigue el siguiente procedimiento:. Factorizar el denominador.. Se descompone la fracción algebraica original como suma de fracciones cuyo denominador sea cada uno de los factores obtenidos y se representa el numerador (aún desconocido) mediante una variable auxiliar ( usualmente letras mayúsculas).. Se resuelve la suma de fracciones parciales y se iguala a la fracción. 4. Para encontrar el valor de las letras se utilizan los ceros de los factores. 5. Una vez que se tiene el valor de las letras o variables, se forman las integrales parciales y se resuelven por los métodos estudiados anteriormente. 4

236 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 () Ejemplo. Resuelva las siguientes integrales. dx x 4 R/ 4 ln x ln x + +C 4

237 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 () 5x + x x + x x dx R\ ln x + ln x + + ln x +C

238 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7 () 7x 4 x + x x dx R/ ln x + + ln x ln x +C

239 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 8 CASO II La fracción es propia y los factores del denominador son lineales y algunos se repiten. A cada factor se le asigna una fracción parcial y se siguen los mismos pasos del caso I, pero hay un cero que se repite, por lo que se asigna dos fracciones parciales para ese factor (en caso de que aparezca dos veces repetido), en una con el exponente y en otra con la multiplicidad del cero (número de veces que aparece) como exponente. Ejemplos:Resuelva las siguientes integrales. () x + x + x 4 dx R/ 9 ln x + (x + ) + ln x +C 9

240 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 9 () x x + x 8x + 6x dx R/ ln x + ln x 4 + x 4 + C

241 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 40 CASO III La fracción es propia y en el denominador aparece un factor cuadrático irreducible Un factor cuadrático irreducible (FCI)es aquel que tiene discriminante negativo. Ejemplos. x (x + )(x + 9) dx x + (4 x)(x + x + ) dx (x + 9); F CI( = 6) (x + x + ); F CI( = 8) En este caso se sigue los mismos pasos que en los anteriores, pero a los factores cuadráticos irreducibles se les asigna una fracción parcial cuyo numerador sea de la forma lineal Ax + B [ o si son varios Cx + D, etc.]. Además, para calcular los valores de A,B,C,D etc.; después de efectuar la suma de fracciones algebraicas se agrupan términos para efectuar la comparación de coecientes. Ejemplos. Resuelva las siguientes integrales. () x + x + 4x dx R/ 4 ln x 8 ln x arctan x + C

242 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 () 4x + (x + )(x + ) dx SOLUCIÓN: Fracciones parciales: 4x + (x + )(x + ) = A (x + ) + (Bx + C) (x + ) 4x + (x + )(x + ) = A(x + ) + (x + )(Bx + C) (x + )(x + ) 4x + = A(x + ) + (x + )(Bx + C) Si x = = A A = Comparación de coecientes: 4x + = (x + ) + (x + )(Bx + C) 4x + = x + Bx + Bx + Cx + C 4x + = (B )x + (B + C)x + (C ) B = 0 C = B = C = 4x + (x + )(x + ) (x + ) dx = + dx (x + ) (x + ) = (x + ) + x (x + ) + x + dx = (x + ) dx + x (x + ) dx + dx = (x + ) + x (x + ) dx + = ln x + + ln x + + arctan(x) + c x + dx dx x + con c constante real arbitraria.

243 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 () x + x + x + x dx SOLUCIÓN: x + x + x x + x dx = + x + x(x + ) dx Fracciones parciales: x + x + x(x + ) x + x + x(x + ) = A x + (Bx + C) (x + ) = A(x + ) + x(bx + C) x(x + ) x + x + = Ax + A + Bx + Cx x + x + = (A + B)x + Cx + A Al comparar coecientes, se concluye que A =, B = y C =. Por lo tanto podemos reescribir la integral de la siguiente manera: con c constante. x + x + x(x + ) (x + ) dx = + x (x + ) dx dx (x + ) = x + (x + ) dx dx = x + x (x + ) dx + (x + ) dx ) + c = ln x + ln x + + arctan ( x

244 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 4 (4) x x + (x + )(x + x + ) dx R/ 5 ln x + ln x + x + 7 arctan(x + ) + C

245 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 44 (5) 6x 5x + (x + )(x + 4) dx R/ ln x ln x + 4 arctan x + C

246 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 45 CASO IV La fracción es impropia Son aquellas en las que el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Para resolverlas hay que efectuar la división polinomial y aplicar el algoritmo D = c + r donde D es el dividendo, d el divisor, c d d el cociente y r el residuo. Ejemplo. Resuelve las siguientes integrales. () x x + x dx R/ x + x + 5 ln x + C

247 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 46 () x + x + x x + dx R/ x + ln x x + + ( ) x arctan + C

248 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 47 () x 4 x + x x + dx x x + x R/ x + ln x ln x x + + C

249 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 48 RESUMEN DE LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN PARA FUNCIONES RACIONALES Cuando se tiene la integral de una función RACIONAL, es decir, una expresión de la forma: P (x) dx, con P (x) y Q(x) polinomios, Q(x) 0 Q(x) se recomienda seguir el siguiente orden, para determinar el método más conveniente de integración:. Verique si la integral corresponde a un LOGARITMO NATURAL. Recuerde que para eso se explora el uso de la sustitución u = Q(x) y se verica si la misma genera la forma du u = ln u + C, con C R. Verique si la integral es equivalente a una ARCOTANGENTE. Recuerde que esto se reconoce si se presenta una de las siguientes situaciones: a) Si P (x) = y Q(x) = x + a, con a R, es decir, si la integral es de la forma: dx = ( x ) x + a a arctan + C, con C R a b) Si P (x) = y Q(x) = ax + bx + c, con a, b, c R, y Q(x) es un F.C.I. (factor cuadrático irreducible ya que < 0) es decir, si la integral es de la forma: dx ax + bx + c, con a, b, c R y = b 4ac < 0 Recuerde que en este caso, se completan cuadrados en el denominador (recuerde que el término que completa cuadrados se puede obtener con la fórmula T CC = b ) entonces la integral puede llegar 4a (mediante una sustitución u conveniente) a la forma de arcotangente: du = ( u ) u + a a arctan + C, con C R a. Vericar si la integral da como resultado LOGARITMO NATURAL + ARCOTANGENTE. Recuerde que esto se da cuando el numerador P (x) es un factor lineal (es decir de grado ) y el denominador Q(x) es un F.C.I. (factor cuadrático irreducible ya que < 0). Es decir, si la integral tiene la forma: mx + k ax + bx + c dx, con a, b, c, m, k R y = b 4ac < 0 Para resolverla, se deben utilizar métodos algebraicos para descomponer la fracción dada como la suma de dos fracciones, cada una correspondiente con uno de los dos casos anteriores. Luego se separa la integral como suma de dos integrales que ya sabemos resolver.

250 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Si la fracción no corresponde a ninguno de los casos anteriores, pero la fracción es propia (esto signica que el grado de P (x) es menor que el grado de Q(x)) y además se cumple que Q(x) se puede factorizar, entonces la integral se puede resolver por el método de FRACCIONES PARCIALES, de los casos I, II o III. Recuerde que dichos casos dependen de los factores que se obtengan en el denominador, a saber: a) Caso I: Los factores del denominador son todos lineales y distintos entre sí. Recuerde que en este caso en la suma de fracciones parciales habrá una fracción por cada factor del denominador y los numeradores serán constantes reales que se representarán por incógnitas A, B, C,... b) Caso II: Los factores del denominador son todos factores lineales pero uno o varios de ellos se repiten. Análogo al anterior, pero para los factores que se repiten se asignarán dos fracciones parciales, una con denominador igual al factor lineal y otra con el factor elevado al exponente dado por la multiplicidad del factor repetido. c) Caso III: Uno de los factores del denominador es un F.C.I. ( < 0). Este caso análogo a los anteriores, pera a las fracciones cuyo denominador es el F.C.I., se les asigna como numerador un factor lineal de la forma Ax + B y si es más de uno se continúa con numeradores como Cx + D, etc. En este caso, también es recomendable utilizar la técnica de comparación de coecientes para calcular los valores de A, B, C, etc. Una vez que se descompone el integrando en suma de fracciones parciales, se separa la integral de la suma como la suma de varias integrales, las cuales se resuelven por alguno de los tres métodos anteriores (. LOGARITMO. ARCOTANGENTE. LOGARITMO + ARCOTANGENTE) 5. Si la fracción es IMPROPIA (caso IV de fracciones parciales), es decir, si el grado de P (x) es mayor o igual al grado de Q(x), entonces se efectúa la DIVISIÓN ALGEBRAICA DE LOS POLINOMIOS. Luego se utiliza el algoritmo de la división (con P (x) como polinomio dividendo, Q(x) como polinomio divisor, c(x) polinomio cociente y r(x) polinomio residuo), para descomponer la fracción y separar la integral de la siguiente forma: P (x) Q(x) dx = c(x) + r(x) Q(x) dx = c(x) dx + r(x) Q(x) dx La segunda de estas integrales será propia y se podrá resolver por alguno de los métodos anteriores (. LOGARITMO. ARCOTANGENTE. LOGARITMO + ARCOTANGENTE 4. FRACCIONES PARCIALES DE LOS CASOS I, II o III)

251 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Técnica de integración por partes Esta técnica es útil para calcular la integral de ciertos productos.recuerde que: Integrando a ambos lados: d dx [f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) d [f [f(x) g(x)] dx = (x) g(x) + f(x) g (x) ] dx dx Y aplicando la naturaleza inversa de la integración con la derivación y las propiedades de las integrales se tiene que: f(x) g(x) = f (x) g(x)dx + f(x) g (x)dx Despejando la igualdad anterior se obtiene la siguiente que es la fórmula general de integración por partes: f(x) g (x)dx = f(x) g(x) g(x) f (x)dx Si u = f(x) du = f (x)dx v = g(x) dv = g (x)dx tenemos entonces: udv = u v vdu Para denir u en la integral se sigue la siguiente prioridad:. Inversas trigonométricas.. Logarítmicas.. Algebraicas. I.L.A.T.E 4. Trigonométricas. 5. Exponenciales.

252 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 Ejemplos. Calcule las siguientes integrales: () x arc sen(x) dx SOLUCIÓN: Por el Método de Integración por partes u = arc sen(x) dv = x dx du = x dx v = x Así: x arc sen(x) dx = arc sen(x) = x arc sen(x) = x arc sen(x) = x arc sen(x) = x arc sen(x) = x arc sen(x) = x arc sen(x) = x arc sen(x) x x x x x x x dx x dx ( w) w w w / w / du w / w / du ( w / w/ dx dw ) + c (( x ) / ( x ) / ) + c con c una constante real arbitraria. Sustitución simple: w = x dw = x dx dw = x dx despejando la sustitución además se tiene: x = w

253 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 () x ln x dx R/ x ln(x) x 4 + C () x cos(x)dx R/ x sen(x) + 9 cos(x) + C (4) x e 4x dx R/ e 4x ( x 4 x 8 + ) + C

254 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 5 (5) NOTA: La integral de funciones como ln(x) o arctan(x) se calculan por la técnica de partes: ln(x) dx R/ x ln(x) x + C (6) arctan(x) dx R/ x arctan(x) ln(x + ) + C (7) ln( + x ) dx R/ ln( + x ) + arctan(x) + C x x (8) ln x x dx ln(x) R/ x x + C

255 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 54 (9) NOTA (INTEGRALES POR PARTES QUE SON CÍCLICAS): En ocasiones, al aplicar la técnica de integración por partes varias veces en una misma integral (como ya vimos en uno de los ejemplos anteriores) surge nuevamente la integral original con que se empezó el ejercicio. Si esto sucede, decimos que la integral es CÍCLICA y para resolverla hay que plantear una ecuación a partir de la equivalencia entre el primer paso y el último y de ahí despejar el resultado de la integral. Un ejemplo de una integral muy conocida y en la que esto sucede, es la integral de la función sec (x), la cual además de resolverse por partes, es cíclica. sec xdx sec(x) tan(x) + ln sec(x) + tan(x). R/ + C

256 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 55 (0) e x/ sen(x)dx. R/ ex/ (sen(x) 4 cos(x)) 7 + C

257 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Método de sustitución trigonométrica Esta técnica se utiliza en aquellas integrales que presentan un radical (cuadrado) cuyo subradical es un binomio cuadrático. La sustitución es la siguiente: () x + b Sustitución: x = b tan θ () x b Sustitución: x = b sec θ () b x Sustitución: x = b sen θ Ejemplo de SUSTITUCIÓN CON TANGENTE dx x x + Sustitución trigonométrica x = tan(θ) dx = sec (θ) dθ. x + = tan (x) + = sec (x) = sec(x). Así: dx x x + = = sec (θ) dθ tan (θ) sec(θ) cos(θ) sen (θ) cos (θ) dθ cos (θ) = sen (θ) cos(θ) dθ cos(θ) = sen (θ) dθ = sen(x) cos(θ) sen(θ) dθ = csc(x) cot(x) dx con C constante. = csc(θ) + C = x + x + C

258 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 57 dx x x + 4 R/ ln x + 4 x +C

259 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 58 Ejemplo de SUSTITUCIÓN CON SECANTE x 5 x dx ( x R/5 5 ( x )) arcsec +C 5 5

260 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 59 Ejemplo de SUSTITUCIÓN CON SENO dx x 9 x EJERCICIO. Calcule x x 6 dx R/ 9 x +C 9x ( x x 6 R/8 6 + ln x + x 6 ) +C 4

261 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 60 Si la variable x tiene coeciente real, las sustituciones trigonométricas se pueden replantear así: () a x + b Sustitución: x = b a tan θ () a x b Sustitución: x = b a sec θ () b a x Sustitución: x = b a sen θ Ejercicio: 4x () + 9 dx R/ 9 ( x 4x + 9 4x x ) + ln +C 4 9

262 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 9 4x () x dx ( 9 4x R/ ( x )) + arc sen +C x

263 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 (ex () ) 5 dx SOLUCIÓN: Sustitución: u = e x du = e x dx NOTA: Como u = e x > 0 x R lo anterior es equivalente a: du e x du u = dx = dx (ex Al aplicar la sustitución se obtiene: ) 5 dx = sustitución trigonométrica: u 5 u du, para la cual se plantea la siguiente Sustitución trigonométrica: u = 5 sec(θ) du = sec(θ) tan(θ) dx Radical: u 5 = 5(sec (θ) = 5 tan (θ) = 5 tan(θ) (5 sec(θ)) 5 = 5 sec (θ) 5 = sec(θ) = u θ = arcsec ( ) u 5 5 Así: (ex u 5 ) 5 dx = du u 5 tan(θ) = 5 sec(θ) tan(θ) dθ 5 sec(θ) = 5 tan (θ) dθ = 5 (tan(θ) θ) + c ( u 5 ( u ) ) = 5 arcsec + c 5 5 ( ( ) ) (ex ) = 5 5 e x arcsec + c 5 5 con c una constante real arbitraria.

264 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 6 En ciertas integrales para aplicar la sustitución trigonométrica es necesario completar cuadrados en el polinomio cuadrático del subradical. Recuerde que para completar cuadrados se suma y resta al trinomio cuadrático el término dado por T CC = b 4a x () x + 4x + 8 dx ( (x + ) R/ + 4 (x + ) x + ) ln +C

265 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 64 () dx ( x + 6x + 5) R/ 4 x 4 (x ) +C

266 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 65 () dx (x 4x) R/ (x ) 4 (x ) 4 +C

267 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación Método de integración mediante la sustitución de la tangente del ángulo medio Para resolver ciertas integrales (en las que aparecen por ejemplo funciones trignométicas), en ocasiones se puede utilizar alguna sustitución particular, para transformar la integral en una de otro tipo (por ejemplo en una integral en la que sólo hayan funciones algebraicas). Un caso en el que se aprecia esto, es la sustitución de la tangente del ángulo medio u = tan ( ) x, que permite resolver aquellas integrales en las que al cambiar las funciones sen(x) o cos(x), generan una fracción racional. Para esta sustitución, para la que además se cumplen las siguientes relaciones: ( x ) u = tan cos x = u + u sen x = u + u dx = du + u Ejemplos: () dx + sen x cos x ( x ) ( x ) R/ ln tan ln tan + +C

268 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 67 () + sen x dx R/ ( x ) + C tan +

269 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 68 PRÁCTICA 5 Calcule las siguientes integrales indenidas: () (cot x)ln(sen x)dx R/ () x cos(πx ))dx R/ (ln(sen x)) + C 4π sen(πx ) + C () (e π + sen( πx) x + x e )dx R/ (e πx + π cos( πx) + ( x) + xe e + C (4) [ (e + lnπ 5 ( π ) ] x + sec x dx R/ (e + lnπ)x ( x) x (5) x xdx R/ ( x) ( x) 5 7 ( x) 7 + C (6) x sen (4x) dx R/ 4 x cos(4x) + 6 x sen(4x) + x cos(4x) (7) (8) 8 sen(4x) + C ln(x) dx R/ ln(x) x x x + C sen x cos x x dx R/ sen x + C (9) x x x + 5 dx R/ 4 ln x x ( ) x 6 arctan + C (0) x cos( 4x)dx R/ 4 x sen( 4x) + 6 x cos( 4x) + x sen( 4x) () 8 cos( 4x) + C lnx x lnx 4 dx R/ + C x x [ x ] () + x + e x sen( x) dx R/ x-ln x+ e x sen( x) + e x cos( x) + C () ( e a + x π cos(ln) 4 x )dx R/ e a x + xπ+ π + cos(ln)x + 5 ( x) C (4) ( ) x 4x 4x + dx R/ x 4 arctan 8 ln 4x 4x + + C

270 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 69 (5) + lnx dx R/ x 4 ( + lnx) 4 + C (6) x x + dx R/ 0 (x + ) 0 7 (x + ) (x + ) + C (7) e x ( + e x ) dx R/ + e x + C (8) ln x dx R/ xln x xlnx + x + C (9) x 6x + 8x + 0 dx R/ ln 6x + 8x + 0 (4x + ) arctan + C 48 (0) sen(x)ln(cos(x))dx R/ cos(x)ln(cos x) + cos(x) + C () x x + dx R/ 9 8 (x + ) + C () (5ax 4 + sen( π) + e xln5)dx R/ ax 5 + (sen( π) + e )x ln5 x + C () e x cos( x)dx 4 e x cos( x) 4 e x sen( x) + C (4) x + x + x + dx R/ ln x + x + + ( ) x + arctan + C (5) x lnx dx R/ x4 x4 lnx C (6) 9x + 6x 8 dx R/ ( x + ln + 9x 4 (7) x ( 9x 4 dx R/ arcsec 9x + 6x 8 ) + C ( )) x + C

271 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 70 x + x + x (8) dx x R/ x + x + ln x + 5 ln x + + C x x + 4 (9) x + 4x dx R/ ln x + ln x + 4 ( x ) arctan + C (0) x + 4 x x 4 dx 9 4x () dx x () dx 0 6x + x R/ln x ln x + x + + C R/ ln 9 4x + 9 4x x + C R/ ln x 6x x + C () (4) x 4 x + x x + dx x x + x dx 4x + R/ x + ln x ln x x + + C R/ ln(x + 4x + ) + C (5) x + x + x 5 x dx R/ x + x + 4 x ln x + x C (6) x + x + x x dx R/ x + x + 4 x ln x + x ( x + ) arctan + C (7) (8) dx sen x cos x dx + cos x R/ ( x ) ln tan ( x ) R/ tan + C + + ( x ) ln tan + C (9) dx + sen x R/ ( x ) + C tan + (40) ( θ ) + sen θ + cos θ dθ R/ ln tan + + C

272 Capítulo 5 La integral denida (el área bajo una curva) 5.. Concepto de integral denida Supongamos que se desea conocer el área de la región limitada por una función, denida en un intervalo cerrado [a,b]. Para ello podemos efectuar una partición arbitraria en el intervalo para denir rectángulos y así aproximar dicha área. a = x 0 < x < x <... < x n < x n = b Denimos x i como el ancho del i-ésimo intervalo. Si c i es cualquier punto del i-ésimo intervalo se puede tomar como altura del rectángulo para ese intervalo a f(c i). Así que el área de cada rectángulo es A i = x if(c i). Así, en caso de querer aproximar el área de la región del plano limitado por las rectas verticales x = a, x = b, el eje X y la gráca de f, basta sumar todas las áreas de los rectángulos, a saber. A = f(c ) x + f(c ) x + f(c ) x + f(c 4) x f(c n ) x n + f(c n) x n n A = f(c i) x i Como veremos en la siguiente denición la expresión anterior es una suma de Riemann i= 7

273 Apuntes para MA09 Cálculo I para Computación 7 DEFINICIÓN DE SUMA DE RIEMANN Sea f denida en un intervalo cerrado [a,b] y sea una partición arbitraria de [a,b], a = x 0 < x < x <... < x n < x n = b donde x icomo es la anchura del i-ésimo intervalo. Si c i es cualquier punto del i-ésimo subintervalo, la suma: n f(c i) x i, con x i c i x i se llama una suma de Riemann de f asociada a la partición i= Ahora bien para una partición dada, llamamos norma de la partición a la longitud del subintervalo más largo, y la denominamos. Si todos los subintervalos son de igual longitud la partición es regular y denotamos la norma por: = x = b a n Por lo tanto podemos ver que el número de subintervalos de la partición tiende a innito cuando la norma de la partición tiende a cero, es decir, 0 implica n +. Para denir la integral denida usamos el limite siguiente: n lím f(c i) x i =L o su forma equivalente: 0 i= lím n i= n f(c i) x i =L DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA Si f está denida en el intervalo [a,b] y el límite de la suma de Riemann de f existe, entonces decimos que f es integrable en [a,b] y denotamos este límite mediante. b n f(x)dx = lím f(c i) x i a n + i= Llamamos integral denida de f entre a y b al valor de este limite. el número a es el lmite inferior de integración y el número b es el limite superior de integración.