x,six 4 y = - x 20x x, si 0 x 75, si 15 x 30 = < 5x 100, si 30 x 120 6

Transcripción

1 4º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES (ª PARTE).- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Son aquellas cuya fórmula está formada por dos o más expresiones, cada una definida en un x,six 4 intervalo diferente. Por ejemplo, y = < es una función definida en dos intervalos: x,six 4 En el intervalo (, 4 ) la gráfica es la semirrecta abierta y = x de extremo A(4, ) En el intervalo [ 4, ) la gráfica es la semirrecta cerrada y = x de extremo B(4, 4) y = x - 4 y = - x Ejercicio Haz la gráfica de las siguientes funciones: a) b) f( x) x si x< = x x x > si x 4,six f(x) =,six> c) x si x f( x) = x 4x si x> Ejercicio En un centro de entrenamiento de deportistas de alta competición han determinado que el rendimiento de uno de ellos (en %) en función del tiempo x (en minutos) de esfuerzo muscular viene dado por la expresión: f 7, si x 0 x 0x x, si 0 x < = < x 00, si 0 x 0 6 a) Haz la gráfica de la función. b) Calcula el rendimiento del deportista en los siguientes tiempos: min, min, 0 min y 4 min Practica tú x,six< Dibuja la gráfica de las funciones: a) f(x) = x,six b) f(x) = 4xx, si x 4 x, si x > 4 x 6x, six> 0 c) f( x) =, six< 0 d) x, six< f( x) = 4, six e) f( x), < x six = x x six 4, f) f(x) = > x x,six 0 x x,x 0 9x si x g) f(x) = x 8x si x > x si x< h) f(x) = x 4x si x El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próximos diez años viene dado x 8x si 0 x< 6 por la función f(x) =, donde x indica el tiempo transcurrido en años. si 6 x 0 a) Representa gráficamente la función b) Calcula el beneficio a los años y a los 7 años - Página -

2 4º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES (ª PARTE).- FUNCIONES EPONENCIALES LOGARÍTMICAS Funciones exponenciales de base a Son aquellas cuya fórmula es del tipo f(x) = a x, con a > 0, a La gráfica de este tipo de funciones no corta al eje y corta al eje en el punto (0, ) Si a >, es creciente. y = x Si a <, es decreciente. y = (⅓) x Ejemplo: Ejemplo: Ejercicio Haz la gráfica de las siguientes funciones exponenciales: a) y = Ejercicio 4 Escribe la fórmula de la función exponencial f cuya gráfica es: 9 x b) y = x Funciones logarítmicas de base a Su fórmula es del tipo y = log a (x), con a > 0, a. En estas funciones, D(f) = (0, ), Im(f) = R La gráfica es una curva que corta al eje en el punto (,0) y tiene como asíntota vertical al eje. Si a >, es creciente. Ejemplo: y = log (x) Si a <, es decreciente. Ejemplo: y = log/ (x) Ejercicio Dibuja la gráfica las siguientes funciones logarítmicas: a) y = log / (x) b) y = log (x) Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas Si una población P 0 aumenta o disminuye cada año en un r %, la población final, P, al cabo de t años se calcula usando las fórmulas: t r r Silapoblaciónaumenta: P= P0 Silapoblacióndisminuye: P= P Si la población se duplica cada año, entonces r = 00 % y la fórmula es 00 P= P 0 P= P t t t - Página -

3 4º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES (ª PARTE) Ejercicio 6 Un negocio, en el que invertimos pierde un 0,0% mensualmente. a) Cuánto dinero habrá al cabo de año y medio? b) Cuánto tiempo debe pasar para tener la cuarta parte del dinero inicial? Ejercicio 7 Se invierten 4 00 al,% de interés compuesto anual. Cuánto tiempo debe pasar para tener 000? Ejercicio 8 Cuánto tiempo debería pasar para que el dinero que tenemos en el Banco, a un,% de interés compuesto anual, se triplique? Ejercicio 9 La población de conejos es muy prolífica. Si disponen de comida suficiente y no hay depredadores que les puedan comer pueden llegar a doblar su número cada mes. Supongamos que se da la situación anterior y actualmente hay 6 conejos. Calcula: a) Cuántos conejos habrá dentro de un año? b) Cuántos había hace 7 meses? Practica tú Haz la gráfica de las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas: x a) y = b) y = x - Página - c) y = log x d) y = log /4 x 4 Una ciudad tiene actualmente habitantes. Supongamos que su población crece anualmente a un ritmo del % a) Cuántos habitantes habrá al cabo de 8 años? b) Cuánto tiempo debería pasar para alcanzar los habitantes? c) Cuántos habitantes había hace años? d) Cuánto tiempo hace que había 000 habitantes? Supongamos que la masa de un elemento químico radiactivo disminuye anualmente un 0,006% Al principio tenemos 700 g. a) Cuál es la masa al cabo de años? b) Cuánto tiempo debe pasar para que la masa sea la tercera parte de la masa inicial? 6 Se invierten 00 al,% de interés compuesto anual. Cuánto debe pasar para tener 000? 7 Cuánto tiempo debe pasar para que el dinero que tenemos en el Banco, a un,% de interés compuesto anual, se duplique? 8 Una ameba se reproduce por bipartición cada minuto. Actualmente hay amebas. Cuánto tiempo hace que había amebas?.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Tomemos, por ejemplo, la función f dada por la expresión y = x,six <,si x > x Concepto de límite por la izquierda Es el valor al que tiende la y cuando tomamos valores de x cada vez más próximos a y menores que. Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores: Observamos que la y tiende a. Se dice entonces que cuando x tiende a, por la izquierda, la y tiende a. Se simboliza así: =. Se lee límite de f(x), cuando x tiende a por la izquierda, es igual a x,8,9,99 como x < y = x 4,6 4,8 4,98

4 4º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES (ª PARTE) En general, el límite de una función cuando x tiende a a por la izquierda es el valor al que tiende la y cuando se toman valores de x menores que a cada vez más próximos a a. El límite puede ser un número, ó. Se representa así: Concepto de límite por la derecha Es el valor al que tiende la y cuando tomamos valores de x cada vez más próximos a y mayores que. x,0,00,000 Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores: como x >, y = x Observamos que y tiende a. Se dice entonces que cuando x tiende a, por la derecha, la y tiende a. Se simboliza así: =. Se lee límite de f(x), cuando x tiende a por la derecha, es igual a En general, el límite de una función cuando x tiende a a por la derecha es el valor al que tiende la y cuando se toman valores de x mayores que a cada vez más próximos a a. El límite puede ser un número, ó. Se representa así: Los límites por la izquierda y por la derecha se llaman límites laterales Interpretación sobre la gráfica Gráficamente significa que: - La gráfica que hay a la izquierda de tiende al punto de valor y =, al acercarnos al - La gráfica que hay a la derecha de se dirige hacia arriba, al acercarnos al Límite de una función f en un punto x = a Decimos que una función f tiene límite en un punto x = a cuando los límites laterales coinciden: = El límite de la función f cuando x tiende a a, En la función del ejemplo anterior,, es el valor común de los límites laterales. pues los límites laterales no coinciden: =, = - Página 4 -

5 4º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES (ª PARTE) Ejercicio 0 Halla los siguientes límites: a) y x b) x - y x Practica tú 9 Mediante tablas de valores calcula los límites puntuales que se indican. x 0,six> a) f(x) =, b) f(x)= x si x 0 x x,si x< x x si x> 0, 0 Calcula los límites que se piden, hallando para ello los límites laterales: b) a) c) x 4 limf(x) d) x 4 x 4 e), y f) x 4 - Página -

6 4º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES (ª PARTE) g) h) - 0 y x i), j) x k) l) - -6 y x 4.- ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD A PARTIR DEL LÍMITE PUNTUAL Recuerda que para que una función sea continua, su gráfica no puede tener ninguna rotura. Por ejemplo, la siguiente función no es continua en x = a porque las ramas no conectan, fíjate que los límites laterales en x = a son distintos, o dicho de otra forma, no existe Tampoco es continua, en x = a, la siguiente función, porque aunque las ramas conectan (existe = b), no coincide con f(a). Por eso su gráfica tiene un agujero - Página 6 -

7 4º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES (ª PARTE) Luego, para que una función f sea continua en x = a se debe cumplir que O lo que es lo mismo, se tienen que dar las siguientes condiciones: = f(a) C: Debe existir f(a) C: = = f(a) Tipos de discontinuidades Discontinuidad asintótica o de salto infinito Se da cuando =± y/o Ejemplos: =±. = = L = = = = x a ( f(a) ) ( f(a) ) (f(a) = b ) Cuando la función tiene una discontinuidad asintótica, decimos que asíntota vertical es la recta de ecuación A.V : x = a Se da cuando Discontinuidad de salto finito = b, = c, pero b c Ejemplos: = b = c = b = c = b = c (f(a) = c ) ( f(a) ) (f(a) = d ) - Página 7 -

8 4º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES (ª PARTE) Discontinuidad evitable Se da cuando = b, pero b f(a) Ejemplos: = b = b = b = b (f(a) = c) ( f(a) ) Practica tú Clasifica las discontinuidades de las funciones discontinuas del ejercicio propuesto 0.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Concepto de límite en 6x Sea f la función dada por la expresión y = x Es el valor al que tiende la y cuando tomamos valores de x muy grandes y cada vez más grandes. Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores x 6x y = x,00,007,00 Observamos que la y tiende a. Se dice entonces que cuando x tiende a, la y tiende a. Se simboliza así: =. Se lee límite de f(x), cuando x tiende a, es igual a x En general, el límite de una función cuando x tiende a es el valor al que tiende la y cuando se toman valores de x infinitamente grandes. En caso de que exista, el límite puede ser un número, ó. Se representa así:. x Interpretación sobre la gráfica Gráficamente significa que la gráfica, por el extremo de la derecha, se aproxima cada vez más a la recta horizontal de ecuación y =. - Página 8 -

9 4º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES (ª PARTE) Concepto de límite en Sea f la función dada por la expresión y = x Es el valor al que tiende la y cuando tomamos valores de x negativos y que en valor absoluto sean muy grandes y cada vez más grandes. Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores x y = x Observamos que y tiende a. Se dice entonces que cuando x tiende a, la y tiende a. Se simboliza así: =. Se lee límite de f(x), cuando x tiende a, es igual a x En general, el límite de una función cuando x tiende a es el valor al que tiende la y cuando se toman valores de x negativos e infinitamente grandes en valor absoluto. En caso de que exista, el límite puede ser un número, ó. Se representa así:. x Interpretación sobre la gráfica Gráficamente significa que la gráfica, por el extremo de la izquierda, tiende hacia arriba Asíntotas horizontales Decimos que una función f tiene una asíntota horizontal si alguno de los límites en ó, o los dos, son un número, L. La ecuación de la asíntota horizontal es A.H : y = L Por ejemplo, la función tiene una asíntota horizontal, que es la recta de ecuación A.H.: y =, porque = x Asíntotas oblicuas Decimos que una función f tiene una asíntota oblicua si en ó, la gráfica se aproxima a una recta no horizontal del tipo A.O : y = ax b Por ejemplo, la función tiene una asíntota oblicua en - Página 9 -

10 4º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES (ª PARTE) Ejercicio Determina los límites en y en y escribe las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales e indica si hay asíntotas oblicuas: 0 a) - b) c) Ejercicio Construye una gráfica que cumpla: f(0) =, f() = 0, =, =, =, = 0 x x Practica tú En las siguientes funciones, obtén los límites en y en, usando tablas de valores: a) f(x) = x x b) x, si x > 4 f(x) = x x, si x< 4 Determina los límites en y en y escribe las ecuaciones de las posibles asíntotas verticales horizontales y oblicuas, si las hay: a) b) - c) d) - Página 0 -

11 4º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES (ª PARTE) 4 e) f) 4 Estudia las asíntotas horizontales y verticales de las funciones de proporcionalidad inversa, las exponenciales y las logarítmicas. Construye de forma aproximada una gráfica en cada apartado que se ajuste a lo que se pide: a) f() = 0, =, x =, x =, x = x b) f(0) =, f() =, =, x =, x =, x = x c) f( ) = 4, f( ) =, = 0, =, =, x = 0 x d) f(0) = 0, =, =, =, x = 0 x 6.- TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN Se define la tasa de variación media (TVM) de una función y = f(x) en un intervalo [ a, b] como el f( b) f( a) cociente: TVM[ a, b ] = ba La tasa de variación media es la pendiente del segmento que une los puntos A(a, f(a)) y B(b, f(b)) y nos indica la rapidez con la que crece o decrece la función al pasar del punto A al B. Si f es creciente en [a,b],la tvm es positiva Si f es decreciente en [a,b],la tvm es negativa Si f es cons tante en [a,b],la tvm es cero Ejercicio Calcula la tvm de las funciones f(x) = x, g(x) = x en los intervalos [, ] y [4, ] e indica cuál de ellas crece más rápidamente en cada intervalo. Ejercicio 4 Esta es la gráfica del espacio recorrido por un móvil Halla la TVM entre los segundos y, y explica qué representa - Página -

12 4º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES (ª PARTE) Ejercicio El consumo de combustible de un vehículo a lo largo del año viene determinado por la tabla adjunta. Determina la tasa de variación media entre los meses de enero (mes ) y junio (mes 6) y entre los meses de julio (mes 7) a diciembre (mes ) e interpreta el resultado 6 Dadas las funciones: Practica tú f(x) = x, g(x) = 4x, h(x) = 6, i(x) = x x, j(x) = x, k(x) =, l(x) = log x x a) Indica de qué tipo es cada función. b) Calcula la tvm de las funciones k(x) y l(x) en el intervalo [, ] e indica si son crecientes o decrecientes en dicho intervalo 7 Calcula la tvm de cada función en el intervalo [0, ] e indica cuál decrece más rápidamente en dicho intervalo: f(x) = 7x 40 g(x) = x 8 Dada la función f(x) = x x, usa la tvm en los intervalos [ 4, ] y [, 0] para deducir en qué intervalo decrece más rápidamente. 9 Sean las funciones a) Halla la tvm de cada una en el intervalo [0, ] b) Cuál de ellas crece más rápidamente en el intervalo anterior? 0 En la tabla siguiente aparece el número total (acumulado) de personas, N(t), de una ciudad que contrajeron la gripe en los t primeros días del mes de febrero del año pasado: a) Calcula la tvm entre los días y? b) Calcula la tvm entre los días 4 y 0? c) En qué periodo ha aumentado más rápidamente el número de enfermos? - Página -