Tema 14. Diferenciabilidad de funciones de varias variables

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1 Tema 14 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Juan Medina Molina 19 de abril de 2005 Introducción En este tema vamos a generalizar la derivabilidad de funciones reales de variable real a funciones de varias variables Empezaremos introduciendo los conceptos de derivada direccional y derivada parcial de funciones de varias variables Dado que la existencia de éstas no implica en general la continuidad de la función, necesitaremos obtener una extensión de éstas que si que la implique, lo que nos llevará a presentar el concepto de diferenciabilidad de una función de varias variables Tras estudiar las derivadas de orden superior, presentaremos el polinomio de Taylor en varias variables, que al igual que en una variable, permite aproximar funciones de varias variables por polinomios Posteriormente abordaremos el cálculo de extremos de funciones de varias variables La última parte del tema la dedicaremos al estudio del teorema de la función implícita y el teorema de la función inversa Este tema presenta los siguientes apartados: Derivadas direccionales y derivadas parciales Diferenciabilidad de una función Cálculo de la diferencial Propiedades Matriz jacobiana de una función Propiedades Interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de dos variables Derivadas parciales de orden superior Teorema de Schwarz Polinomio de Taylor de una función de varias variables 1

2 Extremos relativos y absolutos de una función real de varias variables Extremos condicionados, método de los multiplicadores de Lagrange El teorema de la función implícita El teorema de la función inversa Derivadas direccionales y derivadas parciales Para empezar este tema, intentamos dar un definición de derivada que generalice el concepto de derivada de una a varias variables Definición 1 Sea A un subconjunto abierto de R n, f : A R y v R n \{0} i) Si a A, sedefine la derivada direccional, en la dirección del vector v, de f en a como f(a + tv) f (D v f) = lim t 0 t Sea B = {e 1,e 2,,e n } es la base canónica de R n Si i {1, 2,,n}, sedefine la derivada parcial i-ésima de f en el punto a y se denota por o (D i f) como f(a + te i ) f =(D ei f) = lim t 0 t Consideremos la función real de variable real f i tal que f i (x i )=f(a 1,,a i 1,x i,a i+1,,a n ),osea,f i es la funciónqueseobtienedeconsiderarenf todas las variables constantes excepto la i-ésima Entonces la derivada de ésta en a sería: lim t 0 f i (a i +t) f i (a i ) t = lim t 0 f(a 1,,a i 1,a i +t,a i+1,,a n ) f(a 1,,a i 1,a i,a i+1,,a n ) t = Así, la derivada parcial i-ésima evaluada en a es el valor que se obtiene de sustituir a en la función que resulta de derivar f respecto de x i considerando las otras variables constantes Las derivadas parciales y direccionales no son la generalización buscada de derivada ya que la existencia en un punto de éstas, no implica la continuidad en dicho punto, como muestra en (0, 0) la función: f : R 2 R f(x, y) = ½ x 2 y si y 6= 0 0 si y =0 2

3 Definición 2 Sea f : A R m donde A es un subconjunto abierto de R n yseaa A Sedicequef es diferenciable en a si existe una aplicación lineal T : R n R m tal que k f(a + h) f T (h) k m lim =0 h 0 k h k n En ese caso, a la aplicación lineal T se le llama diferencial de f en a y se denota por df Se dice que f es diferenciable en A si lo es en cualquier punto de A Es sencillo demostrar que si f : D R, siendo D un subconjunto abierto de R, f es derivable en a D si y sólo es diferenciable en a y df(t) =f 0 t Se obtienen las siguientes tres propiedades: Proposición 1 Sea f : A R m donde A es un subconjunto abierto de R n y a A Entonces: i) La diferencial df es única f es continua en A Proposición 2 Sea f : A R m donde A es un subconjunto abierto de R n y a A Seanf 1,,f m las funciones coordenadas de f Entoncesf es diferenciable en a si y sólo si f i es diferenciable en a, 1, i m, y en ese caso df :R n R m tiene por funciones coordenadas a df 1,,df m Proposición 3 Sea f : A R donde A es un subconjunto abierto de R n y a A tal que f es diferenciable en a Entonces, si v R n \{0}, df(v) =(D v f) y como consecuencia de esto, df(e i )= Con respecto a las operaciones entre funciones se obtiene: Proposición 4 Sea f,g : A R m diferenciables en a A siendo A un subconjunto abierto de R n y α, β R Entonces: i) αf + βg es diferenciable en a y d(αf + βg) =α(df)+β(dg) Si m =1entonces fg es diferenciable en a y d(fg) =(df)g+ f(dg) 3

4 i Si m =1, g(x) 6= 0para todo x A, f g es diferenciable en a y d( f f(dg) ) =(df)g g g 2 Ytambién se obtiene la regla de la cadena: Teorema 1 Sean A y à subconjuntos abiertos de Rn y R m respectivamente yseanf : A R m y g : à R l tales que f(a) à Si a A verifica que f es diferenciable en a y g lo es en f, entoncesg f es diferenciable en a y d(g f) =dg(f) df Por definición, la diferencial de una función en un punto es una aplicación lineal luego ésta viene determinada por su matriz respecto de las bases canónicas de R n y R m Definición 3 Sea f : A R m donde A es un subconjunto abierto de R n yseaa A tal que f es diferenciable en a Sedefine la matriz jacobiana de f en a como Jf =M B,B 0(df) siendo B y B 0 las bases canónicas de R n y R m respectivamente Como se tiene que (df)(e i )=(df 1 )(e i ), df 2 )(e i ),,df m )(e i )) = ( 1, 2,, m ), se obtiene: 1 x 1 1 x 2 1 x n 2 x Jf = 1 2 x 2 2 x n m x 1 m x 2 m x n De propiedades de aplicaciones lineales y de las propiedades de la diferencial con respecto de las aplicaciones entre funciones se obtiene: Proposición 5 Sea f,g : A R m diferenciables en a A siendo A un subconjunto abierto de R n y α, β R Entonces: i) J(αf + βg) =α Jf+β Jg Si m =1, J(fg) =Jf g+f Jg i Si m =1, g(x) 6= 0para todo x A, J( f g f Jg ) =Jf g g 2 4

5 También se obtiene una versión de la regla de la cadena para matrices: Proposición 6 Con las mismas hipótesis de la regla de la cadena se obtiene que J(g f) =Jg(f) Jf La expresión matricial de la regla de la cadena permite transformar expresiones donde aparecen derivadas parciales al aplicar un cambio de coordenadas Definición 4 Si f : A R es diferenciable en a A, siendo A un subconjunto abierto de R n, se define el vector gradiente de f en a como f =( x 1, x 2,, x n ) El siguiente resultado muestra que la continuidad de las derivadas parciales permite obtener la diferenciabilidad de una función Proposición 7 Sea f : A R m siendo A un subconjunto abierto de R n Supongamos que existe : A R n yescontinuaena A, 1 i n Entonces f es diferenciable en a Sin embargo, la función f : R 2 R dada por: ( (x 2 + y 2 1 )sin si (x, y) 6= (0, 0) f(x, y) = x 2 +y 2 0 si (x, y) =(0, 0) muestra que existen funciones diferenciables en un punto cuyas derivadas parciales no son continuas en dicho punto Interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de dos variables Si A es un subconjunto abierto de R 2 y f : A R es diferenciable en (x 0,y 0 ) A entonces la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en dicho punto tiene por ecuación: z f(x 0,y 0 )= x (x 0,y 0 )(x x 0 )+ y (x 0,y 0 )(y y 0 ) 5

6 Derivadas parciales de orden superior Sea A un subconjunto abierto de R n, f : A R m y i, j {1,,n} (Quizás i = j) Entonces, si existe en todo punto de A, tenemos una aplicación : A R m yasí, podemos plantearnos el cálculo de la derivada parcial j-ésima de ésta Se define la derivada parcial segunda de f, primero respecto de x i ydespués respecto de x j de f en a A como = d µ x j dx j En el caso i = j denotaremos por 2 f = 2 f x 2 i Del mismo modo, se definen las derivadas parciales terceras, cuartas, etcétera Se dice que f es una función de clase C k si tiene todas las derivadas k-ésimas continuas en A Entonces escribiremos f C k (A, R m ) En este punto nos planteamos la siguiente cuestión: Dados i, j {1,,n}, Bajo que condiciones Se tiene el siguiente resultado de Schwarz: x j = 2 f x j? Teorema 2 Sea f : A R m,siendoaun subconjunto abierto de R n ysupongamosque y x j son continuas en A siendo i, j {1,,n} distintos Si existe 2 f : A R m yescontinuaena A entonces existe x j y x j x j = 2 f x j Polinomio de Taylor de una función de varias variables La idea del polinomio de Taylor en varias variables es la misma que una variable, dada f : A R siendo A R n y a A, encontrar un polinomio de n variables que aproxime a f en un entorno de a Para enunciar el siguiente teorema, introducimos el concepto de intervalo en R n : Definición 5 Si a, b R n,sedefine el segmeto de extremos a y b como [a, b] ={a + t(b a) t [0, 1]} Claramente, si a A siendo A un subconjunto abierto de R n entonces existe x A, x 6= a tal que [a, x] A Entonces se tiene el teorema de Taylor: 6

7 Teorema 3 Supongamos que f C k+1 (A, R) siendo A un subconjunto abierto de R n yseaa =(a,,a n ) A Entonces,paratodox =(x 1,,x P n ) A tal que [a, x] A, existeθ ]0, 1[ tal que se tiene f(x) =f+ 1 n 1! i=1 (x i P a i )+ 1 n 2! i,j=1 x j f(x i a i )(x j a j )++ P n d k f i 1,,i k =1 dx 1 x k f(x i1 P a i1 ) (x ik a ik )+ 1 k d k f (k+1)! i 1,,i k+1 =1 dx 1 x k+1 f(a+θ(x a))(x i1 a i1 ) (x ik+1 a ik+1 ) P A p k (x 1,x n )=f+ 1 n P 1! i=1 (x i a i )+ 1 n 2! i,j=1 x j f(x i a i )(x j a j )++ P k d k f i 1,,i k =1 dx 1 x k f(x i1 a i1 ) (x ik a ik )selellama polinomio de Taylor de grado k de f en a y a la expresión R k (x 1,x n )= 1 (k+1)! P k i 1,,i k+1 =1 d k f dx 1 x k+1 f(a+θ(x a))(x i1 a i1 ) (x ik+1 a ik+1 )selellama resto de Lagrange de dicho polinomio Extremos relativos y absolutos de funciones reales de varias variables Para empezar esta sección, introducimos los conceptos sobre extremos de una función real de varias variables: Definición 6 Sea f : A R, siendoa R n yseaa A i) Diremos que a es un máximo absoluto de f si f f(x) para todo x A i iv) Diremos que a es un mínimo absoluto de f si f f(x) para todo x A Diremos que a es un máximo relativo de f si existe ² > 0 tal que f f(x) para todo x B(a, ²) A Diremos que a es un mínimo relativo de f si existe ²>0 tal que f f(x) para todo x B(a, ²) A v) Diremos que a es un extremo relativo de f si es un máximo relativo o un mínimo relativo de f Bajo ciertas condiciones, el siguiente resultado de Weierstrass afirma la existencia de extremos absolutos: Teorema 4 Sea f : A R una función continua, siendo A un subconjunto cerrado y acotado de R n Entonces existen x m,x M A tales que f(x m ) f(x) f(x M ) para todo x A 7

8 Evidentemente, todo extremo absoluto es extremo relativo El cálculo de los extremos absolutos de una función continua en un conjunto cerrado y acotado consta de dos etapas: 1 Cálculo de los extremos relativos en el interior del conjunto 2 Cálculo de los restantes posibles extremos absolutos pertenecientes a la frontera del conjunto De todos los candidatos obtenidos anteriormente, aquellos cuya imagen sea máxima serán los máximos absolutos y aquellos cuya imagen sea mínima, los mínimos relativos Para la primera etapa se tiene: Proposición 8 Sea A un subconjunto abierto de R n ysupongamosquef C 1 (A, R) Si a A es un extremo relativo de f, entonces =0, 1 i n Los puntos críticos son aquellos que anulan las derivadas parciales primeras Las funciones f : R 2 R f(x, y) =x 2 y 2 o f(x, y) =(y x 2 )(y 2x 2 ) poseen a (0, 0) como punto crítico que no es extremo relativo, por lo que el recíprocodelresultadoanteriornoescierto Introducimos la matriz Hessiana: Definición 7 Sea f C 2 (A, R n ) siendo A un subconjunto abierto de R n y sea a A Sedefine la matriz Hessiana de f en A como: 2 f x 2 1 x 1 x 2 2 f x 1 x n Hf = x 2 x 1 2 f 2 f x 2 2 x 2 x n x n x 1 Si i {1,n} se define: i f = x 2 1 x 2 x 1 x 1 x n x 2 x 1 x 2 x 2 n x 1 x 2 2 x 2 x 2 2 f x 2 i Se verifica que si a A es un punto crítico de f, entonces: 8

9 i) Si i f > 01 i n, entoncesa es un mínimo relativo de f Si 1 f < 0, 2 f > 0 y se siguen alternando los signos, entonces a es un máximo relativo Para funciones de dos variables, además se obtiene: i Si 2 f < 0, entonces a no es extremo relativo de f Para los casos no contemplados anteriormente es necesario un análisis en las proximidades del punto crítico para determinar si éste es o no un extremo relativo de la función Para ello utilizaremos el método de las regiones Para acabar esta sección, presentamos el método de los multiplicadores de Lagrange en R 2 y R 3 para determinar los extremos relativos de una función de n variables en (n 1)-variedades En R 2 : Supongamos que f C 2 (A, R), siendo A un subconjunto abierto de R 2 y B = {(x, y) A g(x, y) =0} siendo g C 1 (A, R) con gradiente no nulo en A Veamos la forma de calcular los extremos relativos de f en B En primer lugar consideramos la función F : A R R F (x, y, λ) = f(x, y)+λg(x, y) Entonces planteamos el sistema: F x F y (x, y, λ) =0 (x, y, λ) =0 g(x, y) =0 Entonces, los puntos cuyas componentes son las dos primeras componentes de las soluciones de dicho sistema son los candidatos a extremos relativos de f en B Para ver si uno de tales puntos (x 0,y 0 ) es un extremo relativo, siendo (x 0,y 0, λ 0 )lasolución asociada del sistema, planteamos la ecuación g x (x 0,y 0 )a + g y (x 0,y 0 )b =0, ydeésta despejamos una de las dos incógnitas a o b en función de la otra Entonces sustituimos dicha incognita en la expresión: (x 0,y 0, λ) = 2 F (x x 2 0,y 0, λ 0 )a F (x x y 0,y 0, λ 0 )ab + 2 F (x y 2 0,y 0, λ 0 )b 2 Entonces: i) Si (x 0,y 0, λ 0 ) > 0entonces(x 0,y 0 )esunmínimo relativo de f en B Si (x 0,y 0, λ 0 ) < 0entonces(x 0,y 0 )esunmáximo relativo de f en B 9

10 i Si (x 0,y 0, λ 0 ) = 0 tendremos que analizar en las proximidades de (x 0,y 0 )siéste es o no un extremo relativo En R 3 : Supongamos que f C 2 (A, R), siendo A un subconjunto abierto de R 3 Para el caso de que B = {(x, y, z) A g(x, y, z) =0}, procederemos de la misma forma que en R 2 Supongamos ahora que B = {(x, y, z) A g 1 (x, y, z) =0,g 2 (x, y, z) = 0} siendo g 1,g 2 C 1 (A, R) Veamos la forma de calcular los extremos relativos de f en B En primer lugar consideramos la función F : A R 2 R F (x, y, z, λ,µ)= f(x, y, z)+λg 1 (x, y, z)+µg 2 (x, y, z) Entonces planteamos el sistema: F F (x, y, z, λ,µ)=0 x F F (x, y, z, λ,µ)=0 y F z F (x, y, z, λ,µ)=0 g 1 (x, y, z) =0 g 2 (x, y, z) =0 Entonces, los puntos cuyas componentes son las tres primeras componentes de las soluciones de dicho sistema son los candidatos a extremos relativos de f en B Para ver si uno de tales puntos (x 0,y 0,z 0 ) es un extremo relativo, siendo (x 0,y 0,z 0, λ 0,µ 0 )lasolución asociada del sistema, planteamos el sistema formado por las dos ecuaciones siguientes: g i x (x 0,y 0,z 0 )a + g i y (x 0,y 0,z 0 )b + g i z (x 0,y 0,z 0 )c =0,i=1, 2, yenéste despejamos dos de las tres incógnitas a, b y c en función de la otra Entonces sustituimos dichas incognitas en la expresión: (x 0,y 0,z 0, λ,µ)= 2 F (x x 2 0,y 0,z 0, λ 0,µ 0 )a F (x x y 0,y 0,z 0, λ 0,µ 0 )ab F (x x z 0,y 0,z 0, λ 0,µ 0 )ac+ 2 F (x y 2 0,y 0,z 0, λ 0,µ 0 )b F (x y z 0,y 0,z 0, λ 0,µ 0 )bc+ 2 F (x z 2 0,y 0,z 0, λ 0,µ 0 )c 2 Entonces: i) Si (x 0,y 0,z 0 λ 0,µ 0 ) > 0entonces(x 0,y 0,z 0 )esunmínimo relativo de f en B i Si (x 0,y 0,z 0 λ 0,µ 0 ) < 0entonces(x 0,y 0,z 0 )esunmáximo relativo de f en B Si (x 0,y 0,z 0 λ 0,µ 0 ) = 0, tendremos que analizar en las proximidades de (x 0,y 0,z 0 )siéste es o no un extremo relativo 10

11 El teorema de la función implícita Supongamos que tenemos una ecuación o sistema de ecuaciones con una serie de variables y queremos expresar una o varias de estas variables en función de las otras Este problema aparece algunas veces en la resolución de una ecuación diferencial cuando la función solución viene dada de forma implícita por una ecuación El teorema de la función implícita resuelve en algunas ocasiones este problema: Teorema 5 Sea A un subconjunto abierto de R n R m, supongamos que f i = f i (x 1,,x n,y 1,,y m ) C k (A, R) 1 i m yconsideramosun punto (a, b) =(a 1,,a n,b 1,,b m ) A tal que f i (a, b) =0, 1 i m Supongamos que 1 y 1 (a, b) 1 y 2 (a, b) 1 y m (a, b) 2 y 1 (a, b) 2 y 2 (a, b) 2 y m (a, b) 6= 0 m y 1 (a, b) m y 2 (a, b) m y m (a, b) Entonces existe un subconjunto abierto U de R n tal que (a 1,,a n ) U, un subconjunto abierto V de R m tal que (b 1,,b m ) V yunaúnica función ϕ C k (U, V ) con funciones coordenadas ϕ 1,,ϕ m tales que: i) U V A f i (x 1,,x n, ϕ 1 (x 1,,x n ),,ϕ m (x 1,,x n )) = 0 1 i m si (x 1,,x n ) U ysi(x 1,,x n,y 1,,y m ) U V verificando que f(x 1,x n,y 1,,y m )=0entonces ϕ(x 1,,x n )=(y 1,,y m ) i ϕ(a 1,,a n )=(b 1,,b m ) Aunque este resultado no nos da una expresión de ϕ, de las ecuaciones f i (x 1,,x n, ϕ(x 1,,x n )) = 0, 1 i m, se pueden obtener las derivadas parciales de ϕ en (a 1,,a n )yasí, se puede obtener una aproximación de ϕ en un entorno de (a 1,,a n ) mediante un polinomio de Taylor El teorema de la función inversa Ya conocemos un cambio de coordenadas en R 2 queeselcambiodecoordenadas cartesianas a coordenadas polares Estos permiten en algunas ocasiones simplificar expresiones, ya que una expresión en coordenadas cartesianas complicada puede ser sencilla en coordenadas polares Como se ve 11

12 en el capítulo de integrales múltiples, éstos son utilizados en ocasiones para resolver integrales múltiples Para que una ecuación sea un cambio de coordenadas, debe de ser biyectiva además de cumplir ciertas condiciones de diferenciabilidad En algunas ocasiones, el siguiente resultado, conocido como el teorema de la función inversa, es útil para demostrar que una aplicación es un cambio de coordenadas en un entorno de un punto Teorema 6 Sea A un subconjunto abierto de R n, f C k (A, R n ) y a A tal que Jf 6= 0 Entonces existen U, V subconjuntos abiertos de R n con a U y f V tales que f U : U V es biyectiva y f 1 : V U cumple que f 1 C k (V,U) y Jf 1 (f(y)) = (Jf(x)) 1 para todo y V y x U tal que f(x) =y Bibliografía 1 T Apostol, Calculus Vol 2 Ed Reverte 2 G Bradley, K Smith, Cálculo de varias variables Ed Prentice Hall 3 J Burgos, Cálculo infinitesimal de varias variable Ed McGraw-Hill 4 J S Canovas, J A Murillo, Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Ed Diego Marín 5 A de la Villa, A García, A López,GRodríguez,SRomero,Teoría y problemas de funciones de varias variables CLAGSA 6 J Fernández, M Sánchez, Ejercicios y complementos de análisis matemático II Ed Tecnos 7 M Franco, F Martínez, R Molina, Lecciones de cálculo infinitesimal II S P Universidad de Murcia 8 G Thomas, R Finney, Cálculo de varias variable Ed Addison Wesley 12