MATEMÁTICA - 5to. AÑO D - Prof. Sandra Corti

Transcripción

1 Límite de una función Idea intuitiva del ite de una función en un punto En numerosas cuestiones relacionadas con la Matemática y sus aplicaciones se presenta un problema que podemos enunciar de este modo: Al considerar una función f y un número c, se necesita determinar el número al que se aproximan los valores de f(x) cuando los valores de x se aproximan a c. Si ese número existe, se lo denomina: ite de f(x) cuando x tiende a c y se lo simboliza así: Analizaremos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Consideremos la función f(x) x 2 + 2x y el punto a2. Queremos conocer cómo se comportan los valores de f(x) en la proximidades del punto 2. Cuando decimos en las proximidades de 2 nos referimos a ambos lados, es decir, a valores próximos o cercanos a 2, tanto mayores como menores que él. Para hacerlo, analizaremos la siguiente tabla. x 1,99 1,999 1, ,0001 2,001 2,01 f(x) 7,9401 7,9940 7,9994,0006,006,0601 Cuando x se aproxima a 2 con valores menores que 2 (cuya notación es x 2 - ), los valores de f(x) se aproximan a (cuya notación es f(x).. ) Lo mismo sucede cuando x se aproxima a 2 con valores mayores que 2 (x 2 + ) De esta manera puede advertirse que: los valores de f(x) están tan próximos a como queramos para valores de x suficientemente próximos a 2. Este comportamiento, que puede visualizarse en el gráfico de la función, se expresa diciendo que: el ite de (x 2 + 2x), cuando x tiende a 2, es.. Y se simboliza: (x 2 + 2x). x 2 f(x) f(x)x 2 + 2x Ejemplo 2: Consideremos la función f(x) que como sabemos no está definida en 1, porque si calculamos el valor para x1 Queremos conocer, nuevamente, cómo se comporta en las proximidades de 1 x 0,99 0,999 0, ,0001 1,001 1,01 f(x) 1,99 1,999 1,9999 2,0001 2,001 2,01 Vemos que cuando x se acerca a 1, (x 2-1)/(x-1) se acerca a. Esto lo indicamos así: x 1 Página 1 de 9

2 En un gráfico queda así: Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x1. Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el ite es 2. En general, cuando consideremos una función f cualquiera y un número c, decimos que: El ite de f(x), cuando x tiende a c, es el número L si los valores de f(x) se aproxima a L tanto como se desee cuando los valores de x están suficientemente próximos a c. Escribimos: f(x) L Observaciones sobre la idea de ite: -En estos 2 ejemplos observamos que el ite de f(x) cuando x tiende a c es el número L, pero en el primer caso L no coincide con el valor de la función en c, mientras que en el otro sí: 1er. caso: 2do. caso: f(x) f(x) - f(x) L - f(x) L - f(c) - f(c) - f(c) L - f(c) L - En los siguientes dos ejemplos cuando x se aproxima a c, los valores de f(x) no se aproxima tanto como se quiera a valor alguno. Es decir, no existe el ite de f(x) cuando x tiende a c. - No existe f(x) L - No existe f(x) L - f(c) - c Dom de f(x) Página 2 de 9

3 Otro ejemplo: En esta función el ite no existe en "a"...! No puedes decir cuál es, porque hay dos respuestas contradictorias: 3. por la izquierda, y 1.3 por la derecha Pero sí puedes usar los signos "-" o "+" (como en el dibujo) para definir los ites laterales: el ite por la izquierda (-) es 3. el ite por la derecha (+) es 1.3 Y el ite ordinario "no existe" El ite de una función en un punto puede existir o no. Si existe, este es único. Una función no puede tener dos ites diferentes para un mismo valor de x. f(x) L 1 f(x) L 2 L 1 L 2 X a - X a + Además, su valor es independiente de lo que ocurra con la función en el punto. Así: la función puede estar definida en el punto o no; si lo está, la imagen puede coincidir con el valor del ite en el punto o no. Actividades: 1) Observa el gráfico de cada una de las funciones e indica, en cada caso, si existe el valor de f(x) x c 1.1) Para los casos I y II qué relación existe entre el f(x) y f(c) 1.2) Para el caso III, qué conclusión pueden sacar sobre los valores de f(x) cuando x c + o x c - 2) Completa, a partir del gráfico de f: a) f(x).. f(-2) x -2 b) f(x).. f(0). x 0 c) f(x).. f(3) x 3 d) f(x) f(4) x 4 3 3) Utilizando el programa Graphmatica representa la siguiente función: (1+x) 1/x [se coloca en la barra de fórmula: y(1+x)^(1/x) ]. Responde: Admitiendo su existencia, entre qué enteros consecutivos se encuentra lim (1+x) 1/x 4) Utilizando el programa Graphmatica, representa las siguientes funciones y estima, si existe, en cada caso, el valor de f(x) (Nota: muestra la tabla de valores para una mejor respuesta) x 0 a) f(x) x+6 b) f(x) x c) f(x) 2 x d) f(x) 3 e) f(x)sen x Nota: posiblemente en el programa deba colocar sin en lugar de sen, probar. Página 3 de 9 x 0

4 5) Completa: a) b) c) y 3 Yf(x) Yf(x) 5 x -1 2 x y Yf(x) -2 1 Yf(x) x f(x) x 5 + f(x) x 5 - f(x) x 5 f(5) f(x) x 2 + f(x) x 2 - f(x) x 2 f(2) f(x) x 1 + f(x) x 1 - f(x) x 1 f(1) Propiedades de los ites Las propiedades que se enuncian a continuación, serán de utilidad para el cálculo de ites complicados. 1) El ite de una función constante es igual a la misma función constante k k ejemplo: 2) El ite de la función identidad es igual al valor al que tiende el valor de x. x c ejemplo: x 3 3) El ite de una suma o resta de dos funciones es igual a la suma o resta de sus ites [f(x) + g(x)] f(x) + g(x) y [f(x) - g(x)] f(x) - g(x) ejemplos: (5 x + 3x) 5 x + 3x x 1 x 1 x 1 (sen x 4 x+1 ) sen x 4 x x 0 x 0 x 0 4) El ite del producto o cociente de dos funciones es igual al producto o cociente de sus ites: [f(x). g(x)] f(x). g(x) x c x c x c Ejemplos: [x 2. (x 1)] x 2. (x 1) 2 2. (2-1) x 2 x 2 x 2 í x 2 í. x 2 x 2 5) El ite de una potencia es: a) [f(x)] n [ f(x)] n ejemplo: (-2x + 1) 3 [ (-2x + 1)] 3 [-2.(-1) + 1] x -1 x -1 g(x) b) [f(x)] g(x) [ f(x) ] Ejemplo: [ (x + 1) x ] (x + 1) x 3 2 x 2 9 x 2 6) El ite de una raíz es: fx fx x 2 x 3 x 3 Es válido siempre en el caso de n impar y si n es par la función debe ser: f(x) > 0 Página 4 de 9

5 ejemplo: Actividades: x 3 x 3 6) Halla los siguientes ites: a) (-3x + 5) b) (2x 2 + 7) c) (x 2-7x + 5) x 4 x 2 x 2 7) Halla los siguientes ites aplicando las propiedades correspondientes. a) b) x 4 x -1 c) 4 x 1 d) 1 " cosx & e) [ x " 3x ( 2x ] f) *+en. / 0. 1 " log 23 " 2&4 x 0 x -4 x 2 g) 2 " x h) [ x " 5 x 0 x -6 x 2 Límites infinitos ] i) [ log (x + ) + 7 " 3 ] El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro. Existen funciones cuyas ordenadas aumentan o disminuyen indefinidamente a medida que la variable independiente se acerca cada vez más a un valor determinado. f(x) Sea la función f: R {0} R {0} / f(x) Cuando x toma valores positivos próximos a 0, la función aumenta su valor. x ite lateral de f(x), cuando x 0 por la derecha. Cuando x toma valores negativos próximos a 0, la función disminuy su valor x 0 - En general: - ite lateral de f(x), cuando x 0 por la izquierda. x 0 Cuando x aumenta o disminuye tomando valores muy grandes en módulo, la función tiende a valer x 0 x + x - 7 Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0". Página 5 de 9

6 Otro caso cuando x tiende a Dada la función: y 2x Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo mismo a "2x": Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así: 2x x Pero no te dejes engañar por el signo "". No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los "ites", el ite es infinito (lo que quiere decir en realidad que la función no tiene ite). x y2x Si se analizan las funciones exponenciales y logarítmicas, se obtienen ites infinitos log x - x x 0 + log x + x 9 : 0 x - 9 : + x + ya x Propiedades de los ites infinitos Si f(x) +, entonces: 1) 0. f(x) ) ( f(x)) n n + n > 0 3) k. f(x) k. + k > 0 k. f(x) k. - k < 0 ylog x Actividades: ) Calcula los siguientes ites a partir de la gráfica f(x): f(x).. x + x - x 3 - x 3 + x 3 f(x).. x + x - x 2 + x 2 - x 2 x - x + x 3 + x 3 - x 3 Página 6 de 9

7 LÍMITES INDETERMINADOS (ver nota en la pág. 9) A) Indeterminación del tipo ; ; En ciertas ocasiones, al calcular el ite de una función se llega a resultados del tipo ; ; una indeterminada algebraica. Caso 1 f(x) 0 g(x) 0 < ; ;, lo cual es a) > (x 2 16) (x 4) ; ; b) >> (2x - 2) 7 x 1 x 1 (x 1) >> 77 ; ; Para calcular el ite de una indeterminación del tipo ; en funciones racionales, se deben factorizar ; el numerador y el denominador de la misma y luego simplificar. a) > (x + 7 x 1 b) >> >A7 2 2 x 1 x 1 x 1 Caso 2 Funciones con radicales: En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional. (Aclaración: el radical puede estar en el numerador o denominador) Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción. Caso 3 Otro caso de este tipo de indeterminación es: BCD sen x ; ; x En la circunferencia trigonométrica se cumple que: sen x x tg x x 0 sen x 0 BCD BCD BCD E BCD 1 BCD 7 FGB 1 BCD cos x cos x 1 BCD 1 El valor de este ite permite resolver otros ites con estructuras similares que producen la misma indeterminación. Página 7 de 9

8 B) Indeterminación del tipo - Dado el caso: (5x 3 2x) La aplicación directa de la propiedad correspondiente al ite de una diferencia, nos conduce a la forma indeterminada -. Sin embargo el ite existe. Para calcularlo extraemos como factor común el término de mayor grado: (5x 3 2x) 5x 3 (1 - >A HA I >) 5 x3. (1 - > HA >) Como: 5x 3 y (1 - > HA >) 1 > HA > (5x3 2x). 1 Observación: El ite es ±, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado. Ejemplos: 1) x 5 x 3 + 2) x 3 x 5 - C) Indeterminación del tipo Dado el caso:. H> I 0 La aplicación directa de la propiedad correspondiente al ite > I de un cociente de funciones conduce a la forma indeterminada, pero teniendo en cuenta la observación anterior:. H> I 0 > I JíK H > I..7 H >0 JíK > I.7 H > I > >A 0 En general se puede decir que: El numerador tiene mayor grado que el denominador: El ite es El denominador tiene mayor grado que el numerador. El ite es 0 Numerador y denominador tienen el mismo grado. Al tener el mismo grado el ite es el cociente entre los coeficientes de mayor grado. Actividades: 9) Calcula los siguientes a) > L >I b) > > x -3/2 c) e) g) 7>? d) f) BCD I.FGB@ h) Página de 9 > > > 7 7 > BCD? H BCD I > L i) (2x 4 + 5x 2 x + 1) j) > > I k). I A7 > A l) II > m) II x -1 > >7 x 0 ñ) x 2 x I > I I n) 7 o) BCD> > 7 x 0 x 0

9 NOTA: Lo que se indica a continuación no son operaciones propiamente dichas, sino simplemente un recurso para ayudarnos a resolver ites. Debemos tener claro que infinito no es un número. Sumas con infinito: - Infinito más un número - Infinito menos infinito - Infinito más infinito Productos con infinito - Infinito por un número - Infinito por infinito. (±k) ± si k 0. - Infinito por cero 0. Ind Cocientes con infinito y cero - Cero partido por un número - Un número partido por cero - Un número partido por infinito - Infinito partido por un número - Cero partido por infinito - Infinito partido por cero - Cero partido por cero - Infinito partido poxr infinito REVISIÓN GENERAL 10) Calcula los siguientes ites: a) I 7 I > > I b) > I7 > c) A> 7 > x 1 x -1 x 1 A7 d) > H> I > 7 e) > > f)? > > x 1 x 0 x 0 > >> H I L > M> I > I > > i) 7 > N x 2 x 1 x 4 g) j) 77 >> k) IAI l) IH H x 2 A > >A7 > > x 1 x BCD H BCD m) n) ñ) > >I x 0 I x 0 I x 3 I Página 9 de 9