Lista de ejercicios # 5

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1 UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS MA-005 Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería ESCUELA DE MATEMÁTICA Segundo Semestre del 206 Lista de ejercicios # 5 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Determine la serie de Fourier de f en el intervalo indicado 0, si π < x < 0 a) f(x) =, si 0 x < π., si < x < 0 b) f(x) = x, si 0 x <. 0, si π < x < 0 c) f(x) = x 2, si 0 x < π. d) f(x) = x + π si π < x < π. 0, si π < x < 0 e) f(x) = sen x, si 0 x < π. 0, si 2 < x < 2, si x < 0 f ) f(x) =, si 0 x < 0, si x < 2., si 5 < x < 0 g) f(x) = + x, si 0 x < RP-III-MA-005-I-204 Considere la siguiente función π, si π < x < 0 f(x) = x, si 0 x π Verificar que la serie de Fourier de f(x) viene dada por: 3π [ ( ) n πn 2 cos(nx) sin(nx) ] n

2 2 3. P-III-I-204 Considere la siguiente función 0, si 5 x 0 f(x) = 2x + 2, si 0 x 3 8 si 3 x 5. a) Al calcular la serie de Fourier de f(x) compruebe que para todo n a n = 0 [ ( ) ] 3nπ π 2 n 2 cos, b n = 2 5 nπ + 0 ( ) 3nπ π 2 n 2 sin 8( )n 5 nπ b) Utilizando la serie de Fourier de f(x) evaluar 00 + cos ( ) 3nπ 5 2 n 2 4. Desarrolle cada una de las funciones siguientes en una serie de cosenos o de senos, según corresponda:, si π < x < 0 a) f(x) =, si 0 x < π. b) f(x) = x, si π < x < π. c) f(x) = x 2, si < x <. d) f(x) = π 2 x 2, si π < x < π. x, si π < x < 0 e) f(x) = x +, si 0 x < π., si 2 < x < x, si x < 0 f ) f(x) = x, si 0 x <, si x < P-I-200 Demuestre que el desarrollo de Fourier para la función f(x) = sen x, si π < x < π es dado por: f(x) = 2 π ( ) n π n 2 cos (nx). n=2 6. R 3P-I-20 Considere la funci on f(x) = sen x cos x

3 3 a) ( Pruebe que la serie de Fourier de f(x) en ( π 2, π ) viene dada por 2 π + + ( ) n ( n 2 )π cos(2nx) n=2 Puede utilizar el hecho de que 2 sen (ax) cos (by) = sen (ax by) + sen (ax + by). b) Use lo anterior para calcular el valor de la serie 4n 2 7. Considere la función f : [0, π] R definida por x si 0 x < π 2 f(x) = π π si 2 2 x < π (a) Calcule a 0 y para n verifique que los coeficientes de la serie de Fourier de cosenos de f(x) están dados por ( nπ ) a n = 2 cos 2 π n 2 (b) Verifique que la serie de Fourier de cosenos de f(x) corresponde a 3π 8 + 2π ( ) n n 2 cos(2nx) 2 π n=0 cos ((2n + )x) (2n + ) 2 8. Desarrolle cada una de las funciones siguientes en una serie de cosenos y en una serie de senos:, si 0 < x < a) f(x) = 2 0, si 2 x <. b) f(x) = cos x, si 0 < x < π 2. x, si 0 < x < π c) f(x) = 2 π π x, si 2 x < π. x, si 0 < x < d) f(x) =, si x < 2.

4 4 e) f(x) = x 2 + x, si 0 < x <. 9. Hallar una solución, sin utilizar separación de variables, al problema de valor de frontera x y = x + 2, ; u(0, y) = 0, u x(x, 0) = x 2 0. Hallar una solución, sin utilizar separación de variables, al problema de valor de frontera x y = 4xy + ex, ; u y (0, y) = y, u(x, 0) = 2.. Encuentre una ecuación en derivadas parciales de segundo orden que tenga como su solución general u(x, y) = xf (y) + yg(x), donde F y G son funciones arbitrarias diferenciables. Puede hallar otra ecuación en derivadas parciales de tercer orden con la misma solución que la anterio y una de cuarto orden? 2. Determine, si es posible, algunas soluciones para las ecuaciones en derivadas parciales que se dan a continuación, por el método de separación de variables. a) x = y. b) x + y = u. c) x x = y y. d) 2 u x u x y + 2 u y 2 = 0. e) k 2 u x 2 u = t, k > 0. f ) a 2 2 u x 2 = 2 u t 2. g) 2 u x u y 2 = 0. h) 2 u x u y 2 = u. 3. Una varilla de longitud L se hace coincidir con el intervalo [0, L]. Plantee el problema de valor frontera para la temperatura u(x, t), si a) El extremo izquierdo se mantiene a la temperatura cero y el derecho está aislado. La temperatura inicial de la varilla en el punto x es f(x). b) El extremo izquierdo se mantiene a la temperatura 00 y hay transmisión de calor desde el extremo derecho hacia el ambiente, el cual se encuentra a temperatura cero. La distribución de temperatura inicial en la varilla es f(x).

5 5 4. Una cuerda de longitud L se hace coincidir con el intervalo [0, L]. Plantee el problema de valor frontera para el desplazamiento u(x, t), si a) Los extremos se mantienen fijos y la cuerda parte del reposo desde el desplazamiento inicial x (L x). b) El extremo izquierdo se mantiene fijo, pero el extremo derecho se mueve de acuerdo con la función sen π t. La cuerda parte del reposo desde un desplazamiento inicial f(x). Para t > 0, las vibraciones se amortiguan con una fuerza proporcional a la velocidad instantanea. 5. Plantee el problema para la temperatura u(x, y) del estado estable de una placa rectangular delgada que se hace coincidir con la región R = (x, y) 0 x 4; 0 y 2 }, si el lado izquierdo y la cara inferior de la placa están aislados; la cara superior se mantiene a temperatura cero y el lado derecho a la temperatura f(y). 6. Una varilla de longitud L se hace coincidir con el intervalo Resuelva el problema de transmisión de calor, sujeto a las condiciones 7. Resuelva la ecuación de onda k 2 u x 2 a 2 2 u x 2 sujeta a las condiciones siguientes a) = t, 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = 0 u(l, t) = 0, 0 < x < L u(x, 0) = 2 L 0, 2 < x < L = 2 u t 2, 0 < x < L, t > 0 u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 u(x, 0) = x (L x), 4 t = 0 t=0

6 6 b) u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 u(x, 0) = 3 L x, 0 x < L 3, L 3 x < 2 L 3 3 L ( L x ), 2 L x L 3 8. Considere la ecuaci on del calor α 2 2 u x 2 = t con 0 x 2 y sujeta a las condiciones de frontera u(0, t) = 0 u(2, t) = 0 ( ) 2 (2n + )πx u(x, 0) = (2n + ) 2 sin 2 t = 0 t=0 Resuelva el problema anterior analizando todos los casos posibles de constantes. 9. Resuelva la ecuación de Laplace con las condiciones de frontera siguientes: a) b) c) x u = 0, 0 < x < a, 0 < y < b y2 u(0, y) = 0 u(a, y) = 0 u(x, 0) = 0 u(x, b) = f(x) u(0, y) = 0 u(a, y) = 0 u(x, 0) = f(x) u(x, b) = 0 u(0, y) = 0 u(, y) = y (se considera a = ) = 0 y=0 = 0 (se considera b = ) y=

7 7 20. Aplique el método de separación de variables para resolver la ecuación en derivadas parciales t = 2 u, u(x, 0) = sen x, 0 < x < π; u(0, t) = (π, t) = 0, t > 0. x2 x 2. Amp. I-20 Compruebe que la función de dos variables u(x, t) = 4 + ( ) n+ π 4 sin (nπx) sin (nπt), satisface la ecuación de onda x 2 = 2 u t 2 con 0 < x < y, t > 0 sujeta a las condiciones de frontera u(0, t) = 0; u(, t) = 0; n 4 u(x, 0) = 0; (x, 0) = x( x). t 22. PIII-I-204 Aplicar el método de separación de variables para encontrar la solución del problema de la cuerda vibrante: t 2 = u 4 2 x 2, 0 < x < π, t > 0 u(0, t) = u(π, t) = 0, t 0 u(x, 0) = + + t (x, 0) = n 2 sin(nx), ( ) n+ 0 x π n 2 sin(nx), 0 x π 23. RP-III-MA-005-I-204 Aplicar el método de separación de variables para encontrar la solución del problema de la cuerda vibrante: t 2 = 4 2 u x 2, 0 < x < π, t > 0 u(0, t) = u(π, t) = 0, t 0 u(x, 0) = sin(3x) 4 sin(0x) (x, 0) = 2 sin(4x) + 6 sin(6x) t

8 8 24. RP-III-MA-005-II-20 Haga un análisis completo para resolver la ecuaci on de Laplace U xx + U yy = 0 con 0 x π 3 y 0 y π 3, sujeto a las condiciones iniciales U(x, 0) = 0 U ( x, π ) 3 = 0 Universidad de Costa Rica U x (0, y) = 0 U ( π 3, y) = 2 π ( ) n sin(3ny) n Escuela de Matemática 2 de Diciembre de 204. MA-005 Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería Examen Parcial # 4 Segundo Semestre Instrucciones Cuenta con tres horas para realizar el examen. El examen consta de cinco preguntas que suman cien puntos. Debe justificar cada una de las preguntas que realice. Los problemas aplicados podrían no representar la realidad. El coordinador atenderá las dudas que se presenten sobre la redacción de la prueba durante la primer hora del examen. Enunciados. 20 puntos Dos grandes tanques A y B, de 00 litros de capacidad cada uno, están interconectados por dos tubos. Suponga que el líquido fluye desde el tanque A hacia el tanque B a razón de 3 litros por minuto, y del tanque B hacia el tanque A a razón de un litro por minuto. El líquido en cada tanque permanece siempre bien agitado. Desde el exterior ingresa salmuera, con una concentración de 2 kilos de sal por litro, hacia el tanque A a razón de 6 litros por minuto. La solución fluye entonces hacia afuera de A a razón de 4 litros por minuto y hacia fuera del tanque B a razón de 2 litros por minuto. Si inicialmente el tanque A contiene sólo agua y el tanque B contiene 200 kilos de de sal, entonces: a) Realice un dibujo que corresponda a la situación descrita en el texto anterior.

9 9 b) Si se denota por x(t) y y(t) a las cantidades de sal contenidas en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t, entonces hallar las constantes a, b, c, d, e, f, g en dx = a + by cx, dt puntos dy dt = dx ey, x(0) = f, y(0) = h. a) Encuentre por medio de operadores diferenciales la solución del sistema: d 5 x dt 5 d3 x dt 3 + d4 y dt 4 d2 y dt 2 y = 204 d 2 x dt 2 + dy dt = t 2 Debe encontrar necesariamente la relación entre las constantes arbitrarias que aparezcan. b) Utilizando la parte anterior, hallar la solución (x(t), y(t)) que cumpla que x(0) = 0 y x (0) = puntos Encuentre, por medio de valores y vectores propios, la solución del sistema: x (t) = x z y (t) = x z (t) = x y puntos Encuentre, por medio de la separación de variables, la solución, u(x, t), de la ecuación en derivadas parciales: sujeta a las condiciones de frontera e iniciales: (0, t) = 0, x (π, t) = 0, x u(x, 0) = sen 2 (x). t = 2 u, 0 < x < π, t > 0, x2 Debe realizar un análisis completo del problema. Como sugerencia se indica que en la búsqueda de la solución no necesita calcular una serie de Fourier.

10 puntos Considere la función f(x) = x sen(x) definida en π x π. a) Verifique que la serie de Fourier de f(x) es 2 cos(x) 2 + n=2 cos(nx) n 2. b) Deducir que = π 2. 4 Fórmulas 2 sen(α) cos(β) = sen(α β) + sen(α + β). 2 sen(α) sen(β) = cos(α β) cos(α + β). El entendimiento es una especie de éxtasis. Carl Sagan Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática 4 de Diciembre de 205. MA-005 Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería Segundo Semestre Examen Parcial # 3 Instrucciones Cuenta con tres horas para realizar el examen. El examen consta de cuatro preguntas que suman cien puntos. Debe justificar cada una de las preguntas que realice con los teoremas y métodos vistos en clase, o establecidos en la carta al estudiante. El coordinador atenderá las dudas que se presenten sobre la redacción de la prueba durante la primer media hora del examen.. Considere el siguiente sistema: x + y + y + y + x = 2t x + y + y =. ()

11 a) 5 puntos Reescriba el sistema () en notación de operadores e indique el número de constantes arbitrarias que deben aparecer en la solución general. b) 0 puntos Hallar el valor de x(t). c) 0 puntos Sin sustituir el valor de x(t) en alguna de las ecuaciones del sistema (), encuentre el valor de y(t). 2. Considere el siguiente sistema lineal homogéneo: 0 d x dt = 0 0 x(t) (2) a) 20 puntos Suponiendo que los valores propios de la matriz del sistema anterior son raíces de la ecuación característica λ( λ) 2 = 0, hallar la solución general del sistema (2). b) 5 puntos Hallar la solución del sistema (2) que cumpla la condición inicial: 0 x(0) = puntos Encuentre, por medio de la separación de variables, la solución, u(x, t), de la ecuación en derivadas parciales: sujeta a las condiciones de frontera e iniciales: u(0, t) = u (π, t) = 0, para t 0, u(x, 0) = 2 π + n=2 t =, 0 x π, t 0, 4 x2 + ( ) n n 2 sin(nx), para 0 x π, 4. a) 20 puntos Calcule la serie coseno de Fourier para f(x) = sin(x) en el intervalo [0, π]. b) 5 puntos Cuál es la serie de Fourier para f(x) = sin(x) en [ π, π]? No hay mucho que hacer aquí. Fórmulas útiles 2 sen(α) cos(β) = sen(α β) + sen(α + β). 2 sen(α) sen(β) = cos(α β) cos(α + β).