x+(a-1)y+z=-1 (a-1)y+2z=-2 x+(a 2-5a+5)z=-a+4 2 a 2-5a a+5 ~2 1 0 ~ 4 1 0

Transcripción

1 JUNIO DE 7. PROBLEMA A. Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible: Aplicamos el método de Gauss: a- a- - a -5a+5 - -a+4 ~ x+(a-)y+z- (a-)y+z- x+(a -5a+5)z-a+4 a- a- -a+ a- a a -5a+6 a - a -5a+4 - -a+5 ~ a- a- 5± 5-4 5± a a ( PUNTOS) - a -5a+6 - -a+ Estudiamos los distintos casos: º) Si a, el sistema es incompatible: - - ~ º) Si a, el sistema es incompatible: - - º) Si a, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de un parámetro: - - x+y+z- y+z- x--y-z-++z-z+z y--z x+α y--α zα 4º) En los demás casos el sistema es compatible determinado: x+(a-)y+z- (a-)y+z- (a-)(a-)z-(a-) z -(a-) (a-)(a-) z - a- (a-)y--z - + a- -a+4+ a- -a+6 y (a-)(a-) x--(a-)y-z-+ a-6 a- + a- -a++a-6+ a- a- x a- ªf-ªf. ªf+ªf. Como no se puede dividir por cero, tenemos que calcular los valores del parámetro que anulan los coeficientes de las incógnitas que despejaremos luego (caso 4º). 4 ªf-ªf. --

2 JUNIO DE 7. PROBLEMA A. Dados el punto P(,-,) y las rectas r y s, halla la ecuación general de un plano π que sea paralelo a ambas rectas y tal que la distancia de P a π sea : r x-y-z+ x- s x-y-4z+6 y z+ ( PUNTOS) Como la recta r está en el plano x-y-z+, el vector (,-,-) es perpendicular a r. Como la recta r también está en el plano x-y-4z+6, el vector (,-,-4) es perpendicular a r. Por tanto, un vector direccional de dicha recta es: i u j - - k - i +j +k -4 Por otro lado, un vector direccional de la recta s es v (,,). Como el plano π es paralelo a ambas rectas, un vector característico de dicho plano es: i w j k i -j -k Por tanto, π x-y-z+d. Por último, como la distancia del punto P(,-,) al plano π es : d(p,π) -(-)- +D +D 6 +D D-6 D D-9 π x-y-z+ π x-y-z-9 Otra forma de obtener un vector direccional de la recta r es calculando sus ecuaciones paramétricas, esto es, resolviendo el sistema que forman los dos planos que la determinan. --

3 JUNIO DE 7. PROBLEMA A. Calcula los siguientes límites: lím ( x + x +x+- x -5x+7) y lím x + [cos(πx)+x ] /ln x ( PUNTOS) PRIMER LÍMITE: lím x + lím x + lím x + ( x +x+- x -5x+7) ( x +x+- x -5x+7) ( x +x++ x -5x+7) x +x++ x -5x+7 x +x+-x +5x-7 x +x++ x -5x+7 lím x + 8x-6 x +x++ x -5x+7 4 lím x + x (8-6/x) x ( +/x+/x + -5/x+7/x ) lím x + 8-6/x +/x+/x + -5/x+7/x SEGUNDO LÍMITE: lím x [cos(πx)+x ] ln x 5 e lím x ln x [cos(πx)+x -] e lím x cos(πx)+ x - ln x 6 e lím x -π sen(πx)+ x ln /x e -π sen(π )+ ln / e -π + ln e ln 7 e ln Multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada. Operamos el numerador. Simplificamos el numerador. 4 Sacamos x factor común en el numerador y en el denominador. 5 Ya que sale la indeterminación. 6 Como sale la indeterminación /, aplicamos L'Hôpital. 7 Por las propiedades de los logaritmos. 8 Por la definición de logaritmo. --

4 JUNIO DE 7. PROBLEMA A4. Demuestra que la función f(x)sen πx x +x tiene un máximo relativo en el intervalo (,). Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso. ( PUNTOS) º) Como la condición necesaria de extremo relativo es que la derivada valga cero, se considera la función: π f'(x) cos πx πx x +x + sen x+ x +x Estudiamos el signo de x +xx(x+): Por tanto, Dom(f)(-,-] [,+ ) y Dom(f')(-,-) (,+ ). º) Como la función f' satisface las condiciones del teorema de Bolzano, existe α en (,) tal que f'(α). En efecto: ª) f'() f'()<: π f'() + >. π 7 f'() <. ª) f' es continua en [,]: [,] Dom(f') Dom(f). Si a [,]: lím x a f'(x)lím x a π cos πa π cos πx O -7 4 πx x +x + sen x+ x +x πa a +a + sen a+ a +a f'(a) º) Ahora bien, como f es continua en α, por ser derivable en dicho punto, y f' es positiva a la izquierda y negativa a la derecha de α, entonces, por el criterio de la variación del signo de la primera derivada, f tiene en dicho punto un máximo relativo. f' α -4-

5 JUNIO DE 7. PROBLEMA B. Calcula los valores del parámetro t para los que la siguiente matriz no es regular: A -t t+ -t+ -t+ ( puntos) -t- Calculamos el determinante de la matriz A: -t A t+ -t- -t+ -t+ (t+) (-t+) -t+ -t+ -t+ -t- -(-t-) -t+ -t+ -t+ -t+ -(t+)(t-) (-t+-)t(t+)(t-) Para que la matriz A no sea regular su determinante debe ser cero: A t(t+)(t-) t, t-, t ªf+ªf. Desarrollamos el determinante por los elementos de la segunda columna. -5-

6 JUNIO DE 7. PROBLEMA B. Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P(-4,,) y corta a las rectas r x+y+z- x+y- y x+ r - y+ z+ ( PUNTOS) Sean X e Y los puntos de corte de la recta buscada con r y r, respectivamente: X r x+y+z- x+y- P(-4,,) Y π x+ r - y+ z+ x--α y-+α z-+α El punto P y la recta r determinan el plano π. Como este plano pertenece al haz de planos de arista la recta r, tiene por ecuación: π a(x+y+z-)+b(x+y-) Como el punto P(-4,,) está en el plano π, satisface su ecuación: a(-8+6+-)+b(-4+4-) -a-b b-a Por tanto: a(x+y+z-)-a (x+y-) a(x+y+z--x-y+) π x+y+z+ Como el punto Y está en la recta r : Y(--α,-+α,-+α) Como el punto Y está en el plano π, satisface su ecuación: --α-+α-+α+ 4α-4 4α4 α Y(-,,) [PY x+4 ](,-,) XY y- - z Otras formas de hacer este ejercicio pueden verse, por ejemplo, en el problema B del examen de selectividad de junio de 7. Otra forma de obtener la ecuación de este plano consiste en hallar un punto y un vector direccional de la recta r. Como a, podemos dividir los dos miembros por a. (Si a fuese, entonces b también valdría, ya que b-a; pero a y b no pueden ser simultáneamente nulos.) -6-

7 JUNIO DE 7. PROBLEMA B. Encuentra los extremos absolutos de la función f(x)(x -) e -x+ en el intervalo [-,4]. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso. ( Puntos) º) Estudiamos la continuidad de la función en el intervalo: f'(x)x e -x+ -(x -) e -x+ e -x+ (x-x +) Dom(f')Dom(f)R f es continua en R f es continua en [-,4] Por el teorema de Weierstrass la función f alcanza en dicho intervalo sus extremos absolutos. Éstos se encuentran en los extremos del intervalo o entre sus extremos relativos. º) Calculamos los valores de f en los extremos del intervalo: f(-)(4-) e 4 e 4 f(4)(6-) e - /e º) Hallamos los extremos relativos de la función en el intervalo: Como la condición necesaria de extremo relativo es que la derivada valga cero: f'(x) e -x+ (x-x +) x -x- x Estudiamos el signo de f' en el intervalo: ± 4+ ±4 x- x Como f es continua en x- y x, por el criterio de la variación del signo de la derivada primera f tiene un mínimo relativo en el punto x-, que vale yf(-)- e, y un máximo relativo en el punto x, que vale yf()6 e - 6/e. 4º) Conclusión: La función f tiene en x- un máximo absoluto que vale ye 4 ; y en x- un mínimo absoluto que vale y- e : x f(x) - e 4-54, e - -4,7 6/e-,7 4 /e -,759-7-

8 JUNIO DE 7. PROBLEMA B4. Encuentra los dos puntos en que se cortan las gráficas de las funciones f(x)cos g(x) x 4 -. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. ( Puntos) πx 4 y º) Resolvemos el sistema que forman las funciones que limitan por arriba y por abajo el recinto cuya área queremos hallar: πx ycos 4 y x 4 - cos πx 4 x 4 - x- x º) Averiguamos entre - y qué función está por encima y qué función está por debajo: x f(x) g(x) - º) Calculamos el área: A - πx cos 4 - x 4 + dx 4 π sen πx 4 - x +x 4 π π (-)+ 8-4 π π π π π - g(x)x /4- - O f(x)cos(πx/4) Esta ecuación se resuelve a ojo. Si se repara en que la función integrando es una función par, puede calcularse la integral entre y, y multiplicar el resultado por. La integral del primer sumando es casi inmediata de tipo seno y las integrales de los otros dos son inmediatas de tipo potencial. -8-