Límite de una función. Cálculo de límites
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- Rodrigo Reyes Carmona
- hace 5 años
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1 6ª y 7ª Sesión...Fecha:... Límite de una función. Cálculo de ites Límite de una función en un punto. Límites laterales. Ejercicios. Pág. 4 nº. Pág. 55 nº 7
2 3. Pág. 55 nº4 4. Pág 55 nº 8 5. Pág. 55 nº 9
3 Cálculo de ites Ejercicios 6. Pág. 4 nº Nota: Si la función no está definida igual a la derecha y a la izquierda del punto, hay que calcular ites laterales: Función f(x): en x - x f(x) (x 5x) ( ) 5( ) 4 x en x en x x x f(x) (x 5x) 5 x f(x) (x 5x) 5 6 x Función g(x): en x - en x en x x Función h(x): g(x) (4 x ) R x hay que calcular los ites laterales: g(x) (x ) 4 R x x en x - hay que calcular los ites laterales: en x en x h(x) 3 3 R x x hay que calcular los ites laterales: g(x) (4 x ) 4 x - x - g(x) (x ) x + x + } no h(x) ( x) 3 } x - x - h (x) (3) 3 x + x + h(x) (3) 3 x - x - } h(x) (5 x ) x + x + no g(x) x h(x) 3 R x h(x) x
4 7. Pág. 55 nº En x En x 3 f (x) (x 6) 5 R x x hay que calcular los ites laterales: f (x) (x 6) 3 x 3 - x 3 - f (x) () 3 x 3 + x 3 + } f (x) 3 x 3 8. Pág. 55 nº En x x f (x) x x x Indeterminado Simplificando la expresión x x (x )(x+ ) (x ) (x+ ), resulta (x+ ) R x 9. Pág. 55 nº 3
5 Límites de funciones conocidas. Haz un esbozo de las gráficas de las funciones indicadas y, a la vista de la gráfica indica los siguientes ites: f (x) ; f (x) ; f (x ) ; f (x) x + ' x ' a) y log / x b) y ln x 3 y log,5 x 3 y ln x (/, ) (e, ) (, ) (, ) log,5 x y x + log,5 x+ y log,5 x No ln x+ y log,5 x No ln x y x - x + -3 ln x No ln xno x - c) y e x d) y, x y e^x y,^x (, ) (, ) e x + y e x e x x + x - e x, x y, x +, x, x x + x -
6 e) y sen x f) y cos x y sen x y cos x - - x ± - sen xno sen x sen x x + x - x ± - cos xno cos x cos x x + x - g) y tg x tg xno x ± tg x tg x x + x - Otros ites: tg x x π + x π - tg x + 8-3,4 3,4 6,8 9,4,5
7 Límite cuando x a : número ; Cálculo de ites. número ; Indeterm.. Pág. 56 nº 9 + x a) + porque x + x x y x - x + + b) porque x 3 + x+ (x+ 3) + y x 3 - x+ (x+ 3) +. Pág. 56 nº a) + porque x 5 + (x+ 5) + + y x 5 - (x+ 5) + + b) 5 porque ( 3 x+ x + x ) ( 3 x+ x - x ) ( 3 + ) 5 R 3. Pág. 56 nº a) 3 R b) R 4. Pág 56 nº 5 a) b) R Las indeterminaciones se resuelven factorizando numerador y denominador. 5. Pág. 56 nº 3 a) I ; Se resuelve factorizando numerador y denominador: Numerador: x 4 (x + ) (x ) (Diferencia de cuadrados es Suma por Diferencia) Denominador: resolviendo x 3 x + 3± 9 8 x x x. Resulta x 3 x + (x ) (x ) Otra forma: También se puede factorizar por Ruffini x 3 x + (x ) (x )
8 x (x ) (x+ ) (x ) (x ) x (x+ ) (x ) 4 4 R b) I ; Se resuelve factorizando numerador y denominador: Numerador: x (x + ) (x ) (Diferencia de cuadrados es Suma por Diferencia) Denominador: resolviendo x + 3 x + x - y x -. Resulta x 3 x + (x + ) (x + ) x (x ) (x+ ) (x+ ) (x+ ) x (x ) (x+ ) R 6. Pág. 56 nº 3 a) I ; Se resuelve factorizando numerador y denominador: Numerador: 7 + x 3 (x + 3 ) (x 3x + 9 ) (Por método de Ruffini) Denominador: 7 + 9x 9(x + 3) x 3 (x+ 3) (x 3x+ 9) 9 (x+ 3) x 3 x 3x R b) I ; Se resuelve factorizando numerador y denominador: Numerador: x 9 (x + 3 ) (x 3) (Diferencia de cuadrados es Suma por Diferencia) Denominador: (x 3) (x 3) (x 3) x 3 + (x 3) (x+ 3) (x 3) (x 3) x 3 + (x+ 3) (x 3) Pág. 56 nº 33 a) I ; x 3 - (x 3) (x+ 3) (x 3) (x 3) x 3 - (x+ 3) (x 3) 6 - b) I ; Se resuelve factorizando numerador y denominador: Numerador: x 5 3x 3 x 3 (x 3) (Sacando factor común)
9 Denominador: x 3 x + x x (x x +) x (x ) x x 3 (x 3) x (x ) x x (x 3) (x ) Límite cuando y. Indeterminaciones y. número ; número ; Indeter. ; Indeter. Las indeterminaciones se resuelven dividiendo numerador y denominador por el x de máximo grado. En la práctica, se compara numerador y denominador: Si grado(numerador )> grado(denominador) Numerador x Denominador Si grado(numerador )grado(denominador) x Si grado(numerador )< grado(denominador) x 8. Pág. 56 nº 7 Numerador Denominador Numerador Denominador coeficiente princpal coeficiente princpal a) + I ; Se resuelve dividiendo numerador y denominador por x. + x x 3x x x 3 3 R 3 3 x Nota: Observa que, al tener el mismo grado, el resultado es coeficiente principal del numerador partido por coeficiente principal del denominador 3. b) + + I ; Se resuelve dividiendo numerador y denominador por el x de máximo grado. 3 3 x x x R x Nota: Observa que el grado del numerador es menor que el del denominador, el resultado es. 9. Pág. 56 nº 8 a) + + I ; 3 3 R b) + + I ; 3 3 R. Pág. 56 nº
10 a) 5 R b) Pág. 56 nº 8 a) R b) +. Pág. 56 nº 9 a) + + I. Observa que, numerador y denominador, tienen el mismo grado. R. En efecto: x + x x+ 4 x x + x x+ 4 x + x + 4 x R b) + + I ; 3. Pág. 56 nº 36 a) a) + I. Observa que, numerador y denominador, tienen el mismo + grado /. R 4. Pág. 57 nº 39 a) (x + 6x+ 9) (x 8x+ 6) 3x+ 5 b) (x + 6x+ 9)+ (x 8x+ 6) 3x+ 5 4x 7 3x R. x x+ 5 3x Pág. 57 nº 4 a) 3 7 R. b)
11 Las indeterminaciones se resuelven haciendo la resta o multiplicando por el conjugado. 6. Pág. 56 nº 37 a) + I. (4 x) (4x+ 5) 6 8x b) + I. (4 x)+ (4x+ 5) R 7. Pág. 56 nº 38 a) I. x 3-4(3+ x) 4 9 x x 3-4x+ 8 9 x + b) Pág. 57 nº 4 a) I. ( x+ ) ( 3x+ ) ( x+ + 3x+ ) ( x+ 3x+ ) ( x+ + 3x+ ) ( x+ + 3x+ ) x+ 3x ( x+ + 3x+ ) x ( x+ + 3x+ ) b) I. x + x x ( x + x + x ) ( x + x x ) ( x + x + x ) ( x + x + x ) x ( x + x + x ) + R ( x + x ) x ( x + x + x ) 9. Pág. 57 nº 4 a) I.
12 ( x ) ( 4x + x ) ( x + 4x + x ) ( x 4x + x ) ( x + 4x + x ) ( x + 4x + x ) 4x 4x x ( x + 4x + x ) x x + 4x + x + 4 R b) I. ( x+ ) ( x ) ( x+ + x ) ( x+ + x ) + R 3. Pág. 57 nº 43 a) + +. b) I. ( 3 x ) ( x ) ( 3 x + x ) ( 3 x x ) ( 3 x + x ) ( 3 x + x ) 7 x x ( 3 x + x ) 3. Pág 56 nº 3 a) R b) ( ) + R 3. Pág 56 nº 4 a) (3) R b) + + +
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