DOSIER FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD MACS 1

Transcripción

1 DOSIER FUNCIONES, LÍMITES CONTINUIDAD MACS En qué intervalos es creciente esta función? decreciente? En =, es cóncava o convea? f() La función es creciente en (6, ) (, ). La función es decreciente en (, ) (, 4). En =, la función no es ni cóncava ni convea. Estudia el crecimiento de la función. La función es decreciente en (, ), es constante en (, ) y es creciente en (, ). f() En qué puntos de la función hay máimos relativos? mínimos relativos? Tiene máimos o mínimos absolutos? Eiste un máimo relativo en el punto =. No tiene mínimos relativos ni absolutos y no hay máimos absolutos. f() Estudia el dominio, el recorrido, el crecimiento y los máimos y mínimos de f(). Dom f = (, 6] Im f = [, ) La función es decreciente en (, ) (, ) y es creciente en (, ) (, 6). Eiste un máimo relativo en = y un mínimo absoluto en =. No hay máimos absolutos. f() Determina el valor de las estas funciones en el punto =, si f() = y g() =. f a) (f g)() (f g)() g () ( f g)( ) = ( ) 8 a) ( f g)( ) = = ( f g)( ) = ( ) = 9 ( ) ( ) ( ) ( f g)( ) = 9 44 = f ( g ) = ( f ) ( ) = g () = =

2 Teniendo en cuenta que f() = y g() =, halla el valor de las siguientes funciones en los puntos que se indican. f a) (f g)(4) g ( ) a) ( f g)( ) = No eiste (f g)(4), porque ( 4) no es real por ser el radicando negativo. f g = = ( ) () f No eiste, porque ( ) no es real por ser el radicando negativo. g ( ) Determina el valor de la composición de funciones que se indica en cada apartado, en = 4, si f() = y g() =. a) (f g)() (f f )() (g f )() d) (g g)() a) ( f g)( ) = f( g( )) = f 4 6 ( g f)( 4) = gf ( ( 4)) = g( 6) = 6 ( f f)( 4) = f( f( 4)) = f( 6) = 6 d) ( g g)( ) = gg ( ( )) = g 4 Si f() = y g() = 4, halla el valor de estas funciones en los puntos que se indican, determinando primero la composición de funciones correspondiente. a) (f g)() (g f )() Justifica, a partir de los apartados anteriores, si la composición de funciones es conmutativa. a) ( f g)( ) = f( g ( )) = f( 4) = ( 4) ( f g)( ) = ( g f)( ) = gf ( ( )) = g( )= 4 ( g f)( ) = 4 = 4 ( f g)( ) ( g f)( ) La composición de funciones no esconmutativa.

3 Determina el dominio de estas funciones. 7 a) f ( )= f ( )= f ( )= 7 a) Dom f = R Dom f = R Dom f = R {} d) Dom f = R {, } d) f ( )= Estudia el dominio de las siguientes funciones. a) y = y = 4 4 e) y = d) y = f ) y = 9 y = 6 a) Dom f = [, ) = = = Dom f = (, ), 4 4 = = Dom f = R d) Dom f =, e) 9 = = < La ecuación no tiene soluciones. Dom f = R = f) 6 = = Dom f = [, ] Calcula la función inversa de cada función. a) y = y = y = y a) y = = f = () y = = y f () = y y = = f = ()

4 En una vivienda pagan euros de gasto fijo y, euros por cada kilovatio consumido a la empresa que les suministra electricidad. a) Obtén una epresión de la relación que eiste entre el consumo y el precio yrepreséntala. Si a esta cantidad hay que aumentarle el 6 % de IVA, cómo será la ecuación? Qué variación sufre la gráfica? a) f() =, f () 8 g() = (,),6 =,6,8 g() f () 8 La gráfica es otra recta con mayor pendiente que la primera. El manual de usuario de un vehículo afirma que el ruido producido por el motor sigue aproimadamente la fórmula: donde t es el número de años de antigüedad del vehículo; a es un número fijo, que se denomina coeficiente de atenuación, y r es el nivel de ruido, medido en decibelios. r = at,8t 8 La semana pasada llevé mi vehículo a pasar la revisión de los cuatro años y en el informe figura que la medición fue de 7 decibelios. Cuál es el coeficiente de atenuación? Cuántos decibelios producirá a los ocho años? 7 = a 4, a = 7,8 a =,487 A los ocho años producirá: r =,487 8,8 8 8 = 6,6 decibelios

5 Una ONG ha estimado que el número de personas ingresadas en los hospitales tras un tsunami sigue aproimadamente la fórmula: P = t (, ) t donde P es el número de personas hospitalizadas, en miles, y t es el número de días transcurridos desde el tsunami. a) Cuántas personas habrá hospitalizadas el primer día? cuántas habrá al cabo de tres semanas? Si la capacidad hospitalaria de una isla del área afectada es de. camas, hasta qué día estuvo desbordada la capacidad? a). personas.4 personas = t = t t = t = ± t Como el número de personas hospitalizadas decrece según el número de días la capacidad de hospitalización estuvo desbordada hasta el décimo día. La evolución de una población viene determinada por la función P(t) = t, y la de los aentos que necesitan sigue la función A(t) =.t.. a) Cuánta población había al principio? aentos? después de años? A partir de qué año la población tendrá menos aentos de los que son necesarios? a) P() = A() =. P() = 4 A() =. A partir del seto año..

6 Calcula los límites laterales en el punto = de: f ( )= si < si f( ) = ( ) = f( ) = ( ) = Halla los límites laterales en = de las funciones. a) f ( )= f ( )= a) f( ) = f( ) = > f( )= si si < f( ) = f( ) = Calcula el límite de la función f( )= en = y en =. f ( )= f ( ) 4 f ( ) = No eiste f ( ). f ( ) = Razona si eiste o no el límite de la función en =, en = y en = 4. f ( )= f ( ) 7 f ( )= 6 f ( ) = No eiste f ( ). f ( ) = f ( )= 4 4 Halla los siguientes límites. a) a) = ( ) ( )( ) = = ( 4)( )( ) 8 ( )( 4) 8 =

7 Halla las asíntotas verticales de las funciones. a) f ( )= f ( )= f ( )= 4 a) Dom f = {} f ( ) = f () tiene una asíntota vertical en =. f ( ) = Dom f = {, } f ( ) = f () tiene una asíntota vertical en =. f ( ) = f ( ) = f () tiene una asíntota vertical en =. f ( ) = Dom f = {,, } f ( ) = f () tiene una asíntota vertical en =. f ( ) = f ( ) = f () tiene una asíntota vertical en =. f ( ) = f ( ) = f () tiene una asíntota vertical en =. f ( ) =

8 Calcula sus asíntotas y representa las funciones. a) f( ) = f( ) = f( ) = a) f () tiene una asíntota horizontal: y =. = f () tiene una asíntota horizontal: y =. = f ( ) = = f () tiene una asíntota oblicua: y =. = = Estudia la continuidad de estas funciones. si a) f ( )= f ( ) = si < < 4 si 4 a) Dom f = {} a) Dom f = {} f ( ) = No eiste f ( ) y f() no es continua en =. f ( ) = La discontinuidad es inevitable de salto infinito. La función tiene una asíntota vertical en =.

9 Dom f = {} f ( ) = No eiste f ( ) y f() no es continua en =. f ( ) = La discontinuidad es inevitable de salto infinito. La función tiene una asíntota vertical en =. f ( ) = f ( )= f ( ) = Como f( ) = f( ), la función es continua en =. f ( ) = 4 4 No eiste f ( ) y f() no es continua en = 4. f ( ) = 4 4 La discontinuidad es inevitable de salto finito. Calcula los límites, y comprueba el resultado con tu calculadora. a) d) e) a) 6 = d) 6 = 4 e) 6 = 4 = 6 4 =

10 Estudia la continuidad de las funciones en =, y si presentan discontinuidad, decide de qué tipo de discontinuidad se trata. a) si < f ( ) = 6 si = si > d) si < f ( ) = 6 si = si > e) f ( ) = si < si f ( ) = si si = ln ( ) si < f ( ) = si = sen ( ) si > a) f () = 6 f ( ) = ( ) = 6 f ( ) = 6 f ( ) = ( ) = 6 Como f () = f ( ),la función es continua en =. f () = 6 f= 6 = ( ) No eiste f ( ), y la función no es continua f ( ) = ( ) = en =. Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto finito. f () = f ( ) = ( ln ( ) )= f ( ) = f ( ) = sen ( ) = Como f () f ( ), la función no es continua en =. Se trata de un punto de discontinuidad evitable.