Universidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Continuidad

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1 1 Universidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Continuidad Hasta hace muy poco se creía que una función continua siempre tenía una primera derivada cuyo valor podía ser infinito o indefinido sólo en algunos puntos aislados. Aún en al trabajo de Gauss, Cauchy, Dirichlet, matemáticos acostumbrados a la crítica severa, no puede hallarse, de acuerdo a lo que sé, una opinión distinta. Karl Weierstrass Hemos visto que podemos calcular el límite de una función en un punto a, aún cuando la función no se encuentra definida en ese punto, si ocurre que lím f(x) = f(a), x a decimos que la función es continua, a continuación definimos la continuidad de una función en un punto de tres maneras equivalentes y algunas de sus propiedades. Definición 1 Sea f : R R una función y a un punto del dominio de f. 1. Se dice que f es continua en a si lím f(x) = f(a). x a 2. Una función es continua en a si, y sólo si, para todo ϵ > 0, existe un δ > 0 tal que si x a < δ, entonces f(x) f(a) < ϵ.. f es continua si, y sólo si, para toda sucesión {a n } de números reales tales que {a n } converge a a, la sucesión {f(a n )} converge a f(a). Observe que en esta definición f(a) desempeña el papel de L en la definición de límite, además, la condición 0 < x a < δ es reemplazada por x a < δ pues si x = a, entonces claramente x a = 0 y la condición f(x) f(a) < ϵ se verifica de inmediato.

2 2 Definición 2 Sea f : R R una función y a un punto del dominio de f. Decimos que a es una discontinuidad de f si no es continua en a. Existen dos tipos de discontinuidad: 1. Evitable: Si es posible redefinir la función de manera que sea continua en a 2. Esencial o de tipo salto: Si no es posible redefinir la función de manera que sea continua en a. Ejemplo (La función de Dirichlet) Sea { 1 si x Q f(x) = 0 si x Q, Entonces, la función es discontinua en todos los puntos. De las fórmulas sobre operaciones con límites de funciones podemos deducir la siguiente Proposición 1 Si lím f(x) = f(a) y lím g(x) = g(a), entonces x a x a i) f(x) + g(x) es continua en a ii) f(x) g(x) es continua en a iii) Si g(a) 0, f(x) g(x) es continua en a iv) Si g(x) es continua en a, y f es continua en g(a), entonces f g es continua en a. 1 Proposición 2 Sea f continua en [a, b], entonces 1. Si f(a) < 0 < f(b), entonces existe algún x [a, b] tal que f(x) = f esta acotada en [a, b], es decir, existe algún N > 0 tal que f(x) N para todo x [a, b]. 1 Observe que se requiere que f sea continua en g(a), no en a.

3 . (Teorema del máximo de Weierstrass) f alcanza un máximo y un mínimo en [a, b], es decir, existen α, β [a, b] tal que para todo x [a, b] f(α) f(x) f(β) (Teorema de los valores intermedios) Si f(a) < c < f(b), entonces existe algún x [a, b] tal que f(x) = c. Continuidad Uniforme ( ) 1 Al analizar la función f(x) = sen vemos que una función puede x cambiar con rapidez sus valores en la cercanía de ciertos puntos y lentamente en la proximidad de otros. A las funciones en las cuales los cambios en un intervalo no son bruscos, son suaves, las llamaremos funciones uniformemente continuas en dicho intervalo. Definición Decimos que f es uniformemente continua en [a, b] si para todo ϵ > 0 existe algún δ > 0 tal que, para cualquier x, y [a, b] si x y < δ, entonces f(x) f(y) < ϵ. Además, si f es continua en [a, b], entonces f es uniformemente continua en [a, b]. Si nos es dada una función uniformemente continua en un intervalo que no sea cerrado, es difícil establecer su continuidad uniforme. Afortunadamente, existe una condición que es suficiente para garantizar dicha continuidad en la mayoría de las ocasiones. Definición 4 (Condición de Lipschitz) Sea A R y sea f : A R. Decimos que f es una función de Lipschitz o que satisface la condición de Lipschitz si existe C > 0 tal que para toda x, y A f(x) f(y) < C x y. En el caso de que C < 1, a la función se le llama una contracción. 2 f(α) = f(x) = f(β) ocurre cuando f(x) = c. Si c = 0 se tiene la parte 1.

4 4 Ejemplo Seaf(x) = + x, entonces f es una contracción. En efecto, f(x) f(y) = + x ( + y ) = 2 x y < 2 x y. En consecuencia, f(x) f(y) < 2 x y. Proposición Si f : A R satisface la condición de Lipschitz, entonces f es uniformemente continua en A. Definición 5 (Punto Fijo) Sea f : R R una función. Un punto fijo de f es número α R tal que f(α) = α. El problema de de encontrar puntos fijos esta ralacionado con el problema de encontrar las raíces de una función. Es decir, podemos encontrar los puntos fijos de una función f si encontramos raíces de la ecuación g(x) = x f(x). Ejemplo Encuentre los puntos fijos de la función f(x) = x 2 2x + 2. El problema nos pide encontrar un α tal que f(α) = α, o de manera equivalente: α 2 2α+2 = α, resolviendo α 2 α+2 = 0 tenemos que las soluciones son α = 1 y α = 2, las cuales coinciden con los puntos fijos de f. Nota 1. No todas las funciones tienen punto fijo, por ejemplo, la función f(x) = x 1. En este caso, no existe α tal que α 1 = α. Nota 2. De la definición de continuidad de una función podemos concluir que toda contracción es continua. Proposición 4 Sea A un intervalo cerrado y f : A A. Entonces f tiene al menos un punto fijo en I. Además, si f una contracción, el punto fijo es único. Ejercicios

5 1. Dé un ejemplo de una función f que no sea continua en ningun punto, pero tal que f sea continua en todos los puntos. 2. Demuestre que existe algún x tal que i) x x 2 + sen 2 x = 119 ii) sen x = x 1. Suponga que f es continua en [a, b] y que f(x) es siempre racional. Qué puede decirse acerca de f? 4. Suponga f y g dos funciones continuas en [a, b], y que f(a) < g(a), pero f(b) > g(b). Demuestre que f(x) = g(x) para algún x [a, b]. 5. Suponga que f es continua en [0, 1] y que f(x) [0, 1] para todo x. Demuestre que f(x) = x para algún número x. 6. El problema anterior nos dice que f corta a la diagonal del cuadrado unitario. Pruebe que f debe también cortar la otra diagonal. De manera general, si g es una función continua en [0, 1] y g(0) = 0, g(1) = 1 ó g(0) = 1, g(1) = 0, entonces f(x) = g(x) para algún x. 7. Suponga que f es continua con f(x) > 0 para todo x y lím f(x) = 0 = lím f(x). x x Pruebe que existe algún número α tal que f(α) f(x) para todo x. 8. Para qué valor de la constante c la función f es continua en todo R? f(x) = { cx + 1 si x cx 2 1 si x >. 9. Hallar la constante c para la cual la función g es continua en todos los valores reales. g(x) = { x 2 c 2 si x < 4 cx + 20 si x 4. 5

6 6 10. Pruebe que la función f(x) = x satisface la condición de Lipschitz en [1, ).