E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación

Transcripción

1 Conocimientos previos Para poder seguir adecuadamente este tema, se requiere que el alumno repase ponga al día sus conocimientos en los siguientes contenidos: Cálculo de derivadas Propiedades de las funciones derivables Análisis de extremos en funciones de una variable 1. SUPERFICIES Y CURVAS DE NIVEL Resumen teórico Definición (Función).- Una función real de dos variables, f, no es más que una correspondencia que asigna a cada pareja x, de números reales otro número real único f x,. Definición (Dominio, rango).- Se define el dominio de la función f como el conjunto de pares reales en los que la función está definida. El rango es el conjunto de números reales dado por Im f z / x, D es la representación en el 3 espacio de todas las combinaciones posibles de valores (x,, z) siendo z la imagen de (x, ) por la función f. La gráfica de una función de dos variables z f x,

2 Curvas de nivel Para una función de dos variables, z f x,, la curva de nivel de valor k es el conjunto de todos los pares de valores (x, ) tales que su imagen es el valor k.. DERIVADAS PARCIALES es una función de dos variables se define la derivada parcial de f en el punto ab, Definición (Derivadas parciales).- Si z f x, con respecto a x como: f a b con respecto a como: f a b x, lim x0, lim 0,, f a x b f a b x,, f ab f ab siempre que los límites anteriores existan. Pág.

3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.- Las derivadas parciales no son más que derivadas de una función de una variable: la función cua gráfica se obtiene como intersección de la superficie con los planos verticales x a, b en los casos de derivada parcial en la dirección de en la dirección de x, respectivamente. NOTACIÓN: Para hacer referencia a la derivada parcial de la función z f x, respecto a la variable x e se suelen utilizar las siguientes notaciones: z fx ab ab zx ab x,,, z f ab ab z ab,,, DERIVADAS PARCIALES de segundo orden: x z zx xx, zx x, z x, f, lim xx xx x x x x x0 x x z zx x, zx x, z x, f, lim x x x x x 0,, z z z x z x z x, f, lim x 0 x z z,, xx z x z x, f, lim x x x x x x0 x TEOREMA DE SCHWARZ.- Sea z f x, es una función de dos variables. Si se verifica que existen f, fx, f, fx, f x además f x es continua en una región abierta D entonces se cumple que en dicha región se da la igualdad de las derivadas cruzadas de segundo orden. Pág.3

4 3. DERIVADAS DIRECCIONALES Definición (Dirección).- Una dirección en es cualquier vector de norma 1. Si u es una dirección en el plano entonces se puede expresar como u cos, sen siendo el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las X. Definición (Derivada direccional en un punto): Sea f una función de dos variables u una dirección. Se define la derivada direccional de f en el punto x, o caso de que exista: ab en la dirección de u como el valor del siguiente límite en el o o f x tu f x lim t0 t D f x f x u o u o Z z tg (a,b) z f (x, ) (a, b) Y X En el caso de que u cos, sen como: la derivada direccional se puede expresar cos,, f a t b tsen f a b lim Du f xo fu xo t0 t INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: es la pendiente de la recta tangente a la curva intersección de la superficie con el plano vertical que contiene a la dirección dada. Pág.4

5 4. FUNCIONES DIFERENCIABLES Definición (Diferenciable diferencial).- Sea z f x, acotada en un dominio D al cual pertenece x ab, o una función definida que tiene derivadas parciales en dicho punto. Se dice que es diferenciable en x o si el incremento total:,, z f ax b f a b correspondiente a los incrementos arbitrarios de como cumpliendo que: A la parte lineal en xo x e f f z a b x a b x x x ab, se le denota,,,, x e x, 0,0 lim x, 0 se puede expresar se le llama diferencial de z f x, en z z dz dx d. x TEOREMA (Condición necesaria de diferenciabilidad).- Si la función z f x, es diferenciable en el punto ab, entonces es continua en ab,. TEOREMA.- Si la función z f x, una o las dos derivadas parciales primeras son continuas en un entorno del punto ab, entonces la función es diferenciable en dicho punto. TEOREMA: Si una función es diferenciable existe la derivada direccional en cualquier dirección. Pág.5

6 TEOREMA.- Si z f x, es una función diferenciable en, derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u cos, sen D f a, b f a, bcos f a, bsen u x ab entonces la es 5. PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIÓN LINEAL Sea S una superficie de ecuación z f x,,,, es diferenciable en, P a b f a b un punto de S. Si f ab se define el plano tangente como el plano que contiene a las rectas tangentes a cualquier curva C que esté sobre la superficie S que pase por P. Como la ecuación de un plano es: A xa B b C z f a, b 0 ó A xa B b z f a, b 0 si C 0 se cumplirá que al cortarlo con el plano x a, la recta tangente será:, 0 z f a b B b si C x a Es claro que esta recta tangente tiene por pendiente la derivada parcial respecto de en el punto ab, a que es recta tangente a la curva intersección de S con el f plano x a. Por lo tanto, B ab, Análogamente cortando por el plano b se tendrá que la recta tangente es: z f a, b A xa b Es claro que esta recta tangente tiene por pendiente la derivada parcial respecto de x en el punto ab, a que es recta tangente a la curva intersección de S con el f plano b. Por lo tanto, A a, b x Pág.6

7 Por lo tanto un vector normal al plano tangente es: f f n a, bi a, b jk x La ecuación del plano tangente es entonces: f f,,,,,,,,,, 1 0 x xz ab fab ab ab f x f,,, 0 abx a ab b z fab f f z f ab ab xa ab b x,,, Si f es diferenciable f f z f ax, b f a, b a, bx a, b x para x, 0,0 6. GRADIENTE Pág.7

8 4 E.T.S.I. Industriales Telecomunicación Curso Definición (Gradiente).- Si z f x, define el gradiente de f en el punto xo ab, f ab, f ab, i f ab, es una función de dos variables se x como el vector: j PROPIEDADES DEL GRADIENTE: Sea f una función diferenciable en el punto ab,. Se cumplen las siguientes propiedades: 1. Si el gradiente de f en ab, es el vector nulo entonces la derivada direccional de f en cualquier dirección es cero.. La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por f x, valor máximo de la derivada direccional es f x,. 3. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por f x, valor mínimo de la derivada direccional es f x,. 4. El vector gradiente es normal a las curvas de nivel.. El. El Curvas de nivel de la superficie z x Superficies implícitas: Plano tangente: Sea S una superficie de ecuación F xz,, C sea P a, b, c un punto de S donde F es diferenciable. La ecuación del plano tangente a S en P o es: o Pág.8

9 F abc,, xa F abc,, b F abc,, zc 0 x x z las ecuaciones paramétricas de la recta normal a S en,, x afx a, b, c t b F abc,, t z c Fz a, b, c t P x z son o o o o siempre cuando no sean simultáneamente cero todas las derivadas parciales en el punto. Superficie implícita de ecuación: x z zx 1 7. REGLA DE LA CADENA DERIVACION COMPUESTA DE UNA VARIABLE.- Sea z f x, una función definida en un dominio D siendo cada una de las variables x e una función de la variable t x t, t, to t t1 Pág.9

10 Si en el punto t existen las derivadas dx d t t dt dt x t, t para cada una de las variables la función z f x, diferenciable entonces se tiene: dz z dx z d dt x dt dt es DERIVACIÓN COMPUESTA DE DOS VARIABLES.- Sea z f x, una función definida en un dominio D siendo cada una de las variables x e una función de dos variables u v x uv,, uv, Si en el punto uv, existen las derivadas parciales continuas x x,,, u v u v en el punto x, la función es diferenciable entonces se tiene: z z x z u x u u Pág.10

11 8. MÁXIMOS, MÍNIMOS Y PUNTOS DE SILLA Definición (Extremos absolutos).- Sea z f x, una región D sea ab, D se dice que (a) f ab, es un valor máximo absoluto de f en D si f ab, f x, x, D (b) f ab, es un valor mínimo absoluto de f en D si f ab, f x, x, D una función definida en Definición (Extremos relativos).- Sea z f x, una función definida en una región D sea ab, D se dice que (a) f ab, es un valor máximo relativo de f en D si existe un entorno B ab, tal que f ab, f x, x, B (b) f ab, es un valor mínimo relativo de f en D si existe un entorno B ab, tal que Pág.11

12 ,,, f ab f x x B TEOREMA DE WEIERSTRASS.- Si z f x, una función continua en un subconjunto de D de acotado que contiene a su frontera entonces la función f tiene máximo mínimo en D. Definición (Punto crítico).- Sea z f x, D sea ab, D afirmaciones siguientes: una función definida en una región se dice que es un punto crítico si se cumple una de las (1) ab, está situado en el contorno de D. A estos puntos se les llama puntos frontera. Pág.1

13 () f a, b f a, b 0, es decir, f a b x estacionarios., 0. A estos puntos se les llama (3) no existe,, f ab ó f ab. A estos puntos se les llama singulares. x TEOREMA.- Si f ab, es un extremo relativo de f en una región abierta de D entonces el punto ab, es un punto crítico de f. TEOREMA (Condición necesaria para la existencia de extremo de funciones diferenciables).- Sea z f x, una función diferenciable en D. Es condición necesaria para la existencia de un extremo relativo de f en ab, D que se verifique f a b f a b x,, 0 Pág.13

14 IMPORTANTE.- Es condición necesaria pero no suficiente. Basta tomar como ejemplo la función f x, x 0,0 es un punto estacionario que cumple que sin embargo no es extremo relativo (ni máximo ni mínimo). Cálculo de los extremos relativos: Método práctico Los pasos a seguir son: (1) Cálculo de los puntos críticos como solución del sistema f f x x, 0 x, 0 (b) Si ab, es un punto crítico, el estudio del hessiano H nos permitirá concluir: xx x, x,,, f ab f ab f ab f ab H 0 f a, b 0 a, b mínimo relativo xx H 0 f a, b 0 a, b máximo relativo xx H 0 a, b punto de silla Pág.14

15 Extremos condicionados f x cuando x, está sobre una curva del plano contenida en el dominio de f, cua ecuación es g x, 0, Un extremo (máximo o mínimo) de la función, se dice que es un extremo condicionado a la condición o restricción g x, 0. Por ejemplo: 1 El método de Lagrange0F permite hallar analíticamente los puntos extremos condicionados de una función suave, es decir, con derivadas parciales continuas. TEOREMA (Método de Lagrange para funciones de dos variables una condición).- Sean f g dos funciones con derivadas parciales continuas tal que f tiene un máximo o mínimo sujeto a la restricción dada por g x, 0 entonces dicho extremo se producirá en uno de los puntos críticos de la función F dada por F x,, f x, g x, 1 El método lo realizó uno de los matemáticos más grandes del siglo XVIII, Joseph Lagrange, cuando tenía 19 años. Pág.15

16 Al número (lambda) se le llama "multiplicador de Lagrange". OBSERVACIÓN.- Según este teorema, los extremos libres de F coinciden con los extremos condicionados de f. Para analizar si el punto crítico ab,, o obtenido del sistema Fx 0 fx gx 0 F 0 f g 0 F 0 gx, 0 es máximo o mínimo se analiza el signo de la diferencial segunda de F en el punto ab, xx x ab, signo d F signo F dx F d F dxd estando ligadas dx d por la condición: g dx g d 0 x Pág.16