Cuartas Jornadas de Jóvenes Investigadores UNT - CONICET Tucumán, 22, 23 y 24 de Junio de 2010

Transcripción

1 Universidad: Nacional de Tucumán Núcleo disciplinario/comité académico: Matemática Aplicada Título del Trabajo: APLICACIONES DE LA TEORIA DE LEBESGUE AL ANÁLISIS DE FOURIER Autor: Ledesma, Andrea Vanesa Dirección electrónica: Palabras claves: Productos de convolución, Fourier, Convergencia.

2 Universidad: Nacional de Tucumán Núcleo disciplinario/comité académico: Matemática Aplicada Introducción: Se analizan condiciones para existencia, y convergencia en diferentes modos de la Transformada, la Antitransformada y las Series de Fourier. Materiales y métodos: Se trabaja con diferentes textos referidos al tema, así como con información de la Web. Se hace un análisis meticuloso de enunciados y demostraciones de resultados y se relacionan con conocimientos adquiridos con anterioridad. Se aplican los mismos a problemas reales que llevan al planteo de ecuaciones diferenciales parciales. Resultados 1. ELEMENTOS DEL ANÁLISIS DE FOURIER Se define el espacio de Schwartz como el conjunto de funciones que, junto con todas sus derivadas, se anulan en el infinito más rápido que cualquier potencia de. Más precisamente, para cualquier entero no negativo y cualquier multi-índice se define, entonces 2. CONVOLUCIONES Sean funciones medibles en. La convolución de y es la función definida por para todo tal que la integral exista. 2.1 PROPIEDADES DE LA CONVOLUCIÓN a) b) c) si entonces 2.2 DESIGUALDAD DE YOUNG Si y entonces existe en casi todo punto, y 2.3 PROPOSICIÓN Si y son índices conjugados, y entonces existe para todo, está acotada y es uniformemente continua, y. Si, entonces

3 2.4 PROPOSICIÓN (Desigualdad de Young, forma general) Sean y. Si y entonces y. 2.5 TEOREMA Sea, y a) Si, entonces en norma cuando. b) Si está acotada y es uniformemente continua, entonces uniformemente cuando. c) Si y es continua en un abierto, entonces uniformemente en un subconjunto compacto de cuando. Si se imponen condiciones ligeramente más fuertes sobre, también se puede mostrar que en casi todo punto para. 2.6 TEOREMA Se supone que existen tales que y. Si entonces cuando para cada en el conjunto de Lebesgue de, en particular para casi todo punto, y para toda para la cual es continua, donde Observación: Si, se llama una identidad aproximada ya que proporciona una aproximación al operador identidad en por operadores de convolución. Esta construcción es útil para aproximar funciones por funciones que tengan propiedades específicas de regularidad. 3. LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1 TEOREMA Si es una función medible en (respectivamente en ) tal que y entonces existe (resp. ) tal que. La idea es descomponer funciones arbitrarias en o en en términos de exponenciales. En el caso de esto funciona de manera muy sencilla para funciones de. 3.2 TEOREMA Sea. Entonces es una base ortonormal de.

4 Definición: Si como: Si, se definen, respectivamente, su transformada de Fourier y su serie de Fourier, se define por: El término transformada de Fourier se utiliza para designar a la función anterior dice que la transformada de Fourier transforma en, que. El teorema (Identidad de Parseval), y que la serie de Fourier de converge a en la norma. La integral que define converge si. Si, con y el índice conjugado de, entonces por la Desigualdad de Hausdorff- Young. Es obvio que, y es continua. Por lo tanto: Ejemplo: Sea en el intervalo y se extiende f periódicamente en. Probar que: y si. Demostración: Veamos que valen ambas proposiciones: Para vale que: Para realizando una integración por partes se tendrá que: Luego. 3.3 TEOREMA (Propiedades de la transformada de Fourier) Sean a) y donde

5 b). c) Lema de Riemann-Lebesgue. d) Demostración del apartado b) Por el teorema de Fubini Definición: Si se define Se puede afirmar que si y entonces. 3.4 TEOREMA DE INVERSIÓN DE FOURIER Si y, entonces coincide en casi todo punto con una función continua y Demostración: Dados y se define Luego vale que: donde y Como Se tiene que en cuando. Como, resulta que en. Por otro lado, como vale el teorema de convergencia dominada, luego Se sigue que en casi todo punto. Como y son funciones continuas, al ser transformadas de Fourier de funciones de, la demostración está completa. Si y, la fórmula de inversión muestra a como superposición de las funciones básicas ; a menudo se llama la representación integral de Fourier de. Esta fórmula sigue siendo válida para todas las funciones, aunque la integral (así como la integral que define a ) puede no converger

6 puntualmente. En el teorema de inversión, si se integra respecto de la medida contadora la integral devuelve la serie de Fourier de la función. 3.5 TEOREMA Si, la serie converge puntualmente en casi todo punto y en a una función tal que. Además, la transformada de Fourier en es igual a la transformada de Fourier en ; es decir que para. 3.6 FÓRMULA DE SUMA DE POISSON Sea que satisface que y para. Entonces donde ambas series convergen absoluta y uniformemente en.. En particular, tomando 4. SUMA DE INTEGRALES DE FOURIER Y SERIE Si y, entonces la serie de Fourier converge absoluta y uniformemente a una función. Puesto que, y la serie converge a en norma, luego en casi todas partes si se supone que es continua. Se tratará de analizar condiciones que garanticen que sea integrable y cómo recuperar de si no es integrable bajo mínimas hipótesis sobre. Se considera el caso de. La demostración del teorema de inversión de Fourier contiene la idea esencial: reemplazar la integral divergente por donde es una función continua que se anula en el infinito con la suficiente rapidez para que la integral converja. Si se elige que satisfaga, entonces cuando, la integral correspondiente convergerá a en algún sentido. 4.1 LEMA Si entonces. 4.2 TEOREMA Sea tal que, y. Dada para se define a) Si,, entonces y cuando. b) Si está acotada y es uniformemente continua, entonces también lo es, y uniformemente cuando.

7 c) Suponemos también que para algún. Entonces para todo en el conjunto de Lebesgue de. Combinando este teorema con la fórmula de suma de Poisson, se obtiene un resultado similar para funciones periódicas. Un ejemplo de es que se utiliza en la demostración del teorema de inversión. se llama núcleo de Gauss o núcleo de Weierstrass, que tiene nexo con la ecuación del calor. Otro es la función con, cuya transformada inversa de Fourier es: en la que se basa la suma Cesàro. 5. CONVERGENCIA PUNTUAL DE LA SERIE DE FOURIER. de : Sea. Se denota por la ésima suma parcial simétrica de la serie de Fourier De la definición de, se tiene donde es el ésimo núcleo de Dirichlet: Una de las consecuencias de esto es que la serie de Fourier de una función continua no necesariamente converge puntualmente y mucho menos uniformemente, a. Esto significa que para aproximar una función uniformemente por polinomios trigonométricos, no se debe recurrir a las sumas parciales ; la media Cesàro funciona mucho mejor en general. Dirichlet mostró que siempre que sea seccionalmente continua y monótona, pero lo que realmente se necesita es que 5.1 TEOREMA sea de variación acotada. Si, es decir que si es periódica en y de variación acotada en, entonces En particular, para todo en el cual es continua.

8 Una de las características menos atractiva de la serie de Fourier es que el mal comportamiento de una función en un punto afecta el comportamiento de su serie de Fourier en todos los puntos. Por ejemplo, si tiene una discontinuidad de salto entonces no puede estar en y por lo tanto, la serie no converge absolutamente en cualquier punto. Sin embargo, la convergencia de la serie en un punto depende únicamente del comportamiento de en las proximidades de, lo que se conoce con el nombre de fenómeno de Gibbs. Ejemplo: La ésima suma de Fourier es: Por lo tanto En el punto se ve con claridad el fenómeno de Gibbs. Se observa que la gráfica de la suma parcial de Fourier excede a la de la función salto en el punto de discontinuidad. Este fenómeno también se produce en los extremos del intervalo. 6. APLICACIONES A ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Sea el operador diferencial Para todas las funciones que tengan un buen comportamiento (Por ejemplo, ) se tiene: Se define y se introducen los operadores Luego En consecuencia, si es cualquier polinomio en variables complejas, se dice que. Una aplicación de la transformada de Fourier es encontrar soluciones de la ecuación diferencial parcial.

9 Si, vale que su transformada de Fourier es. Además, si es la transformada de Fourier de una función, se puede expresar directamente en términos de como. Para que estos cálculos tengan sentido las funciones y (ó ) deben ser aquellas a las que se le pueda aplicar la transformada de Fourier, la cual es una limitación seria sin la teoría que se desarrolló hasta ahora. Este método se aplica sólo cuando el dominio de la trasformada de Fourier se puede extender sustancialmente. También hay que señalar, que no es la única solución de ; hay otras que crecen demasiado rápido en el infinito para estar dentro del alcance incluso de la extensión de la transformada de Fourier. El más importante de todos los operadores diferenciales parciales es el Laplaciano, donde. Ejemplo: Una ecuación fundamental de la física matemática es la ecuación de onda donde es la amplitud en la posición y en el tiempo de una onda viajando en un medio isotrópico homogéneo, con unidades elegidas de manera tal que la velocidad de propagación sea 1. Aquí es conveniente especificar y : Luego, aplicando la transformada de Fourier, se obtiene: La solución es Ya que Se sigue que: es la transformada de Fourier de una función solamente cuando y la transformada de Fourier de una medida solamente cuando. El estudio para dimensiones mayores no está al alcance de este trabajo puesto que se aplica teoría de Distribuciones. Se analiza la solución para. Es decir que:

10 Se puede probar que En este caso Luego es decir que: Por otro lado Observando que y en caso de poder intercambiar la derivada con la integral, Por otra parte, la derivada presente en el integrando es nula y no podría darse el resultado mencionado. La causa de esto es que se debe hacer una derivada en el sentido de las distribuciones y se obtiene: donde Entonces para que es lo presentado. Discusión y conclusiones: Se pone en evidencia la potencia de los resultados de acotaciones y convergencia en espacios para mostrar los resultados obtenidos. También se muestra la necesidad de estudios más avanzados para solucionar problemas en dimensiones mayores que tres. Referencias bibliográficas: GERALD B. FOLLAND. Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications. Second Edition. John Wiley & Sons, INC. (1999). H. DYM, H. P. Mc KEAN. Fourier Series and Integrals. Academic Press, INC. (1972). E. SAEZ. Delta de Dirac. Nociones básicas. Dpto de Matemática UTFSM.