Si f es la función dada por la expresión f(x) = 3x +2, la imagen de x = 4 es f(4) = = 14

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1 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE).- CONCEPTO DE FUNCIÓN. CARACTERÍSTICAS Definición de función Una función real de variable real es una forma de hacerle corresponder a un número real un único número real y, que se representa por f(). Si llamamos f a la función, se suele representar así: f: R R, y = f() En una función f, se llama imagen de un valor dado de al valor obtenido al sustituir en la fórmula el valor de. Ejemplo: Si f es la función dada por la epresión f() = +, la imagen de = es f() =. + = Dominio y recorrido de una función El dominio de definición de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la. Se representa por D(f) El recorrido o imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la y. Se representa por Rec(f) o también por Im(f) Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es D(f) = R { } Rec(f) = (, ] Para calcular el dominio a partir de la fórmula, tenemos que averiguar los valores de la para los que se puede calcular dicha fórmula. Ejemplos: - Si la función f es polinómica, f() = p(), entonces D(f) es el conjunto de todos los números reales, R, pues un polinomio p() se puede calcular para cualquier valor de. - Si la función f es racional, f() = p(), entonces D(f) es R ecepto los valores de que anulan al q() denominador. Por ejemplo, si f() =, como = 0 cuando =, D(f) = R { } - Si la función es radical (la está dentro de un radical), habrá que tener en cuenta que para calcular una raíz de índice par el radicando debe ser mayor o igual que cero. Por ejemplo, si f() =, para que se pueda calcular la raíz cuadrada, debe ser 0. Por tanto, D(f) = [, ) Si el índice es impar, entonces su dominio es R, pues las raíces de índice impar se pueden calcular para cualquier valor del radicando. Por ejemplo, si f() =, entonces D(f) = R. - Página -

2 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) Ejercicio Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) f() = e) f() = b) g() = f) c) f() = h() = g) y = d) f() = Puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas Puntos de corte con el eje (llamado eje de abscisas): Para calcular los puntos de corte de la gráfica de una función f() con el eje resolvemos la ecuación f() = 0. Si la ecuación no tuviese solución, entonces la gráfica no corta al eje Punto de corte con el eje (llamado eje de ordenadas): El punto de corte con el eje es el punto (0, f(0)). Si no eiste f(0) entonces la gráfica no corta al eje Ejercicio Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las siguientes funciones: f() = + g( ) 9 h( ) Ejercicio Dada la función f() = 7 determina: a) f( 0,7) b) Los puntos de corte con los ejes c) Las soluciones de la ecuación f() = Continuidad de una función Una función es continua cuando su gráfica no tiene ninguna rotura y, por tanto, se puede dibujar de un solo trazo. Ejemplos: Esta gráfica corresponde a una función continua Esta gráfica corresponde a una función discontinua. Los puntos de discontinuidad son = 0, = Funciones crecientes Una función es creciente si su gráfica es ascendente. Monotonía de una función Funciones decrecientes Una función es decreciente si su gráfica es descendente. Funciones constantes Son las funciones que no son crecientes ni decrecientes. La gráfica es una línea recta horizontal - Página -

3 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) Estudiar la monotonía de una función consiste en averiguar los intervalos del eje donde la función es creciente, decreciente o constante. Ejemplo Esta función es creciente en el intervalo (, ), pues la gráfica correspondiente es ascendente; Es decreciente en (, ) U (, ) porque aquí su gráfica es descendente y es constante en el intervalo (, ) ya que su gráfica en dicho intervalo es horizontal Etremos de una función Estudiar los etremos de una función es determinar los máimos y mínimos relativos. Una función tiene un máimo relativo en un punto A(a, b), si en dicho punto la función es continua y pasa de creciente a decreciente Una función tiene un mínimo relativo en un punto A(a, b), si en dicho punto la función es continua y pasa de decreciente a creciente. Se suele decir que la función alcanza un máimo relativo en = a y el valor máimo que alcanza es b. Se suele decir que la función alcanza un mínimo relativo en = a y el valor mínimo que alcanza es b. Si el máimo relativo corresponde al mayor valor de la función se dice que el máimo es absoluto y si el mínimo relativo corresponde al menor valor se dice que el mínimo es absoluto Ejemplo Los máimos relativos son A y B (A además es un máimo absoluto). El mínimo relativo es C También podemos decir que se alcanza máimo en = 8, = y se alcanza mínimo en = - Página -

4 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) Ejercicio Considera la función f dada por la siguiente gráfica Estudia: a) D(f) b) Rec(f) c) f( ) d) f(0) e) f() f) Soluciones de la ecuación f()= g) Puntos de corte con los ejes de coordenadas h) Monotonía i) Etremos j) Continuidad.- FUNCIONES CUA GRÁFICA ES UNA RECTA Todas las funciones cuya fórmula es del tipo f() = m + n, con m, n R tienen como gráfica una línea recta. Por ser funciones polinómicas, su dominio de definición es R. El coeficiente de se llama pendiente de la recta Si la pendiente es positiva, la función es creciente, si es negativa decreciente y, si es 0, es constante Estas funciones se pueden clasificar en tres tipos: - Funciones lineales: Son del tipo f() = m, con m 0. La gráfica de estas funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas O(0,0). Por ejemplo: f() =, f() = son funciones lineales. y = m = > 0 Función creciente y = - m = - < 0 Función decreciente - Si la pendiente es positiva la función es creciente. Si la pendiente es negativa la función es decreciente - Página -

5 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) - Funciones afines: Son del tipo f() = m + n, con m, n 0. La gráfica de estas funciones es una recta que NO pasa por el origen de coordenadas O(0,0). El término independiente de la fórmula, n, se llama ordenada en el origen. La recta corta la eje en el punto (0, n) Por ejemplo: f() =, f() = + son funciones afines. y = - y = La pendiente es y la ordenada en el origen La pendiente es y la ordenada en el origen - Funciones constantes: Son del tipo f() = n. La gráfica de estas funciones es la recta horizontal que pasa por el punto (0, n). Por ejemplo: f() =, f() = son funciones constantes. y = - y = - Ejercicio Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas y haz la gráfica de las siguientes funciones: a) f ( ) 00 b) f ( ) 0, Pendiente de una recta La pendiente de una recta se puede calcular a partir de dos puntos de la recta, A(, y ), B(, y ) Variación de y y mediante la epresión: Pendiente de la recta = m = y = Variación de La ecuación de la recta conocido un punto de la recta P( 0, y 0 ) y la pendiente de la recta, m es y = m( 0 ) + y 0 que en forma de función, sería: f() = m( 0 ) + y 0 Esta ecuación se llama ecuación de la recta en forma punto-pendiente - Página -

6 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) Ejercicio Halla la ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por el punto de la gráfica de f cuya abscisa es 0 en los siguientes casos: a) f() =, m =, 0 = b) f ( ), m =, 0 = Ejercicio 7 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(, ) y Q(, ), calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas y dibuja su gráfica Ejercicio 8 Calcula el punto de corte de las rectas r y s, siendo r la recta paralela al eje que pasa por el punto M(, ) y s la recta que pasa por el punto A(, ) y tiene pendiente. Ejercicio 9 Averigua si la recta dibujada pasa por el punto (00, ) Ejercicio 0 Supongamos que la temperatura media del aire disminuye con la altura y que por cada incremento de 00 m de altitud la temperatura baja décimas de grado. La temperatura a nivel del mar es de º C. a) Construye una tabla de valores b) Halla la fórmula de la función que epresa la temperatura en función de la altitud. c) Representa gráficamente esta función. d) Determina a qué altitud la temperatura es de 0 ºC Ejercicio Un fabricante debe entregar sus productos en un radio de 00 km. Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones: Transportista A: 0,0 /km a) Escribe la fórmula de la función km-precio para el transportista A b) Escribe la fórmula de la función km-precio para el transportista B Transportista B: fijos y 0,0 /km c) Representa gráficamente las dos funciones anteriores usando los mismos ejes de coordenadas d) Calcula el punto donde se cortan y eplica su significado. e) Averigua cuál de ellos sale más barato para un recorrido de 00 km. f) para 00 km? Interpolación y etrapolación lineal Supongamos que una función viene dada en forma de tabla o que sólo conocemos algunos puntos de su gráfica y queremos averiguar puntos que no se encuentren en la tabla o gráfica. En estos casos, se usa la interpolación y etrapolación La interpolación consiste en hallar un valor comprendido entre dos datos de la tabla o de la gráfica, mientras que con la etrapolación hallamos un valor NO comprendido entre los datos de la tabla o gráfica. La interpolación o etrapolación es lineal si para averiguar los datos desconocidos usamos una línea recta. La estimación del dato desconocido por interpolación o etrapolación lineal será bastante si los puntos se concentran en torno a una recta y el dato desconocido está muy próimo a alguno de los datos dados. - Página -

7 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) Ejercicio La evolución del crecimiento de una planta viene dada por la siguiente tabla Mediante interpolación/etrapolación lineal calcula la altura de la planta en la semana y en la semana 9 usando los puntos de la gráfica y también, usando la fórmula..- FUNCIONES CUADRÁTICAS Las funciones cuadráticas son aquellas cuya fórmula viene dada por un polinomio de º grado. Estas funciones se pueden epresar de la forma f() = a + b + c, siendo a 0 y su gráfica es una parábola. Por ser una función polinómica, su dominio de definición es R. Si a > 0, la parábola tiene las ramas hacía arriba. Decimos entonces que la función es convea Si a < 0, la parábola tiene las ramas hacía abajo. Decimos entonces que la función es cóncava e: = v V(v, yv) V = vértice e = eje de simetría V = vértice e = eje de simetría V(v, yv) e: = v El vértice V es el mínimo absoluto El vértice V es el máimo absoluto El vértice de la parábola, V( v, y v ), se calcula por las fórmulas: b v = a y v = f( v) Ejercicio La temperatura de una habitación según las horas transcurridas viene dada por la tabla a) Halla la función cuadrática que se ajusta a los datos b) Calcula la temperatura cuando han transcurrido h. Ejercicio Elabora la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas: a) y = + d) y = + e) y = f) b) f() = , 0 c) f() = + +, para < 0 Ejercicio Se considera la función f() = a b +. f ( ) 8, 0 Calcula los valores de los parámetros a y b para que f tenga un etremo relativo en el punto (, 0) Ejercicio Dibuja la parábola que corta al eje O en (,0) y (,0) y tiene su vértice en (, ). - Página 7 -

8 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) Ejercicio 7 Un agricultor comprueba que si el precio al que vende cada caja de fresas es euros, su beneficio diario, en euros, será: B() = a) Representa la función precio-beneficio. b) Indica a qué precio debe vender cada caja de fresas para obtener el máimo beneficio y cuál será ese beneficio máimo c) Determina a qué precios de la caja obtiene pérdidas el agricultor Ejercicio 8 Se conoce que el rendimiento de un jugador de fútbol durante los primeros minutos de un partido viene dado por la función f(t) = 7,t 0,t, 0 t, donde t es el tiempo, epresado en minutos. a) Representa gráficamente esta función. b) Cuál es el máimo rendimiento del jugador? c) En qué momento lo consigue? d) En qué instantes tiene un rendimiento igual a? Ejercicio 9 La mosca común solamente vive si la temperatura media de su entorno está comprendida entre ºC y ºC. La vida en días, en función de la temperatura media T, medida en grados centígrados, viene dada por la función: V ( T ) ( T 0T ), T [, ] a) Determina la vida máima que puede alcanzar la mosca común. b) Si sabemos que una mosca ha vivido días, a qué temperatura media ha estado el entorno donde ha habitado?.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Son aquellas del tipo f() k, siendo k 0. En estas funciones, D(f) = R { 0 }, Im(f) = R { 0 } La gráfica de este tipo de funciones es una hipérbola de asíntotas los ejes de coordenadas. Las asíntotas son rectas hacía las que tiende a acercarse la gráfica de la función sin llegar a tocarlas. Si k > 0, la función es decreciente y la gráfica es una hipérbola situada en el I y III cuadrantes. Si k < 0, la función es creciente y la gráfica es una hipérbola situada en el II y IV cuadrantes. Ejemplo: Ejemplo: Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta a los ejes de coordenadas Ejercicio 0 Completa la siguiente gráfica correspondiente a una función de proporcionalidad inversa y halla la fórmula Ejercicio La distancia entre dos ciudades es 80 km. Haz un estudio completo de la función que relaciona el tiempo y la velocidad media con que se recorre dicha distancia. - Página 8 -

9 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE).- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Son aquellas cuya fórmula está formada por dos o más epresiones, cada una definida en un, si intervalo diferente. Por ejemplo, y = es una función definida en dos intervalos:, si En (, ) la gráfica es la semirrecta abierta y = de etremo A(, ) En [, ) la gráfica es la gráfica es la semirrecta cerrada y = de etremo B(, ) y = - y = - Función valor absoluto y parte entera, si 0 Función valor absoluto : y Función parte entera:, si 0 y = Ent() = número entero, si 0 Ejercicio Calcula el dominio de definición de la función: f() =, si 0 0 0, si 0 Ejercicio Haz la gráfica de las funciones: a) f() =, si 0 si 0, si b) 8 f ( ) c) f ( ) 0, si si d) si f () 9 si 0 si e), si, si f (), si - Página 9 -

10 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) Ejercicio En un centro de entrenamiento de deportistas de alta competición han determinado que el rendimiento de uno de ellos (en %) en función del tiempo (en minutos) de esfuerzo muscular viene dado por la epresión: t t 0 ), si 0 t f t 7, si t 0 00 t, si 0 t 0 ( ) ( a) Haz la gráfica de la función. b) En qué momento alcanza el deportista su máimo rendimiento? c) Calcula el rendimiento del deportista en los siguientes tiempos: min, min, 0 min, min d) En qué momentos el rendimiento es del 0%? Ejercicio El estudio de la rentabilidad de una empresa revela que una inversión de millones de pesetas produce una ganancia de f() millones de pts, siendo: 8 8 si 0 f() = 0. si a) Representa la función f() b) Halla la inversión que produce máima ganancia c) Halla el valor de la inversión que produce ganancia nula.- FUNCIONES EPONENCIALES LOGARÍTMICAS Funciones eponenciales de base a Son aquellas cuya fórmula es del tipo f() = a, con a > 0, a La gráfica de este tipo de funciones y que corta al eje en el punto (0,) y tiene como asíntota horizontal al eje. En estas funciones, D(f) = R, Im(f) = (0, ) Si a >, es creciente. y = Si a <, es decreciente. y = (⅓) Ejemplo: Ejemplo: Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta al eje La función eponencial más importante en matemáticas es la que tiene base igual al número e : n f() = e, siendo e lim, número irracional. n n Ejercicio Calcula el dominio de definición de la función f() = Ejercicio 7 Haz la gráfica de las funciones eponenciales: a) y = - Página 0 - b) y =

11 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) Ejercicio 8 Escribe la fórmula de la función f cuya gráfica es: Funciones logarítmicas de base a Su fórmula es del tipo y = log a (), con a > 0, a. En estas funciones, D(f) = (0, ), Im(f) = R La gráfica es una curva que corta al eje en el punto (,0) y tiene como asíntota vertical al eje. Si a >, es creciente. Ejemplo: y = log () Si a <, es decreciente. Ejemplo: y = log/ () La función logarítmica más importante es la función logaritmo neperiano: f() = ln () = log e () Ejercicio 9 Halla el dominio de definición de las funciones: A() = log ( log + ) ( ) B() = + Ejercicio 0 Dibuja la gráfica las siguientes funciones logarítmicas: a) y = log / () b) y = log, () Aplicaciones de las funciones eponenciales y logarítmicas Si una población P 0 aumenta o disminuye cada año en un r %, la población final, P, al cabo de t años se calcula usando las fórmulas: t r r Si la población aumenta: P P0 Si la población disminuye: P P Si la población se duplica cada año, entonces r = 00 % y la fórmula es P P 0 P P Ejercicio Se llama inflación a la pérdida del valor del dinero. Por ejemplo, si un artículo vale 00 y dentro de un año vale 0, la inflación es del %. Supongamos que la inflación es constante de un % y una parcela vale actualmente a) Cuál sería el valor dentro de años? b) Cuánto tiempo debería pasar para que valga ? c) Cuánto valía hace años? d) Cuánto tiempo hace que valía 0 000? - Página - t t t

12 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) Ejercicio Un negocio, en el que invertimos pierde un 0,0% mensualmente. a) Cuánto dinero habrá al cabo de año y medio? b) Cuánto tiempo debe pasar para tener la cuarta parte del dinero inicial? Ejercicio Se invierten 00 al,% de interés compuesto anual. Cuánto tiempo debe pasar para tener 000? Ejercicio Cuánto tiempo debería pasar para que el dinero que tenemos en el Banco, a un,% de interés compuesto anual, se triplique? Ejercicio La población de conejos es muy prolífica. Si disponen de comida suficiente y no hay depredadores que les puedan comer pueden llegar a doblar su número cada mes. Supongamos que se da la situación anterior y actualmente hay conejos. Calcula: a) Cuántos conejos habrá dentro de un año? b) Cuántos había hace 7 meses? ACTIVIDADES PROPUESTAS.- CONCEPTO DE FUNCIÓN. CARACTERÍSTICAS Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones: a) f() = b) f() = c) g() = d) f() = e) f() = f) y = g) + f() = Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función f en los casos siguientes: a) f() = + b) f() = 7 c) f() = + d) f() = e) f() = f) f ( ) g) f ( ) Sea f la función dada por la gráfica Determina: a) f() b) f() c) f( ) d) D(f) e) Rec(f) f) Valores de para los que f() = g) Soluciones de la ecuación f() = h) Punto de corte con el eje de abscisas i) Intervalos donde la función es decreciente j) Etremos k) Continuidad - Página -

13 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) Para la función f dada por la gráfica determina: a) f() b) f() c) f(0) d) D(f) e) Rec(f) f) Punto de corte con el eje de ordenadas g) Intervalo donde la función es creciente h) Etremos i) Continuidad Considera la función f cuya gráfica es Calcula: a) D(f) b) Rec(f) c) f(,) d) El valor de para el que la función vale e) Los intervalos donde la función es constante f) El mínimo de la función g) Continuidad Estudia las características (dominio, recorrido, continuidad, monotonía y etremos) de la función f dada por su gráfica: a) b) c) d) - e) - Página -

14 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) f) g) FUNCIONES CUA GRÁFICA ES UNA RECTA 7 Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas y haz la gráfica de las siguientes funciones: f ( ) g( ) 8 Halla la ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por el punto de la gráfica de f cuya abscisa es 0 en los siguientes casos: a) f() =, m =, = b) f() =, m = 0, 0 = 0 9 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B, calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas y dibuja su gráfica: a) A(, ) y B(, ) b) A(, ) y B(,0) 0 Averigua si la recta representada pasa por el punto P(00, 9) La altura inicial de un líquido contenido en una probeta es cm. Es muy volátil y al evaporarse baja el nivel a razón de, cm cada días. a) Construye una tabla de valores y halla la fórmula de la función que epresa la altura en función del tiempo. 8 7 b) Representa gráficamente esta función. c) Determina la altura del líquido al cabo de horas Dos depósitos de agua, A y B, funcionan de la forma siguiente: a medida que A se va vaciando, B se va llenando. El depósito A está lleno y tiene una capacidad de litros y se vacía a razón de litros por minuto. El depósito B, que está vacío, se llena con una velocidad de, litros por minuto. a) Escribe las fórmulas de las funciones tiempo-litros del depósito, represéntalas en los mismos ejes, calcula el punto donde se cortan y eplica su significado. b) Averigua qué depósito tiene más agua a los 8 minutos c) a los minutos? - Página -

15 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) Al apuntarnos en un gimnasio, hemos tenido que pagar una cantidad fija en concepto de matrícula. Después tendremos que ir pagando las mensualidades. Si estamos meses, nos gastaremos en total, y si estamos meses, nos costará 70. Usando interpolación lineal halla cuánto gastaríamos en total si estuviéramos yendo durante un año La siguiente tabla indica la ayuda que recibe una familia en función del número de hijos. Número de hijos 0 Ayuda (en ) Mediante interpolación/etrapolación lineal calcula la ayuda que recibe una familia de hijos y otra de hijos usando los puntos de la gráfica y también, hallando la fórmula. Esta tabla representa el volumen de agua en un gran depósito a medida que se va llenando Tiempo (minutos) 0 8 Volumen (litros) 0 8 Halla, mediante interpolación/etrapolación lineal, el volumen de agua que hay en el depósito a la media hora y a la hora de haber empezado..- FUNCIONES CUADRÁTICAS Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos: A(, ), B(, ) y C(, ) 7 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas: a) y = b) y = + c) y = + d) y =, donde < e) y = f) y = + + 8, 0 g) f() = h) f() = + i) f() = 8 Calcula el valor de a para que el valor mínimo de la función f() = + a sea 9 Halla a y b en la parábola y = a + b + sabiendo que tiene un máimo en el punto (, 9) 0 Dibuja la parábola que corta al eje O en los puntos (,0) y (,0) y con vértice (, ). Dibuja la parábola de vértice (0, ) que corta al eje de abscisas en los puntos (, 0) y (, 0). El valor, en miles de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por la función f(t) = t + 0t, t 8. a) Cuál será el valor de la empresa para t =,? b) Halla el valor máimo de la empresa y el año en que se obtiene c) En qué año el valor de la empresa es de 8 000? El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: f(t) = t + t, t 7 a) Representa la gráfica de la función f. b) Cuándo alcanza la empresa su beneficio máimo y a cuánto asciende? c) Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es este? La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: T(t) = 0t 0t, con 0 t. a) Representa gráficamente la función T y determine la temperatura máima que alcanza la pieza. b) Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida hora? Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante? - Página -

16 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) El beneficio obtenido por la producción y venta de kilogramos de un artículo viene dado por la función: B() = 0,0 +, 80. a) Representa gráficamente esta función. b) Halla el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máimo. c) Determina cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máimo, para que la empresa no tenga pérdidas. Los beneficios mensuales, en euros, de una empresa vienen dados por la fórmula B() = 0, , siendo el número de artículos fabricados. a) Representa gráficamente la función. b) Halla el número de artículos que deben fabricarse al mes para que el beneficio sea máimo y también dicho beneficio máimo. 7 Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura h (en metros) a la que se encuentra en cada instante t (en segundos) viene dada por la epresión: h(t) = t + 0t a) En qué instante alcanza la altura máima? Cuál es esa altura? b) Representa gráficamente la función h(t). c) En qué momento de su caída se encuentra el objeto a 0 metros de altura? d) En qué instante llega al suelo? 8 Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C(t) = 0,t + t +, 0 t (t = años transcurridos desde el año 000). a) En qué año se alcanzará un máimo en el nivel de contaminación? b) En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? 9 Dibuja la gráfica de las funciones: a) f() =.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA b) f() = 8 0 Completa la siguiente gráfica correspondiente a una función de proporcionalidad inversa y halla la fórmula Escribe la fórmula de la función f cuya gráfica es: a) Página -

17 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) Halla la fórmula y haz la gráfica de la función que relaciona la base y la altura de los triángulos de cm de superficie.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Halla el dominio de definición de las funciones:, si 0 f() = y g() =, si 0, si, si, si Dibuja la gráfica de las funciones: a) f() = b) f() =, si, si +, si >, si c) f (), si, si, si d) f ( ) e) f() =, si 8, si si, si 0 9 si f) f ( ) g) f() = h) f (), 0 0 si si si i) f () si 8, si l) f() =, si, si, si 0, si j) f() = k) f, si 0, si, si, si, si m) y =, si n) y =, si, si, si ( ) ñ) f (), si 0, si ( ), si 0 o) si si f () 0 si p), si, si ( ), si El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próimos ocho años viene dado por la función B definida por t 7t si 0 t B(t) =, donde t indica el tiempo transcurrido en años. 0 si t 8 a) Representa gráficamente la función B y eplica cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años b) Calcula cuándo el beneficio esperado es de, millones de euros - Página 7 -

18 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD (ª PARTE) El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función 0 0, si 0 f() =, si 0 donde representa el gasto en publicidad, en miles de euros. a) Representa la función f. b) Calcula el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas. c) Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos? d) Calcula el gasto en publicidad que produce máimo beneficio. Cuál es ese beneficio máimo? 7 Calcula el dominio de definición de la función.- FUNCIONES EPONENCIALES LOGARÍTMICAS f() = 8 Haz la gráfica de las funciones eponenciales: a) y = d) y = e) y = b) y = c) y = 9 Calcula el dominio de definición de las funciones: f() = log ( + 9) g() = ln() 0 Haz la gráfica las siguientes funciones logarítmicas: a) y = log b) y = log / c) log () d) f() = log 0, () Una ciudad tiene actualmente 000 habitantes. Supongamos que su población crece anualmente a un ritmo del % a) Cuántos habitantes habrá al cabo de 8 años? b) Cuánto tiempo debería pasar para alcanzar los habitantes? c) Cuántos habitantes había hace años? d) Cuánto tiempo hace que había 000 habitantes? Supongamos que la masa de un elemento químico radiactivo disminuye anualmente un 0,00% Al principio tenemos 700 g. a) Cuál es la masa al cabo de años? b) Cuánto tiempo debe pasar para que la masa sea la tercera parte de la masa inicial? Se invierten 00 al,% de interés compuesto anual. Cuánto debe pasar para tener 000? Cuánto tiempo debe pasar para que el dinero que tenemos en el Banco, a un,% de interés compuesto anual, se duplique? Una ameba se reproduce por bipartición cada minuto. Actualmente hay 80 amebas. Cuánto tiempo hace que había amebas? - Página 8 -