El teorema de los residuos

Transcripción

1 Tema 2 El teorema de los residuos 2. Singularidades aisladas de una función Definición 2. Sea f: A C. Se dice que f tiene una singularidad aislada en el punto α A, si existe un E(α, r tal que la función f es analítica en E (α, r y no lo es en E(α, r. Ejemplo 2.2 f(z = z tiene una singularidada aislada en. f(z = sen(z z tiene una singularidada aislada en. f(z = z(z+i f(z = e z tiene una singularidada aislada en y otra en i. tiene una singularidada aislada en cada punto 2kπi, con k Z. f(z = Log(z tiene singularidades en cada punto de la semirecta {z = x + i : x }, por lo que ninguna es aislada. 2.. Singularidades evitables de una función Definición 2.3 Sean A C, α A y f analítica en A {α}. Se dice que f tiene una singularidad evitable en α si existe una función g analítica en A, con g(z = f(z para todo z α. Es decir, si bastaría con (redefinir el valor de f en α para que f sea analítica en A. Proposición 2.4 Si f tiene una singularidad evitable en α, entonces f(z = en algun E (α, r. a n (z α n Como f tiene una singularidad evitable en α, existe g analítica en α tal que g(z = f(z para los z α y, por ser g analítica en α, g(z = consiguiente, f(z = a n (z α n en E (α, r. a n (z α n en algún E(α, r y, por Ejemplo 2.5 f(z = ez z tiene una singularidad evitable en. En efecto, f: C {} C, no está definida en z = ( / C y es analítica en su dominio, { e z luego tiene una singularidad aislada en. Y la función g(z = z, si z es analítica, si z = en C, pues g e z z e z z ( = = z z z z 2 e z e z = = z 2z z 2 = 2. Luego g es analítica en C y g = f en C {}, en consecuencia, la singularidad es evitable. Teoría de variable compleja. 53

2 2 El teorema de los residuos Además, como e z = f(z = ez z = z z n n! en C, para z, se tiene que ( z n n! = ( z n = z n! n= n= z n n! = z n (n +!. Proposición 2.6 Sean A C abierto, α A y f una función analítica en A {α}. Entonces, f tiene una singularidad evitable en α si, y sólo si, z α f(z C. = Si f tiene una singularidad evitable en α, por la proposición 2.4, f(z = en algun E (α, r, donde también continua en α y, por tanto, a n (z α n a n (z α n = g(z en E(α, r. Como g es analítica en α, es f(z = g(z = g(α = a C. z α z α = Sea z α f(z C. Sea h: A C la función definida por h(z = { (z α 2 f(z, si z α, si z = α. Por ser (z α 2 entera y f analítica en A {α}, la función h es analítica para todo z α. En z = α, h(z h(α (z α 2 f(z = = (z αf(z = f(z =, 2. z α z α z α z α z α z α luego h es derivable en α, con h (α =, y h es analítica en A. En consecuencia, admite un desarrollo en serie de potencias en algún E(α, r que, como a = h(α = y a = h (α! =, será de la forma h(z = a n (z α n = (z α 2 a n (z α n 2 = (z α 2 a n+2 (z α n = (z α 2 g(z, n=2 n=2 donde g(z = a n+2 (z α n es analítica en E(α, r, con g(α = a 2. Ahora bien, h(z = (z α 2 f(z en E (α, r luego f(z = g(z en E (α, r y, por consiguiente, f tiene una singularidad evitable en α. Corolario 2.7 Sean A C abierto, α A y f una función analítica en A {α}. Entonces, (i f tiene una singularidad evitable en α si, y sólo si, z α (z αf(z =. (ii f tiene una singularidad evitable en α si, y sólo si, f está acotada en alguna E (α, r. Si f tiene una singularidad evitable en α, entonces z α f(z C y, por tanto: (i z α (z αf(z = y (ii f está acotada en alguna E (α, r. 54 Teoría de variable compleja.

3 2. Singularidades aisladas de una función Recíprocamente: (i Si (z αf(z =, basta usar esto (en lugar de usar que f(z C en 2. z α z α de la demostración de la proposición anterior, para obtener también que f tiene una singularidad evitable en α. (ii Si f está acotada en alguna E (α, r, entonces z α (z αf(z = y estamos en el caso anterior. Ejemplo 2.8 f(z = ez z tiene una singularidad evitable en. En efecto, e z e z = z z z = C, o también, z ez = (e z =. z z z 2..2 Polos de una función Definición 2.9 Sean A C, α A y f analítica en A {α}. Se dice que f tiene un polo de orden m en α cuando existen m números complejos b, b 2,..., b m, con b m, tales que la función m b k f(z (z α k tiene una singularidad evitable en α. En este caso, a la función se la llama parte principal de f en α. p(z = m b k (z α k Ejemplo 2. La función f(z = z+z3 tiene un polo de orden 2 en z =. z 2 En efecto, tomando b = y b 2 =, se tiene p(z = z + y, para los z, z 2 f(z p(z = z+z3 + z 2 z = z. Luego f(z p(z tiene una singularidad evitable en. z 2 Observación 2. Si f tiene un polo de orden m en α y p(z = m b k (z α k es la parte principal de f en α, como la función h(z = f(z p(z tiene una singularidad evitable en α, se tiene que h(z = a n (z α n en alguna E (α, r y, por tanto, f puede escribirse en la forma en E (α, r. f(z = p(z + h(z = m b k (z α k + a n (z α n Proposición 2.2 Sean A C abierto, α A y f una función analítica en A {α}. Entonces, son equivalentes: a f tiene un polo de orden m en α. b z α (z α m f(z. c existe una función g analítica en A, con g(z = (z α m f(z en A {α} y g(α. Teoría de variable compleja. 55

4 2 El teorema de los residuos a= b Si f tiene un polo de orden m en α, sea p(z = m principal. Entonces, en algún E (α, r se tiene que b k (z α k, con b m, su parte m b k f(z = (z α k + m a n (z α n = b k (z α k + a n (z α n y, por tanto, que en E (α, r es m (z α m f(z = b k (z α m k + a n (z α n+m = b m + b m (z α + + b (z α m + a n (z α n+m. En consecuencia, (z α m f(z = b m. z α b = c Si (z α m f(z, la función (z α m f(z tiene una singularidad evitable z α en α y, por tanto, existe g analítica tal que g(z = (z α m f(z en A {α}, con g(α = g(z = (z z α z α αm f(z. c = a Como g es analítica en α, admite un desarrollo en serie de potencias g(z = a n (z α n en E(α, r, con a = g(α. En consecuencia, como g(z = (z α m f(z para los z α, se tiene que f(z = g(z (z α m = a n (z α n m a = (z α m + a (z α m + + a m z α + a m + a m+ (z α + + a n (z α n m +. con a, luego f tiene un polo de orden m en α Ceros de las funciones analíticas Lema 2.3 Sea f analítica en α con f(α =. Entonces existe un E(α, r tal que o (i f(z =, para todo z E(α, r, o (ii f(z, para todo z E (α, r. Como f es analítica en α y f(α =, puede escribirse f(z = E(α, ρ, con a = f(α =. Entonces: Si, para todo n, es a n =, se tiene que f(z = a n (z α n = para todo z E(α, ρ en algún Si, existe algún a n, sea m el primer índice para el cual a m, es decir, a = = a m = y a m, entonces f(z = a n (z α n = a n (z α n = (z α m a n (z α n m n=m n=m = (z α m a n+m (z α n = (z α m h(z 56 Teoría de variable compleja.

5 2. Singularidades aisladas de una función donde h analítica en E(α, r por ser una serie de potencias y h(α = a m. Por consiguiente, como h(α y h es continua existe un entorno E(α, r E(α, ρ en el cuál h(z, y como (z α m para todo z α, se tiene que f(z = (z α m h(z para todo z E (α, r. Proposición 2.4 Sean A C abierto, α A y f una función analítica en A que tiene un cero de orden m en α. Entonces la función /f tiene un polo de orden m en α. Por hipótesis, f(z = (z α m g(z con g analítica en A y g(α. Entonces, g(z en alguna E(α, r y f(z en E (α, r, por tanto, la función /g es analítica en E(α, r y la función f(z = (z α m g(z es analítica en E (α, r, y se tiene que (z am z α f(z = z α Luego /f tiene un polo de orden m en α. (z a m (z α m g(z = z α g(z = g(α Proposición 2.5 Sean A C abierto, α A y f una función{ analítica en A {α} que tiene un polo de orden m en α. Entonces la función (/f (z = f(z, si z α tiene un, si z = α cero de orden m en α y es analítica en una bola de centro α. Como f tiene un polo de orden m en α, existe una función g analítica en A, con g(z = (z α m f(z en A {α} y g(α. Luego en alguna E(α, r es g(z y, por tanto, la función g(z = f(z(z α m es analítica en E(α, r y, como g(α es analítica en dicha bola. Entonces, la función (z αm g(z = (z α m g(z, tiene un cero de orden m en α. Pero (z α m g(z = { de donde tenemos el resultado propuesto. f(z, si z α }, si z = α = (/f (z, Proposición 2.6 Sean A C abierto, α A, g una función analítica en A que tiene un cero de orden p en α, h una función analítica en A que tiene un cero de orden q en α y f(z = g(z h(z en A {α}. Entonces: a si p q, f tiene una singularidad evitable en α. b si p < q, f tiene un polo de orden m = q p en α. Por hipótesis, g(z = (z α p g (z, con g (α, y h(z = (z α q h (z, con h (α, entonces g (z y h (z en una E(α, r y la función f (z = g (z h (z es analítica en E(α, r, con f (α. Por tanto, en E (α, r y, se tiene: f(z = (z αp g (z (z α q h (z = (z αp q g (z h (z = (z αp q f (z Teoría de variable compleja. 57

6 2 El teorema de los residuos (i si p > q, z α f(z = C, luego f tiene una singularidad evitable en α. Además, la función f(z = (z α p q f (z en E(α, r es analítica en α y tiene un cero de orden p q en α. (ii si p = q, z α f(z = f (α C, luego f tiene una singularidad evitable en α. Además, la función f(z = f (z en E(α, r es analítica en α y f(α. (iii si p < q, (z α q p f(z = f (z = f (α, luego f tiene un polo de orden z α z α m = q p en α Singularidades esenciales de una función Proposición 2.7 Sean A C abierto, α A y f una función analítica en A {α}. Entonces ha de verificarse uno de los siguientes enunciados: a f tiene una singularidad evitable en α. b f tiene un polo en α. c Para cada w C existe una sucesión {z n } n IN tal que z n α y f(z n w. #Demostración# Supongamos que no se cumple c. Es decir, para algún w C y algún ε > existe un E(α, r tal que para todo z E (α, r se verifica que f(z w > ε, entonces la función g(z = f(z w es analítica en E (α, r y, como g(z < ε, está acotada, luego se puede extender a una función analítica en E(α, r. Si g(α, entonces existe E(α, ρ tal que g(z k, luego g(z k consecuencia, f(z = w + singularidad evitable. g(z en E(α, ρ y, en esta acotada en E (α, ρ. Por tanto, f tiene en α una Si g(α =, existe m IN tal que g(z = (z α m g (z, con g también analítica en E(α, ρ y g (α. Entonces la función g es analítica en E(α, ρ y g (z = (z αm g(z en E (α, ρ admitirá un desarrollo en serie de potencias h(z = a n (z α n. Como para todo z E (α, ρ es f(z w =, 2,..., m, se tiene que luego f tiene un polo de orden m en α. m b n f(z (z α n= n = w + a n (z α n m n=m h(z (z α m, poniendo b n = a m n para n = Definición 2.8 Sean A un subconjunto abierto de C, α A y f una función analítica en A {α}. Se dice que f tiene una singularidad esencial en el punto α cuando se verifica la condición c de la proposición anterior. 58 Teoría de variable compleja.

7 2.2 El teorema de los residuos 2.2 El teorema de los residuos Definición 2.9 Sea f una función con un polo de orden m en un punto α y sea p(z = m b k (z α k = b (z α + + b m (z α m su parte principal. El número complejo b se llama residuo de f en α y se designa por Res(f, α. Proposición 2.2 Sea f una función que tiene un polo de orden m en un punto α y sea g(z = (z α m f(z. Entonces Res(f, α = Como f tiene un polo de orden m, f(z = en algun E (α, r, luego m b k (z α k + (m! z α g(m (z. a n (z α n = m b k (z α k + h(z g(z = (z α m f(z = b m + b m (z α + + b (z α m + a n (z α n+m y derivando m veces y pasando al límite cuando z tiende a α resulta z α g(m (z = (m!b = (m! Res(f, α. Teorema de los residuos 2.2 Sean A un subconjunto abierto y convexo de C y f una función analítica en A {α,..., α r } y con polos en cada uno de los puntos α,..., α r. Si : [a, b] A es un camino cerrado regular a trozos tal que α k / ([a, b] para k =,..., r, entonces f(zdz = 2πi Res(f, α k Ind (α k. Sea P k (z = m k b kn n= (z α k n la parte principal de f en α k. Entonces, la función f P tiene polos en α 2,..., α r y una singularidad evitable en α, luego la función f P P 2 tiene polos en α 3,..., α r y singularidades evitables en α y α 2 y, en consecuencia, la función f tiene singularidades evitables en los puntos α,..., α r. Por el teorema de Cauchy-Goursat, ( = f(z P k (z dz = ( f(zdz P k (z dz = f(zdz r P k P k (zdz. Teoría de variable compleja. 59

8 2 El teorema de los residuos Ahora bien, como P k (zdz = m k n= mk b kn (z α k n dz = n= b kn dz (z α k n dz dz = b k + b k2 z α k (z α k b dz k mk (z α k m k = b k (2πi Ind (α k + b k2 + + b kmk = 2πib k Ind (α k = 2πi Res(f, α k Ind (α k, se tiene que f(zdz = P k (zdz = 2πi ( Res(f, α k Ind (α k Cálculo de integrales por el método de los residuos Proposición 2.22 Sea f una función racional de dos variables continua sobre la circunferencia x 2 + y 2 =. Entonces 2π f(sen θ, cos θdθ = 2π ( ( z 2 Res z f 2iz, z2 +, α k 2z k donde la suma está extendida a los residuos de todos los polos α k contenidos dentro del círculo unidad. Haciendo el cambio de variable z = e iθ, cuando θ crece desde hasta 2π, z recorre la circunferencia unidad en sentido positivo. Además, y sen θ = eiθ e iθ 2i y por tanto = z z 2i 2π = z2 2iz ; f(sen θ, cos θ dθ = i dz = ie iθ dθ = iz dθ cos θ = eiθ + e iθ 2 ( z 2 z f 2iz, z2 + dz 2z = z + z 2 y el resultado se deduce del teorema de los residuos sin más que tener en cuenta que {, si αk < Ind (α k =, si α k >. = z2 + 2z 2π dx Ejemplo 2.23 Calcular I =, con < p <. 2p cos x+p 2 Solución: Como, para z = e ix, se tiene que cos x = z2 + 2z, entonces ( z 2 z f 2iz, z2 + = 2z z 2p z2 + 2z + p = 2 z = 2z 2z 2p(z zp 2 = z p(z zp 2 z pz 2 p + zp 2 = z( pz p( zp = (z p( zp = h(z. 6 Teoría de variable compleja.

9 2.2 El teorema de los residuos Los polos de h(z son α = p y α 2 = p, pero como < p <, sólo α está dentro de la circunferencia unidad. Como es un cero de orden de la función del denominador, es un polo de orden de la función h y, en consecuencia, Res(h, α = (z ph(z = z α ( Por tanto, I = 2π Res(h, α = 2π. p 2 z α zp = p 2. Proposición 2.24 Si f es una función analítica en el semiplano superior Im(z excepto en un número finito de puntos α,..., α n interiores a dicho semiplano y además es ( { } R max f(z : z = R, Im(z =, 2.2 entonces R + V P + f(xdx = 2πi n Res(f, α k. Si R > max { α k : k =,..., n}, el camino formado por el segmento [ R, R] y por la semicircunferencia R de centro el origen y radio R situada en el semiplano superior encierra todos los puntos α,..., α n. R α k α j R α i R Por el teorema de los residuos, y como resulta Ahora bien, R R f(zdz = 2πi f(zdz = f(xdx = 2πi R R Res(f, α k f(xdx + f(zdz R Res(f, α k f(zdz. R { } f(zdz f(z dz max f(z : z = R, Im(z πr R R luego si R la integral tiende hacia cero. Por consiguiente, V P + conforme queríamos demostrar. f(x dx = R R + R f(x dx = 2πi n Res(f, α k Teoría de variable compleja. 6

10 2 El teorema de los residuos Ejemplo 2.25 Calcular I = Solución: Como I es convergente, I = V P tiene que f(z = z 4 + = z dx x ( dx x 4 +. Sea f(z =, entonces, para z = R, se z 4 + z 4 = z 4 = (2 R 4 = R 4 ( por la propiedad 9.6-b del módulo y (2 es cierto para R suficientemente grande. Luego se tiene que ( { } R max f(z : z = R, Im(z R + R + R R 4 =, y, se verifica la condición 2.2. Además, f(z es analítica salvo en los cuatro ceros del denominador por lo que puede aplicarse la proposición anterior. Entonces, como z 4 + = z 4 = = e iπ sus raices son α = e i π 4, α 2 = e i 3π 4, α 3 = e i 3π 4 y α 4 = e i π 4, y la función f tiene polos de orden (por ser ceros de orden de la función z 4 + en α y α 2 del semiplano superior, se tiene ( I = 2πi Res(f, α + Res(f, α 2. Como Res(f, α i =! z α i z α i z 4 + = z α i 4z 3 = 4α 3 i = α i 4α 4 i = α i 4 se tiene que I = 2πi 4 (e i π 4 + e i 3π 4 = 2 2 π. Proposición 2.26 Si f es una función analítica en el semiplano superior Im(z excepto en un número finito de puntos α,..., α n interiores a dicho semiplano y además es { } max f(z : z = R, Im(z =, 2.3 R + entonces, para todo a > se tiene V P + f(xe iax dx = 2πi n Res (f(ze iaz, α k. Como la exponencial es entera y distinta de cero cada punto, los polos de e iaz f(z son los polos de f(z, luego consideremos el mismo camino semicircular que en la proposición anterior. Por el teorema de los residuos, R R y bastará, pues, porbar que f(xe iax dx = 2πi Res (f(ze iaz, α k f(ze iaz dz R f(ze iaz dz =. R R Ahora bien, f(ze iaz { } dz f(z e R iaz dz max f(z : z = R, Im(z e iaz dz R R 62 Teoría de variable compleja.

11 2.2 El teorema de los residuos y como y sobre R es y = R sen θ, con θ π, R e iaz dz = e iaz = e ia(x+iy = e ay+iax = e ay π π/2 e ar sen θ R dθ = 2 e ar sen θ R dθ Pero para θ [, π 2 ] se tiene que 2 π θ sen θ θ luego ar sen θ ar 2 π θ y, entonces y = x π 2 y = 2 π x y = sen x π/2 e ar sen θ R dθ < π/2 e 2aR π θ R dθ = π 2a ( e ar. Por consiguiente, f(ze iaz dz < π { } R 2a ( e ar max f(z : z = R, Im(z y f(ze iaz dz =. R R Observación: Si f(x IR para todo x IR, la proposición anterior permite calcular las integrales + f(x cos(ax dx y + f(x sen(ax dx siempre que existan. Basta tomar partes reales e imaginarias en la igualdad + Ejemplo 2.27 Calcular I = Solución: f(xe iax dx = 2πi n cos ax (+x 2 2 dx, con a >. Res (f(ze iaz, α k. Como las funciones cos ax y f(x = (+x 2 2 son pares, I = 2 es la parte real de e iax, se tiene que I = 2 Re ( e iax f(x dx = ( 2 Re 2πi k Se verifica la condición 2.3, pues para z = R, se tiene que f(z = (z = z ( cos ax (+x 2 2 dx y, como cos ax ( Res e iaz f(z z 2 2 = z 2 2 = (R 2 2 Teoría de variable compleja. 63

12 2 El teorema de los residuos y { } max f(z : z = R, Im(z R + R + (R 2 2 =. Los polos de e iaz f(z son los polos de f, que son los ceros de la función (+z 2 2, por tanto, en el semiplano superior sólo tiene un polo de orden 2 en α = i. Haciendo g(z = (z i2 e iaz (+z 2 2 = e iaz (z+i 2, se tiene que Res(e iaz f, α =! iae iaz (z + i 2 e iaz 2(z + i z i g (z = z i (z + i 4 = iae a (2i 2 e a 2(2i (2i 4 Luego I = 2 Re ( = 4iae a 4ie a 6 2πi ie a (a + 4 = ie a (a +. 4 = ( πe a 2 Re (a + = 2 2 πe a (a + 2 = πe a (a Ejercicios 2. Estudiar las singularidades aisladas de las funciones a f(z = ez cos(πz sen z sen(z ; b f(z = ; c f(z = cos z ; z 2 +2z z 2 z z 3 d f(z = sen( π 4 z z ; e f(z = (z 2 (z 3 e 2z ; f f(z = z2. e z2 Indicar el orden de los polos. 2.2 Calcular dz siendo la circunferencia z = recorrida en sentido positivo. 2.3 Calcular 2.4 Calcular 2.5 Calcular dz siendo la circunferencia z = recorrida en sentido positivo. 2.6 Calcular 2.7 Calcular 2.8 Calcular e z cos(πz z 2 +2z sen z sen(z z 2 z cos z z 3 sen( π 4 z (z 2 (z Hallar el valor de 2. Hallar el valor de dz siendo la circunferencia z = 2 recorrida en sentido positivo. dz siendo la circunferencia z = recorrida en sentido positivo. 4z e z z 2 e z2 2π sen(xdx 5 3 sen(x. + dx (x 2 +a 2 (x 2 +b 2 + dz siendo la circunferencia z i = 6 recorrida en sentido positivo. dz siendo la circunferencia z = 3 recorrida en sentido positivo., con a, b >. x sen(x +x 4 dx, con a >. 64 Teoría de variable compleja.