Examen ordinario de Matemáticas E.T.S.I. de Telecomunicación

Transcripción

1 Examen ordinario de Matemáticas E.T.S.I. de Telecomunicación 27 de Enero de Enunciados 1.1. Ejercicio Problema 1. (3 puntos) (1) Calcule C(i,2) (cos z + sin z)/(z 1)n dz, donde C(i, 2) denota la circunferencia de radio 2 centrada en i, cuando n es un número entero, sin recurrir al Teorema del Residuo. Indicación: comience por resolver la Cuestión (3 puntos) Calcule ahora la misma integral mediante el Teorema del Residuo Cuestiones 1. (1 punto) Escriba la fórmula integral de los coeficientes de una serie de potencias. Precisamente, sea n= a n(z z ) n, donde (a n ) es una sucesión de números complejos. Escriba una expresión para a n como una integral alrededor de una circunferencia centrada en z. 2. (2 puntos) Considere las siguientes afirmaciones hechas sobre una serie de potencias arbitraria s(z) := n= a n(z z ) n. Diga cuáles son verdaderas y cuáles falsas, dando una breve explicación para cada respuesta. a) Puede darse el caso de que la serie converja en un cuadrado centrado en z y diverja en el complementario. b) La serie podría converger en todo el plano complejo. c) La serie podría converger en todo el plano complejo excepto en z. d) La función s podría tener un número infinito de ceros (es decir, de raíces). e) La función s es derivable en el interior de su dominio de convergencia. f ) Los coeficientes a n deben tender necesariamente a cero. g) El término a n (z z ) n debe tender necesariamente a cero si z pertence al dominio de la función s. 3. (1 punto) Parametrice la circunferencia C(i, 2) y escriba la fórmula de la integral a calcular en el problema 1 en términos de una integral real en el intervalo [, 2π] (no es necesario que la resuelva).

2 1.2. Ejercicio Problema Examen ordinario de Matemáticas E.T.S.I. de Telecomunicación 27 de Enero de 29 Considérese el siguiente problema de valor inicial: (c > ) u tt + c 2 u xxxx =, < x <, t > (P ) u(x, ) = f(x), < x < u t (x, ) =, < x < Resoverlo aplicando la transformada de Fourier tal y como se indica a continuación. a) (3 puntos) Sea U(ω, t) la transformada de Fourier de u(x, t). Compruebe que, al tomar transformada de Fourier en la EDP del problema (P ), se obtiene U tt + c 2 (iω) 4 U =. Resuelva esta EDO y utilice las condiciones iniciales transformadas para obtener una solución de U(ω, t). b) (1 punto) Utilice ahora la fórmula de la transformada inversa de Fourier para dejar indicada la solución final de u(x, t) en forma de integral, en términos de ˆf(ω) Cuestiones 1. Calcule la transformada de Fourier de la función gaussiana f(x) = e ax2, donde a >. Para ello, siga las siguientes indicaciones: a) (1,5 puntos) Compruebe que f (x) = 2axf(x) y tome transformada de Fourier en esta identidad (recuerde que para una función absolutamente integrable cualquiera g en R, se cumple que F[xg(x)](s) = i d dsĝ(s)). b) (1,5 puntos) Resuelva la EDO obtenida para ˆf(s) y compruebe que ˆf(s) = Ce s2 4a. Para determinar la constante C, utilice sin calcularla la integral e ax2 dx = π. a 2. (3 puntos) Calcule la serie de Fourier de la función L-periódica f(x) = L/2 x, definida así en el intervalo ], L[, y de forma que f(kl) = 1, para cada k Z. La serie de Fourier obtenida, converge a la función puntualmente? En qué puntos? Converge uniformemente? En qué conjuntos?

3 2. Soluciones 2.1. Ejercicio Problema 1. Sea I n la integral pedida. La fórmula integral para los coeficientes de una serie de potencias definida como f(z) := n= a n(z z ) n es a n := 1 2πi C(z ;r) f(z) dz, n N {}, (1) (z z ) n+1 donde r > tiene la propiedad de que C(z ; r) D, siendo D el disco abierto en el que converge la serie. Sea ahora f(z) = cos z + sin z. La función g n (z) := f(z)/(z 1) n (2) no tiene singularidades entre las circunferencias C(i; 2) y C(1; ε), donde ε es lo suficientemente pequeño para que C(1; ε) esté dentro de B(i; 2). Por tanto, g n (z)dz = g n (z)dz. (3) C(i;2) C(1,ε) De acuerdo con la fórmula (1), se tiene I n = g n (z)dz = 2πia n 1, n N, (4) C(1,ε) donde f(z) = cos z + sin z = n= a n(z 1) n. Hay que desarrollar esta función en z = 1. Los coeficientes están dados también por las fórmulas a n := f (n) (z ), n N, (5) n! por lo que se obtiene (cos 1 + sin 1)/n!, si n = 4m, m N {}. ( sin 1 + cos 1)/n!, si n = 4m + 1, m N {}. a n := ( cos 1 sin 1)/n!, si n = 4m + 2, m N {}. (sin 1 cos 1)/n!, si n = 4m + 3, m N {}. Basta llevar estos valores a (4) para obtener la solución. 2. La función g n definida en (2) tiene una sola singularidad, en el punto 1. La aplicación del Teorema de los Residuos al cálculo de la integral I proporciona I n := g n (z)dz = 2πiRes(g n ; 1) C(i;2) Por otra parte, si f(z) = k= a k(z 1) k, para todo z C, se tiene g n (z) = f(z)/(z 1) n = k= a k(z 1) k n para z 1. Por tanto, Res(g n ; 1) = a n 1. Se obtiene de nuevo la solución (4). Basta ahora recurrir a las fórmulas (6) para obtener la solución en función de n. (6)

4 Cuestiones 1. Esta hecho en la solución del problema, parte a) Falsa, pues una serie de potencias siempre converge exactamente en un disco, no en un cuadrado. b) Cierto. En ese caso, la serie define una función entera, es decir, derivable en todo el plano complejo. c) Falso. Eso podría ocurrir para una serie que tuviera monomios con exponentes negativos, pero no para una serie como la dada. d) Cierto. Por ejemplo, la función sin z es de ese tipo. e) Cierto. Una serie de potencias es derivable en el interior del disco de convergencia. f ) Falso. Por ejemplo, la serie n= zn converge en B(; 1) y sus coeficientes no tienden a cero. g) Cierto. El término general de una serie convergente tiende a cero. 3. Una parametrización es γ(z) := i + 2e it, t [, 2π]. Se tiene γ (t) = 2ie it, por lo que la integral I n resulta I n = 2π 2.2. Ejercicio Problema cos(i + 2e it ) + sin(i + 2e it ) (i + 2e it 1) n 2ie it dt = 2i 2π cos(i + 2e it ) + sin(i + 2e it ) (i + 2e it 1) n e it dt. 1. La transformada de Fourier de una función g absolutamente integrable en la recta real está definida como ĝ(w) := g(x)e iwx dx. Si g existe y es absolutamente integrable, se tiene (g )(w) = iwĝ(w). Por inducción (suponiendo que se dan las condiciones para que exista la transformada de Fourier de la cuarta derivada), (g (iv) )(w) = w 4 ĝ(w). Sea u(x, t) una solución de la ecuación en derivadas parciales. Fijamos t, con lo que u es ahora función de x. Se supone que esta función satisface las condiciones para la existencia de la transformada de Fourier, que se denota U(w, t). Si se toman transformadas de Fourier (respecto de la variable x) a ambos lados de la ecuación resulta, pues (teniendo en cuenta la derivación de una integral respecto a un parámetro) d 2 dt 2 U(w, t) + c2 w 4 U(w, t) =. (7) Interpretamos ahora (7) como una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, lineal, homogénea, en la variable t, considerando w constante. Es obvio que la solución general es una combinación lineal de las dos soluciones fundamentales e icw2t y e icw2t. Como hemos fijado w, los coeficientes de la solución general dependerán de w, luego U(w, t) = A(w)e icw2t + B(w)e icw2t. Sustituyendo t por, y teniendo en cuenta que u(x, ) = f(x), se obtiene A(w) + B(w) = f(w). Por otra parte, (d/dt)u(w, t) = A(w)icw 2 e icw2t B(w)icw 2 e icw2t.

5 Basta sustituir t por en esta expresión y tener en cuenta la otra condición, (d/dt)u(x, t) =, para obtener A(w) B(w) =. Resulta de todo ello A(w) = B(w) = (1/2) f(w), con lo que la solución buscada es U(w, t) = f(w) eicw2t + e icw2 t 2 = f(w) cos cw 2 t. (8) 2. Como (8) es la transformada de Fourier (respecto a x) de la función u(x, t) buscada, la fórmula de inversión proporciona la solución de la ecuación en derivadas parciales, precisamente u(x, t) = 1 2π Cuestiones + U(w, t)e iwx dw = 1 + 2π f(w) cos cw 2 te iwx dw. 1. Si aplicamos transformada de Fourier a la expresión f (x) = 2axf(x) queda iw ˆf(w) = 2ai d ˆf(w). Hay que resolver la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas 2ay + wy =, donde la incógnita y(w) es ˆf(w). Separando las dw variables, y y = w 2a, de donde se deduce que ˆf(w) = C exp [ w2 ]. Para determinar la constante C basta 4a observar que + e ax2 dx = ˆf() (= π/a). 2. Dado que la función es impar (basta hacerse un esbozo de la gráfica entre L/2 y L/2), sólo hay que calcular b k = 4 L L/2 (L/2 x) sen 2kπ L x dx = L kπ. La función f es suave a trozos y discontinua, por lo tanto la serie de Fourier f k=1 L 2kπ sen kπ L x, converge puntualmente a f en todo R, excepto en los puntos de la forma kl, k Z, donde converge a. Por la misma razón, converge uniformemente en los intervalos cerrados que no contengan discontinuidades de f. Estos intervalos han de tomarse cerrados, debido al fenómeno de Gibbs, que impide que haya convergencia uniforme muy cerca de los puntos de discontinuidad.