Práctico Preparación del Examen

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1 Cálculo Diferencial e Integral (Áreas Tecnológicas) Segundo Semestre 4 Universidad de la República Práctico Preparación del Examen Límites, funciones y continuidad Ejercicio Sea log(+x ) f(x) =, si x < x x + cos(a+3x), si x. Calcular a [,π] para que f(x) sea continua. En lo que sigue se utilizará el valor de a que hace a la función f continua.. En qué puntos es derivable la función f? 3. Hallar el polinomio de Taylor de orden en x = de la función f. Ejercicio Se considera una función derivable f : [,] R que verifica la igualdad y tal que f() = f() =. f +f f =,. Probar que la función f no toma un máximo positivo. (Sugerencia: Suponer por absurdo que existe tal punto y estudiar la derivada segunda en el mismo.). Probar que la función f no toma un mínimo negativo. 3. Concluir que la función es idénticamente nula. Ejercicio 3 Sea f: R R, f(x) = x 3 +6x +x. Probar que f es sobreyectiva.. Probar que f es inyectiva. 3. Calcular, si existe, la derivada de f en x =. Ejercicio 4 Calcular, si existen, el máximo y el mínimo valor que toma la función en el intervalo [,+ ]. f(x) = x + 4 x

2 Ejercicio 5 Sea f : R R dada por f(x) = x.. Dado ε >, Para qué valor de δ > se verifica la siguiente propiedad? a) δ < b) δ < ε c) δ < ε. De la parte se concluye que: a) lím f(x) = x b) lím f(x) = x c) lím x f(x) = Ejercicio 6 Calcular: ( ) x 3 lím xlog x + x+ Ejercicio 7 Calcular los siguientes límites: a) lím x x 4x+3 x e x x b) lím x x c) lím x 3x 4 +x 3 +x d) lím x +x/ x E (,δ) implica f(x) E(,ε) x x. (Sugerencia: e log(f(x)) = f(x), con f(x) > ) ( (tan(x) sen(x))sen e) lím x) x e x x Ejercicio 8 Sea f : R R dada por f(x) = { x +5, x a ax, x > a, con a R. a) Cuáles son los valores de a que hacen a f continua? b) Cuál es el valor de a que hace a f continua e invertible? Ejercicio 9 Se considera la función f(x) = { log(x), < x < ax +b, x Si la función cumple que f() = 3, determinar los valores de a y b para que la función sea continua.

3 Ejercicio Se considera la ecuación e x5 = log(x+). a) Existe alguna raíz de la ecuación en el intervalo [, ]? b) Existe alguna raíz de la ecuación en el intervalo [,]? Ejercicio En que puntos del dominio no es derivable la función f : R R dada por f(x) = e 3x+9. Ejercicio Calcular la derivada de las siguientes funciones en los puntos donde se indica:. x +log(x), en x =.. xlog(x), en x = e. 3. sen (x)cos(x), en x = π. 4. log(cos(x)), en x = π 4. Ejercicio 3 Sea f(x) = xe x. Evaluar la derivada de la función inversa de f en el punto x =. Ejercicio 4 Hallar a y b reales para que la recta y = a(x )+b sea la recta tangente en el punto x = de la función x 3 +log(x). Ejercicio 5 Sea f : R R definida mediante f(x) = x x+. Como conclusión del Teorema de Valor Medio (TVM) para funciones derivables se puede afirmar que:. Existe c [,] tal que f(c) =.. Existe c [,] tal que f (c) =. 3. Existe c [,] tal que f (c) =. Ejercicio 6 Hallar mínimos y máximos absolutos de la función f : [, 5 ] R, tal que: { x, x [,] f(x) = x +4x 3, x (, 5 ]. Obs: Se pide hallar el mínimo y máximo valor que alcanza la función f, es decir que, los valores a hallar deben estar en el codominio de la función. 3

4 Ejercicio 7 Dada una cuerda de longitud, la cortamos en dos trozos de longitud x y x. Con el primer trozo hacemos un triángulo equilátero y con el segundo trozo un cuadrado. Hallar x [,] de manera tal que la suma de las áreas sea la mínima posible. Ejercicio 8 Hallar los siguientes límites: lím x 5sen(3x) x 3sen(x), lím x cos 4 (x) x Cálculo integral Ejercicio 9 Resolver las siguientes integrales:.. e e π/ Ejercicio x(log(x)) dx. e x sen(x)dx. Calcular la siguiente la integral: Ejercicio 4/π /π ( ) x sen dx. x Hallar una primitiva F de la función x log(x) tal que F() =. Ejercicio Se considera el área encerrada entre los gráficos de f(x) = x y g(x) = αx+, en función del parámetro α. Hallar α para que el cual el área toma el mínimo valor. Existe un valor máximo? Ejercicio 3 Calcular las siguientes integrales xcos(+x )dx. 3 3 x(x +)cos(x +)dx sinxcosx sinx cos x dx x 3 e x dx 4

5 Ejercicio 4 Sea f(x) = e x +x 4. Si F es una función tal que F (x) = f(x) para todo x y F() =, cuánto vale F()? Ejercicio 5 Sea f : R R una función integrable, no necesariamente continua (por ejemplo, se puede pensar en una función continua a trozos). Se conoce que f(x)dx = y que 8 f(x)dx = 5. Además se sabe que f es constante e igual a en el intervalo [4,8), así como también se conoce que f es constante e igual a cierto numero b R en el intervalo (,4). Hallar b de forma tal que f(x)dx = 5. Ejercicio 6 Calcular el área de la región acotada por las curvas y = x e y = x +8 y que contiene al punto (, ). Figura : Región acotada. Ejercicio 7 Se considera la función f : (,6] R cuyo gráfico es el siguiente: En el intervalo [5,6] la función está definida por f(x) = x x+35. Calcular:. 4 f(x)dx f(x)dx. 3. El área que encierra el gráfico de f. Ejercicio 8 Calcular las siguientes integrales: 3x dx, π (cos(x) + sin(x)) dx, e 5 x+ dx, π 8 8 4x + dx 5

6 Figura : Gráfica de f. Ejercicio 9 Calcular las siguientes integrales por el método de partes: π xcos(x)dx, e xlog(x) e + dx, e log(x)dx, 3x e x e dx, e 4 x 3 log(x)dx Ejercicio 3 Calcular las siguientes integrales por el método de sustitución: xe x e dx, e x x + dx, x e e x + dx, e xlog(x) dx, π 5cos(x)e sin(x) dx e Ejercicio 3 Sea G(x) = Ejercicio 3 x +x (e t +t 3 +)dt. Hallar G (). Calcular las siguientes integrales por el método de fracciones simples. 3 x+3 (x )(x+5) dx, 4 x 3 x dx, x x +x+ dx, x +4x+ x(x+) dx, 8 3 x x x dx. 6

7 Ejercicio 33 Calcular las siguientes integrales usando partes y sustitución. π x 3 sin(x )dx, e x dx, π 6 sin(x)cos(x)e sin(x) dx, e log( x) x dx, e 3 6x 5 log(x 3 )dx. Sugerencia: Usar el cambio de variable u = x en las integrales y 4. Dato: sin( π 6 ) = Ecuaciones diferenciales Ejercicio 34 Considere la siguiente ecuación diferencial: y = y 3 +7y 6.. Hallar los puntos de equilibrio de la ecuación y clasificarlos.. Sea ϕ(x) la solución con condición inicial ϕ() =. Calcular lím respuesta. Ejercicio 35 Resolver la siguiente ecuación diferencial: { y y = sen(x) y() = x + ϕ(x). Justificar la Ejercicio 36 Se considera la ecuación diferencial y = xex y.. Hallar la solución de la ecuación que en y() =.. Verificar que la función encontrada es solución de la ecuación diferencial. Ejercicio 37 Un modelo poblacional bastante simple, pero absolutamente exacto, en la predicción del crecimiento de tumores es, descrito por la ecuación de Gompertz. N (t) = an ln(bn) donde N(t) es proporcional al número de células en el tumor y a,b > son parámetros que se determinan experimentalmente. (Benjamin Gompertz ( ) fue un matemático y actuario inglés) 7

8 a) Hago un bosquejo de la gráfica de f(n) respecto de N. b) Halle y clasifique los puntos de equilibrio para esta ecuación. c) Para < N, determine donde la gráfica de N(t) respecto de t tiene concavidad negativa y donde concavidad positiva. d) Haga un bosquejo de N(t). Ejercicio 38 Calcular las soluciones de la siguiente ecuación diferencial: y = ( 4x)y +e x, con y() =. Ejercicio 39 Hallar una función derivable y no nula f, que satisfaga la siguiente ecuación: f(x) = x f(t)dt Ejercicio 4 Se considera la siguiente ecuación diferencial y y = x3 x x y() = ln. Hallar la solución de la ecuación diferencial en forma explícita.. Estudiar el dominio de la solución encontrada en la parte anterior. Ejercicio 4 Consideremos la ecuación diferencial y = (y 4)y.. Hallar puntos de equilibrio y clasificarlos.. Bosquejar las soluciones con condición inicial y() = ; y() = ; y y() =. 3. Hallar explicitamente la fórmula de la solución de la ecuación diferencial { y = (y 4)y Ejercicio 4 y() = Consideremos la siguiente ecuación diferencial { y ( ) = = 3x y y() = Sea ϕ(x) la solución de ( ).. Hallar log(ϕ()). 8

9 Ejercicio 43 Consideremos la siguiente ecuación diferencial { y ( ) = = y + y() = Sea ϕ(x) la solución de ( ).. Hallar ϕ(π/4).. La solución ϕ(x), está definida para todo x? Ejercicio 44 Hallar x() para las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:. y = y +xe x, y() = /.. y xy = e x, y() =. Ejercicio 45 Consideremos la siguiente ecuación diferencial. Hallar sus puntos críticos. y = y.. Sea ϕ(x) la solución con condición inicial ϕ() =. Hallar lím x + y(x). Ejercicios: Exámenes de Facultad de ciencias Soluciones en: Examen. 8/8/. a) Calcular b) Calcular c) Resolver (+x) π e πx + π lím x x x 3 sen(x)log(tan(x)) cos 3 dx (x) { y +3y 4y = 3(x+)e x y() = ; y () =. Para cada β R +, se define f : [,+ ) R, mediante f β (x) = x e t t β dt a) Probar que f β es monótona creciente. b) Probar que existe x R (que depende de β) tal que e x x β e x/ c) Probar que existe y es finito lím x + f β (x). d) Sea I β = lím x + f β (x) aplicando parte a f β probar que I β = βi β para todo β R +. 9

10 Examen 4//. Resolver la ecuación diferencial en la semirrecta x > : { y xy = ex x y() = e. Sea f(x) = e x/5. Consideramos p n (x) al polinomio de Taylor de f en a = y r n el resto. a) Hallar una fórmula explícita para p n (x) y para r n (x) en la forma de Lagrange. (n N genérico). b) Probar que p n (x) e x/5 x >,n N. c) Probar que si < x entonces e x 5 pn (x) < 3 5 n+ (n+)! Observar que e /5 < 3 d) Utilizar p n (x) para calcular con un error menor que,5. Justificar sin calculadora. Examen //3. Sea f : R R una función C (con derivadas continuas de cualquier orden) que cumple f (x) > para todo x R. Supongamos que f presenta un mínimo relativo en x = p. a) Probar que f no presenta máximos relativos. b) Probar que p es el único punto en el cual f presenta un mínimo relativo. c) Probar que f(p) es mínimo absoluto. d) Probar que para cada a R se cumple que el gráfico de f está por arriba de la tangente al gráfico de f en a. e) Probar que lím f(x) = lím f(x) = + x x +. Sean f,g : R R funciones continuas tales que: a) Probar que f es derivable. b) Probar que f verifica f(x) = 3x + x g(t)f(t)dt, x R () f (x) = 6x+g(x)f(x), x R c) Supongamos que g es la función identidad g(x) = x. Encontrar una función f que verifique la condición () Examen 9/7/3. a) Calcular x x dx. b) Calcular x 4 +3x +x+ dx. x 3 +x c) Resolver y y +5y = 4e x +5x 4x+. d) Resolver (+e x )yy = e x, con y() =.. Sea f : [a,b] R una función continua. Probar:

11 a) Si f es no negativa y existe c (a,b) tal que f(c) >, entonces b a f(x)dx >. b) Si f verifica b a f(x)g(x)dx = para toda función continua g : [a,b] R tal que g(a) = g(b) =, entonces f =. c) Si f es derivable y verifica b a f(x)g (x)dx = para toda función g : [a,b] R derivable en [a,b], tal que g(a) = g(b) =, entonces f es constante. Examen 4/8/3. Sea f una función derivable definida en un intervalo abierto que contiene a [a,b]. a) Probar que si el mínimo de f en [a,b] lo alcanza en a, entonces f (a), y si lo alcanza en b, entonces f (b). b) Probar que si f (a) < y f (b) > entonces existe c (a,b) tal que f (c) =. c) Probar que si d R es tal que f (a) < d < f (b) entonces existe c (a,b) tal que f (c) = d.. Sea f : R R definida por f(x) = a) Calcular lím f(x) y lím f(x). x + x x+ b) Probar que f es derivable y calcular f (x). x e t dt c) Investigar la existencia de extremos absolutos de f. 3. Resolver { y tan(x)y = e sen(x), x ( π, π ), y() = Examen 4//4. a) Calcular cos 3 (x)dx y cos 4 (x)dx. b) Resolver la siguiente ecuación diferencial y 3tan(x)y = cos(x), x ( π, π ). a) Sea p(x) el polinomio de Taylor de orden 3 de sen(x) en y α la raíz positiva de la ecuación p(x) = x. Calcular α y mostrar que está en el intervalo (8/,8/). b) Probar que sen(α) α <. c) Sin calcular, decidir si sen(α) > α o sen(α) < α, justificando el resultado. Examen /3/4. a) Calcular x e sen(x3) sen(x 3 )cos(x 3 )dx b) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: ) y y +y = e x, con las condiciones iniciales y () =,y() =. ) y y +y = x+e x, con las condiciones iniciales y () = y() =.

12 . Para cada n N definimos b n = π 4 tann (x)dx. a) Calcular b y b. b) Probar que < b n+ < b n π 4, n N (sugerencia: estudiar el signo de tan(x) para < x < π 4 ). Deducir que la sucesión (b n) es convergente. c) Probar b n +b n+ = π 4 (tan n (x))(+tan (x))dx calculando esta integral deducir que b n +b n+ = n+, n N. Concluir lím nb n =. Examen Noviembre, diciembre 4. a) Supongamos que f es una función continua y positiva que satisface: f(x) = e+ x ) Probar que f es una función derivable. ) Probar que f no puede ser constante. 3) Hallar explícitamente f.. a) Hallar f tal que f() =, y verifique: f8s)log(f(s)) ds f (x) = x 3 x 9 x R b) Asumiendo que es derivable e invertible, hallar g, tal que: g(x) g (t)dt = 4 3 x4, x R c) Asumiendo que es infinitamente derivable, hallar h tal que: x (6h(t) h (t))dt = h (x); f( ) = 3. Sean f y g dos funciones continuas y derivables, con derivadas continuas hasta el orden n+ (conn > ).Decimosquef yg tienencontacto de orden nenx = asif(a) = g(a)yademás sus derivadas coinciden en a hasta el orden n. Definimos la diferencia D(x) = f(x) g(x). Decimos que f y g se cruzan en a si D toma distinto signo, localmente, a un lado y otro de a. a) Sea f un polinomio de grado menor o igual a n y a R. Si f tiene orden de contacto n con la función nula en a, entonces f es el polinomio nulo. b) Si f y g tienen contacto de orden n, hallar: D(a+h) lím h h n+ c) Probar que si el orden de contacto de f y g es par en a (en el impar siguiente las derivadas no coinciden) entonces f y g se cruzan en a. d) Probar que si el orden de contacto de f y g es impar en a (en el par siguiente las derivadas no coinciden) entonces f y g no se cruzan en a. 4. Consideremos la función f(x) = + e xt +t dt a) Hallar el máximo dominio de definición de f. b) Probarquef esderivableentodox >.(Sugerencia:Buscaruncandidatodederivada y luego utilizar la definición de derivada para probarlo.) c) Probar que f es solución de la ecuación diferencial y y = x con x >.