(a) z 1 + i = 1, (b) z + i 3, (c) Re(z i) = 2, (d) 2z i = 4. i 2 2i, z k = 1 zn+1 1 z

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Aarón Navarrete Rubio
hace 5 años
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1 Demostrar que Re z + Im z z para todo z C. Encontrar las soluciones de z = z. 3 Representar cada uno de los siguientes conjuntos: (a) z + i =, (b) z + i 3, (c) Re(z i) =, (d) z i = 4. 4 Demostrar que si z < entonces Im( z + z ) < 3. 5 Calcular el argumento de los siguientes números complejos: i i, 6 Calcular las siguientes raíces en forma binómica y representarlas: donde 3 representa la raíz cuadrada positiva de i. (i) /, ( 3i) /, ( ) /3, 8 /6, ( 6) /4, 7 Demostrar que si z C \ {}, entonces n k= z k = zn+ z para todo natural n. Lagrange Utilizar esa igualdad para demostrar la siguiente identidad trigonométrica de n k= cos(kθ) = + sen[(n + )θ] sen θ < θ < π. n 8 Sea z una raíz n-ésima de la unidad. Demostrar que z k =. 9 Demostrar que si z C es una raíz de un polinomio con coeficientes reales también lo es z. k= Suponiendo que z = o w = y zw probar que z w zw = Encontrar el máximo de z n + a cuando z Si los números complejos z, z y z 3 satisfacen la relación probar que z z = z 3 z = z z 3 z z z 3 z = z z 3 z z 3 3 Resolver cada una de las siguientes ecuaciones: (a) e z =, (b) e z = + 3i, (c) e z =. 4 Demostrar que e z e z. 5 Demostrar que e z < si, y sólo si, Re z >. 6 Determinar Re e /z en términos de las coordenadas cartesianas de z. 7 Resolver las siguientes ecuaciones: cos z =, sen z = cosh 4, cosh z = /, senh z = i. 8 Calcular log e, log i, log( + 3 i), Log( ei), Log( i). 9 Demostrar que Log( + i) = Log( + i), pero Log( + i) Log( + i).

2 Justificar la definición del símbolo f z = son equivalentes a f z =. ( f x i Escribir las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares. ) f y probar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann y Demostrar que si f(z) es una función analítica y una cualquiera de las funciones Ref, Imf, f o Argf es constante, entonces f es constante. 3 Existe una función analítica cuya parte real es u(x, y) = sen x senh y? En caso afirmativo calcularla y expresarla en función de z. 4 Calcular la determinación principal de la función arco tangente de z, determinar la región donde es analítica y calcular su derivada cuando exista. 5 Hallar el polinomio armónico más general de la forma u(x, y) = ax 3 + bx y + cxy + dy 3. Calcular una función v(x, y) tal que u(x, y) + iv(x, y) sea entera. 6 Sea Ω un abierto simétrico con respecto del eje real. Demostrar que f es analítica en Ω si, y sólo si, g es analítica en Ω, donde g(z) = f(z). 7 Determinar en qué regiones del plano complejo son analíticas las siguientes funciones y calcular las derivadas correspondientes. (a) f(z) = z; (b) f(z) = z ; (c) f(z) = e ez ; (d) f(z) = cos z; (e) f(z) = z+ e z ; (f) f(z) = z. Es la función del apartado (f) conforme en z =.? Cuáles son las imagenes respectivas de los ejes real e imaginario? Con qué ángulo se cortan dichas imágenes? 8 Sean Ω un abierto conexo de C y u(x, y), v(x, y) funciones armónicas en Ω. Bajo qué condiciones es armónica la función producto uv?. Demostrar que u no puede ser armónica a menos que u sea constante. Para qué funciones analíticas f es f armónica?. 9 Calcular las siguientes integrales curvilineas z, z = z, 3 Calcular las siguientes integrales curvilineas z, e z z, z = z, z +, z = z. e z z(z ). 3 Calcular siendo n un natural arbitrario. e z z n, 3 Sea la frontera del cuadrado determinado por las cuatro rectas x = ±, y = ±. Calcular cos z z + 8, z z +, cosh z z Calcular las siguientes integrales: (a) (z3 + 3), donde es la mitad superior de la circunferencia unidad orientada positivamente. (b) e/z, donde es la circunferencia de radio 3 centrada en + 5i. (c) z (z ), donde es la circunferencia de centro y radio. (d) z e z, donde es la circunferencia unidad. (e) z 3, donde es el cuadrado de vértices i, i, + i y + i (f) z 4 sen z, donde es la circunferencia unidad. (g) z = (z + z 3)

3 34 Sea f analítica en la bola z < R con R >. Calcular π f(e iθ ) cos ( θ )dθ en función de f y sus derivadas en el origen. 35 Sea p(z) = a + a z + a n z n (a k C). Calcular z =r zn p(z). 36 Sea f(z) una función entera tal que para z > R satisface f(z) M z n donde n es un número natural y M y R son constantes reales positivas. Demostrar que f(z) es un polinomio en z de grado menor o igual que n. 37 Sean p(z) = a n (z z )(z z ) (z z n ) y una circunferencia de radio r > z k (es decir, una circunferencia que encierra todos los ceros de p(z). Calcular zp (z) πi p(z) en función de los ceros de p(z). 38 Sea p(z) un polinomio de grado n, p(z) = a + a z + a n z n (a n ). Calcular en función de los coeficientes de p(z), p(z) (z + iπ) en los casos n = 8, n = 9 y n =. z =4 39 Estudiar la convergencia de las siguientes series: (a) n= cos(in) n ; (b) n= n sen(in) 3 n y (c) n= n= i n log n. 4 Calcular el radio de convergencia de cada una de las siguientes series de potencias: (a) nz n ; (b) z n e n ; (c) n!n n z n y (d) n= n z n. n= n= (z ) n 4 Encontrar un dominio en el que n n= sea analítica. 4 Determinar las series de Taylor centradas en cero de cada una de las siguientes funciones determinando en cada caso su radio de convergencia e z, cos z, sen z, arctg z, cosh z, senh z, arctgh z. 43 Calcular los desarrollos en serie de Taylor de las siguientes funciones en torno a los puntos indicados, especificando los correspondientes radios de convergencia: (a) e z, a = ; (b) /z, a = ; (c) z e z, a = ; (d) e z sen z, a = ; (e) e z, a = y (f) (z ) (z ), a =. 44 Calcular los tres primeros términos no nulos del desarrollo en serie de Taylor de tan z en a =. 45 Calcular los tres primeros términos no nulos del desarrollo en serie de Taylor centrado en el origen de la función f(z) = log(cos z). 46 Calcular los dos primeros términos no nulos y el radio de convergencia del desarrollo en serie de Taylor centrado en el origen de la función f(z) = z + cos(πz). 47 Encontrar las coronas de convergencia de las siguientes series de Laurent: (a) i n z n ; (b) z n /n! + n z n 7 ; (c) 35z 4 z + z n /n! y (d) z + n= n= n= n= n= n ( n)! z n. 48. Determinar la parte principal (es decir la que contiene las potencias negativas) del desarrollo en serie de Laurent de f (z) alrededor de f(z) a) Un cero de orden k de f(z).

4 b) Un polo de orden k de f(z).. Probar que f (z) πi f(z) = C P en donde f(z) es una función analítica dentro y sobre la curva simple cerrada excepto para un número finito de polos simples que se encuentran en el interior de. C es el número de ceros de f(z) en el interior de (contando su multiplicidad) y P es el número de polos. 49 Clasificar las singularidades de la función y calcular los residuos correspondientes f(z) = (z ) (z + 3) sen πz 5 Suponiendo que f H(D () \ {}) y que para cada natural n se verifica z n f(z) =, demuéstrese que z = es una singularidad evitable de f(z). 5 Encontrar el desarrollo en serie de Laurent de f(z) = z z + 5 (z )(z + ) válido en la corona < z <. 5 Determinar el dominio de holomorfía y clasificar todas las singularidades de cada una de las siguientes funciones: f(z) = z sen z, g(z) = e z, h(z) = z cos z. 53 Obtener los desarrollos en serie de Laurent de las siguientes funciones: (a) f(z) = e z + e z f(z) = z(z + R) en < z < R; (c) f(z) = (z en < z <. ) 54 Determinar el dominio de holomorfía y clasificar todas las singularidades de la función f(z) = (z )(z ) 3 sen 3 (πz) 55 Halla los puntos singulares y determina su naturaleza:. f (z) = e z + z. f (z) = z (z ) sen (z) 56 Calcular las siguientes integrales: a) x π x 4 + 5x dx b) + 4 cos 3θ dθ c) 5 4 cos θ. x 6 + dx en z > ; (b) d) x sen πx x dx e) + x + 5 cos x cos x dx f) 4 x(cos x sen x) x dx + g) x p dx h) ( + x) x /3 dx i) ( + x) 3 3 x( + x ) dx j) sen x dx k) x sen x dx l) log x + x 4 dx

5 57 Calcular las siguientes integrales cos x (x + ) dx, π dθ a + cos θ (a > ), x sen x x + x + dx. 58 Calcular las siguientes integrales x b x + b sen(ax) x dx (a, b R, a > ), cos x (x + a )(x + b dx (b >, a > ) ) 59 Determinar las funciones enteras f(z) para las que f(z + w) = f(z)f(w) z, w C. 6 Demostrar que las únicas funciones enteras que verifican f(z) = f(z) para todo z C son las constantes. 6 (Teorema de Picard.) Demostrar que si f H(C) y existen ε > y w C tales que f(z) w ε z C, entonces f es constante. Utilizar este hecho para concluir que la imagen de toda función entera no constante es densa en C. 6 Sea f una función entera tal que Probar que f debe ser constante. Im (f (z)) > z C

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Capítulo 6 INTEGRACIÓN POR RESIDUOS Problema 6. Halla todas las singularidades de las siguientes funciones y obtén sus correspondientes residuos: z 3 (z + 4), z 2 + 2z +, z 3 3, e z, sen z, (z 3)sen Problema