Una función f con dominio D y co-dominio o rango R es una función uno-a-uno si satisface al menos una de la siguientes condiciones equivalentes.

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Lucas Camacho Olivera
hace 7 años
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1 FUNCIONES INVERSAS

2 Funciones Uno-a-Uno Una función f con dominio D y co-dominio o rango R es una función uno-a-uno si satisface al menos una de la siguientes condiciones equivalentes. 1) Siempre que a b en D, f(a) f(b) en R. 2) Siempre que f(a) = f(b) en R, a = b en D. Ejemplo: f(x) = x 2 NO es uno-a-uno, ya que f(2) = f(-2) = 4, pero 2-2.

3 Función uno-a-uno Cada valor de la función en R corresponde a exactamente un elemento en D. Los valores del campo de valores no se comparten.

4 Ejemplo Si f(x) = 3x + 2, demuestre que f es uno-a-uno. Solución: a) Suponer que f(a) = f(b) para algún a y b en el dominio de f. (Salidas iguales.) b) Entonces, 3a + 2 = 3b + 2 c) 3a = 3b a = 3b 3a 3 = 3b 3 Por consiguiente a = b. d) Por lo tanto f es uno-a-uno, por la condición 2 de la definición.

5 Ejemplo (cont.) b) Si g(x) = x 2 3, demuestre que g NO es uno-a-uno. Solución: Aquí buscaremos dos números distintos en el dominio que producen el mismo valor para la función. Como g es una función par, existen muchas posibilidades: g(-1) = g(1) = -2 g(-2) = g(2) = 1 etc. Existe al menos un valor de y en el recorrido que corresponde a más de un valor de x en el dominio. Por lo tanto, g(x) = x 2 3, NO es uno-a-uno

6 Prueba de la línea horizontal Esta prueba dice que una función f es uno-auno si cada línea horizontal interseca la gráfica de f en no más de un punto. Aquí f NO uno-a-uno.

7 Ejemplo Use la prueba de la línea horizontal para determinar si f(x) = 3x + 2 es uno-a-uno: Construir la gráfica de f Luego realizar la prueba de la línea horizontal. f es uno-a-uno

8 Ejemplo Use la prueba de la línea horizontal para determinar si g(x) = x 2 3 es uno-a-uno. Construir la gráfica de f Luego realizar la prueba de la línea horizontal. g NO es uno-a-uno, ya que existe al menos una línea horizontal que interseca la gráfica de g en dos puntos.

9 Funciones crecientes/decrecientes Una función que es creciente en todo su dominio es uno-a-uno; Una función que es decreciente en todo su dominio es uno-a-uno;

10 Funciones Inversas Si f es una función uno-a-uno, definida de D a R, y = f(x), entonces podemos definir una función g de R a D mediante la regla x = g(y). El diagrama muestra que g invierte la correspondencia definida por f : Llamaremos g la función inversa de f y escribimos g = f 1 (x).

11 Teorema sobre funciones inversas Sea f una función uno-a-uno con dominio D y rango R. Si g es una función con dominio R y rango D, entonces g es la función inversa de f si y solo si se cumple lo siguiente : g(f(x)) = x para todo x en D f(g(y)) = y para todo y en R A la función g que es la inversa de f, le designamos la notación f -1 (x).

12 Ejemplo Determinar si g(x) = 1 4 x 3 es la función inversa de f(x) = 4x + 12.

13 Ejemplo Hallar la función inversa de f(x) = 3x - 5 :

14 Graficas de f -1 Como una funcion y su inversa intercambian su dominio y rango, el punto (a, b) está en la gráfica de f si y solo si el punto (b, a) está en la gráfica de f -1. Las gráficas de f(x) y f -1 (x) son reflexiones sobre la recta y = x.

15 Ejemplo: Trace las gráficas de f(x) = 3x - 5 f 1 (x) = x x f(x) x f -1 (x)

16 Ejemplo: Determine, f -1 (x), si existe, para f(x) = x + 3

17 Trace la gráfica de la función inversa de la función que se muestra. X Y f(x) Dominio f(x): Rango f(x): [-7,9] [-1, 3]

18 FUNCIONES EXPONENCIALES

19 Funciones exponenciales Anteriormente han considerado ecuaciones de potencia que tienen la variable en la base y una potencia constante. (base variable) (potencia constante), tales como x 2, 4x 3, 8x, etc. Ahora, revisaremos ecuaciones con términos de la forma (base constante) (potencia variable), tales como 2 x, 4 x, ½ x, etc.

20 Ejemplo Definimos f(x) = 2 x Mostramos algunos valores para esta función y una gráfica : Notamos: f(x) es creciente en todo su dominio. Dominio: Todos los reales Campo de valores: (0, )

21 Ejemplo Definimos g(x) = 1 2 Mostramos algunos valores para g: f(x) = 2 x g(x) = 1 2 x x Notamos: g(x) es decreciente en todo su dominio. Dominio: Todos los reales Campo de valores: (0, )

22 Definición La función exponencial, f(x) = a x, (para a, un número positivo diferente de 1 y x, cualquier número real) tiene las siguientes características

23 Gráficas de Funciones Exponenciales Se observa que si a>1, y= a x es una gráfica creciente. Sean f(x) = a x y g(x) = b x funciones exponenciales. Si a>1, b>1 y a>b, entonces: g(x) > f(x) para x<0 f(x)> g(x) para x>0 Decimos que f(x) crece más rápido que g(x) para x > 1.

24 Teorema Las funciones exponenciales son crecientes o decrecientes en todo su dominio (monotónicas). Una función monotónica es una función unoa-uno. La propiedad uno-a-uno de las funciones exponenciales nos permite resolver ecuaciones exponenciales sencillas.

25 Ejemplo Hallar x tal que 7 3x = 7 2x + 5.

26 Ejemplo x+4 Resolver para x, 2 x 3 = 1 2 Solución:

27 Ejemplos Resolver para x, 3 5x 8 = 9 x + 2

28 Ejemplo Obtener una ecuación de la forma f(x) = b(a x ) para la gráfica Solución:

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