a) Estudiad, en todos los puntos del dominio, la continuidad y la derivabilidad de la función:

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "a) Estudiad, en todos los puntos del dominio, la continuidad y la derivabilidad de la función:"

Adolfo Cortés Venegas
hace 5 años
Vistas:

1 1.- Resolved: a) Estudiad, en todos los puntos del dominio, la continuidad y la derivabilidad de la función: 2x 1 para x 2 f(x) x + 15x 16 para x > 2 b) Calculad el área de la región deitada per el eje horizontal (y 0), la función f(x) y las rectas verticales x 1 i x 3. a) La primera función es un polinomio, por lo tanto es continua y derivable en todo R. La segunda función es una racional, por lo que sólo hemos de mirar los puntos donde se anula el denominador, es decir: 0 x 4 Pero resulta que ese punto no pertenece al intervalo donde la función está definida mediante esta racional, por lo que no tenemos problemas ni de continuidad ni de derivabilidad. Sólo nos queda comprobar el punto de empalme, es decir, x2. Hacemos los límites de la función y de su derivada por la izquierda y la derecha 2x x x Por lo tanto f(x) es continua en todo R. Veamos su derivada: f (x) para x 2 (2x + 15) () x x 16 1 () 2x + 8x + 15x + 60 x 15x + 16 () x + 8x + 76 () para x < 2 Podemos ahora calcular los límites: f (x) 2 2 Por lo tanto la función es derivable en R - {2}. x + 8x () b) Como que la función cambia de definición en x2, descompondremos la integral en dos subintegrales: f(x) dx f(x) dx + f(x) dx (2x 1) La primera integral es inmediata y se resuelve haciendo: dx + x2 + 15x 16 dx

2 (2x 1) dx 2 x 2 x (2 2) (1 1) Para hacer la segunda integral, hemos de dividir los polinomios: Así pues tenemos que: Por lo que: x + 15x 16 () (x + 11) 60 x + 15x 16 Y nuestra integral se transforma en: x2 + 15x 16 dx x x dx x x 60 ln ln ln ,5 60 ln ln 6 13, ln 6 7 4,251 Y el área pedida será: S 2 + 4,251 6, Queremos construir un contenedor con forma de paralelepípedo rectangular (figura 1) con una altura de 2 metros y un volumen de 10 metros cúbicos. El coste del material de la base y de la tapa es de 20 euros por metro cuadrado, y el de las paredes laterales es de 15 euros por metro cuadrado. Queremos que el coste de fabricación sea el mínimo posible. a) Escribid la función a minimizar, es decir, la función del coste de fabricación en términos de los lados x e y de la base. b) Reducid el problema a una función de una variable y calculad que dimensiones ha de tener el paralelepípedo para que el coste de fabricación sea mínimo.

3 a) La función a minimizar es el coste. Por lo que tendremos: C(x, y) 2 Area lados lados 15 2 x y x y 15 40xy + 60x + 60y b) La ecuación que nos relaciona x e y es la del volumen del paralelepípedo, es decir: 10 x y 2 y 5 x Al sustituir en la anterior tenemos que: C(x) 40 x x x + x x x Ahora derivamos e igualamos a cero y tenemos: 0 C (x) x x x ± 5 60 Como no contemplamos distancias negativas tomamos x 5. Para hallar y sustituimos: y 5 x Con el objetivo final de saber si la función siguiente es continua: 2(x 1) + ln(2 x ) f(x) (x 1) ln(2 x para x 1 ) 0 para x 1 a) Calculad el polinomio de Taylor de orden 2 de la función g(x) ln (2 x 2 ) alrededor del punto a 1. b) Estudiad la continuidad de la función f(x), usando el polinomio encontrado en el apartado anterior cuando haga falta calcular un límite. a) Lo primero que necesitamos es el valor de la función y sus derivadas en el punto pedido. g(1) ln(2 1 ) ln 1 0

4 g (x) 1 2x ( 2x) 2 x 2 x g (1) g (x) 2 (2 x ) ( 2x) ( 2x) (2 x ) 4 + 2x 4x 4 2x (2 x ) (2 x ) g (1) (2 1 ) 1 6 Y ahora ya podemos escribir el polinomio de Taylor pedido: P, (x) (x 1) + 1! 2! (x 1) 2x (x 2x + 1) 3x + 4x 1 Pero también podemos expresarlo como: P, (x) 2 (x 1) 3 (x 1) (x 1) 2 3 (x 1) (x 1) (1 3x) Que nos irá bien para luego. b) Para estudiar la continuidad de la función, lo primero es definir su Dominio. Al tener un cociente y varios logaritmos, las condiciones que hemos de imponer son: La primera es equivalente a: La segunda equivale a: Y la tercera equivale a: 2 x > 0 (por el logaritmo) x 1 0 (por estar dividiendo) ln(2 x ) 0 (por estar dividiendo) 2 > x 2 < x < 2 x 1 2 x 1 (recordad que ln 1 0) 1 x 1 ±1 Por lo tanto la función está definida en el intervalo 2, 2 { 1, 1}. Hemos de estudiar los puntos del intervalo donde no está definida la función: 2(x 1) + ln(2 x ) (x 1) ln(2 x ) 2 ( 2) + ln(2 ( 1) ) 2 ln(2 ( 1) ) Se trata de una discontinuidad NO evitable. Veamos en x1. 2(x 1) + ln(2 x ) (x 1) ln(2 x ) ln(2 (1) ) 0 ln(2 (1) 0 ) 0 Para resolver esta indeterminación, podemos usar el Polinomio de Taylor que hemos calculado antes:

5 2(x 1) + ln(2 x ) (x 1) ln(2 x ) 2(x 1) + (x 1) (1 3x) (x 1) (x 1) (1 3x) (x 1) ( x) (x 1) (x 1) (1 3x) (x 1) (3 3x) (x 1) (x 1) (1 3x) 3 (x 1)(x 1) (x 1) (x 1) (1 3x) 3 1 3x Como que este valor que hemos encontrado NO coincide con el valor de la función en ese punto (recordad que, por definición f(1)0), resulta que la función tampoco es continua en x Por qué se considera impropia la siguiente integral? Estudiad su convergencia: e 1 + e dx Indicación: el cambio de variable u e x os puede ser útil. La integral es impropia porque uno de sus límites de integración es infinito. Para estudiar su convergencia calculamos su primitiva haciendo: ex F(x) dx 1 + e2x Planteamos el cambio de variable propuesto: Por lo tanto: u e du e dx e (e ) u F(x) ex du dx arc tan u arc tan e 1 + e2x 1 + u Ahora planteamos el paso al límite y tenemos que: e 1 + e dx e 1 + e Por lo tanto, la integral converge. dx [F(a) F(0)] arc tan e arc tan e arc tan arc tan 1 π 2 π 4 π 4

Documentos relacionados

Para saber si tiene asíntotas horizontales hacemos los límites en los infinitos.

Para saber si tiene asíntotas horizontales hacemos los límites en los infinitos. 1.- Considerad las funciones: f(x) = x + 2 2x x + 2 g(x) = 2 x + 2 a) Determinar el dominio de la función f(x) y calcular sus asíntotas (horizontales, verticales y oblicuas) en caso de que existan. b)