El Teorema del Modulo Máximo

Transcripción

1 Capítulo 5 El Teorema del Modulo Máximo. El Principio del Máximo. Pruebe el siguiente Principio del Mínimo. Si f es una función analítica no constante sobre un conjunto abierto G acotado y es continua sobre G, entonces f tiene un cero en G o f asume su mínimo valor sobre G. Solución. Si f no tiene ceros en G, la función f G y por el principio del máximo f(z) máx z G f(z), z G si y sólo si mín f(z) f(z), z G. z G es analítica en 2. Sea G una región acotada y suponga que f es continua en G y analítica sobre G. Demuestre que si existe una constante c 0 tal que f(z) = c para todo z G entonces f es una función constante o bien f tiene un cero en G. Solución. Si f no tiene ceros aplicando el principio del máximo y del mínimo se tiene que c = mín f(z) f(z) máx f(z) = c z G z G lo que implica que f(z) = c para todo z G. Se sigue que f(z) = λc con λ =, para todo z G.. (a) Sea f entera no-constante. Para cualquier número real c demuestre que la clausura de {z : f(z) < c} es el conjunto {z : f(z) c}. (b) Sea p un polinomio no constante y demuestre que cada componente de {z : p(z) < c} contiene un cero de p.

2 . EL PRINCIPIO DEL MÁXIMO 2 (c) Si p es un polonimio no constante y c > 0 demuestre que {z : p(z) = c} es la unión de un número finito de caminos cerrados. Discuta el comportamiento de estos caminos cuando c. Solución. (a) Sabemos que X = X X, X = {z : f(z) < c}. Como f es entera no constante, f(c) es denso en C. Luego, existe una sucesión {z n } n= X tal que f(z n ) = c y pot la continuidad n de f ( ) c = lím f(z n ) = f lím z n = f(z0 ), n n lo que implica que z 0 X con f(z 0 ) = c. Por lo tanto, X = {z : f(z) c}. (b) Sea G = {z : p(z) < c} entonces G = {z : p(z) c}, se sigue que G{z : p(z) = c}. Por el problema 2, como p es un polinomio no constante, p tiene un vero en G en cada componente conexa. (c) Es claro que G = {z : p(z) = c} es un curva. Supongamos que G es una unión infinita de curvas, entonces en el interior de cada curva p tiene un cero, según lo probado en (b). Luego, p tiene infinitos ceros. Por otro lado, como lím p(z) = se z tiene que para cada ε > 0 existe M > 0 tal que p(z) ε para todo z M. En particular, para ε = c +, p(z) c +, z M. Se sigue que los ceros de p están todos contenidos en el disco B(0, M), como este conjunto es compacto, los ceros de p, tienen un punto de acumulación y por el principio de identidad p(z) 0 lo cual es una contradicción. 4. Sean 0 < r < R y A = {z : r z R}. Demuestre que existe un número positivo ε > 0 tal que para todo polinomio p, sup{ p(z) z : z A} ε. Esto dice que z no es el límite uniforme de polinomios en A. Solución. Sean z,..., z n los ceros de p y R > 0 tal que R z k

3 . EL PRINCIPIO DEL MÁXIMO para todo k =,..., k. Consideremos Entonces, si M < entonces M = sup zp(z). z =R zp(z) <, sobre z = R. Por el Teorema de Rouche, zp(z) y tienen la misma cantidad de ceros en { z < R}. Luego, zp(z) no tiene ceros en { z < R}, lo cual es una contradicción con que zp(z) tiene un cero en z = 0. Luego, necesariamente M. Observe que si R = z k para algún k, sea δ > 0 tal que R δ z k. Si suponemos que M R = sup zp(z) <, z k =R por el principio del máximo se obtiene que M R δ M R < lo cual contradice lo anterior. Por lo tanto, M. Ahora bien, sea z A entonces z R, luego R z sup p(z) z zp(z) = sup z A z A z R sup zp(z) z A = M R R = ε > Sea f analítica sobre B(0, R) con f(z) M para z R y f(0) = a > 0. Demuestre que ( el número ) de ceros de f en B(0, R) M es menor o igual que log 2 log. a Solución. Sean z,..., z n los ceros de f en B(0, R) y considere la función analítica [ n ) g(z) = f(z) ( ] zzk. Note que g(0) = f(0). Observe que para z = R se tiene que n [ n g(z) = f(z) z M z k ] z k n n MRn ( ) n = M 2 z k z R n 2. n

4 Sabemos que entonces a = g(0) 2π es decir, 2 n M a 2π 0. EL PRINCIPIO DEL MÁXIMO 4 g(0) = 2πi z =R g(z) z dz, g(re iθ ) ire iθ dθ = 2π g(re iθ ) dθ M Re iθ 2π 0 2, n lo que implica que n log 2 log ( ) M. a 6. Suponga que ambas f y g son analíticas en B(0, R) con f(z) = g(z) para z = R. Demuestre que si f ni g se anulan en B(0, R) entonces existe una constante λ, λ =, tal que f = λg. Solución. Considere la función h = f/g entonces h es analítica en B(0, R) y no tiene ceros. Para z = R tenemos que h(z) = f(z) g(z) =. Por problema 2, h es constante o tiene un cero en B(0, R), como h no tiene ceros implica que h(z) = λ con λ =. Por lo tanto, f = λg. 7. Sea f analítica en el disco B(0, R) y para 0 r < R defina A(r) = Ref(z). Demuestre que a menos que f sea constante, A(r) es máx z =r una función estrictamente creciente de r. Solución. Primero observe que la aplicación proyección π : R R R dada por π(x, y) = x es abierta. Luego, si f es analítica no constante, por el Teorema del mapeo abierto, f es abierta entonces h = π f = Ref es abierta. () Afirmamos que h satisface el principio del máximo, esto es, si h(a) h(z) para todo z B(0, R) entonces h es constante. En efecto, seam Ω = h(b(0, R)) y α = h(a). Por hipótesis, α ξ para todo ξ Ω entonces α Ω Ω. En particular, Ω no es abierto y por () se sigue que f es constante lo que implica que h es constante.

5 . EL PRINCIPIO DEL MÁXIMO 5 Por lo tanto, máx Ref(z) A(r). z r Ahora bien, si r < r 2 tenemos que A(r ) = máx z =r Ref(z) = máx z r Ref(z) máx Ref(z) = máx Ref(z) = A(r 2 ). z =r 2 z =r 2 Esto prueba que A(r) es creciente. Supongamos que A(r) es constante en el anillo {r < z < r 2 } entonces h mapea el anillo sobre un conjunto cerrado, lo cual contradice que h es abierta. Por lo tanto, A(r) es una función estrictamente creciente. 8. Suponga que G es una región, f : G C es analítica, y M es constante tal que cuando z está sobre G y {z n } es una sucesión en G con z = lím z n tenemos que lím sup f(z n ) M. Demuestre que f(z) M, paa cada z G. Solución. Dado a G para todo sucesión {z n } con lím z n = a se tiene que lím sup f(z n ) M. n Se sigue que lím sup f(z) M, lo cual implica según la tercera z a versión del módulo máximo que f(z) M para todo z G.