Jorge Mozo Fernández Dpto. Matemática Aplicada

Transcripción

1 Álgebra y Ecuaciones Diferenciales Lineales y Matemáticas II E.T.S. Ingenieros de Telecomunicación I.T. Telecomunicación Esp. Telemática y Sistemas de Telecomunicación Curso 9- Tema : Series de Fourier Jorge Mozo Fernández Dpto. Matemática Aplicada

2 Tema Series de Fourier.. Introducción y algunos complementos Volvemos al ejemplo que introdujimos al principio del tema anterior: una cuerda de longitud L sujeta por los extremos, cuya posición inicial viene dada por la función f : [, L] R y su velocidad inicial por g : [, L] R. El sistema diferencial que rige este sistema es u tt = α u xx (α > u(, t = u(l, t = t (condiciones de contorno u(x, = f(x; u t (x, = g(x (condiciones iniciales. La búsqueda de soluciones u(x, t = X(xT (t nos llevó a plantear el problema de contorno X (x + λx(x = ; X( = ; X(L =, que es de Sturm-Liouville. En el ejemplo 8.7 del tema anterior vimos que los autovalores para este problema son los números λ n = n π, n >, y las autofunciones X n(x = c n sen L x. Fijando un tal λ n, hemos de resolver ahora L T n (t + de soluciones α c n cos L t Así, cualquier combinación lineal del tipo N α Tn (t =, L + c n sen α L t. [ α α ] L x cos L t + a n sen L x sen L t sería una solución del problema de contorno. Si pretendemos imponer las condiciones iniciales llegaríamos a las expresiones siguientes: f(x = N g(x = πα L L x N - na n sen L x.

3 - TEMA. SERIES DE FOURIER Obviamente, no todas las funciones f(x, g(x pueden escribirse como combinación lineal (finita de senos o de cosenos como los anteriores. } Observemos, no obstante, lo siguiente: la familia de funciones sen L x, n =,,... es una familia ortogonal en el espacio vectorial C([, L] con el producto escalar definido por f, g = f(xg(xdx. Así, pues, esta es una familia de funciones independientes e infinita en número, dado que C([, L] es un espacio vectorial de dimensión infinita. Al igual que se ha visto en cálculo infinitesimal que, con frecuencia, una función no polinómica, indefinidamente derivable, puede expresarse como una serie infinita a n x n (por ejemplo, e x x n = n!, cos x = ( n x n ( n x n, log( + x =, podemos plantearnos (n! n n= n= n= hacer aquí lo mismo, e intentar buscar una solución en serie infinita u(x, t = [ α α ] a n sen L x sen L t + L x cos L t. En este caso, deberíamos buscar coeficientes a n, b n tales que f(x = L x ; g(x = nα L na n sen L x. El estudio de estas series en un contexto algo más general que lo que acabamos de exponer será el objetivo de este tema. La mayoría de las demostraciones requieren conocimientos de cálculo infinitesimal por encima del requerido en este nivel, con lo que las omitiremos y nos centraremos en los aspectos más puramente calculatorios. Recordemos, antes de proseguir, algunas definiciones y pequeños resultados sobre funciones:. Una función f : R R es periódica de periodo T si, x R, f(x + T = f(x. Si f es periódica de periodo T, lo es también de periodo T, 3T,... El menor de estos periodos se denomina periodo fundamental de f(x, o simplemente periodo. Así, por ejemplo, sen(ax, cos(ax (a > son funciones periódicas de periodo π a. La función f(x cos(3x + sen(x/5 es una suma de funciones periódicas de periodos respectivos π/3, π, y en ese caso, π es un periodo común, y por tanto, el periodo de f(x. Sin embargo, la función g(x = cos x+sen( x no es periódica pues los sumandos anteriores no tienen ningún periodo común (el alumno ha de ser capaz de completar los detalles de esto, a riesgo de no poder comprender el resto de la exposición.. Una función f(x es par si x R, f(x = f( x. Asimismo, es impar si f( x = f(x. La suma de dos funciones pares es par, y la suma de dos impares, impar. El producto de dos funciones pares o dos impares da como resultado una función par, y el producto de una función par por una impar, es una nueva función impar. n= Ejemplo. f(x = sen(ax es impar, g(x = cos(ax es par. La función f(x = ex e x g(x = x = x si x x si x es impar, y es par.

4 .. SERIES DE FOURIER -3 Si sabemos que una función f(x es par o impar, nos puede resultar útil a la hora de calcular algunas integrales:. Sea f : [, L] R impar, e integrable. Entonces f(xdx =.. Sea f : [, L] R par. Entonces f(xdx = f(xdx. Asimismo, para funciones periódicas se tiene: 4. Si f : R R es periódica de periodo T, entonces Ejercicio. T f(x = Demuéstrense las propiedades anteriores. a+t a f(xdx, a R... Series de Fourier El objetivo de esta sección es expresar una función f(x definida en un intervalo de R en forma de serie de senos y cosenos. Con más precisión, estudiaremos la posibilidad de desarrollar f(x como a + [ x + L x ]. L El sumando n-ésimo es periódico de periodo L, con lo que la suma infinita anterior (caso de que la serie n converja será periódica de periodo L. Así pues, consideremos una función f : [, L] R, que supondremos continua a trozos. Pretendemos representar f(x a + [ ] L x + L x. Para ello, consideremos el producto escalar f, g = Para este producto escalar, las funciones, cos f(xg(xdx. L x, sen L x, = cos L x, cos L x = sen L x, sen L x = dx = L, son ortogonales. Además, cos L x dx = L, sen L x dx = L. Recordando lo que hemos visto en el tema sobre el producto escalar, consideremos el espacio de dimensión finita V N engendrado como } N V N =, cos L x, sen L x.

5 -4 TEMA. SERIES DE FOURIER La mejor aproximación a f(x por un elemento de V N será una función s N (x = a N + [ ] L x + L x, tal que f(x s N (x sea ortogonal a V N. Para calcularla, recordamos de aquel capítulo que debe ser: a = L f, = L f(xdx a n = L f, cos L x = L b n = L f, sen L x = L f(x cos L x dx f(x sen L x dx. Parece razonable que esto pudiera extenderse a la serie infinita anterior, caso de converger. Esto motiva la siguiente definición: Definición.3 Sea f : [, L] R una función continua a trozos. Definimos su serie de Fourier como S[f](x = a + [ ] L x + L donde (Fórmulas de Euler. Ejemplo.4 a = L a n = L b n = L f(xdx f(x cos L x dx, si n, f(x sen L x dx, si n. Calculamos la serie de Fourier en [ π, π] de si π x f(x = si < x π. Los coeficientes son: a = L a n = si n, por ser f(x impar. b n = [ sen(nxdx + π La serie es = π π π π f(xdx = ; ] sen(nxdx = sen(nxdx = π ( n+ + n = 4 nπ si n es impar, si n es par. 4 (n + π sen((n + x = 4 [ ] sen 3x sen 5x sen x π 3 5

6 .. SERIES DE FOURIER -5.5 y x.5.5. Figura.: Gráficas de las primeras aproximaciones de Fourier a la serie del ejemplo.4 Del ejemplo.4 observamos dos cosas:. La serie de Fourier de f(x no converge necesariamente a f(x en cada punto x [, L]. En efecto, en x =, la serie anterior toma el valor. Este es un punto de discontinuidad de f, con lo que no debe sorprendernos este hecho.. La función f(x del ejemplo anterior es impar. Esto implica que se anulan los coeficientes de los cosenos. Concretemos un poco más esto: Lema.5 Para una función f se tiene lo siguiente: Si f : [, L] R es una función impar, a n = en su serie de Fourier. Si f : [, L] R es una función par, b n = en su serie de Fourier. Demostración : Si f es impar, lo es también f(x cos L x, de donde su integral en [, L] es nula. Si f(x es par, f(x sen L x es impar, y se aplica idéntico razonamiento. Tratemos a continuación con más detalle el primero de los puntos anteriores. Antes de ello, revisamos algunas nociones sobre convergencia de funciones. Inciso: Sucesiones de funciones y convergencia uniforme Sea f n : [a, b] R (n N una familia de funciones. Decimos que la sucesión f n } n converge hacia f : [a, b] R si para cada x [a, b], la sucesión (numérica f n (x} converge hacia f(x. De esta manera, aunque todas las funciones f n sean continuas, f(x no tiene por qué serlo.

7 -6 TEMA. SERIES DE FOURIER Ejemplo.6 Sea Es fácil ver que lím n f n(x = f n (x = si x = si x (, ]. nx si x [, n ] si x [ n, ]. La razón de lo anterior es, hablando sin precisión, que en unos puntos la sucesión converge más rápidamente que en otros, rompiéndose así la continuidad. Para ello existe una noción adicional, que es la de continuidad uniforme. Se dice que una sucesión de funciones f n : [a, b] R converge uniformemente hacia f : [a, b] R si: ε >, n N tal que si x [a, b], f n (x f(x ε. Es decir, converge más o menos a la misma velocidad en todos los puntos. Se puede comprobar que si f n : [a, b] R es una sucesión de funciones continuas, que convergen a f uniformemente, entonces f es continua. Además, lím n f sean derivables, que f n converja a f. Ejemplo.7 b a f n (xdx = b a f(xdx. Sigue sin ser cierto, aunque f n y f n (x = n sen nx en [, ] es una sucesión de funciones que converge a uniformemente, pero sin embargo, f n(x = cos nx carece de límite. Análogamente, si tenemos una serie de funciones f n (x definida en [a, b], decimos que converge (resp. que converge uniformemente a f : [a, b] R si la sucesión N } f n (x N= converge (resp. converge uniformemente hacia f. Un criterio, con frecuencia útil, para asegurar la convergencia uniforma de una serie de funciones continuas f n (x es el siguiente: Si existen números M n > tal que f n (x M n en [a, b], y M n converge, entonces f n (x converge uniformemente. Si f : [, L] R es una función continua a trozos y x [, L], denotamos f(x + = lím f(x; x x + f(x = lím f(x. x x En estas condiciones, se tiene el siguiente resultado: Teorema.8 Sea f : [, L] R continua a trozos y con derivada continua a trozos. Sea S[f](x = a [ + L x + ] L x

8 .. SERIES DE FOURIER -7 su serie de Fourier. Entonces, si x (, L, S[f](x converge hacia f(x + + f(x. En particular, si f es continua en x, S[f](x converge hacia f(x. Este resultado puede extenderse, dado que S[f](x es una función periódica de periodo L. Así, consideremos la extensión L-periódica de f a todo R. Es decir, si x R, sea x [, L único tal que x = x + Ln, con n Z. Podemos definir f(x := f(x. Tenemos así una función, que seguiremos denotando f, definida en R, periódica de periodo L. En estas condiciones, si x R, S[f](x converge hacia f(x+ + f(x. En particular, S[f](L = S[f]( converge hacia f(+ + f(l. Si f(x no es continua, la convergencia no puede ser uniforme. Se tiene el siguiente resultado. Teorema.9 Sea f : [, L] R, continua, con f( = f(l, y derivada continua a trozos. Entonces la serie de Fourier de f converge a f uniformemente en [, L]. Además, en este caso, la extensión periódica de periodo L de f es continua y S[f](x converge uniformemente hacia f(x en todo R. Ejemplo. Calculamos la serie de Fourier de f(x = x si x < x si x <. Hemos de calcular una serie S[f](x = a + (nπx + (nπx. Como f(x es una función par, b n = si n. Calculamos Así, a = a n = f(xdx = si n es par f(x cos(nπxdx = si n es impar. S[f](x = + k= = 4 π 4 (nπ 4 cos((k + πx ((k + π k= cos((k + πx. (k + Si x [, ], esta serie converge hacia x. Por ejemplo, si x = : = 4 π k= (k +, de donde k= (k + = π 8.

9 -8 TEMA. SERIES DE FOURIER.3. Series de Fourier en senos o en cosenos El problema con el que comenzábamos el tema nos llevaba a desarrollar una función f(x C([, L] en serie de senos, lo cual no es exactamente lo que hemos hecho en el apartado anterior. Veamos en esta sección cómo conseguir este desarrollo. Así, sea f : [, L] R una función continua a trozos. Llamaremos extensión par de f a la función f p : [, L] R definida por f(x si x [, L] f p (x = f( x si x [, ]. La función f p (x así definida es continua a trozos en [, L] y es una función par. Su serie de Fourier es S[f p ] = a + L x. n Esta serie, así definida, recibe el nombre de serie de Fourier en cosenos de f(x en [, L]. Si x (, L], el teorema.8 nos dice que S[f p ](x converge hacia f(x+ + f(x. Además, S[f p ]( converge hacia f( +. Cómo calculamos los coeficientes? Sabemos que, si n >, a n = L = L Asimismo, si n =, Ejemplo. f p (x cos L x dx = L f(x cos a = L L x dx. = L f( x cos L x dx + [ f p (xdx = f( xdx + L f(xdx. f(xdx f(x cos L x dx Calculamos la serie de Fourier en cosenos de f(x = sen x en [, π]. Para ello, calculamos: a = π a n = π π π sen xdx = 4 π sen x cos(nxdx = 4 π(n si n es par, si n es impar. ] Así, sen x = π + 4 π cos(nx, si x [, π]. 4n Ahora, sea f : [, L] R continua a trozos. Su extensión impar es la función f(x si x [, L] f i (x = f( x si x [,. La serie de Fourier de f i (x es S[f i ] = L x, n

10 .4. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE LAS SERIES DE FOURIER -9 la cual se denomina serie de Fourier en senos de f(x en [, L]. En particular, si x [, L], S[f i ](x converge a f(x+ + f(x. Si x, L}, S[f i ](x =. Calculamos los coeficientes: b n = [ L f i (x sen L L x dx = ] L f( x sen L L x dx + f(x sen L x dx = L Ejemplo. f(x sen L x dx. Calculamos la serie de Fourier en senos en [, π] de la función f(x =. Tenemos que b n = π si n es par sen(nxdx = π si n es impar. De aquí, la serie es 4 π k= 4 nπ sen((k + x. k + Deducimos que la serie anterior converge a si x = ó x = π (obvio, y a si x (, π. Por ejemplo, si x = π, sen((k + π = ( k, de donde obtenemos que k= ( k k + = π 4, resultado que se obtiene calculando la serie de Taylor de arctan x en el punto x =..4. Derivación e integración de las series de Fourier Los resultados que expondremos aquí nos resultarán de utilidad a la hora de calcular la serie de Fourier de la derivada de f(x, o bien de una primitiva, conocida la de f(x. Así pues, sea f : [, L] R una función continua, y con derivada continua a trozos. Supondremos además que f es L-periódica, esto es, que f(l = f( (o más precisamente, f(l = f( +. Sea S[f](x = a + L x + L x n n la serie de Fourier de f. Para calcular la de f (x, procedemos como sigue: L f (x cos L L x dx = [ ] L f(x cos L L x + nπ L Análogamente, y L f (x sen L L x dx = nπ L a n, L f (x =. L } f(x sen L x dx = nπ L b n. Así, la serie de Fourier de f (x se obtiene derivando término a término la de f. La hipótesis de continuidad de la extensión L-periódica de f es fundamental en el resultado anterior, como pone de manifiesto el siguiente ejemplo:

11 - TEMA. SERIES DE FOURIER Ejemplo.3 La serie de Fourier de f(x = x en [ π, π] es S[f](x = Si la derivamos término a término obtenemos ( n sen nx. n ( n cos(nx, que no es la serie de Fourier de f (x = (ni de ninguna otra función. Para que la serie de Fourier de f (x converja a f (x, en virtud del teorema.8, hemos de exigir que f (x exista y sea continua a trozos. Resumiendo: Teorema.4 Sea f : R R continua, L-periódica, tal que f (x, f (x son continuas a trozos. Entonces la serie de Fourier S[f ] de f (x se obtiene derivando término a término la serie de S[f]. Además, si x R, S[f ](x converge hacia f (x + + f(x. Con respecto a la integración, las hipótesis necesarias son menores. Sea f : [, L] R continua a trozos, y definimos F (x = x f(tdt, que será continua. Si S[f](x = a + L x + L x n n es la serie de Fourier de f(x, entonces, si x [, L], F (x = a (x + L + L nπ sen L x L ( b n cos nπ L x ( n. n n En particular, la serie de Fourier de F (x a x se obtiene por integración término a término a partir de la de S[f]..5. Ejercicios. Calcular las series de Fourier de las siguientes funciones en los intervalos que se indican: a f(x = x, en [, L]. b f(x = sen x, en [ π, π]. si π x < c f(x = sen x si x π. d f(x = x cos x, en [ π, π]. e f(x = x, en < x <. si π < x < π/ si π/ < x < o f f(x = si < x < π/ si π/ < x < π.

12 .5. EJERCICIOS -. Para las funciones del ejercicio anterior, discútase la convergencia en los puntos del intervalo correspondiente. 3. Considera la función f(x = x. a Calcula su serie de Fourier S[f](x en [, ]. b Usa S[f] para calcular n y ( n n. 4. Calcula la serie de Fourier en senos de las funciones que se indican: a f(x =, en [, ]. b f(x = cos x, en [, π]. c f(x = e x, en [, ]. d f(x = π x, en [, π]. 5. Calcula la serie de Fourier en cosenos de las funciones que se indican: a f(x = e x, en [, ]. b f(x = π x, en [, π]. c f(x = x x en [, ]. d f(x = + x, en [, π] 6. Considera la extensión π-periódica a todo R de la función f(x = π/ x definida en [ π, π], y que seguimos denotando f(x. a Es f(x continua? b Calcula S[f], y discute su convergencia. sen((k + x c Usa dicha serie para calcular (k + 3. k= 7. Integra término a término las series de Fourier que se indican, y encuentra las funciones que representan. a b 4 π ( k+ sen(kx x, en [ π, π]. k k= k= sen(k + x k + si π < x < si < x < π. 8. Calcula la serie de Fourier de f(x = x 4 en [ π, π]. Utiliza dicho resultado para mostrar que n 4 = π4 9